高考文科函数与导数解答题题型归纳
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函数与导数
题型一、导函数与原函数图象之间的关系
例题1、如果函数y ＝f(x)的图象如右图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是
（ ）
例题2、设f(x)是函数f(x)的导函数，y ＝f(x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是
（ ）
题型二、利用导数求解函数的单调性问题
例题3、(08全国高考)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．7
4
a ≥
例题4、（08年四川）设1x =和2x =是函数53()1f x x ax bx =+++的两个极值点.
⑴求a 和b 的值
⑵求()f x 的单调区间.
例题5、（2009安徽卷文）（本小题满分14分） 已知函数2
()1ln ,0f x x a x a x
=-+->，
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求()f x 在区间2[1,]e 上值域。期中e=…是自然对数的底数。
2
2223n 2,5l e e ??---????
例题6、（2010江西卷文）设函数()()326322f x x a x ax =+++． （1）若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由
例题7、（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数
32
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．
（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；0=b ，
3-=a 或1=a
（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围 15-<<-a
例题8、（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知2()f x x bx c =++为偶函数，曲线
()y f x =过点(2,5)，()()()g x x a f x =+．
（Ⅰ）求曲线()y g x =有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；
()
,a ∈-∞?+∞
（Ⅱ）若当1x =-时函数()y g x =取得极值，确定()y g x =的单调区间．
题型三、求函数的极值、最值问题
例题9、（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. x =()f x 的极大值点，x =()f x 的极小值点.
例题10、（2010年全国）已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.
例题11、.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-。
（I ）求函数()f x 的解析式；32()22f x x x x =-+-
（II ）设函数1
()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数
()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.
题型四 与不等式有关的恒成立问题
例题12、已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与2
3
x =-时，都取得极值
（1）求a ，b 的值
（2）若对[1,2]x ∈-都有1
()f x c
<恒成立，求c 的取值范围
例题13、设函数321
()(1)4243
f x x a x ax a =-+++，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
变式：设321
()252
f x x x x =--+
（1） 求函数()f x 的单调区间
（2） 若在区间[1,2]-上存在实数x ，使得()0f x m -<成立，求实数m 的取值范围。
题型五、方程的根及函数的零点问题
① 方程的根
例题14、 (2009江西文)设函数329
()62
f x x x x a =-+-．
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
例题15、（2006四川）已知函数()()()3'31,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数
（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；
（Ⅱ）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图像与直线3y =只有一个公共点
例题16、（2008四川卷）（本小题满分14分）
已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围
例题17、已知()()28,6ln f x x x g x x m =-+=+，问是否存在实数m 使得()y f x =的图像与
()y g x =有且只有三个交点若存在求出m ，若不存在说明理由
例题18、（2010湖北 本小题满分14分）设函数321()32
a
f x x x bx c =-++其中0a ＞.曲线
()y f x =在点(0,(0))p f 处的切线方程为1y =.
（1） 确定,b c 的值；
（2） 设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点（0,2）.证明：当
12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；
（3） 若过点（0,2）可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围.
变式、已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值
（1） 求函数()f x 的解析式
（2） 若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围 题型六、用导数的方法证明不等式
例题19、已知x>0，求证：x>ln(1+x)
例题20、已知函数kx x f =)(，x
x
x g ln )(=
（1）求函数x
x
x g ln )(=
的单调递增区间； （2）若不等式)()(x g x f ≥在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围；
（3）求证：
e n
n 21
ln 33ln 22ln 4
44<+++ 例题21、（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-
例题22、（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行。
（1）求a 的值，并讨论f （x ）的单调性；a=-1
（2）证明：当[0,]f(cos )f(sin )22
π
θθθ∈-<时，
答案:
函数与导数
题型一、导函数与原函数图象之间的关系
例题1、如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f(x)的图象可能是（）
例题2、设f(x)是函数f(x)的导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）
题型二、利用导数求解函数的单调性问题
例题3、(08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－2
3
，－
1
3
)内是减函数，求a的取值范围．
7
4
a≥
解：(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+1，判别式△=4(a2-3)，
(ⅰ)若或，则在上f′(x)＞0，f(x)是增函数；
在内f′(x)＜0，f(x)是减函数；
在上f′(x)＞0，f(x)是增函数。
(ⅱ)若，则对所有x∈R都有f′(x)＞0，故此时f(x)在R上是增函数；
(ⅲ)若，则，且对所有的都有f′(x)＞0，故当时，f(x)在R上是增函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，只有当或时，f(x)在内是减函
数，
因此，①且，②
当
时，由①②解得a ≥2，因此a 的取值范围是[2，+∞)。
例题4、（08年四川）设1x =和2x =是函数53()1f x x ax bx =+++的两个极值点.
⑴求a 和b 的值
⑵求()f x 的单调区间.
解：（Ⅰ）f ′(x)=5x4+3ax2+b ，
由假设知f ′(1)=5+3a+b=0，f ′(2)=24×5+22×3a+b=0，解得；？
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，f ′(x)＞0，当x ∈(-2，-1)∪(1，2)时，f ′(x)＜
0，
因此f(x)的单调增区间是，f(x)的单调减区间是(-2，-1)，(1，
2)。
例题5、（2009安徽卷文）（本小题满分14分） 已知函数2
()1ln ,0f x x a x a x =-+->，
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求()f x 在区间2[1,]e 上值域。期中e=…是自然对数的底数。
2
2223n 2,5l e e ??---????
