第四章曲线运动
一轮复习教学案（曲线运动作业卷）
1、直升飞机现已广泛应用于突发性灾难的救援工作，如图所示为救助飞行队将一名在海上遇险的渔民接到岸上的情景，为了达到最快速的救援效果，飞机一边从静止匀加速收拢缆绳提升渔民，将渔民接近机舱，一边沿着水平方向匀速飞向岸边，则渔民的运动轨迹是( )
1．B 解析：根据题意可知，渔民具有了竖直向上的加速度，即所受合外力方向竖直向上，又因为水平方向做匀速运动，即速度与合外力不共线，所以做曲线运动，合力方向应指向其运动轨迹的凹侧，故只有选项B正确。
考点：本题主要考查了运动的合成与分解、力与运动的关系问题。
2、从地面上同时抛出两小球，A沿竖直向上，B沿斜向上方，它们同时到达最高点，不计空气阻力。则( )
A．A先落到地面上B．B的加速度比A的大
C．A上升的最大高度比B大D．抛出时B的初速度比A大
考点：本题主要考查了匀变速直线运动规律、运动的合成与分解的应用问题。
3、如图10所示，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆
弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A点时的速度v A＝4 m/s.(取g＝10 m/s2)求：
图10
(1)小球做平抛运动的初速度v 0；
(2)P 点与A 点的水平距离和竖直高度；
(3)小球到达圆弧最高点C 时对轨道的压力．
解析
(1)小球到A 点的速度如图所示，小球做平抛运动的初速度v 0等于v A 的水平分速度． 由图可知v 0＝v x ＝v A cos θ＝4×cos 60°＝2 m/s.
(2)由图可知，小球运动至A 点时竖直方向的分速度为v y ＝v A sin θ＝4×sin 60°＝2 3 m/s ， 设P 点与A 点的水平距离为x ，竖直高度为h ，则
v y ＝gt ，v 2y ＝2gh ，
x ＝v 0t ，联立以上几式解得x ≈0.69 m ，h ＝0.6 m ．(3)取A 点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得
12m v 2A ＝12m v 2C
＋mg (R ＋R cos θ)， 代入数据得v C ＝7 m/s
设小球到达圆弧最高点C 时，轨道对它的弹力为F N ，由圆周运动向心力公式得F N ＋mg
＝m v 2C R
， 代入数据得F N ＝8 N ，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小F N ′＝F N ＝8 N ，方向竖直向上． 答案 (1)2 m/s (2)0.69 m 0.6 m (3)8 N 方向竖直向上
4、某电视台“快乐向前冲”节目的场地设施如图7所示，AB 为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R 、角速度为ω、铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L ，平台边缘与转盘平面的高度差为H .选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下，从A 点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在合适的位置释放，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m (不计身高)，人与转盘间的最大静摩擦力为μmg ，重力加速度为g .
图7
(1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？
(2)若已知H ＝5 m ，L ＝8 m ，a ＝2 m/s 2，g ＝10 m/s 2，且选手从某处C 点释放能恰好落到转盘的圆心上，则他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？
(3)若电动悬挂器开动后，针对不同选手的动力与该选手重力关系皆为F ＝0.6mg ，悬挂器在轨道上运动时存在恒定的摩擦阻力，选手在运动到上面(2)中所述位置C 点时，因恐惧没有释放悬挂器，但立即关闭了它的电动机，则按照(2)中数据计算悬挂器载着选手还能继续向右滑行多远的距离？
解析 (1)设选手落在转盘边缘也不会被甩下，最大静摩擦力提供向心力，则有μmg ≥mω2R ，
故转盘转动的角速度应满足ω≤ μg R
. (2)设选手水平加速阶段的位移为x 1，时间为t 1；选手平抛时的水平位移为x 2，时间为t 2.则水平加速时有
x 1＝12at 21
. v ＝at 1，平抛运动阶段有x 2＝v t 2，H ＝12gt 22
， 全程水平方向x 1＋x 2＝L ，
联立以上各式代入数据解得t 1＝2 s.
