定积分的概念
编稿：赵雷 审稿：李霞
【学习目标】
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
【要点梳理】
要点一、定积分的定义 定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =
），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,
,i i n x =L ，作和式： 1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n x x ==-=
D =
邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ?
?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常
数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b
a
S f x dx
=
ò，
定积分的相关名称：
——叫做积分号，
()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，
x ——叫做积分变量，
a ——叫做积分下限，
b ——叫做积分上限，
[a ，b]——叫做积分区间。 要点诠释： （1）定积分
()b
a
f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ?
?时）
记为
()b
a
f x dx
ò，而不是n S ．
(2) 定积分是一个数值（极限值）
，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积
分变量用什么字母表示无关，即()()()b
b b
a
a
a
f x dx f u du f t dt ===
?
??（称为积分形式
的不变性），另外定积分
()()b
a
f x d x ?
与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积
分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如1
20
(1)x dx +?
与3
20
(1)x dx +?的值就不同。
（3）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x x -?
；
③求和：
1
()n
i i b a
f n x =-?； ④取极限：
()
1
()l i m
n
b
i n
a
i
b a
f x dx f n
x =-=?ò （4）按定积分的定义，
① 由连续曲线()[()0]y f x f x =≥、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积为
()d b
a
f x x ?
；
② 设物体运动的速度v=v （t ），则此物体在时间区间[a ，b]内运动的距离s 为()d b
a
v t t ?
。
要点二、定积分的几何意义 定积分
()b
a f x dx ò的几何意义：
从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有
()0f x 3，那么定积分()b
a f x dx
ò表示由直线
,(),0x a x b a b y
==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯
形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b
a f x dx ò的几
何意义。
一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ò的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线
,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取
负号。
要点诠释：
（1）当()0f x ≥时，积分
()d b
a
f x x ?
在几何上表示由()y f x =、x=a 、x=b 与x
轴所
围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b 时，有
()d 0b
a
f x x =?
，如图（a ）。
（2）当()0f x ≤时，由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分
()d b
a
f x x ?
在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数。
所以[()]d ()b b
a
a
S f x x f x S =
-=-=-??
，即()d b
a
f x x S =-?，如图（b ）。
（3）当()f x 在区间[a ，b]上有正有负时，积分
()d b
a
f x x ?
在几何
上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方
面积取负号）。在如右图所示的图象中，定积分
132()d b
a
f x x S S S =+-?
。
要点三、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1：()d ()b
b
a a
k f x x k f x kS ==?
?；
性质2：
[()()]d ()()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x g x x ±=±??
?；
性质3：定积分关于积分区间具有可加性。 如右图：
()d ()d ()d b
c
b
a
a
c
f x x f x x f x x =+?
??（其中b c a <<）。
要点诠释：
性质1： 被积函数常数因子可以提到积分号前。
性质2：函数代数和（或差）的定积分等于它们的定积分的代数和（或差）。同时，这个
性质可推广到有限多个函数代数和（或差）的情形。
性质3： 不论a ，b ，c 三点的相互位置如何，恒有
()d ()d ()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+?
??。这表明定积分对于积分区间具有可
加性。
可以用右图直观地表示出来，即S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB 。
【典型例题】
类型一、利用定积分求曲边梯形面积
例1 利用定积分的定义求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积。
【思路点拨】根据求积分的定义对曲边梯形：①分割；②近似代替；③求和；④取极限。 【解析】 如图所示。 （1）分割。
把要求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，
用分点
1n n +， 2
n n
+，…，(1)n n n +-把区间[1，2]等分成n 个小区间， 11,n n +??????，12,n n n n ++??????，…，1,n i n i n n +-+??????，…，(1),2n n n +-??????
， 每个小区间的长度为11
n i n i x n n n
++-?=
-=，
过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n 。
（2）近似代替。
取各小区间的左端点i ξ，用以点i ξ的纵坐标3
()i ξ为一边，以小区间长1
x n
?=
为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为：
3
3
11
()i i n i S x n n
ξ+-???≈??=? ???（i=1，2，3，…，n ）
。 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩
形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即3
1111
n n
n i i i n i S S n n ==+-??=?≈? ??
?∑∑ ①。
（3）求和。
当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S 。因此，n →+∞即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。因为：
3
33223
441111111(1)[(1)3(1)3(1)]
n
n n n i i i n i S n i n n i n i i n n n n ===+-??=?=+-=-+-+-+ ??
?∑∑∑ 224
1(1)1(1)33(1)3(1)(1)(21)(1)264n n n n n n n n n n n n +??=
-+-?+-??+?+++????
。 （4）取极限。
322
1111111111lim lim 131********n n n n S S n n n n n n →∞→∞??+???????????
