专题三第三讲解三角形
一．重要公式
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 = = =2R 其中R 是三角形外接圆的半径．
2.余弦定理及其推论
a 2＝_________________，
b 2＝________________，
c 2＝________________. cos A ＝ ，cos B ＝_____________，cos C ＝____________. 3.三角形面积公式
S △ABC =_________=_________=_________. 二．典例分析
热点考向 一 三角形中的求值与证明
1.锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，设B ＝2A ，则b
a
的取值范围是( )
(A)(－)
2.(2012·西城模拟)在△ABC 中，a=15，b=10,∠A=60°，则cos B=( )
(A)3-
(B) 3
(C) 3 (D)- 3
3.已知ABC ?的面积为
2，3
ABC π
∠=，则ABC ?的周长为（ ）
(A)3 (B) 2+
4.(2012·新课标全国卷)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边，acos asin C-b-c=0. (1)求A ；
(2)若a=2，△ABC b,c.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ． (1)求cos A ；
热点考向 二 三角形形状的判断
6.(2012·泉州模拟)已知△ABC 的三个内角满足：sin A=sin Ccos B,则三角形的形状为( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
7.(2012·哈尔滨模拟)已知△ABC ，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin ac A BA BC <,则( ) (A)△ABC 是钝 (B)△ABC 是锐角三角形 (C)△ABC 可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 (D)无法判断 8.在△ABC 中，若
cos sin cos sin a c B A
b c A B
-=
-，试判断△ABC 的形状．
热点考向 三 解三角形应用举例
9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里
10．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ的值等于( )
A.217
B.22
C.32
D.5714
专题三第三讲解三角形答案
DCA
5．解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，
即cos(B ＋C )＝13-，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13
. (2)由于0＜A ＜π，cos A ＝1
3
，所以sin A
＝3.
又S △ABC
＝
1
sin 2
bc A =bc ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13. 解方程组22
613bc b c =??
+=?，，得23b c =??=?，，或32.
b c =??=?，
BA 8.
得 所以 所以
所以a 2＝b 2，即a ＝b.即△ABC 为等腰三角形． C D a ccos B sin A b ccos A sin B --＝sin A sin Ccos B sin A
sin B sin Ccos A sin B -=
-()()
sin B C sin Ccos B sin A
sin A C sin Ccos A sin B +-+-＝
sin Bcos C sin A sin Acos C sin B
＝
专题三第三讲解三角形巩固与提高
1. 在ABC ?中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的范围是：( ） A.0,
6π?? ??? B.,6ππ?????? C. 0,3π?? ???
D. ,3ππ??
????
A.5
B.25
D. 25
3.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B ，则sin Acos A+cos 2
B=( ) (A)-
1
2
(B)
12
(C)-1
(D)1
4.(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2
A+sin 2
B ＜sin 2
C ，则△ABC 的形状是( ) (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形
(D)不能确定
5.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若A=
3
π
,b=1,△ABC 的面积为2，则a 的值为( )
(A)1 (B)2 (C)
2
6.(2012·湖南高考)在△ABC 中，BC=2，B=60°，则BC 边上的高等于( )
(A)
2
(B)
2
(C)
2
(D)
4
7.(2012·蚌埠模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，设向量m =(a+b,sin C)，
n a+c,sin B-sin A).若m ∥n ，则角B 的大小为( ) (A)
6
π (B)
56
π (C)π3 (D)
23
π
8.在ABC 中若a =2b =,sin cos B B +则角A 的大小为 .
9. 在△ABC 中，sin 2
C sin A sin B +sin 2
B ，a b ，则角
C =
10.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km. 11．已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x x x -==，设函数x f ?=)(. （Ⅰ）求函数()f x 在3[0,
]2
π
上的单调递增区间； （Ⅱ）在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若1)6
2sin()(=-
+π
A A f ，
7=+c b ，ABC ?的面积为32，求边a 的长．
12.(2012·合肥模拟)函数f(x)=Asin (ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<2
π
)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π
,且图象上一个最低点为P(23π,-2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)在△ABC 中，若f(A
2
,求边BC.