(3)由(2)知x 1＝4 m ，v ＝4 m/s ，且F ＝0.6mg .设阻力为f ，选手继续向右滑动的距离为x 3，
由动能定理得，加速阶段Fx－fx＝1
2m v
2
减速阶段－fx3＝0－1
2m v
2
联立以上两式解得x3＝2 m.
答案(1)ω≤μg
R(2)2 s(3)2 m
第一节曲线运动运动的合成与分解 (建议用时：40分钟) 一、单项选择题 1.如图所示，在一次消防演习中，消防队员要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人．为了节省救援时间，当消防车匀速前进的同时，人沿倾斜的梯子匀加速向上运动，则关于消防队员相对地面的运动，下列说法中正确的是() A．消防队员做匀加速直线运动 B．消防队员做匀变速曲线运动 C．消防队员做变加速曲线运动 D．消防队员水平方向的速度保持不变 解析：选B.以地面为参考系，消防员同时参与水平方向的匀速运动和斜向上的匀加速运动，其合运动为匀变速曲线运动，A、C错，B对，由运动的合成与分解知识可知水平方向的速度变大，D错． 2.各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动．现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向做匀减速运动．此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是下图中的() 解析：选D.由于货物在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀减速运动，故货物所受的合外力竖直向下，由曲线运动的特点：所受的合外力要指向轨迹凹侧可知，对应的运动轨迹可能为D. 3.(2019·河南名校联考)如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是()
A．C点的速率小于B点的速率 B．A点的加速度比C点的加速度大 C．C点的速率大于B点的速率 D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大 解析：选C.质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误． 4.(2019·天津河西区模拟)如图所示，A、B是两个游泳运动员，他们隔着水流湍急的河流站在岸边，A 在上游的位置，且A的游泳技术比B好，现在两个人同时下水游泳，要求两个人尽快在河中相遇，试问应采取下列哪种方式比较好() A．A、B均向对方游(即沿图中虚线方向)而不考虑水流作用 B．B沿图中虚线向A游；A沿图中虚线偏上方向游 C．A沿图中虚线向B游；B沿图中虚线偏上方向游 D．A、B均沿图中虚线偏上方向游；A比B更偏上一些 解析：选A.游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动．游泳的方向是人相对于水的方向．选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间线段最短，所以选A. 5．(2019·鄂州模拟)一轻杆两端分别固定质量为m A和m B的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则()
专题四 曲线运动 答案 1．C 【解析】设小球运动到c 点的速度大小为c v ，则对小球由a 到c 的过程，由动能定理有 2132 c F R mgR mv ?-=，又F mg =，解得c v =，小球离开c 点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c 点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g ，则由竖直方向 的运动可知，小球从离开c 点到其轨迹最高点所需的时间为c v t g = =向的位移大小为2122 x gt R ==。由以上分析可知，小球从a 点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R ，则小球机械能的增加量为55E F R mgR ?=?=，C 正确，ABD 错误。 2．A 【解析】甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向 相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A 正确。 3．B 【解析】弹射管沿光滑竖直轨道自由下落，向下的加速度大小为g ，且下落时保持水平， 故先后弹出的两只小球在竖直方向的分速度与弹射管的分速度相同，即两只小球同时落地；又两只小球先后弹出且水平分速度相等，故两只小球在空中运动的时间不同，则运动的水平位移不同，落地点不同，选项B 正确。 4．D 【解析】由于该“力”与竖直方向的速度大小成正比，所以从小球抛出至运动到最高 点过程，该“力”逐渐减小到零，将小球的上抛运动分解为水平和竖直两个分运动，由于上升阶段，水平分运动是向西的变加速运动（水平方向加速度大小逐渐减小），故小球到最高点时速度不为零，水平向西的速度达到最大值，故选项A 错误；小球到最高点时竖直方向的分速度为零，由题意可知小球这时不受水平方向的力，故小球到最高点时水平方向加速度为零，选项B 错误；下降阶段，由于受水平向东的力，小球的水平分运动是向西的变减速运动（水平方向加速度大小逐渐变大），故小球的落地点在抛出点西侧，选C 错误，D 正确。 【简捷解法】理解了小球竖直方向速度越大，水平方向受力越大后，可画出小球水平方
