《钢结构基础》习题参考答案
3.1题：
答：（1）按制作方法的不同分为型钢截面和组合截面两大类。型钢截面又可分为热轧型钢和冷弯薄壁型钢两种。组合截面按连接方法和使用材料的不同，可分为焊接组合截面（焊接截面）、铆接组合截面、钢和混凝土组合截面等。（2）型钢和组合截面应优先选用型钢截面，它具有加工方便和成本较低的优点。 3.7题：
解：由附录1中附表1可得I20a 的截面积为3550mm 2，扣除孔洞后的净面积为
3249275.213550A n =??-=mm 2。工字钢较厚板件的厚度为11.4mm ，故由附录4可
得Q235钢材的强度设计值为215f =N/mm 2，构件的压应力为
2155.1383249
10450A N 3n <≈?==σN/mm 2，即该柱的强度满足要求。
新版教材工字钢为竖放，故应计入工字钢的自重。 工字钢I20a 的重度为27.9kg/m ，故
19712.19.8169.27N g =???=N ；
构件的拉应力为215139.113249
1971
10450A N N 3n
g <≈+?=+=σN/mm 2，即该柱的强度满足
要求。 3.8题： 解：1、初选截面
假定截面钢板厚度小于16mm ，强度设计值取215f =，125f v =。 可变荷载控制组合：24kN .47251.410.22.1q =?+?=， 永久荷载控制组合：38.27kN 250.71.410.235.1q =??+?=
简支梁的支座反力（未计梁的自重）129.91kN ql/2R ==，跨中的最大弯矩为
m 63kN .1785.547.248
1
ql 81M 22max ?≈??==，梁所需净截面抵抗矩为
36
x max nx 791274mm 215
1.051063.178f M W ≈??==γ，
梁的高度在净空方面无限值条件；依刚度要求，简支梁的容许扰度为l/250，参照表3-2可知其容许最小高度为
229mm 24
550024l h min ≈==
， 按经验公式可得梁的经济高度为
347mm 3007912747300W 7h 33x e ≈-=-=，
由净截面抵抗矩、最小高度和经济高度，按附录1中附表1取工字钢 I36a ，相应
的截面抵抗矩3
nx 791274m m 875000W >=，截面高度229mm 360h >=且和经济高度
接近。按附录1中附表5取窄翼缘H 型钢 HN400×150×8×13，截面抵抗矩
3nx 791274m m 942000W >=，截面高度229mm 400h >=。
普通工字钢梁翼缘的外伸宽度为
63m m 2/)10136(b 1=-=，13f /2351399.315.863
t b y 1=<≈=
，故翼缘板的局部稳定可以保证，且截面可考虑部分塑性发展。 窄翼缘型钢梁的翼缘的外伸宽度为
71m m 2/)8150(b 1=-=，13f /2351346.51371
t b y 1=<≈=，故翼缘板的局部稳定可
以保证，且截面可考虑部分塑性发展。 2、验算截面
（1）普通工字钢I36a 截面的实际几何性质计算：
27630mm A =，4x m 157600000m I =，3x 875000mm W =， 307m m S I x x =，
梁自重估算，由荷规附录A 得钢的重度为78.5kN/m 3，梁的自重为
m /719kN .05.782.1107630g -6≈???=，修正为 m /60kN .05.78107630g -6≈??=
自重产生的跨中最大弯矩为
m 2.72kN 5.51.260.081
M 2g ?≈???=，式中1.2为可变荷载控制组合对应的荷载分
项系数。跨中最大总弯矩为
m 35kN .18172.263.178M x ?=+=，
A 点的最大正应力为
16)8.15(t 215N/mm f 39.197875000
1.051035.181max 26
<==<≈??=σ
B 点的最大剪应力为
131.89kN 2/5.5)1.260.024.47(V max ≈??+=
16)8.15(t 125N/mm f 42.9610
30710131.89max 2v 3<==<≈??=τ
故由以上分析可知，该普通工字钢等截面钢梁满足强度要求。 （2）窄翼缘型钢HN400×150×8×13截面的实际几何性质计算：
27112mm A =，4x m 188000000m I =，3x 942000mm W =，
梁自重估算，由荷规附录A 得钢的重度为78.5kN/m 3，梁的自重为
m /670kN .05.782.1107112g -6≈???=，修正为 m /56kN .05.78107112g -6≈??=
自重产生的跨中最大弯矩为
m 2.54kN 5.51.256.081
M 2g ?≈???=，式中1.2为可变荷载控制组合对应的荷载分
项系数。跨中最大总弯矩为
m 17kN .18154.263.178M x ?=+=，
16)13(t 215N/mm f 183.17942000
1.051017.181max 26
<==<≈??=σ
B 点的最大剪应力为
131.76kN 2/5.5)1.256.024.47(V max ≈??+=，面积矩可近似计算如下 32x 517201m m 2/8)13200()2/132/400(13150S =?-+-??=，
16)8.135(t 125N/m m f 45.318
1088.151720110131.76max 2v 8
3<==<≈????=τ 故由以上分析可知，该窄翼缘型钢等截面钢梁满足强度要求。
比较普通工字钢和窄翼缘型钢可发现，在相同的计算条件下采用窄翼缘型钢更加经济。 3.9题：
解：强度验算部位：A 点的最大正应力；B 点的最大剪应力；C 点的折算应力；D 点的局部压应力和折算应力。
300kN P R ==，m 600kN 2300M max ?=?=，
梁截面的相关参数：212000mm 2102808800A =??+?=，
433x mm 1259920000)800272-820(28012
1
I =??=
， 腹板轴线处的面积矩
31774000mm 200840040510280S =??+??=，腹板边缘处的面积矩 31134000mm 40510280S =??=。梁的自重标准值
1.1304kN/m
2.15.781012000g -6=???=（也可按课本的方法计算，此处直接采用荷
规附录A 提供的重度），
m 16.956kN 1.2101.13048
1
M 2g ?=???=，跨中最大总弯矩
m 956kN .616956.16600M x ?=+=。
由于翼缘自由外伸的宽厚比为，13fy 235136.1310
28
280=>=?-，故取x 对轴的部分塑性发展系数0.1x =γ。
16)10(t 215N/mm f 77.2001259920000
1.041010616.956max 26<==<≈???=σ
B 点的最大剪应力为：
306.78kN 2/101304.12.1300V max ≈??+=
16)8(t 125N/m m f 99.538
12599200001774000
1078.306max 2v 3<==<≈???=τ
C 点的折算应力为：
m 610.85kN 1.221304.15.0278.306M 2?≈???-?=，
304.07kN 21304.12.1306.78V ≈??-=， 2334.21N/mm 8125992000011340001007.304≈???=τ，