②已知某可导函数在某区间上的单调区间，求参数的取值范围 例题6、（2010江西卷文）设函数()()326322f x x a x ax =+++． （1）若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由
分析：（1）先求原函数的导函数，根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，
求出参数a 即可；
（2）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则
就不存在．
例题7、（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数
32
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．
（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；0=b ，
3-=a 或1=a
（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围 15-<<-a
例题8、（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知2()f x x bx c =++为偶函数，曲线
()y f x =过点(2,5)，()()()g x x a f x =+．
（Ⅰ）求曲线()y g x =有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；
()
,33,a ??∈-∞-?+∞??
（Ⅱ）若当1x =-时函数()y g x =取得极值，确定()y g x =的单调区间．
题型三、求函数的极值、最值问题
例题9、（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； a=4, b=24
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. x a =-是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点.
解：（Ⅰ）求导函数，可得f ′（x ）=3x 2﹣3a
∵曲线y=f （x ）在点（2，f （x ））处在直线y=8相切
∴，∴∴a=4，b=24．
（Ⅱ）f ′（x ）=3（x 2﹣4）=3（x+2）（x ﹣2）
令f ′（x ）＞0，可得x ＜﹣2或x ＞2；
令f ′（x ）＜0，可得﹣2＜x ＜2
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）
∴x=﹣2是函数f （x ）的极大值点，x=2是函数f （x ）的极小值点．
例题10、（2010年全国）已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.
1) f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-4x+1)=0, x=2+√5, 2-√5
x>=2+√5 or x<=2-√5, f'(x)>=0,f(x)单调增
2-√5= 2) 即f'(x)=0在（2，3）中有根 delta=4a^2-4>=0--> a>=1 or a<=-1 因为两根的积为1，因此都需为正根，且一个大于1，另一个小于1. 两根和=2a>0--> a>0, 因此a>1 即(2,3)中只有一根, f'(2)f'(3)<0 (5-4a)(10-6a)<0---> 5/4 综合得： 5/4 例题11、.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-。 （I ）求函数()f x 的解析式；32()22f x x x x =-+- （II ）设函数1 ()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数 ()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. 解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+- ……………4分 （II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+令21 ()34103 g x x x m '=-++= 当函数有极值时，则0?≥，方程21 34103 x x m -++=有实数解，由4(1)0m ?=-≥，得 1m ≤. ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在2 3 x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值 ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211 (21),(21),33x m x m =-=+-(),()g x g x '情 况如下表： 所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值； 当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1 (23 =x 时，()g x 有极小值； 题型四 与不等式有关的恒成立问题 例题12、已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与2 3x =-时，都取得极值 （1）求a ，b 的值 （2）若对[1,2]x ∈-都有1 ()f x c <恒成立，求c 的取值范围 例题13、设函数321 ()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; 在)2,2(a 是减函数 (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。（1，6） 解：(I)f ′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)， 由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x)＞0，故f(x ）在区间（-∞，2）是增函数；？ 当2＜x ＜2a 时，f ′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)是减函数；？ 当x ＞2a 时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(2a ，+∞)是增函数， 综上，当a ＞1时，f(x)在区间（-∞，2）和(2a ，+∞)是增函数，在区间(2，2a)是减函数． (Ⅱ)由(I)知，当x ≥0时，f(x)在x=2a 或x=0处取得最小值， f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a ·2a+24a ，， 由假设知，即， 解得1＜a ＜6， 故a 的取值范围是(1，6)． 变式：设321 ()252 f x x x x =--+ （3） 求函数()f x 的单调区间 （4） 若在区间[1,2]-上存在实数x ，使得()0f x m -<成立，求实数m 的取值范围。 题型五、方程的根及函数的零点问题 ① 方程的根 例题14、 (2009江西文)设函数329 ()62 f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； 3 4 - （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．2a <或52 a > . 解： (1)∵f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-3/2)^2-3/4 又∵f'(x)≥m 恒成立，那么只需满足f'(x)的最小值恒大于等于m 即可 ∴f'(x)min=-3/4 ∴m 的最大值为-3/4 (2)∵f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-1)(x-2) 令f'(x)=0....=>x=1或2 ∴x ∈(-∞，1]∪[2，+∞)时，f'(x)≥0...即f(x)为增 x ∈(1，2)时，f(x)为减函数 又∵f(x)=0有且仅有一个实根，说明与x 轴只有1个交点 那么就需要满足： f(1)>0....=>>0....=>a<2.5 f(2)>0....=>2-a>0.....=>a<2 ∴a<2 f(1)<0....=>a>2.5 f(2)<0....=>a>2 ∴a> 例题15、（2006四川）已知函数()()()3'31,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数 （Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图像与直线3y =只有一个公共点 解：（Ⅰ）由题意，，令，-1≤a ≤1， 对-1≤a ≤1，恒有g(x)＜0，即，∴，解得； 故时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)＜0； （Ⅱ）， ①当m=0时，的图象与直线y=3只有一个公共点； ②当m ≠0时，列表： ∴，又∵f(x)的值域是R ，且在上单调递增， ∴当x ＞|m|时函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点； 当x ＜|m|时，恒有，由题意得，即， 解得；综上，m 的取值范围是。 例题16、（2008四川卷）（本小题满分14分） 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。 （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围 解：（Ⅰ），， x=3是函数的一个极值点，∴，∴a=16； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x ∈（-1，+∞）， ，令f ′(x)=0，得x=1，x=3，f ′(x)和 f(x)随x 的 变化情况如下： ∴f(x)的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减， ∴ ， ， 又 时，f(x)→-∞；x →+∞时，f(x)→+∞； 可据此画出函数y=f(x)的草图（图略），
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