数学教案：运用公式法――完全平方公 式 1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力. 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，运用公式法。 重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式. 教学过程设计 1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
2.3 运用公式法 一、选择题 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（） A．－a4－b4B、－4a2+b2C、1、21－b2D、9a2－16b2 2．下列各式中，能用公式法分解因式的是（） A．a2+2ab－b2B、－a2+2ab+b2; C．a2+ab+b2D、1 4 a2－ab+b2 3．把169（a－b）2－196(a+b)2分解因式得（） A．－784ab B、－(a+b)(27a+b); C、108ab D、－(27a+b)(a+27b) 4、下列分解因式： ①－a2－b2=(－a+b)(－a－b); ②a4b2－16=(a2b+4)(a2b－4); ③a2－16b2=(a+16b)(a－16b); ④(a－b)2－c2=a2－2ab+b2－c2; ⑤1 9 a2－ 2 3 a+1=( 1 3 a－1)2. 其中正确的有（） A．1个B、2个C、3个C、4个 5、如果25m2+k+81n2是一个完全平方式,那么k的值为( ) A、45mn B、90mn C、±45mn D、±90mn 6、下列多项式中,分解因式的结果是－(x+6)×(x－6)的值为( ) A、x2－36 B、－x2－36 C、－x2+36 D、x2+36 二、填空题： 1.多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式 可以是____________。（填上一个你认为正确的即可） 2.利用分解因式计算：1.222×9－1.332×4=_________; 3、 1 16 a4b2－81c2=( )2－( )2=_____________; 4、分解因式:x3－x=_____________; 5、两个连续奇数的平方差是___________的倍数、 6、请写出一个三项式 ．．．,使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解：你编写的三项式是__________,分解因式的结果是__________________________. 三、计算题： 1.分解因式: (1)(2x－1)2－(x+2)2(2)4m2－12mn+9n2; (3)m3+2m2n+mn2(4)－a2c2－c4+2ac3
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
第二章分解因式 3．运用公式法（二） 学生知识状况分析 学生的技能基础：学生对因式分解的概念、方法等有了必要的认识和理解，并在整式乘法的公式中，学生已经学习了完全平方公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。 学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识，本节课采用的活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。 教学任务分析 学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。 教学目标： 知识与技能： （1）使学生了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解； （3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式。 过程与方法：
（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力； （2）培养学生对完全平方公式的运用能力。 情感与态度： 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系。 教学过程分析 第一环节做一做 活动内容：填空： （1）（a+b）（a-b） = ； （2）（a+b）2= ； （3）（a–b）2= ； 根据上面式子填空： （1）a2–b2= ； （2）a2–2ab+b2= ； （3）a2+2ab+b2= ； 结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式。 活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用。 注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系。
公式法教学设计（二） ――完全平方公式 教学设计思想： 利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质. 教学目标 知识与技能： 1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性 2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 过程与方法： 3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法 情感态度价值观： 4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。 教学重点和难点 重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式分解因式. 关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想” 教学用具 多媒体或小黑板 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习 1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2(2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项式是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2. (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x4=(5x2)2，1=12，10x2=2·5x2·1，所以 25x4－10x2+1=(5x－1)2.