2693N/mm .1931259920000
40010610.85≈??=σ，折算应力为
222ZS 236.5N/mm 1f .178.2023=<=+=τσσ。
D 点的局部压应力和折算应力
215Mpa f mm /250N 150
8103000.1l t F
23
z w c =>=???==ψσ；
D 点正应力为压应力，其值大小为293N/mm .193=σ；剪应力向下，大小为
234.21N/mm =τ。代入折算应力计算公式可得，
22c 2c 2ZS 236.5N/mm 1f .1234.813=<=+-+=τσσσσσ，即D 点的折算应力满足
强度要求，但局部压应力不满足强度要求。
故由以上分析可知，该焊接工字型等截面钢梁不满足强度要求。
3.10题： 解：1、初选截面
假定截面钢板厚度小于16mm ，强度设计值取215f =，125f v =，简支梁的支座反力（未计梁的自重）750kN P/2R ==，跨中的最大弯矩为
m 3000kN 4750M max ?=?=，梁所需净截面抵抗矩为
376
x max nx mm 103289.1215
1.05103000f M W ?≈??==γ，
梁的高度在净空方面无限值条件；按经验公式可得梁的经济高度为
1358mm 300101.32897300W 7h 373x e =-?=-=，
考虑到梁截面高度大一些，更有利于增加刚度，初选梁的腹板高度为1400m m h w =。腹板厚度按支点处最大剪力需要确定，
43mm .6125
1400107505.1f h 1.5V t 3
v w w ≈???==，按经验公式估算
40mm .3111400
11
h t w w ≈=
=
，故选用腹板厚度为10mm t w =。 修正为：10.76mm 1.076cm 11
14011h t w
w =≈==，故选用腹板厚度为10mm t w =。 按近似公式计算所需翼缘板面积
27w w w x 7159mm 6
1400
101400103289.16h t h W bt ≈?-?=-=，初选翼缘板宽度为400mm ，
则所需厚度为9mm .17400
7159
t ≈=
。考虑到公式的近似性和钢梁的自重作用等因素，选用20mm t =。梁翼缘的外伸宽度为
195m m 2/)10400(b 1=-=，
13f /2351375.920
195t b y 1=<==，故翼缘板的局部稳定可以保证，且截面可考虑部分塑性发展。 2、验算截面
截面的实际几何性质计算：
230000mm 220400101400A =??+?=，
41033x mm 101.0353)1400390-1440(40012
1
I ?≈??=
， 3710
x mm 101.4379720
101.0353W ?≈?=，
腹板轴线处的面积矩
36mm 1013.83501070071020400S ?=??+??=，
腹板边缘处的面积矩
36mm 1068.571020400S ?=??=。
梁自重估算，由荷规附录A 得钢的重度为78.5kN/m 3，梁的自重为
m /826kN .25.782.11030000g -6=???=，自重产生的跨中最大弯矩为
m 13kN .2781.2826.281
M 2g ?≈???=，式中1.2为可变荷载控制组合对应的荷载分
项系数。跨中最大总弯矩为
m 3027.13kN 13.273000M x ?=+=，
A 点的最大正应力为
16)20t (205N/mm f 50.20010
4379.11.051013.30272
7
6>==<≈???=翼缘处σ B 点的最大剪应力为
56kN .7632/8826.22.1750V max ≈??+=
16)10t (125N/mm f 96.5910
101.03531013.81056.7632v 10
63<==<≈?????=腹板处τ C 点的折算应力为
2
10
6204.67N/mm 10
0353.17001013.3027≈???=σ，
2106389N/mm .4110
101.03531068.51056.763≈?????=τ，
按能量理论的折算应力为
)1610(236.5N/mm 1f .1217.153222ZS <==<=+=t 腹板边缘处τσσ。
故由以上分析可知，该焊接工字型等截面钢梁满足强度要求。 3.11题：
解：由附录1的附表1可得I45a 的截面积为10200mm 2，单位质量为80.4kg/m ，抵抗矩为1430000mm 3，翼缘平均厚度18mm>16mm ，钢材的强度设计值为205N/mm 2，由表3-3得工字钢绕强轴的截面塑性发展系数为1.05。钢梁自重标准值m /788kN 8.94.80g ≈?=，跨中处的最大弯矩为
m 26kN .45P .061.20.78881
225P .0M 2x ?+=???+?=，
验算强度有（假定P 为设计值），
26
x x n N/mm 50200004311.0510)4.26(0.5P 102001000W M A N =≤??++?=+f P nx γ， 即502003.38.526
P 2.10P ≤++，02.162431P .0≤， 可得469.01kN P ≤。
4.9题：要求按照等稳定条件确定焊接工字型截面轴心压杆腹板的高厚比。钢材为Q235，杆件长细比为100=λ，翼缘有火焰切割和轧制边两种。计算结果请与规范规定作对比。
解： 轴心压杆的弹性模量修正系数为，
.18287.0)10206/(235))10206/(2351000248.01(1001013.0/)/0248.011013.03
32222≤=?????-??=-=E
f E f y y λλη（
由表4-4，翼缘为火焰切割边的焊接工字型截面的强弱轴均为b 类截面，而翼缘为轧制边的焊接工字型截面的弱轴为c 类截面，故由杆件长细比查附表17-2和17-3得轴心受压构件的稳定系数分别为0.555和0.463。故翼缘为火焰切割边的焊接工字型截面轴心压杆腹板高厚比为，
75235
)
5.025(20.82]235555.0)3.01(12102068287.043.1[])1(1243.1[5.02325.0min 220
=+>=??-????=-?=y
y w f f E t h λπ?νπη；
局部稳定性：
13235
235132351306.9162/)10300(1==<≈-=y f t b 翼缘为轧制边的焊接工字型截面轴心压杆腹板高厚比为，
75235
)
5.025(00.90]235463.0)3.01(12102068287.043.1[])1(1243.1[5.02325.0min 220
=+>=??-????=-?=y
y w f f E t h λπ?νπη；
局部稳定性：
13235
235132351375.5202/)10240(1==<=-=y f t b 注意：本题等稳定条件为板件的临界应力和构件的临界应力相等，而不是前面所述的关于x 和y 等稳定系数
4.10验算图示焊接工字形截面轴心受压构件的稳定性。钢材为Q235钢，翼缘为火焰切割边，
沿两个主轴平面的支撑条件及截面尺寸如图所示。已知构件承受的轴心压力为N=1500kN 。
解：由支承条件可知
0x 12m
l =，
0y 4m
l =
2
3364
x 1150012850025012225012476.610mm
12122I +??=??+??+???=? ??? 3364
y 5001821225031.310mm 1212I =?+???=?