第三节 圆周运动 1. (2016·高考全国卷Ⅱ)小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于 Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所 示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点 ( ) A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度 B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能 C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力 D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度 解析：选C.小球从释放到最低点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律可知， mgL ＝12 mv 2，v ＝2gL ，绳长L 越长，小球到最低点时的速度越大，A 项错误；由于P 球的质 量大于Q 球的质量，由E k ＝12 mv 2 可知，不能确定两球动能的大小关系，B 项错误；在最低点， 根据牛顿第二定律可知，F －mg ＝m v 2 L ，求得F ＝3mg ，由于P 球的质量大于Q 球的质量，因此 C 项正确；由a ＝v 2 L ＝2g 可知，两球在最低点的向心加速度相等，D 项错误． 2．(多选) (2015·高考浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r .一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r .赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max .选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( ) A ．选择路线①，赛车经过的路程最短 B ．选择路线②，赛车的速率最小 C ．选择路线③，赛车所用时间最短 D ．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
第四章曲线运动万有引力与航天 考纲要求考情统计 2019年2018年2017年1.运动的合成与分解Ⅱ课标Ⅰ·T21:重 力与万有引力的关系、天体密度的计算 课标Ⅱ·T14:万有引力定律的应用 课标Ⅱ·T19:平抛运动的分析课标Ⅲ·T15:天体运动参量的比较课标Ⅰ·T20:双星 问题的分析 课标Ⅱ·T16:天体 密度的计算 课标Ⅲ·T15:地球 卫星运行周期的比 较 课标Ⅲ·T17:平抛 运动规律的求解 课标Ⅰ·T15:平 抛运动水平方向 的运动规律 课标Ⅱ·T17:平 抛运动与圆周运 动的综合问题 课标Ⅱ·T19:天 体椭圆运动中运 动参量的分析 课标Ⅲ·T14:天 体对接后轨道运 动的变化分析 2.抛体运动Ⅱ 3.匀速圆周运动、角速度、线速 度、向心加速度 Ⅰ 4.匀速圆周运动的向心力Ⅱ 5.离心现象Ⅰ 6.万有引力定律及其应用Ⅱ 7.环绕速度Ⅱ 8.第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ 9.经典时空观和相对论时空观Ⅰ 备考题型要点:①平抛运动规律的考查;②竖直平面内的圆周运动模型、锥体运动的临界问题等;③平抛运动、圆周运动与功能关系的综合考查;④天体质量、密度的计算;⑤卫星运动的各物理量间的比较;⑥卫星的发射与变轨问题 第1讲曲线运动运动的合成与分解
一、曲线运动 1.速度的方向:质点在某一点的速度,沿曲线在这一点的①切线方向。 2.运动的性质:做曲线运动的物体,速度的方向时刻在改变,所以曲线运动一定是②变速运动。 3.曲线运动的条件:物体所受③合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的④加速度方向与速度方向不在同一条直线上。 二、运动的合成与分解 1.运算法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循⑤平行四边形定则。 2.合运动和分运动的关系 (1)等时性:合运动与分运动经历的时间⑥相等。 (2)独立性:一个物体同时参与几个分运动时,各分运动⑦独立进行,不受其他分运动的影响。 (3)等效性:各分运动叠加起来与合运动有完全⑧相同的效果。 1.判断下列说法对错。 (1)速度发生变化的运动,一定是曲线运动。(?) (2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。(?) (3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。(?) (4)曲线运动可能是匀变速运动。(√) (5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√) (6)只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动。(?)