???==-+?-?+-??+?+++??
? ? ? ? ? ???
??????????????
3115
11244
=+++=。
【总结升华】
（1）根据定义求曲边梯形面积的步骤：
①分割；②近似代替；③求和；④取极限。
（2）求和时首先可提取公因式
1
n
，再将和式进行处理。 （3）从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形的面积相
差越来越小；当n →+∞时，小矩形组成部分近似于曲边梯形，因此可以将15
4
视为直线x=1、x=2、y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积。 举一反三：
【变式】求由y=3x 、x=0、x=1、y=0围成的图形的面积S 。 【答案】（1）分割
把区间[0，1]等分成n 个小区间：1,i i n n -??
?
???
（i=1，
2，…，n ）。每个小区间长度为1x n ?=，把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i （i=1，2，…，n ）。
（2）近似代替
用小矩形面积近似代替小梯形面积。
211133(1)i i i S f x i n n n n --??
?≈?=??=- ?
??
（i=1，2，…，n ）。 （3）求和
221
1
33
3131(1)[012(1)]122n n
n i i i n S S i n n n
n n ==-??
=?≈-=++++-=
?=- ???
∑∑
。 （4）取极限 当n 趋向于+∞时，
3112n ??- ???趋近于32，∴所求图形的面积S 为3
2
。 类型二、利用定积分定义求运动物体的路程
【高清课堂：定积分的概念385551 问题二】
例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s=vt 。如果汽车做
变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t)=－t 2+2（单元：km / h ），那么它在0≤t ≤1（单位：h ）这段时间内行驶的路程s （单位：km ）是多少？
【思路点拨】首先准确理解题意：所求路程就是速度在0≤t ≤1上的积分。 【解析】 （1）分割
在时间区间[0，1]上等间隔地插入n －1外小分点，将它等分成n 个小区间：
10,n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -??????，记第i 个区间为1,i i n n -??
????
（i=1，2，…，n ），其长度为11i i t n n n -?=
-=，把汽车在时间段10,n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -??
?
???
上行驶的路程分别记作：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，则显然有1
n
i
i s s
==
?∑。
（2）近似代替：
当n 很大，即Δt 很小时，在区间1,i i n n -??
?
???
上，函数v （t ）=－t 2+2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点1i n -处的函数2
112i i v n n --????
=-+ ? ?????
。从物理意义上看，就是汽车在时间段1,i i n n -??
?
???
（i=1，2，…，n ）上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2
112i i v n n --????
=-+ ? ?????
做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是
22
111112
'2i i i i i s s v t n n n n n n ??---???????≈?=??=-+?=-?+?? ? ? ???????????
（i=1，
2，…，n ） ①。 （3）求和：由①得
2
2
11111111
02n n
n i i i i n s s v t n n n n n n ==--??
????=?=?=-?-?--?+ ?
? ???
????∑∑ 22
21111[12(
1)]21123
32n n n n ?
???
=-
+++-+=-
--+ ? ????
?
。 （4）取极限：
11115
lim lim 11223233n n n s s n n →∞→∞??????==---+=-+= ??????
?????，
所以这段时间内行驶的路程s 是
5
3
km 。 【总结升华】 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整（分割）为零，积零为整（逼近）的思想方法。 举一反三：
【变式】 已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v 是时间t 的函数v （t ），写出物体
在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s 的求法。
【答案】 （1）分割
将时间区间[0，t 0]分成n 等份：
001,i i t t n
n -??
????（i=1，2，…，n ）， 每个小区间所表示的时间为0
t t n
?=
，
各小区间物体运动的路程记作Δs i （i=1，2，…，n ）。 （2）近似代替
在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程：
在小区间001,i i t t n n -??
?
???
上任取一时刻i ξ（i=1，2，…，n ）
。用时刻i ξ的速度()i v ξ近似代替第i 个小区间上的速度。由匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的路
程可以近似地表示为
()i i s v t ξ?≈?（i=1，2，…，n ）。
（3）求和
因为每个小区间上物体运动的路程可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t 0]范围物体运动的路程s ，就可以用这一物体分别在n 个小区间上做n 个匀速直线运动的路程和近似代替。
即1
1
()n n
i
i
i i s s v t ξ===
?≈?∑∑。 ①
（4）取极限
当所分时间区间愈短，即0
t t n
?=愈小时，和式①的值就愈接近s 。因此，当n 趋向于+∞，即0
t t n
?=
趋向于0时，和式①无限趋近于s ，所以s 就是所求的物体在时间区间[0，t 0]上所经过的路程。
类型三、定积分的几何意义 例3． 用定积分的几何意义求：
（1）
1
(32)d x x +?；
（2）
32
2sin d x x ππ?；
（3）
?