13.(2012·泰安模拟)在△ABC 中，角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且满足2acosB=bcos C+ccos B. (1)求角B 的大小； (2)求函数f(A)=2sin 2
(A+4π)-cos (2A+6
π
)的最大值及取得最大值时的A 值.
14．已知函数21
()cos cos 2
f x x x x =-
。 （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A B C 、、，若()16
f A π
-
=，BC =，
sin B =
，求AC 的长。
15．已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ?=. （Ⅰ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对应边长，若()32
A f =， 且2a =，求b c +的取值范围．
专题三第三讲解三角形巩固与提高答案
CADAD BB
6π 6
π
1
11.解：（Ⅰ）由题意得2
1cos 2()sin cos 22x f x x x x x -=-=
- 1sin(2)26x π=
-+ 令3222262
k x k πππ
ππ+≤+≤+
,Z k ∈ 解得：26
3
k x k π
π
ππ+
≤≤+
，Z k ∈30,2x π??
∈????
，263x ππ∴≤≤，或7362x ππ≤≤
所以函数()f x 在3[0,
]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ??
????
…………………6分 （Ⅱ）由1)62sin()(=-
+π
A A f 得：1)62sin()62sin(21=-++-ππA A 化简得：2
1
2cos -=A 又因为02A π<<，解得：3π=A ,由题意知：32sin 2
1
==?A bc S ABC ，解得8=bc ，
又7=+c b ,所以2222
2cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)25=-??+=
12.(1)由题意知T=2π
ω
=π,得ω=2,又图象上一个最低点为P(
23π,-2)，故A=2且f(23
π)=2sin (
43π+φ)=-2，则sin (43π+φ)=-1，即43π+φ=2k π+32
π
,k ∈Z, 所以φ=2k π+6π,k ∈Z,又|φ|<2π,故φ=6π,所以f(x)=2sin (2x+6
π
).
(2)f(A 2)=2sin (A+6π
,故A+6π =3π或23π，所以A=6π或2π.
当A=6π时，BC 2=AC 2+AB 2
-2AC ·ABcos A=1+3-2×1
×cos 6π=1,即BC=1.
当A=2
π时，BC 2=AC 2+AB 2
=1+3=4，即BC=2.
13.(1)2acos B=bcos C+ccos B,∴2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, ∴2sin Acos B=sin (B+C)=sin A,∴cos B=
12,∴B=3
π. (2)f(A)=2sin 2
(A+
4π)-cos (2A+6π)=1-cos (2A+2π)-cos (2A+6
π
cos 2A+12sin 2A =1+
32
sin (2A-6
π
) 又∵△ABC 中B=3π,∴0 π 时，f(A)取最大值. f(A)max . 1cos 21114.()2cos 22sin(2)2226 x f x x x x x π+= +-=+=+ ()()(1),26 2 26 k T x k k z x k z π π ππ ππ=+ =+ ∈= +∈由得对称轴方程为 (2)()1,sin[2()]1,sin(2)1,22666662 f A A A A k k z ππ π π ππ π?? - =-+=-=∴-=+∈ ?? ?得即 ( )0,,7,sin 3 3 sin sin AC BC A k k z A A BC B B A π π ππ ∴=+ ∈<<∴= == =又又 sin 2sin BC B AC A = = =得 2215.(1)02cos cos ,2cos cos 2sin(2)1 6 (2) 3,sin 1,0263,2sin()4sin 36m n x x x y y x x x x A f A A A b B c C b c B C B B B π ππππππ=+-=+=++∴??? ?=+=<<∴= ? ???? ?= =∴+=+=+? -=+?由得即最小正周期为则由正弦定理得(]210, sin ,1,2,43 62B B b c π π???? ???∈∴+∈∴+∈ ? ? ? ???????? 解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角. 例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）． 解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 1．（10分） 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决 定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图) 4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：， ）． 数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】 三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin( 其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos 4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值. 3 5 6 1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB . 解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135） 三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=； （2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答. （1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；解三角形题型总结
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