专题四曲线运动平抛运动 [考纲解读] 一、曲线运动 1.曲线运动 (1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向. (2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动. (3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上. 2.合外力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧. 二、运动的合成与分解 1.遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2.合运动与分运动的关系 (1)等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. (2)独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响. (3)等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3.合运动的性质判断
??? 加速度(或合外力)? ?? ?? 变化：非匀变速运动 不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向? ??? ? 共线：直线运动 不共线：曲线运动 三、平抛运动 1.性质 加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线. 2.基本规律 以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则： (1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12 gt 2 . (3)合速度：v ＝v 2 x ＋v 2 y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gt v 0. (4)合位移：s ＝x 2 ＋y 2 ，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt 2v 0 . 1.下列说法中正确的是() A.物体速度变化越大，则其加速度越大 B.物体的加速度增大，则其速度一定增大 C.原来平衡的物体，突然撤去一个外力，物体可能做曲线运动，也可能做直线运动 D.原来平衡的物体，突然撤去一个外力，则一定会产生加速度且方向与撤去的外力的方向相反 答案 C 解析 速度变化率越大，加速度越大，速度变化大，加速度不一定大，选项A 错误；物体的加速度增大，但若加速度方向与物体的速度方向相反，其速度减小，选项B 错误；原来平衡的物体，受到的合力为零，突然撤掉一个力，剩余的力的合力与撤掉的力的方向在一条直线上，如果物体原来做匀速直线运动，其合力方向与速度的方向不确定，故物体可能做直线运动，也可能做曲线运动，合力也可能为0，如放在粗糙斜面由弹簧拉着的物体，选项C 正确，选项D 错误. 2.(2015·浙江1月学考)如图1所示，一小球在光滑水平桌面上做匀速运动，若沿桌面对小球施加一个恒定外力，则小球一定做 () 图1
课时作业(五)向心力 一、单项选择题 1．如图所示，小物块从半球形碗边的a点下滑到b点，碗内壁粗糙．物块下滑过程中速率不变，下列说法中正确的是( ) A．物块下滑过程中，所受的合力为0 B．物块下滑过程中，所受的合力越来越大 C．物块下滑过程中，加速度的大小不变，方向时刻在变 D．物块下滑过程中，摩擦力大小不变 解析：由题意知小物块做匀速圆周运动，合力大小不变，方向时刻改变，总是沿半径方向指向圆心． 答案：C 2．如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( ) A．1：1 B．1： 2 C．2：1 D．1：2 解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为F n，角速度为ω，则 对球m1：F n＝m1ω2r1， 对球m2：F n＝m2ω2r2， 由上述两式得r1：r2＝1：2. 答案：D 3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是( )
解析：物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力F和筒 4．如图所示，把一个长为20 cm，劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹
6．上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8 000 m，如图所示，近距离用肉眼看几乎是 7．如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起
第四章曲线运动 第一节曲线运动 一、曲线运动 1.概念 运动轨迹(路径)是曲线的运动。 2.特点 （1）某点瞬时速度的方向沿轨迹上这一点的切线为向， （2）速度方向时刻在改变所以是变速运动，必有加速度，合力一定不为零，可能是恒力，也可能是变力。 加速度可以是不变的-------匀变速曲线运动，如平抛运动 加速度可以是变化的-------变加速曲线运动，如圆周运动 【例】做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是( ) A速率 B．速度 C．加速度 D．合外力 【例】(多选)下列对曲线运动的理解正确的是( ) A．物体做曲线运动时，加速度一定变化 B．做曲线运动的物体不可能受恒力作用 C．曲线运动可以是匀变速曲线运动 D．做曲线运动的物体，速度的大小可以不变