。
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。 【解析】（1）如下图：
阴影部分面积为
(25)17
22
+?=， 从而107(32)d 2
x x +=?。
（2）如右上图：
由于A 的面积等于B 的面积， 从而
32
2
sin d 0x x ππ
=?。
（3）设y =
224x y +=(0,02)y x ≥≤≤，表示半径为2的4
1
个圆，
由定积分的概念可知，0
?
表示如图所示的以2为半径的
4
1
圆的面积,
所以
1
44
ππ=?=?
【总结升华】
（1）利用定积分的几何意义正确画出图形求定积分。
（2）
()d [()0]b
a
f x x f x >?
表示曲边梯形的面积，而上半圆可看做特殊曲边梯形（有两
边缩为点），这里面积易求，从而得出定积分的值。
举一反三：
【变式1】（2015 怀化二模）定积分
x ?
的值为（ ）
A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ．2π
【答案】∵y =
∴(x －1)2+y 2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
∴定积分0
x ?
所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，
∴定积分
4
x π
=
?
，
故选：A 。
【变式2】利用定积分的几何定义求定积分：
（1）?
-a
dx x a 0
22； （2）0
?
【答案】
（1）设22x a y -=
，则222a y x =+)0,0(a x y ≤≤≥表示4
1
个圆，
由定积分的概念可知，所求积分就是4
1
圆的面积,
所以
?
-a
dx x a 0
2
24
2
a π=
（2
）设y 22
16x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形，
其面积2
3
S S S π?=+=+扇形,
故
2
3
π=+?
【变式3】
【高清课堂：定积分的概念385551 例题】
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线） 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对 于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ） A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面 B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面 【答案】A
在0t 时刻，显然甲的曲边图形的面积大于乙，所以甲车在前面，排除C 、D ； 在1t 时刻，甲的曲边图形的面积明显大于乙，故选A. 类型四、定积分定义和性质的灵活运用
例4. 将和式111lim 122n n n n →∞??
++
+
?++??表示为定积分。 【解析】 ∵1
11lim 122n n n n →∞??++
+
?++?
?
1111lim
()12
111n n
n n n
n
→∞=+++
+++
101101
1lim d 11n
n i i
x n x ξ→∞=-=?=++∑?。 【总结升华】 将和式转化为积分形式的关键在于构造出定积分的定义结构，
即
()d lim
()b
i a
n b a
f x x f n
ξ→∞-=?
。
举一反三：
【变式】试将和式222222lim 12n n n n n n n n →∞??
+++
?+++?
?
表示成定积分。
【答案】∵222222lim 12n n n n n n n n →∞??
+++
?+++??
2
2
2111
1
lim ()1211()1()
n n n n n
n
→∞=+++
+++ 122011011
lim d 11n n i i
x n x ξ→∞=-==++∑?。
例5．利用定积分的性质，用定积分表示曲线y=x ―2，
x=y 2所围成的平面区域的面积。
【解析】如图所示，曲线所围成的平面区域的面积S=S A1+S A2，
A 1
：由y =y =x=1围成；
A 2
：由y =
y=x ―2，x=1和x=4围成；
∴1
10(d A x ?=??
；4
21
(2)d A x x ?=-??。
∴1
4
1
2)d S x x x =
++?
?。
【总结升华】 利用定积分求平面图形面积时，可按以下步骤进行：
①画图；②确定积分变量；③求交点，确定积分上、下限；④求定积分，得面积。
举一反三： 【变式1】
直线x=0，y=0，x=2与曲线x
y =所围所的图形的面积用定积分表示为________。
【答案】2
d x S x =
?
。
【变式2】 （2015 会宁县校级模拟）曲线2
y x
=与直线y=x ―1及x=4所围成的封闭图形的面积用定积分表示为
【答案】令x=4，代入直线y=x －1得A （4，3），同理得1(4,)2
C
由
21x x =-，解得x=2
，所以曲线2
y x
=与直线y=x －1交于点B （2，1）
∴S ABC =S 梯形ABEF －S BCEF
而
4
2
2 BCEF
S dx
x
=?
∵
1
(13)24
2
ABEF
S=+?=梯形
∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF－S BCEF=4－
4
2
2
dx
x ?。
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=）， 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。 即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？ （后面解决的问题） 练习 计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=?
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边 梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2
梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 （如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ， 将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区
定积分的概念教案
人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 辅助工具投影展台，几何画板． 教学过程 引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单 位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 创设情境，引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一 段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边梯形的面积？ （1）温故知新，铺垫思想 问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？ 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么 要逐次加倍正多边形的边数？ （2）类比迁移，分组探究 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题？ 学生活动：学生进行分组讨论、探究。 （3）汇报比较，形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识，所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法，通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”，和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望，明确解决问题 的方向。
1.5.3．定积分的概念 一、复习回顾： 1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 2．上述两个问题的共性是什么？ 二、新知探究 1．定积分的概念 注： 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： （3）曲边图形面积： 变速运动路程： 变力做功： 例1：利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.