运用公式法-----------平方差公式 民乐二中贾默燃 设计理念 数学公式是数学教学中的重要的基础知识，利用公式进行计算是重要的基本技能，长期以来数学公式的教学正在发生变化，教师不在采用直接给出公式，要求学生记忆并进行大量训练的方式，而是逐渐关注公式的发现、产生及应用的全过程。本节课学生采用独立思考、自主探究、合作交流等多种学习方式，使学习变得有趣、生动、深刻和有效。教师注重关注学生对基础知识的理解，在此基础上，设计必要的训练、继而形成技能。 教学目标 知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义，熟练掌握运用平方差公式分解因式。 能力目标：通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，培养学生的逆向思维和推理能力，让学生进一步感受整式乘法与分解因式的互逆关系， 体会数学之间的整体联系。 情感态度与价值观：通过学习用平方差公式分解因式，在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想 方法，培养学生的学习积极性、主动性、增强学生学习数学的信心。重点与难点 重点：理解平方差公式的意义和特征，灵活运用平方差公式分解因式。 难点：将一些单项式化为平方的形式，在用平方差公式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力。 教学方法 本节课通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣。教学过程始终以“自主探究、合作交流”为主线。多层次、多角度探究公式的产生及运 用的全过程。让不同层次的学生参与到教学活动中，感受成功、建 立自信，并在活动过程中尝到与人合作、交流的乐趣。 教学过程：一：创设情境、引入新课 （1）复习确定多项式各项公因式的方法。 （2）练习：把下列多项式分解因式（用多媒体演示） （1）－7ab－14abx+49aby （2）9×10100－10101 （3）9a2－6ab+3a （学生独立完成、分组交流解题方法） 设计意图：通过丰富问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学语言表达能力，有意识地培养学生分析问题、解决问题的能力。 二：自主探究、合作交流 议一议：（1）如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，能否分解因式？ （2）观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同特征？ 猜一猜：能否将它们分别写成两个因式的乘积？并与同伴交流？ 体会：事实上，把乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2反过来，就得到 a2－b2=（a+b）（a－b） （分小组观察、讨论，并用数学语言阐述）
第五课时 ●课题 §2.3.2 运用公式法（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法 观察—发现—运用法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.3.2 A） 第二张（记作§2.3.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 而且还学习了完全平方公式 （a±b）2=a2±2ab+b2 本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式. Ⅱ.新课 1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ ［生］可以. 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
第四课时 ●课题 §2.3.1 运用公式法（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学方法 引导自学法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.3.1 A） 第二张（记作§2.3.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. Ⅱ.新课讲解 ［师］1.请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ ［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解. ［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 ［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因
最新整理初二数学教案运用公式法 2.3运用公式法(第2课时) (一)本课目标 本课时学习运用完全平方公式分解因式的方法,让学生了解公式特点,掌握运用技巧,熟练地运用公式. (二)教学流程 1.情境导入 一块长为a米的正方形实验田,因需要将其边长增加b米,形成四块实验田(如图2-3-4所示),以种值不同的新品种. (多媒体显示题目并动画演示图形变化过程) 互动1 (师):你能用不同的形式表示实验田的总面积吗? (生):可以表示为(a+b)2. (生):若将此田分成四块看:还可以表示为:a2+ab+ba+b2,即a2+2ab+b2. (师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2. (生):还可以表示为a2+2ab+b2=(a+b)2. (师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式: (a+b)2=a2+2ab+b2① a2+2ab+b2=(a+b)2② 第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗? (生):是整式乘法中的完全平方公式的一种. (师):观察这两个式子有何联系? (生):它们是互逆的关系.
(师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程? (生):因式分解. (师):与此类似a2-2ab+b2=(a-b)2也成立. (师):因此我们把a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2看作是因式分解的完全平方公式. (师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. 明确在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公式,并通过整式乘法的完全平方公式的比较,加深对因式分解的完全平方公式的认识.了解运用公式法的意义. 2.解读探究 a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2 互动2 (师):大家观察上式有怎样的结构特点? (生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. (师):在以上公式中涉及几个数或式子? (生):在公式中涉及两个数或式子. (师):公式中的a、b分别代表什么? (生):与平方差公式一样,a、b可代表数,也可以代表代数式,这里既可为多项式,也可为单项式. (师):你能用自己语言表述上面的公式吗? (生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的2倍,等于这两个