3.合力与轨迹，速度的关系 (1)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的"凹“侧. 【例】如图所示，一质点做曲线运动从M点到N点速度逐渐减小，当它通过P点时，其速度和所受合外力的方向关系可能正确的是（） A． B． C． D． (2)速率变化情况判断：当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大； 当合力方向与速定方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小；当合力方向与速度方向始终垂直时，物体的速率将保持不变。 4.物体做曲线运动的条件 (1)条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上. 二、运动的合成与分解（指位移、速度、加速度的分解与合成） 1.合运动：物体相对地面的真实运动。 2.分运动：物体同时参与的两个方向的运动。
专题四曲线运动 21. （2013高考新课标全国卷n ）公路急转弯处通常是交通事故多发地带?如图，某公路 急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 V c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势. 则 在该弯道处（ ） A ?路面外侧高内侧低 B ?车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动 C .车速虽然高于V c ,但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D ?当路面结冰时，与未结冰时相比， v c 的值变小 解析：选AC.抓住临界点分析汽车转弯的受力特点及不侧滑的原因，结合圆周运动规律 可判断. 汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水 平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项 A 正 确，选项D 错误.当v
第五章曲线运动单元评估 时间：90分钟分值：100分 一、单项选择题(共6小题，每小题4分) 1．2014年1月25日澳网女单决赛中，李娜20战胜齐希尔科娃，继2011年法网夺冠后，收获第二座大满贯奖杯．成为澳网100多年历史上首位夺冠的亚洲球员．网球由李娜击出后在空中飞行过程中，若不计空气阻力，它的运动将是( A ) A．曲线运动，加速度大小和方向均不变，是匀变速曲线运动 B．曲线运动，加速度大小不变，方向改变，是非匀变速曲线运动 C．曲线运动，加速度大小和方向均改变，是非匀变速曲线运动 D．若水平抛出则是匀变速曲线运动，若斜向上抛出则不是匀变速曲线运动 解析：网球只受重力，大小和方向均不变，加速度大小和方向也都不变，刚抛出时速度方向和重力不在同一条直线上，所以网球的运动性质是匀变速曲线运动，正确选项是A. 2．如图，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的四分之一光滑圆轨道水平相切于O点，O点在水平地面上．可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在四分之一圆轨道上的B点，不计空气阻力，g ＝10 m/s2.则B点与O点的竖直高度差为( A ) A. 3－5 2 R B. 3＋5 2 R C. 3－5 10 R D. 3＋5 10 R 解析：小球刚好能通过A点，则在A点重力提供向心力，则有：mg＝m v2 R 2 ，解得：v＝ gR 2 ，从A点抛出后做平抛运动，则水平方向的位移x＝vt，竖直方向的位移h＝ 1 2 gt2，根据几何关系有：x2＋h2＝R2, 解得：h＝ 5－1R 2 ，B点与O点的竖直高度差Δh＝R－h＝R－ 5－1R 2 ＝ 3－5R 2 ，故A正确，B、C、D错误．
高中物理必修二知识点总结：第五章曲线运动（人教版）这一章是在前边几章的学习基础之上，研究一种更为复杂的运动方式：曲线运动。这也是运动学中更为重要的一部分内容，本章的重难点就在于抛体运动、圆周运动。 考试的要求： Ⅰ、对所学知识要知道其含义，并能在有关的问题中识别并直接运用，相当于课程标准中的“了解”和“认识”。 Ⅱ、能够理解所学知识的确切含义以及和其他知识的联系，能够解释，在实际问题的分析、综合、推理、和判断等过程中加以运用，相当于课程标准的“理解”，“应用”。 要求Ⅱ：曲线运动、抛体运动、圆周运动。 知识构建： 新知归纳： 一、曲线运动 ●曲线运动 1、定义：物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动。 2．物体做曲线运动的条件 (1）当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，这个合力总能产生一个改变速度方向的效果，物体就一定做曲线运动。 （2）当物体做曲线运动时，它的合力所产生的加速度的方向与速度方向也不在同一直线上。 （3）物体的运动状态是由其受力条件及初始运动状态共同确定的． 2、曲线运动的特点:质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向.质点的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度