2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ?b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3．定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥， 那么定积分()b a f x dx ?表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 ()b a f x dx ?的 几何意义。 思考： （1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ?= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b a f x dx ?= （3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b a f x dx ?=
⑤ 练习： 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。 （1） dx x ?20sin π （2）dx x ?-212 （3）dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立 （1） 0sin 22=?-dx x π π ， 0sin 20=?dx x π （2）dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分 （1）dx b a ?1 （2）11x dx -?． （3） 5 0(24)x dx -? （4） dx x ?-1021 （5）120(2)x x dx -? 三、课堂小结： ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义
定积分的概念 教学目标： 知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。 能力目标： 1、理解定积分概念中归纳思维的运用； 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。 素质目标：提升分析与解决问题的能力 教学重点和难点： 教学重点 ：定积分的概念和思想 教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 教学方法： 1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。 教学过程： 一、引入新课 我们已经学过规则平面图形的面积：三角形 四边形 梯形 圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？ 二、讲解新课 实例1曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤： 推 广 为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： O x y y = f (x )
(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的 极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题 解决变速运动的路程的基本思路： 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）取极限 路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念 定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义，任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ
第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 ,
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。
《数学分析》 之九 第九章定积分（14+4学时） 教学大纲 教学要求： 1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2．了解上和与下和及其有关性质 3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5．了解积分第一中值定理 6．掌握变上限积分及其性质 7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法 教学内容： 问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。 第页
此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第页
=i 1 。 则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上 的定积分或黎曼积分，记作： ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义； 连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数 在区间 上可积 .用定义求积分 . 解 取 等分区间 作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解 分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分
第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.
1.5.3 定积分的概念 一、教学目标 1．核心素养 通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标 （1）借助几何直观体会定积分的基本思想； （2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点 定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点 定积分的概念 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设 f (x )＝????? x 2(x ≥0)，2x (x <0)， 则??－1 1f (x )dx 等于（ ） A ．??－11x 2dx B ．??－1 12x d C ．??－10x 2dx ＋??012x dx D ．??－102x dx ＋??01x 2dx 答案：D 2.定积分?1 3 (－3)dx 等（ ）
A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A 3.已知t >0，若??0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（ ） A ．1 B ．－2 C ．－2或4 D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾 求曲边梯形面积的步骤 ①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值； ③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞ =（S 即为曲边梯形的面积） 2．问题探究 问题探究一 什么是定积分？ 学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤： 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<< <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b a f x dx ?.
第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示） ．下面来求该曲边梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . 图5-1 图5-2
（1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x --ΛΛ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将 其作为曲边梯形面积的近似值，即 1 1 ()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 0 1lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i Λ=， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为 ?b a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ， 其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号?b a dx x f )(读作函数()f x 从
第三章导数及其应用 全国卷5年考情图解高考命题规律把握 1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与 函数的性质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的 切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或 已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二 问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参 数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ 和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数 在函数单调性中的应用，总体难度偏大. 第一节导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
定积分的概念 教学目标： 1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征. 2. 理解定积分及几何意义. 3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算 教学过程： 1. 定积分的定义： 2. 怎样用定积分表示： x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？ 31)(102 1 01??===dx x dx x f S 35)2()(102102??=+-==dt t dt t v S 3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如 ?b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积 所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a ==≠==? 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？ 思考：试用定积分的几何意义说明 1.?-2 024dx x 的大小 由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴? dx x 2. 011 3=?-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算01 03=?dx x 的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分 推广到有限个也成立 ???±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和 )()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=???其中 7练习：计算下列定积分?-3 12)2(dx x x
§1.5.3定积分的概念 教学目标： 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 3.理解掌握定积分的几何意义． 教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习： 1． 2二．新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[ ,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D =），在每个小区间 []1,i i x x -上任取一点()1,2, ,i i n x =L ，作和式： 11 ()()n n n i i i i b a S f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ? ）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =ò， 其中 - ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量， [,]a b －积分区间，( )f x dx －被积式。 说明：（1）定积分() b a f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ? 时）记 为 ()b a f x dx ò，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取 点[]1,i i i x x x -?；③求和：1 ()n i i b a f n x =-?；④取极限：() 1 ()l i m n b i n a i b a f x dx f n x =-=?ò （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ò；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =ò ；变力做功 ()b a W F r dr = ò 2．定积分的几何意义