2
225012*********mm A =??+?=
x 21.8cm i ===
，y 5.6cm
i ===
0x x x 1200
5521.8l i λ===，0y y y 40071.45.6l i λ===，
翼缘为火焰切割边的焊接工字钢对两个主轴均为b 类截面，故按y λ
查表得=0.747?
整体稳定验算：3
150010200.8MPa 215MPa 0.74710000N f A ??==<=?，稳定性满足要求。
4.13
图示一轴心受压缀条柱，两端铰接，柱高为7m 。承受轴心力设计荷载值N=1300kN ，钢
材为Q235。已知截面采用2[28a ，单个槽钢的几何性质：A=40cm2，iy=10.9cm ，ix1=2.33cm ，
Ix1=218cm4，y0=2.1cm ，缀条采用∟45×5，每个角钢的截面积：A1=4.29cm2。试验算该柱的
整体稳定性是否满足？
解：柱为两端铰接，因此柱绕x 、y 轴的计算长度为：
0x 0y 7m
l l ==
22
4
x x10262221840 2.19940.8cm 22b I I A y ????
????=+-=+-=???? ? ?????????????
x 11.1cm i =
== 0x x
x 70063.111.1l i λ=== 0y y y 70064.210.9l i λ===
0x 65.1λ===
格构柱截面对两轴均为b 类截面，按长细比较大者验算整体稳定既可。 由0x
65.1λ=，b 类截面，查附表得0.779?=， 整体稳定验算：3
2
130010208.6MPa 215MPa 0.77924010N f A ??==<=???
所以该轴心受压的格构柱整体稳定性满足要求。
7.12解：①钢材为Q235钢，焊条为E43型，则角焊缝的强度设计值
w 2
f 160N/mm f =。
肢背焊缝：
fmin fmax 5.6mm
1.2 1.21012mm h h t =====?= ，可取
f 8mm
h =，
肢尖焊缝：()()fmin fmax 5.6mm
1~2101~28~9mm h h t ====-=-= ，可取f 6mm h =。 图示连接为不等肢角钢长肢相连，故K1=0.65，K2=0.35。
焊缝受力：110.65540351kN N K N ==?=
220.35540189kN
N K N ==?= 所需焊缝计算长度，肢背：3
1w1w
f1f 35110195.9mm 20.720.78160N l h f ?===????
肢尖：
32w2
w f2f 18910140.6mm 20.720.76160N l h f ?===????
侧面焊缝实际施焊长度，肢背：
1w1f12195.928211.9mm l l h =+=+?=，取220mm ；
肢尖：
2w2f22140.626152.6mm
l l h =+=+?=，取160mm 。
②连接板和端板间焊缝的计算长度：w f 12f f
223402l l h d d h h =-=+-=-
fmin fmax 6.7mm 1.2 1.21416.8mm h h t =====?=，因此可取f 7mm
h =。
12170mm
d d +=，拉力N 通过焊缝群的形心，将N 沿焊缝长度方向和垂直于焊缝长度方向分解：
(
)()12sin 540299.5kN sin 540449.3kN N N N N αα===↓===→平行于焊缝长度方向的力：垂直于焊缝长度方向的力：
()()213
N 2
f
e w 3
N 1
f
e w 449.310140.6MPa 0.77234027299.51093.7MPa 0.77234027N h l N h l στ
?===???-??===???-?∑∑
2w 2
f 148.5N/mm 160N/mm
f ==≤=
所以连接板和端板间焊脚尺寸f 7mm
h =满足要求。
③当12150mm 190mm d d ==，时，力N 不通过焊缝群的形心，将N 向形心平移，焊缝群受力为：
(
)()122sin 540299.5kN sin 540449.3kN 499.30.028.986kN m N N N N M N e αα===↓===→==?=?平行于焊缝长度方向的力：垂直于焊缝长度方向的力：弯矩：
()
3
4
w 0.7734027214147106mm 12I ??-?=?=
()()3
w w 1214147106
83218mm 21501902
I W d d ===++
()()
3
3
2f e w w 3
1
f e w 449.3108.98610140.7MPa
0.7723402783218299.51093.7MPa
0.77234027N M h l W N h l στ??=+=+=???-??===???-?∑∑
2w 2
f 148.6N/mm 160N/mm f ==≤=
所以由②确定的焊脚尺寸满足要求。
7.14解：①支托承力，螺栓仅承受弯矩作用
单个螺栓的抗拉承载力：2
2
b b
e t
t 3.1417.6517041.57kN
44d N f π?==?=
螺栓群所受弯矩1500.230kN m M Pe ==?=?
旋转中心为最底排螺栓处，第一排螺栓受力最危险，单个螺栓受到的最大拉力为：
3b
1t 2222
301030032.14kN<41.57kN 2(100200300)t i My N N m y ??====∑?++ 所以此连接安全。
②支托不承力，则螺栓群承担剪力和弯矩的作用
单个螺栓的抗剪承载力：22b
b v v v 3.1420114044.0kN
44d N n f π?==??= 单个螺栓的抗压承载力：
b b
c c 2018305109.8kN
N d t f =∑?=??=
每个螺栓承担的剪力：v 15018.75kN 8V N n =
== 最危险的螺栓受到的拉力：32.14kN
t N =
0.881==<
所以此连接安全。
7.15
解：查表得10.9级M22摩擦型高强螺栓的预拉力
P=190kN ，
接触面喷砂，查得摩擦系数0.5μ=。
①对于角钢与牛腿相连的一肢上螺栓群的受力：剪力V=P=175kN ，
扭矩()1750.20.05525.4kN m T Pe ==?-=?。 单个高强度摩擦型螺栓的抗剪承载力设计值： ()b v f 0.90.920.5190171kN N n P μ==???=有两个剪面
假设角钢与牛腿相连的一肢上布置3个高强度摩擦型螺栓，螺栓的排列如
图所示。
最外侧一排螺栓受力最危险，其受力为：
剪力作用下每个螺栓承担的剪力：
()1y V
17558.3kN 3V N n ===↓
扭矩作用下最外排螺栓承担的剪力：()1x 3T
122
25.410100127kN 2100i
Ty N y ??===→?∑ 摩擦型高强螺栓在剪力作用下：
b
1v 139.7kN 171kN
N N =
==<=
所以此螺栓布置方式满足要求。
②角钢与柱翼缘相连一肢上的螺栓群的受力：剪力V=P=175kN ，
弯矩1750.235kN m M Pe ==?=?