变化时物体做变加速运动）。 3、曲线运动的速度方向 （1）在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线切线的方向。 （2）曲线运动的速度方向时刻改变，无论速度的大小变或不变，运动的速度总是变化的，故曲线运动是一种变速运动。 4、曲线运动的轨迹:作曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指向的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总是向圆心弯曲等。 ●曲线运动常见的类型： （1）a=0：匀速直线运动或静止。 （2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为：①v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v 、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。） （3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 二、质点在平面内的运动 ●合运动和分运动 当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者——实际发生的运动称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动． ●运动的合成和分解 已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解，这种双向的等效操作过程，是研究复杂运动的重要万法． 1、合运动与分运动的关系:等时性；独立性；等效性。 2、运动的合成与分解的法则:平行四边形定则 3、分解原则:根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动。 其运动规律为： （1）水平方向：a x =0，v x =v 0，x=v 0t 。 （2）竖直方向：a y =g ，v y =gt ，y=gt 2/2。 （3）合运动：a=g ，22y x t v v v +=，22y x s +=。v t 与v 0方向夹角为θ，tan θ=gt/v 0，s 与x 方向夹角为α，tan α=gt/2v 0. 平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即g h t 2= ，与v 0无关。水平射程s=v 0g h 2. ●运动的合成和分解的应用 （1）进行运动的合成与分解，就是对描述运动的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用平行四边形定则求和或求差．运动的合成与分解遵循如下原理：
第四章 曲线运动教案 第一课时 曲线运动的条件 运动的合成和分解 教学目标： 1、掌握曲线运动的条件及速度方向及受力特点。 2、掌握运动的合成和分解的规律，各分运动具有的独立性、同时性、等效性。 3、掌握由分运动的性质判断合运动性质的方法。 教学过程：一 、知识归纳 1、 物体在曲线运动中的速度方向时刻在改变，某点的速度方向总是曲线的切线方 向。物体做曲线运动的条件是：物体所受到合力的方向跟物体的速度方向不在一直线上。所受到的合外力的方向总指向曲线凹的一侧如图1所示。 2、 分运动和合运动是一种等效替代关系，其理论基础是运动的独 立性原理，即任何一个运动．．．．．．．堵都．．可以看作是几个独立进行的分．．．．．．．．．．．．．运动的合．．．．成． 。其运算法则是平行四边形定则。分清合运动与分运动是解决问题的关键。物体相对于参考系的实际．．运动（位移、速度）为合运动。 3、 已知分运动确定合运动性质的方法是：由平行四边形定则求出合运动的初速度及 加速度再由二者的方向关系确定其运动性质。 二、典型例题分析 1、曲线运动产生的条件 【例1】 下列几种说法中正确的是……………………………………………（ C ） A 、 物体受到变力作用一定做曲线运动； B 、 物体受到恒力作用一定做匀变速直线运动； C 、 当物体所受到合外力方向与速度方向有夹角时，一定做曲线运动； D 、 当物体所受到合外力方向不断改变时，一定做曲线运动。 [解析]：物体做直线运动还是曲线运动，不取决于物体所受到的力是恒力还是变力；取决于物体所受到的力和速度方向是在同一条直线上，还是成一夹角，故A 、B 错，而C 对。对于D 来说，“合外力方向不断改变”要从两种情况考虑，一种是合力与速度方向夹角不断改变，应做曲线运动；另一种是合外力的方向始终与速度方向在同一条直线，有时与速度方向相同，有时与速度方向相反，做直线运动。故D 错。 [总结与提高] ：物体做直线运动还是曲线运动，取决于物所受到的力和速度方向是在同一条直线上，还是成一夹角！！ 2、 曲线运动的特点 图1
课时知能训练 一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得7分，选对但不全的得4分，有选错的得0分．) 1．一质点在某段时间内做曲线运动，则这段时间内() A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变 B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变 C．速度可以不变，加速度一定在不断地改变 D．速度可以不变，加速度也可以不变 【解析】做曲线运动的物体速度方向一定在不断地改变，但加速度可以不变，如平抛运动，故选项B正确． 【答案】 B 2．(2010·江苏高考)如图4－1－12所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度() 图4－1－12 A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变 C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变 【解析】由于始终保持悬线竖直，所以橡皮水平方向上的运动与铅笔的速度相同，橡皮在竖直方向上运动的速度大小应等于水平速度大小，所以橡皮的合运动仍为匀速直线运动，选项A正确．【答案】 A 3．小钢球m以初速度v0在光滑水平面上运动，后受到磁极的侧向作用力而做曲线运动，从M点运动到N点，如图4－1－13所示．过轨迹上M、N两点的切线MM′和NN′将轨迹MN上方的空间划分
