中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理
蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
蝴蝶定理的证明
（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单
几何方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于
EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=?
得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB :V V ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??:，AUM MVC ∠=∠
则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1]
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○
1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即
PC'CQ =。又
111
CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222
∠∠（）（）
故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠
而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。
证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有
FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF
??= 由上述两式相乘，并注意到
NA ND NC NB ?=?
得22
FM AN ND BF CF BF CF
ME AE ED BN CN AE ED
?=???=?
()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME
-==-+--
化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令
DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y
αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由
FCM AME EDM FMB
FCM EDM FMB AME
S S S S 1S S S S ???????????=，
即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ
αγβδ
???????????=????????
化简得 ()()()()222
222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+??-====
??-+- 即 222
222x y a y a x -=-，
从而 ,ME MF x y ==。
证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对
MBC ?和MAD ?分别应用张角定理，有
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+，
上述两式相减，得
()()()1
1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD
MA MB βααβ??+-=--- ?
???? 设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα
-==?-=-==?-=
于是 ()1
1sin 0
MF ME αβ??+-= ???，
而180αβ+≠?，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。
（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
()2
22
x y a R ++=。
直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x =。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ??++-+--=?????
?
令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，
由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为
()
2
22x a y r -+=
直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x
=。
又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4
i i x y i =，
则14x x 、分别是二次方程
()
()2
2
22222
212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。AD 在y 轴上的截距为
()()24111121441
1111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----?=-=
---。 同理，BC 在y 轴上的截距为
()1223
32
k k x x x x --。
注意到12x x 、是方程
()2
2
221
120k x
ax a r +-+-=的两根，34x x 、是方程()2
2222120k x ax a r +-+-=的
两根，所以
34
12221234
2x x x x a
x x a r x x ++==-，从而易得 34121234
x x x x
x x x x +=--，
即ME MF =。
证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。因C F B 、、三点共
线
，
令
BMx CMx αβ
∠=∠=，，
则
()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα??
??
-
+-=- ? ??
???
即 ()
C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ
-=
- ○1
()
A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ
-=- ○2
作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ?与Rt OVM ?可得
D C
B A cos cos ρρρραβ
--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。
用解析法对蝴蝶定理再推广
定理：已知AB 是垂直于圆锥曲线对称轴的任意一弦,O 为AB 上任意一点,过O 作两弦CD 、EF,
连CF 、DE 分别交AB 于点P 、Q,则
1111PO
QO
AO
BO
-=-
证明:仅对椭圆给出证明,以O 为原点,直线AB 为x 轴建立直角坐标糸,如图1,设椭圆方程为
2
2
2
2
()()1(0)x m y n a b a
b
--+
=>>
直线CD 方程为：1y k x =,直线EF 方程为 2y k x =,1122,(,),(,)(,),(,)00A
B
A x
B x
C x y
D x y ,
3344(,),(,)
E x y
F x y .由
1
2
2
2
2
2
2
()()y k x b x m a y n a b
=-+-=??
?,消去y
得:222222222222
11()2()0b a k x b m a k n x b m a n a b +-+++-=
22
112222
1
2222221222212()
b m a k n b a k b m a n a b b a k x x x x ++?+-+?+=????=??
2222221222
1212()
b m a n a b b m a k n x x x x +-=+?+ ① 同理得 222222
22
343422()
b m a n a b
b m a k n x x x x +-=++ ②
设P(p,0),Q(q,0),则由C 、P 、F 三点共线知
1111214424
1124
()x p k x k k x x P x p
k x k x k x --=
?=
--,
同理由D 、Q 、E 共线得: 12231223
()k k x x q k x k x -=
-
又
1111p q PO
QO
p
q
pq
+-
=-
-
=-
141213231124121234
()()
()x x k x k x x x k x k x k k x x x x -
-+-=-
由①②得：
2
2
2
2
2112
12
34
34
()()b m a k n b m a k n x x x x x x x x ++=
++
化简整理得：[][]2
2
14121323112423411423()()()()a n x x k x k x x x k x k x b m x x x x x x x x -+-=---
故
2
3
4
1
1
4
2
3
1
2
1
2
3
4
2
2
()()
11()x x x x x x x x PO
QO
k k x x x x
b m a n =
----
--? 2
2
3412221234123412121111()()x x x x b m
b m a n k k x x x x a n k k x x x x ++--=?+--=?---????
? ?????
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
12122()
2()a n k k b m
b m a n k k b m a n a b
b m a n a b
?
---=
=
-+-+- ③
而
A B x m x m ==+
2
2
2
2
2
2
2
11112A
B
A B A B
x x mb
AO
BO
x
x
x x b m a n a b
+--
=-
-
=-
=
?+-∴
④
由③④得：
1111PO
QO
AO
BO
-
=
- 证毕。在圆、双曲线、抛物线中类似可证。
注：当O 为AB 中点，圆锥曲线为圆时,此性质即为著名的蝴蝶定理。