假设布置6个螺栓，单个高强度摩擦型螺栓的抗剪承载力设计值：
()b v f 0.90.910.519085.5kN N n P μ==???=有一个剪面 单个螺栓的抗拉承载力设计值： b t 0.80.8190152kN
N P ==?=
若支托承力，高强度螺栓仅承受弯矩作用，此时旋转中心在螺栓群
形心处，
最外排螺栓受到的拉力最大：
3M b
1t t 22
351010087.5kN<152kN 22100i My N N m y ??====∑??
若支托不承力，高强度螺栓同时承受剪力和弯矩的作用， 每个螺栓受到的剪力：
V 17529.1kN
6V N n === 最外排螺栓受到的拉力： M t 87.5kN
N =
高强度摩擦型螺栓在剪力和拉力联合作用下： t v b b t v 87.529.10.916115285.5
N N N N +=+=≤
50
100 100 50
角钢与牛腿相连一肢的螺栓排列
角钢与柱翼缘相 连一肢的螺栓排
此螺栓布置符合要求。
4.17焊接简支工字形梁如图所示，跨度为12m ，跨中6m 处梁上翼缘有简支侧向支撑，材料为
Q345钢。集中荷载设计值为P=330kN ，间接动力荷载，验算该梁的整体稳定是否满足要求。如果跨中不设侧向支撑，所能承受的集中荷载下降到多少？
解：①梁跨中有一个侧向支承点 11600021.413280l t ==>，需验算整体稳定
跨中弯矩
x 33012
990kN m 44PL M ?=
==?
3264
x 1
81000228014507268210mm 12I =??+???=? 334
y 10001821428051264000mm 1212I =?+???=
2
2280141000815840mm A =??+?=
y 56.89cm
i ===
0y y y 6000105.4799
56.89l i λ===>=，所以不能用近似公式计算b ?
6
3
x x 12682105218015.6mm 514I W y ?===
查附表15，跨度中点有一个侧向支承点、集中荷载作用在截面高度高度上任意位置，
b 1.75β=
b b b
2y x y 2
432023543201.75 1.520.6105.47Ah W f ?βηλ??=??
=?=> 需对b ?进行修正，b b 1.070.282 1.070.2821.520.884?'=-=-= 6
x b
x 99010214.6MPa 310MPa 0.8845218015.6M f W ??==<='?
该梁的整体稳定性满足要求。 ②梁跨中没有侧向支承点
0y y y 12000210.94
56.89
l i λ===
11112000140.586 2.0
2801024
l t b h ξ?===
梁跨中无侧向支承点，集中荷载作用在上翼缘，则有： b 0.730.180.730.180.5860.835βξ=+=+?=
b b b 2y x y 2
432023543200.8350.205210.94Ah W f ?βηλ??
=??
=?=
x x
x b x 310MPa 331.6kN m 0.2055218015.6M M f M W ?=≤=?=??
x 44331.6110.5kN
12M P L ?===
所以，如果跨中不设侧向支撑，所能承受的集中荷载下降到110.5kN 。
4.18题：如图所示两焊接工字型简支梁截面，其截面积大小相同，跨度均为12m ，跨间无侧向支承点，均布荷载大小相同，均作用于梁的上翼缘，钢材为Q235，试比较说明何者稳定性更好。
解： 均布荷载作用，受弯构件的弯扭失稳，计算其整体稳定性。 （1）、梁的跨中最大弯矩：2max 8
1
M ql =；梁的几何特征参数如下：
mm l l l y x 12000000===；221600101200216300mm A =?+??=；
493310989.4)12002901232300(12
1
mm I x ?=?-?=
； 3
6910099.81232210989.42mm h I W x x ?=??==；mm A I i x x 6.4802160010989.49=?==； 47331021.7)101200230016(12
1
mm I y ?=?+??=
； 3
5710807.430021021.72mm h I W y y
y ?=??==；mm A I i y y 8.5721600
1021.77=?==；
61.2078
.5712000
0≈=
=
y
y y i l λ； 梁的整体稳定系数b ?，52.01232
30016
12000111≈??==
h b t l ξ，758.013.069.0=+=ξβb ，
2928
.0235235]0)12324.41661.207(1[10099.832212160061.2074320758.0235
])4.4(1[432026
2212≈?+??+?????
=++=y b
y x
y b b f h t W Ah ηλλβ?；
m kN f W M x b ?≈???=≤85.50921510099.82928.06max ?，
mm N m kN l q /33.28/33.281285
.5098M 82
2max max =≈?==
。 （2）、梁的跨中最大弯矩：2max 81
M ql =；梁的几何特征参数如下：
mm l l l y x 12000000===；221600101200220240mm A =?+??=；
493310013.5)12002301240240(12
1
mm I x ?=?-?=
； 36910086.81240
210013.52mm h I W x x ?=??==；
473310618.4)101200224020(12
1
mm I y ?=?+??=
； 35710848.3240
2
10618.42mm h I W y y
y ?=??==；
mm A
I i y y 2.4621600
10618.47
=?=
=
；74.2592.46120000≈==y y y i l λ； 求整体稳定系数b ?，807.01240
24020
12000111≈??==
h b t l ξ， 795.0807.013.069.0=?+=b β，
2120
.0235235]0)12404.42074.259(1[10086.812402160074.2594320795.0235])4.4(1[432026
2212≈?+??+?????