为四个区域，由此可知，磁铁可能处在哪个区域 图4－1－13 A．①区B．③区 C．②或④区D．均不可能 【解析】曲线运动中，物体的运动轨迹偏向合力所指的方向；由图可知，磁铁只能在轨迹MN下方的区域内，故答案只能选D. 【答案】 D 4．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y 方向上的分运动速度随时间变化的规律如图4－1－14所示．关于物体的运动，下列说法正确的是() 图4－1－14 A．物体做曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小是50 m/s D．物体运动的初速度大小是10 m/s 【解析】由v－t图象可以看出，物体在x方向做匀速直线运动，在y方向做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，A正确，B错误；物体的初速度为v0＝v2x＋v2y＝302＋(－40)2m/s＝50 m/s，C 正确，D错误． 【答案】AC 5．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报道当时是正北风，风速也是4 m/s, 则骑车人感觉的风速方向和大小() A．西北风，风速4 m/s B．西北风，风速4 2 m/s C．东北风，风速4 m/s D．东北风，风速4 2 m/s 【解析】若无风，人向东骑车
2020衡水名师原创物理专题卷 专题四曲线运动 考点10 曲线运动运动的合成与分解 考点11 平抛运动的规律及应用 考点12 圆周运动的规律及应用 一、选择题（本题共17个小题，每题4分，共68分。每题给出的四个选项中，有的只有一个选项符合题意，有的有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分） 1、一小球质量为m,用长为L的悬绳(不可伸长,质量不计)固定于O点,在O点正下方L/2处钉有一颗钉子,如图所示,将悬线沿水平方向拉直无初速释放后,当悬线碰到钉子后的瞬间( ) A.小球线速度大小没有变化 B.小球的角速度突然增大到原来的2倍 C.小球的向心加速度突然增大到原来的2倍 D.悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍 2、如图所示，在长约100cm一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做成的小圆柱体(小圆柱体恰能在管中匀速上浮)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将玻璃管竖直倒置，在红蜡块匀速上浮的同时，使玻璃管紧贴黑板面水平向右先匀加速后匀减速移动，你正对黑板面将看到红蜡块在减速阶段相对于黑板面的移动轨迹可能是下面的( )
A. B. C. D. 、质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在“秋3、如图,“旋转秋千”装置中的两个座椅A B 千”的不同位置。不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时,下列说法正确的是( ) A.A的角速度比B的大 B.A的线速度比B的大 C.A与B的向心加速度大小相等 、的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A B 4、如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动当小车运动到与水平面夹角为θ时，下列关于物体A说法正确的是（） vθ，物体A做减速运动，绳子拉力小于物体重力 A. 物体A此时的速度大小为cos vθ，物体A做加速运动，绳子拉力大于物体重力 B. 物体A此时的速度大小为cos vθ，物体A做减速运动，绳子拉力小于物体重力 C. 物体A此时的速度大小为/cos vθ，物体A做加速运动，绳子拉力大于物体重力 D. 物体A此时的速度大小为/cos 5、有一条两岸平直、河水均匀流动,流速恒为v的大河,一条小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直,小船在静水中的速度大小为2v,去程与回程所用时间之比为( ) A.3:2 B.2:1 C.3:1 2
第四章曲线运动 第一模块：曲线运动、运动的合成和分解 『夯实基础知识』 ■考点一、曲线运动 1、定义：运动轨迹为曲线的运动。 2、物体做曲线运动的方向： 做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。 3、曲线运动的性质 由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。 由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。 4、物体做曲线运动的条件 （1）物体做一般曲线运动的条件 物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。 （2）物体做平抛运动的条件 物体只受重力，初速度方向为水平方向。 可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。 （3）物体做圆周运动的条件 物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内） 总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。 5、分类 ⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。 ⑵非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。 ■考点二、运动的合成与分解 1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。 2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。 3、合运动与分运动的关系： ⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）； ⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等 ⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