2.3运用公式法（2） 课型：新授 学生姓名：_________ [目标导航] 1.学习目标 （1）经历通过整式乘法的完全平方公式等逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展逆向思维能力和推理能力。 （2）会用公式法分解因式。 （3）在逆用乘法公式的过程中，了解换元的思想方法 2.学习重点：会逆用完全平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。 3.学习难点：熟练逆用完全平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。 [课前导学] 1.课前预习：阅读课本P57—P58并完成课前检测。 2.课前检测 (1) 分解因式： ①2 4224916.0n m b a - ②224)32(x y x -- ③)()(3x y y x -+- (2) ①222(________)2520(______)=++q pq ； ②22)(________________94=+-x x ； ③________________ )2)(3(=++x x ； ④_________________)2)(1(=--x x ； (3) 默写平方差公式：____________ ______________________________________ ； =++))((b x a x ___________________________________________________________； 3.课前学记（课前学习疑难点、教学要求建议） [课堂研讨] 1.新知探究 (1)新课引入： ①填空： （a+b ）（a-b ） = ； a 2–b 2= ； （a+b ）2= ； (a-b)2 = ； a 2+2ab+ b 2= ； a 2-2ab+ b 2= ． ②结论：形如：______________________和____________________的式子称为完全平方式。
14.3.1运用公式法（1） 【目标导引】 1.分解因式的平方差公式是由整式乘法的哪个公式得到的？是如何得到的？ 2.怎样的多项式才能用平方差公式分解？你会用平方差公式分解因式吗？ 【学习探究】 一、铺垫导入与自主预习 1.因式分解： （1）a 4a 22-=________________； （2）)(3)(2y x y x +-+=__________________； 2.填空： （1）)(a 422=； （2）；)(b 9422= （3）)(0.16a 24=；（4）)(a 2 22=b 3.利用平方差公式计算下列各式， （1）(x ＋5)(x －5)=_____________； 则 ))((25x 2=- （2）(3x ＋y )(3x －y )=___________； 则 ）（) (922x =-y （3）(5＋4x )(5－4x )=____________. 则))((16 -25y 2= 4.观察右边的式子，就可以得到))((22a =-b ，这个公式叫做分解因式的平方差公式.它与平方差公式有什么关系？ 二、知识探究与合作学习 5.阅读P116-117例3， 探究一：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？请把能分解因式的分解因式。 （1）；（ 2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 归纳：多项式有几项？这几项必须是两项的 ，且符号 . 6.探究二：分解因式。 （1）y 44x - （2）ab b -a 3 （3)x y x 22 28)(-- 归纳：分解因式的一般步骤为：1.___________;2.____________;3.观察分解后的式子是否还能继续进行分解。 【当堂演练】 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）. A.－x 2＋y 2 B.x 2＋y 2 C.a 2＋(－b )2 D. a 3－b 3
运用公式法（二）教案 ●课题 ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法 观察—发现—运用法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.3.2 A）
第二张（记作§2.3.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 而且还学习了完全平方公式 （a±b）2=a2±2ab+b2 本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式. Ⅱ.新课 1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ ［生］可以. 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.
第 1 页 共 3 页 课题：2.3运用公式法第2课时 课型：新授课 主编：屈再良 班级_____ 姓名_____ 【教学目标】会用完全平方公式进行因式分解； 【教学重点】让学生会用完全平方公式进行因式分解； 【教学难点】培养学生对完全平方公式的运用能力 【课前小测】 1.把下列各式分解因式: (1)162-x (2)224121y x - (3)2224 9 y x a - (4)22)()(y x y x --+ 2.计算： (1)(x+3)2= ； （2）(4x-y)2= (3)（1+2x ）2= ； 【知识点一】会判别完全平方公式。 乘法公式之完全平方公式：(a+b)2 =222b ab a ++,2222)(b ab a b a +-=- 反过来: 222b ab a ++ =____________ 222b ab a +-=___________________. 温馨提示：1、利用完全平方公式可以进行因式分解。 2、完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式． 【练习一】判断下列式子能否用完全平方公式？ （1）x 2+xy+y 2 （2）x 2－2xy -y 2 （3）x 2+4xy+4y 2 （4）x 2－xy +y 2 【知识点二】利用完全平方公式进行因式分解。 例3：把下列各式分解因式： （1）49142++x x （2）9)(6)(2++-+n m n m