=++=y b
y x
y b
b f h t W Ah ηλλβ?；
m kN f W M x b ?≈???=≤42.35120510086.82120.06max ?，
mm N l q /52.191242
.3518M 82
2max max ≈?==
。 由以上计算结果，可比较得出第一种截面类型的稳定性更好。
4.19题：一跨中受集中荷载工字型截面简支梁，钢材为Q235B .F ，设计荷载为P=800kN ，梁的跨度及几何尺寸如图所示。试按以下两种要求布置梁腹板加劲肋，确定加劲肋间距。①不利用屈曲后强度；②利用屈曲后强度。
解：结构受横向荷载作用，故按受弯构件的板件稳定复核计算。 ①不利用屈曲后强度： 梁翼缘的宽厚比：
13235137.10202/)12440(1=<=-=y
f t b ； 梁的腹板高厚比：y
w y f t h f 235
150
3.13312160023580
0<==<（受压翼缘扭转未受到约束），故应按计算配置横向加劲肋，但不必配置纵向加劲肋。
在集中荷载和支座荷载作用处配置支承加劲肋，其余处配置横向加劲肋，其间距为mm a 2000=（225.15.00
≤=≤
h a
）。 236800220440121600mm A =??+?=，故简支梁的自重标准值为，
m kN g k /889.25.7810368006≈??=-，设计集中荷载为800kN ，故可忽略自重荷载的影
响，当然也可考虑自重的影响。
4103310564.1)16004284061404(12
1
mm I x ?≈?-?=
； 371010790.11640
210564.12mm h I W x x ?≈??==；
腹板区格A 的局部稳定验算：
区格A 左端的内力：kN l 400V =，m kN l ?=0M ；
区格A 右端的内力：kN r 400V =，m kN r ?=?=8002400M ；
近似地取校核应力为：2
7
6/95.4110
907.110800mm N W M x r ≈??==σ，
23
0/83.2012
160010400mm N t h V w l ≈??==τ； 由于简支梁的受压翼缘扭转未受到约束，
25.1871.0235
15312/160085.0<≈=
b f λ， 2/77.201205)]85.0871.0(75.01[)]85.0(75.01[mm N f b cr =?-?-=--=λσ； 2.1157.1235 ) /(434.541/8.02 00<≈+= s f a h t h λ， 2/72.94120)]8.0157.1(59.01[)]8.0(59.01[mm N f v s cr =?-?-=--=λτ； 0.1092.0)72 .9483.20()77.20195.41()()( 2 22,2<=+=++cr cr c c cr ττσσσσ。 通理可做腹板区格B 的局部稳定验算， 腹板区格B 的局部稳定验算： 区格B 左端的内力：kN l 400V =，m kN l ?=800M ； 区格B 右端的内力：kN r 400V =，m kN r ?=?=16004400M ； 近似地取校核应力为：27 6/93.6210907.1210)1600800(2mm N W M M x r l ≈???+=+=σ， 23 0/83.2012 1600104002/)(mm N t h V V w r l ≈??=+=τ； 0.1146.0)72 .9483.20()77.20193.62()()( 222,2<=+=++cr cr c c cr ττσσσσ。 支承加劲肋的设计： ②利用屈曲后强度： 4103310564.1)16004284061404(12 1 mm I x ?≈?-?= ； 371010790.11640 210564.12mm h I W x x ?≈??==； m kN mm N f h A M f f ?=??≈????==292310923.2205810204402291； 05.1=γ（截面塑性发展系数） ，871.0235 153 /0≈=y w b f t h λ； 983.0)85.0871.0(82.01)85.0(82.01≈-?-=--=b λρ； ()997.010564.1212800)983.01(121110 33 ≈????--=-- =x w c e I t h ρα； m kN f W M x e eu ?=????==50.409220510907.1997.005.17γα； 利用腹板屈曲后的强度，故可试取mm a 4000=，0.15.2/0>=h a ， () () 330.1235 235 4000/1600434.54112 /1600235 /434.541/2 2 00≈?+= +=y w s f a h t h λ； kN f t h V s v w u 82.1997330 .1120 1216000≈??= = λ； 区格A 左截面的局部稳定验算： f l M M <=0；kN V l 400=； 136.0182.19975.04002 <≈?? ? ??-? kN V r 400=；f r M m kN M 136.0182.19975.04002 <≈?? ? ??-? 计算支座加劲肋时，由于8.0330.1>=s λ，需考虑水平力H 的影响。 2.1330.1>=s λ，222/62.743 3.1/1201.1/1.1mm N f s v cr ≈?==λτ； N h a t h V h a N H w w cr u s 1521621)1600/4000(1)16001262.741082.1997()/(1)()/(12 3 2 020=+???-?=+-=+=τ； 封头肋板所需截面积为(假定mm e 200=)， mm ef H h A e 8.11133205 200161521621 160036130≈????== 。 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 统计学第四版答案(贾 俊平) 请举出统计应用的几个例子： 1、用统计识别作者：对于存在争议的论文，通过统计量推出作者 2、用统计量得到一个重要发现：在不同海域鳗鱼脊椎骨数量变化不大，推断所有各个不同海域内的鳗鱼是由海洋中某公共场所繁殖的 3、挑战者航天飞机失事预测 请举出应用统计的几个领域： 1、在企业发展战略中的应用 2、在产品质量管理中的应用 3、在市场研究中的应用④在财务分析中的应用⑤在经济预测中的应用 你怎么理解统计的研究内容： 1、统计学研究的基本内容包括统计对象、统计方法和统计规律。 2、统计对象就是统计研究的课题，称谓统计总体。 3、统计研究方法主要有大量观察法、数量分析法、抽样推断法、实验法等。④统计规律就是通过大量观察和综合分析所揭示的用数量指标反映的客观现象的本质特征和发展规律。 举例说明分类变量、顺序变量和数值变量： 分类变量：表现为不同类别的变量称为分类变量，如“性别”表现为“男”或“女”，“企业所属的行业”表现为“制造业”、“零售业”、“旅游业”等，“学生所在的学院”可能是“商学院”、“法学院”等 顺序变量：如果类别有一定的顺序，这样的分类变量称为顺序变量，如考试成绩按等级分为优、良、中、及格、不及格，一个人对事物的态度分为赞成、中立、反对。这里的“考试成绩等级”、“态度”等就是顺序变量。 数值变量：可以用数字记录其观察结果，这样的变量称为数值变量，如“企业销售额”、“生活费支出”、“掷一枚骰子出现的点数”。 定性数据和定量数据的图示方法各有哪些： 1、定性数据的图示：条形图、帕累托图、饼图、环形图 2、定量数据的图示： a、分组数据看分布：直方图 b、未分组数据看分布：茎叶图、箱线图、垂线图、误差图 c、两个变量间的关系：散点图 d、比较多个样本的相似性：雷达图和轮廓图 直方图与条形图有何区别： 1、条形图中的每一个矩形表示一个类别，其宽度没有意义，而直方图的宽度则表示各组的组距。 2、由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。 3、条形图主要用于展示定性数据，而直方图则主要用于展示定量数据。 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行描述： 1、数据的水平，反映数据的集中程度 2、数据的差异，反映各数据的离散程度 3、分布的形状，反映数据分布的偏态和峰态 说明平均数、中位数和众数的特点及应用场合： 平均数也称为均值，它是一组数据相加后除以数据的个数而得到的结果。平均数是度量数据水平的常用统计量，在参数估计以及假设检验中经常用到。 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 钢结构(第三版)戴国欣主编__课后习题答案 第三章钢结构的连接 3.1 试设计双角钢与节点板的角焊缝连接（图3.80）。钢材为Q235B，焊条为E43型，手工焊，轴心力N=1000KN（设计值），分别采用三面围焊和两面侧焊进行设计。 解：（1）三面围焊 确定焊脚尺寸： ，， 内力分配： 焊缝长度计算： ， 则实际焊缝长度为，取310mm。 ， 则实际焊缝长度为，取 120mm。 （2）两面侧焊 确定焊脚尺寸：同上，取， 内力分配：， 焊缝长度计算： ， 则实际焊缝长度为: ，取390mm。 ， 则实际焊缝长度为: ，取260mm。 3.2 试求图3.81所示连接的最大设计荷载。钢材为Q235B，焊条为E43型，手工焊，角焊缝焊脚尺寸，。 焊脚尺寸： 焊缝截面的形心： 则 （1）内力分析：V=F，（2）焊缝截面参数计算： （3）应力计算 T引起的应力： V引起的应力： （4） 3.3 试设计如图3.82所示牛腿与柱的连接角焊缝①、②、③。钢材为Q235B，焊条为E43型，手工焊。 （1）内力分析：V=F=98KN， （2）焊缝截面参数计算：取 焊缝截面的形心： （3）应力计算 M引起的应力： V引起的应力： （4） 3.4 习题3.3的连接中，如将焊缝②及焊缝③改为对接焊缝（按三级质量标准检验），试求该连接的最大荷载。 （1）内力分析：V=F， （2）焊缝截面参数计算： （3）应力计算 M引起的应力： V引起的应力： （4） 3.5 焊接工字形梁在腹板上设一道拼接的对接焊缝（图3.83），拼接处作用有弯矩，剪力V=374KN，钢材为Q235B钢，焊条用E43型，半自动焊，三级检验标准，试验算该焊缝的强度。 （1）内力分析：V=374KN， （2）焊缝截面参数计算： function FindProxyForURL(url, host){ if(isPlainHostName(host)) return 'DIRECT'; if(!shExpMatch(url, 'http*')) return 'DIRECT'; var ip = dnsResolve(host); // no dns result if(!ip) return 'PROXY 127.0.0.1:8083;'; // ipv6 if(shExpMatch(ip, '*:*')) return 'DIRECT'; // local else if(isInNet(ip,'127.0.0.0','255.0.0.0')) return 'DIRECT'; else if(isInNet(ip,'10.0.0.0','255.0.0.0')) return 'DIRECT'; else if(isInNet(ip,'192.168.0.0','255.255.0.0')) return 'DIRECT'; else if(isInNet(ip,'172.16.0.0','255.240.0.0')) return 'DIRECT'; else if(isInNet(ip,'169.254.0.0','255.255.0.0')) return 'DIRECT'; // video rules else if(shExpMatch(url, '*.flv')) return 'PROXY ' + host + 'https://www.doczj.com/doc/6818527466.html,:8081;'; else if(shExpMatch(url, '*.mp4')) return 'PROXY ' + host + 'https://www.doczj.com/doc/6818527466.html,:8081;'; else if(shExpMatch(url, 'http:*/flv/*.flv?*&key=*')) return 'PROXY ' + host + 'https://www.doczj.com/doc/6818527466.html,:8081;'; else if(shExpMatch(url, 'http:*/mp4/*.f4v?*&key=*')) return 'PROXY ' + host + 'https://www.doczj.com/doc/6818527466.html,:8081;'; else if(shExpMatch(url, '*.flv?start=*')) return 'PROXY ' + host + 'https://www.doczj.com/doc/6818527466.html,:8081;'; else if(shExpMatch(url, '*.mp4?start=*')) return 'PROXY ' + host + 'https://www.doczj.com/doc/6818527466.html,:8081;'; else if (isInNet(ip, '58.154.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '58.192.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '58.194.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '58.196.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '58.198.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '58.200.0.0','255.248.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.64.0.0','255.252.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.68.0.0','255.252.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.72.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.74.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.76.0.0','255.255.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.77.0.0','255.255.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '59.78.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '110.64.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '111.114.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '111.116.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; else if (isInNet(ip, '111.186.0.0','255.254.0.0')) return 'DIRECT'; （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 《钢结构基础》习题参考答案 3.1题： 答：（1）按制作方法的不同分为型钢截面和组合截面两大类。型钢截面又可分为热轧型钢和冷弯薄壁型钢两种。组合截面按连接方法和使用材料的不同，可分为焊接组合截面（焊接截面）、铆接组合截面、钢和混凝土组合截面等。