第 2 页 共 3 页 【练习二】因式分解（利用完全平方公式）。 （1）x 2–6x + 9； （2）1–4x+4x 2. （3）16x 2–8xy +y 2 ; （4） 9m 2–12mn+4n 2； 例4：把下列各式分解因式： （1）22363ay axy ax ++ （2）xy y x 4422+-- 温馨提示：1、有公因式要先提取公因式。 2、提取公因式后再考虑是否可以用完全平方公式进行分解。 3、因式分解一定要分解到不能再分解为止。 【练习三】把下列各式分解因式 （1）412+ -x x （2）16922+-ab b a （3）229341n mn m ++ （4）251036+-x x （5）223612y xy x +- （6）222y x xy --- 【课堂小测】 1、下列各式不是完全平方式的是（ ） A ．x 2+4x+1 B ．x 2－2xy+y 2 C ．x 2y 2+2xy+1 D ．m 2－mn+1 4n 2 2、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( ) A.x 2+xy +y 2 B.x 2－2x －1 C.－x 2－2x －1 D.x 2+4y 2 3、分解因式 (1)1－6mn +9m 2n 2 (2)a 2－14ab +49b 2
运用公式法（2）练习 一、目标导航 1.了解完全平方公式的意义； 2.掌握完全平方公式的特点，熟练运用完全平方公式进行多项式的因式分解； 3.掌握因式分解的一般步骤. 二、基础过关 1.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________. 2.已知03442=-+++b a a ，则b a += . 3.分解因式：24 11x x +-= . 4.在括号内填上适当的因式： （1）( )2211025=++x x ； （2）()2221=+-b b （3）()()22___4+=++x x x ； （4）()( )22294=++n m 5.若224a x x +-是完全平方式，那么a 等于( ). A.4 B.2 C.±4 D.±2 6．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A.4 12m m ++ B.222y xy x -+- C.49142++-a a D.13 292+-n n 7．下列各式是完全平方式的是（ ） A. 122-+x x B.x x 392-+ C.22y xy x ++ D. 4 12+-x x 8．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足0222=+-b ab a 且022=-c b ，则△ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. 22a ab b ++ B.294y y - C.a a 4142-+ D.221q q +- 10．下列各式能用公式法进行因式分解的是( ) A.42+x B.422++x x C.42y x - D.24x -- 11．已知3-=+b a ，2=ab ，则()2 b a -的值是（ ） A.1 B.4 C.16 D.9 12．分解因式：
§2.3.1 运用公式法（一） ●课题 §2.3.1 运用公式法（一） ●教案背景 学生在学习本节课时，已相继学习了分解因式的意义。提公因式法分解因式等内容。学生已能判断一个变形式子是否为分解因式。同时已能较熟练的运用提公因式法分解因式。在分解因式的同时已具备一定的分析问题、解决问题的能力。能运用分解因式解决计算题、应用题等题型。此时适时地引入运用公式法，学生的解题思路将更开阔，方法将更灵活，这对培养学生的观察能力、逆向思维意识、整体思想等大有裨益。 ●教材分析 运用公式法分解因式的关键是要正确把握公式的特征。对于初学者来说，如何根据一个多项式的形式和特点灵活地选择一个公式，往往并不容易。为此，教科书分2课时分别来处理平方差公式和完全平方公式的内容。 第1课时，先观察多项式x2-25，x92-y2入手，得到这些多项式所具有的平方差的特征， 再对比乘法公式，得到分解因式的平方差公式a2-b2=（a+b）(a-b)，在这一过程中让学生再次感受分解因式与整式乘法的关系。然后再通过例1、例2由简单到复杂地学习运用平方差公式分解因式的方法。 ●教学目标 （一）知识与能力 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）方法与过程 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感态度与价值观 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学方法 引导自学法交流法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.3.1 A） 第二张（记作§2.3.1 B） ●教学过程
运用公式法（一） 学习目标 1.通过对上节内容的复习，引出本节重点内容利用平方差公式分解因式。 2.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 3.通过类比整式乘法公式，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. 评价设计方案 1.通过学生对上节内容的复习，完成学习目标1. （目标达成率100%） 2.通过学生自主学习、研讨，完成学习目标2. （目标达成率95%） 3.通过例题的讲解、课堂练习、课堂检测，完成学习目标3. （目标达成率95%） 学习重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. 学习难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. 学习方法 引导自学法 学习过程 一、复习,引入新课 提公因式法分解因式概念： 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. 二、新课讲解 请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）（2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ 第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解
请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点. 3.例题讲解 ［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x 2; （2）9a 2－4 1b 2. （3）x 2－16 （4）9 m 2－4n 2 ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x . 补充例题：判断下列分解因式是否正确. （1）（a +b ）2－c 2=a 2+2ab +b 2－c 2. （2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）·（a 2－1）. 三、课堂练习 （一）随堂练习1.判断正误 （1）x 2+y 2=（x +y ）（x －y ）; （ ） （2）x 2－y 2=（x +y ）（x －y ）; （ ） （3）－x 2+y 2=（－x +y ）（－x －y ）; （ ） （4）－x 2－y 2=－（x +y ）（x －y ）. （ ） 2.把下列各式分解因式 （1）a 2b 2－m 2 （2）（m －a ）2－（n +b ）2 （3）x 2－（a +b －c ）2 （4）－16x 4+81y 4 四、课时小结 我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行. 第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止. 五、课堂检测 1、（1）a 2－81 （2）36－x 2 （3）1－16b 2 （4）m 2－9n 2 （5）0.25q 2－121p 2