（2）型钢和组合截面应优先选用型钢截面，它具有加工方便和成本较低的优点。 3.7题： 解：由附录1中附表1可得I20a 的截面积为3550mm 2，扣除孔洞后的净面积为3249275.213550A n =??-=mm 2。工字钢较厚板件的厚度为11.4mm ，故由附录4可得Q235钢材的强度设计值为215f =N/mm 2，构件的压应力为2155.1383249 10450A N 3n <≈?==σN/mm 2，即该柱的强度满足要求。 新版教材工字钢为竖放，故应计入工字钢的自重。 工字钢I20a 的重度为27.9kg/m ，故 19712.19.8169.27N g =???=N ； 构件的拉应力为215139.113249 197110450A N N 3n g <≈+?=+=σN/mm 2，即该柱的强度满足要求。 3.8题： 解：1、初选截面 假定截面钢板厚度小于16mm ，强度设计值取215f =，125f v =。 可变荷载控制组合：24kN .47251.410.22.1q =?+?=， 永久荷载控制组合：38.27kN 250.71.410.235.1q =??+?= 简支梁的支座反力（未计梁的自重）129.91kN ql/2R ==，跨中的最大弯矩为m 63kN .1785.547.248 1ql 81M 22max ?≈??==，梁所需净截面抵抗矩为 36x max nx 791274mm 215 1.051063.178f M W ≈??==γ， 梁的高度在净空方面无限值条件；依刚度要求，简支梁的容许扰度为l/250，参照表3-2可知其容许最小高度为 229mm 24 550024l h min ≈==， 按经验公式可得梁的经济高度为 347mm 3007912747300W 7h 33x e ≈-=-=， 由净截面抵抗矩、最小高度和经济高度，按附录1中附表1取工字钢 I36a ，相应的截面抵抗矩3nx 791274mm 875000W >=，截面高度 229mm 360h >=且和经济高度接近。按附录1中附表5取窄翼缘H 型钢 HN400×150×8×13，截面抵抗矩3nx 791274mm 942000W >=， 截面高度229mm 400h >=。 普通工字钢梁翼缘的外伸宽度为 63mm 2/)10136(b 1=-=，13f /2351399.315.8 63t b y 1=<≈=，故翼缘板的局部稳定可以保证，且截面可考虑部分塑性发展。 第三章节:数据的图表展示 (1) 第四章节:数据的概括性度量 (15) 第六章节:统计量及其抽样分布 (26) 第七章节:参数估计....................................................... (28) 第八章节:假设检验........................................................ (38) 第九章节:列联分析........................................................ (41) 第十章节:方差分析........................................................ (43) 3．1 为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100个家庭构成的一个样本。服务质量的等级分别表示为：A．好；B．较好；C一般；D．较差；E.差。调查结果如下： B E C C A D C B A E D A C B C D E C E E A D B C C A E D C B B A C D E A B D D C C B C E D B C C B C D A C B C D E C E B B E C C A D C B A E B A C E E A B D D C A D B C C A E D C B C B C E D B C C B C 要求： (1)指出上面的数据属于什么类型。 顺序数据 (2)用Excel制作一张频数分布表。 用数据分析——直方图制作： 接收频率 E16 D17 C32 B21 A14 (3)绘制一张条形图，反映评价等级的分布。 用数据分析——直方图制作： (4)绘制评价等级的帕累托图。 逆序排序后，制作累计频数分布表： 1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")((" 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 第1章统计和统计数据 1.1 指出下面的变量类型。（1）年龄。（2）性别。（3）汽车产量。 （4）员工对企业某项改革措施的态度（赞成、中立、反对）。（5）购买商品时的支付方式（现金、信用卡、支票）。详细答案：（1）数值变量。（2）分类变量。（3）数值变量。（4）顺序变量。（5）分类变量。 1.2 一家研究机构从IT从业者中随机抽取1000人作为样本进行调查，其中60%回答他们的月收入在5000元以上，50%的人回答他们的消费支付方式是用信用卡。 （1）这一研究的总体是什么？样本是什么？样本量是多少？（2）“月收入”是分类变量、顺序变量还是数值变量？（3）“消费支付方式”是分类变量、顺序变量还是数值变量？详细答案： （1）总体是“所有IT从业者”，样本是“所抽取的1000名IT从业者”，样本量是1000。（2）数值变量。 （3）分类变量。 1.3 一项调查表明，消费者每月在网上购物的平均花费是200元，他们选择在网上购物的主要原因是“价格便宜”。 （1）这一研究的总体是什么？ （2）“消费者在网上购物的原因”是分类变量、顺序变量还是数值变量？详细答案：（1）总体是“所有的网上购物者”。（2）分类变量。 1.4 某大学的商学院为了解毕业生的就业倾向，分别在会计专业抽取50人、市场营销专业抽取30、企业管理20人进行调查。 （1）这种抽样方式是分层抽样、系统抽样还是整群抽样？（2）样本量是多少？详细答案：（1）分层抽样。（2）100。 第3章用统计量描述数据 偏度 1.08 极差26 最小值15 最大值41 从集中度来看，网民平均年龄为24岁，中位数为23岁。从离散度来看，标准差在为6.65岁，极差达到26岁，说明离散程度较大。从分布的形状上看，年龄呈现右偏，而且偏斜程度较大。 3.2 某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间，准备采用两种排队方式进行试验。一种是所有顾客都进入一个等待队列；另一种是顾客在3个业务窗口处列队3排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，两种排队方式各随机抽取9名顾客，得到第一种排队方式的平均等待时间为7.2分钟，标准差为1.97分钟，第二种排队方式的等待时间（单位：分钟）如下： 5.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.8 7.8 (1)计算第二种排队时间的平均数和标准差。 (2)比两种排队方式等待时间的离散程度。 (3)如果让你选择一种排队方式，你会选择哪一种？试说明理由。 详细答案： （1）（岁）；（岁）。 （2）；。第一中排队方式的离散程度大。 （3）选方法二，因为平均等待时间短，且离散程度小。 如图2-34所示钢材在单向拉伸状态下的应力－应变曲线，请写出弹性阶段和非弹性阶段的σε-关系式。 tgα'=E' f y 0f y 0tgα=E 图2-34 σε-图 （a ）理想弹性－塑性 （b ）理想弹性强化 解： （1）弹性阶段：tan E σεαε==? 非弹性阶段：y f σ=（应力不随应变的增大而变化） （2）弹性阶段：tan E σεαε==? 非弹性阶段：'()tan '()tan y y y y f f f E f E σεαεα=+- =+- 如图2-35所示的钢材在单向拉伸状态下的σε-曲线，试验时分别在A 、B 、C 卸载至零，则在三种情况下，卸载前应变ε、卸载后残余应变c ε及可恢复的弹性应变y ε各是多少 2235/y f N mm = 2270/c N mm σ= 0.025F ε= 522.0610/E N mm =?2'1000/E N mm = f y 0σF 图2-35 理想化的σε-图 解： （1）A 点： 卸载前应变：5235 0.001142.0610y f E ε===? 