仲南中学课堂教学 数学科 导学案 2.3运用公式法（二） 使用教师 第 周 第 课时 总第 课时 主备教师 ________ 学习目标：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解； 一、预学感知 （1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ； （3）（a –b ）2= ； 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ； （3）a 2+2ab +b 2= ； 结论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式． 二、探索新知 1、观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解． （1）x 2–4y 2 （2）x 2+4xy –4y 2 （3）4m 2–6mn +9n 2 （4）m 2+6mn +9n 2 2、练习：判断下列各式是不是完全平方式 ()()()()222 22 22 224232221Θ+Θ???-?+??++-++乙乙甲甲B AB A y xy x 4、判断下列各式是不是完全平方式。 ① ab b a 222++ ②222y x xy ++- ③2244y xy x ++ ④ab b a 622++ ⑤41 2++x x ⑥ab b a 2422++ 5、请补上一项使下列各多项式变成完全平方式 ①22____y x ++ ②____9422++b a ③224____y x +- ④2241___b a ++ ⑤ _____2224++y x x 6、把下列各式因式分解：
（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9 132+m （4）()()1682++++n m n m 7、 将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy 三、 反馈练习 1、判断正误： （1）x 2+y 2=（x+y ）2 ( ) （2）x 2–y 2= (x –y )2 ( ) （3）x 2–2xy –y 2= (x –y )2 ( ) （4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 ( ) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式： （1）x 2–x +4 1 （2）9a 2b 2–3ab +1（3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x 3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4 （3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2 四、 学生反思 从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
第二章分解因式 3．运用公式法（一） 一、教学目标 知识与技能： （1）使学生了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． 数学能力： （1）发展学生的观察能力和逆向思维能力； （2）培养学生对平方差公式的运用能力． 情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法． 二、教学过程 第一环节练一练 活动内容：填空： （1）（x+3）（x–3）= ； （2）（4x+y）（4x–y）= ； （3）（1+2x）（1–2x）= ； （4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根据上面式子填空： （1）9m2–4n2= ； （2）16x2–y2= ； （3）x2–9= ； （4）1–4x2= ． ．
活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？ 结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ） 第三环节 做一做 活动内容：把下列各式因式分解： （1）25–16x 2 （2）9a 2–24 1b 第四环节 议一议 活动内容： 将下列各式因式分解： （1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x 第五环节 反馈练习 活动内容： 1、判断正误： （1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （2）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( ) （3）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( ) 2、把下列各式因式分解： （1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2 （3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2 （5）–16x 4＋81y 4 （6）3x 3y –12xy 3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积． 第六环节 课堂小结 活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
八年级数学运用公式法（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学方法 引导自学法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.3.1 A） 第二张（记作§2.3.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. Ⅱ.新课讲解 ［师］1.请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）（2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是