卸载后残余应变：0c ε= 可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-= （2）B 点： 卸载前应变：0.025F εε== 卸载后残余应变：0.02386y c f E εε=-= 可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-= （3）C 点： 卸载前应变：0.0250.0350.06'c y F f E σεε-=-=+= 卸载后残余应变：0.05869c c E σεε=-= 可恢复弹性应变：0.00131y c εεε=-= 试述钢材在单轴反复应力作用下，钢材的σε-曲线、钢材疲劳强度与反复应力大小和作用时间之间的关系。 答：钢材σε-曲线与反复应力大小和作用时间关系：当构件反复力y f σ≤时，即材料处于弹性阶段时，反复应力作用下钢材材性无变化，不存在残余变形，钢材σε-曲线基本无变化；当y f σ>时，即材料处于弹塑性阶段，反复应力会引起残余变形，但若加载－卸载连续进行，钢材σε-曲线也基本无变化；若加载－卸载具有一定时间间隔，会使钢材屈服点、极限强度提高，而塑性韧性降低（时效现象）。钢材σε-曲线会相对更高而更短。另外，载一定作用力下，作用时间越快，钢材强度会提高、而变形能力减弱，钢材σε-曲线也会更高而更短。 钢材疲劳强度与反复力大小和作用时间关系：反复应力大小对钢材疲劳强度的影响以应力比或应力幅（焊接结构）来量度。一般来说，应力比或应力幅越大，疲劳强度越低；而作用时间越长（指次数多），疲劳强度也越低。 试述导致钢材发生脆性破坏的各种原因。 答：（1）钢材的化学成分，如碳、硫、磷等有害元素成分过多；（2）钢材生成过程中造成的缺陷，如夹层、偏析等； （3）钢材在加工、使用过程中的各种影响，如时效、冷作硬化以及焊接应力等影响；（4）钢材工作温度影响，可能会引起蓝脆或冷脆；（5）不合理的结构细部设计影响，如应力集中等；（6）结构或构件受力性质，如双向或三向同号应力场；（7）结构或构件所受荷载性质，如受反复动力荷载作用。 解释下列名词： （1）延性破坏 延性破坏，也叫塑性破坏，破坏前有明显变形，并有较长持续时间，应力超过屈服点fy 、并达到抗拉极限强度 第七章 练习题参考答案 7.1 （1）已知σ=5，n=40，x =25，α=0.05， z 05.0=1.96 样本均值的抽样标准差 σ x =n σ= 79.040 5 = （2）估计误差（也称为边际误差）E= z 2 α n σ =1.96*0.79=1.55 7.2（1）已知σ=15，n=49，x =120，α=0.05， z 05.0=1.96 （2）样本均值的抽样标准差 σ x =n σ= =4915 2.14 估计误差E= z 2 α n σ=1.96* =4915 4.2 （3）由于总体标准差已知，所以总体均值μ的95%的置信区间为： n x z σ α ± =120±1.96*2.14=120±4.2，即（115.8,124.2） 7.3（1）已知σ=85414，n=100，x =104560，α=0.05， z 05.0=1.96 由于总体标准差已知，所以总体均值μ的95%的置信区间为： n x z σ α ± =104560±1.96* =100 85414104560±16741.144即（87818.856,121301.144） 7.4（1）已知n=100，x =81，s=12， α=0.1， z 2 1.0=1.645 由于n=100为大样本，所以总体均值μ的90%的置信区间为： n s x z 2 α±=81±1.645* =100 1281±1.974，即（79.026,82.974） （2）已知α=0.05， z 2 05.0=1.96 由于n=100为大样本，所以总体均值μ的95%的置信区间为： n s x z 2 α±=81±1.96* =100 1281±2.352，即（78.648,83.352） （3）已知α=0.01， z 2 01.0=2.58 由于n=100为大样本，所以总体均值μ的99%的置信区间为： 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； 第二章 1．钢结构和其他材料的结构相比具有哪些特点？ 答（1）强度高，塑性和韧性好（2）钢结构的重量轻（3）材质均匀，和力学计算的假定比较符合（4）钢结构制作简便，施工工期短（5）钢结构密闭性较好（6）钢结构耐腐蚀性差（7）钢材耐热但不耐火（8）钢结构在低温和其他条件下，可能发生脆性断裂，还有厚板的层状撕裂，应引起设计者的特别注意。 2.《钢结构设计规范》（GB500l7—2003）（以下简称《规范》）采用什么设计方法？ 答：《规范》除疲劳计算外，均采用以概率理论为基础的极限状态设计方法，用分项系数的设计表达式进行计算。 3.什么是极限状态？钢结构的极限状态可分为哪两种？各包括哪些内容？ 答：当结构或其组成部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求时，此特定状态就称为该功能的极限状态。 4.钢结构的极限状态可分为：承载能力极限状态与正常使用极限状态。 （1)承载能力极限状态：包括构件和连接的强度破坏、疲劳破坏和因过度变形而不适于继续承载，结构和构件丧失稳定，结构转变为机动体系和结构倾覆。 （2)正常使用极限状态：包括影响结构、构件和非结构构件正常使用或外观的变形，影响正常使用的振动，影响正常使用或耐久性能的局部损坏（包括混凝土裂缝）。 5.结构的可靠性与结构的安全性有何区别? 建筑结构的可靠性包括安全性、适用性和耐久性三项要求。结构可靠度是结构可靠性的概率度量，其定义是：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率，称为结构可靠度 6.钢结构设计的基准期是多少?当结构使用超过基淮期后是否可继续使用? 规定时间：一般指结构设计基准期，一般结构的设计基准期为 50年，桥梁工程的设计基准期为100年。设计基准期（design reference period）：为了确定可变作用及与时间有关的材料性能等取值而选用的时间参数。※设计使用期与设计使用寿命的关系：当结构的设计使用年限超过设计基准期时，表明它的失效概率可能会增大，但并不等于结构丧失所要求的功能甚至报废。规定条件：指正常设计、正常施工、正常使用条件，不考虑人为或过失因素 8.简述建筑钢结构对钢材的要求、指标，规范推荐使用的钢材有哪些？ 1.较高的强度。 2.足够的变形能力。 3.良好的加工性能。 此外，根据结构的具体工作条件，在必须是还应该具有适合低温、有害介质侵蚀（包括大气锈蚀）以及重复荷载作用等的性能。《钢结构设计规范》（GB 50017-2003)推荐的普通碳素结构钢Q235钢和低合金高强度结构钢Q345、Q390及Q420是符合上述要求的。 9.衡量材料力学性能的好坏，常用那些指标？它们的作用如何？ 1.强度性能： 2.塑性性能 3.冷弯性能 4.冲击韧性 10.哪些因素可使钢材变脆，从设计角度防止构件脆断的措施有哪些？ 从理论角度来讲影响钢材脆性的主要因素是钢材中硫和磷的含量问题；如果你的工艺路线不经过热处理那么这个因素影响就小一些；如果工艺路线走热处理这一步（含锻打，铸造）那么这个影响就相当的明显；就必须采取必要的措施；1；设计选材上尽量避开对热影响区和淬火区敏感的材料；2不得已而用之的话那么就要在工艺上采取预防措施；建议你再仔细查阅一下金属材料学；3设计过程中采取防脆断措施如工艺圆角；加强筋；拔模等；有很多；建议你查阅机械设计手册中的工艺预防措施和手段； 11.碳、硫、磷对钢材的性能有哪些影响？、碳(C)：钢中含碳量增加，屈服点和抗拉强度升高，但塑性和冲击性降低，当碳量0.23%超过时，钢的焊接性能变坏，因此用于焊接的低合金结构钢，含碳量一般不超过0.20%。碳量高还会降低钢的耐大气腐蚀能力，在露天料场的高碳钢就易锈蚀；此外，碳能增加钢的冷脆性和时效敏感性。4、磷(P)：在一般情况下，磷是钢中有害元素，增加钢的冷脆性，使焊接性能变数值分析课后题答案
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