第五章曲线运动经典分类例题 §5.1 曲线运动基础 一、知识讲解 二、【典型例题】 知识点1、力和运动的关系 1、曲线运动的定义： 2、合外力决定运动的速度： 】 3、合外力和速度是否共线决定运动的轨迹： 4、物体做曲线运动的条件： 习题 1、关于曲线运动的速度，下列说法正确的是：（） A、速度的大小与方向都在时刻变化 ) B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向 2、下列叙述正确的是：（） A、物体在恒力作用下不可能作曲线运动 B、物体在变力作用下不可能作直线运动 C、物体在变力或恒力作用下都有可能作曲线运动 D、物体在变力或恒力作用下都可能作直线运动 ^ 3、下列关于力和运动关系的说法中，正确的上：（） A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用 B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上 C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用 D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变 4、下列曲线运动的说法中正确的是：（） A、速率不变的曲线运动是没有加速度的 B、曲线运动一定是变速运动 C、变速运动一定是曲线运动 D、曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动; 5、物体受到的合外力方向与运动方向关系，正确说法是：（） A、相同时物体做加速直线运动 B、成锐角时物体做加速曲线运动 C、成钝角时物体做加速曲线运动 D、如果一垂直，物体则做速率不变的曲线运动6．某质点作曲线运动时:（） A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B．在任意时间内位移的大小总是大于路程
曲线运动 考点梳理： 一.曲线运动 1.运动性质————变速运动，具有加速度 2.速度方向————沿曲线一点的切线方向 3.质点做曲线运动的条件 （1）从动力学看，物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上，合力指向轨迹的凹侧。 （2）从运动学看，物体加速度方向跟物体的速度方向不共线 例题：如图5-1-5在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时突然使它受的力反向，而大小不变，即由F 变为－F ，在此力作用下，关于物体以后的运动情况的下列说法中正确的是（ ） A ．物体不可能沿曲线Ba 运动 B ．物体不可能沿直线Bb 运动 C ．物体不可能沿曲线Bc 运动 D ．物体不可能沿原曲线由B 返回A 2、图5-1-6簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受 电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ） A ． 带电粒子所带电荷的符号； B ． 带电粒子在a 、b 两点的受力方向； C ． 带电粒子在a 、b 两点的速度何处较大； D ． 带电粒子在a 、b 两点的电势能何处较大。 二.运动的合成与分解 1.合运动和分运动:当物体同时参与几个运动时,其实际运动就叫做这几个运动的合运动,这几个运动叫做实际运动的分运动. 2.运动的合成与分解 (1)已知分运动(速度v 、加速度a 、位移s)求合运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的合成. (2)已知合运动(速度v 、加速度a 、位移s)求分运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的分解. (3)运动的合成与分解遵循平行四边形定则. 3.合运动与分运动的关系 (1)等时性:合运动和分运动进行的时间相等. (2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果. (3)等效性:整体的合运动是各分运动决定的总效果,它替代所有的分运动. 三.平抛运动 1.定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动. 2.性质:是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动,轨迹是抛 3.平抛运动的研究方法 (1)平抛运动的两个分运动:水平方向是匀速直线运动,竖直方 向是自由落体运动. (2)平抛运动的速度 图5-1-5 s
优创卷·一轮复习单元测评卷 第四章 曲线运动 A 卷 名校原创基础卷 一、选择题(本题共8小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.) 1.（2020·江西省月考）我国“嫦娥一号”探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2007年10月24日晚6点多发射升空.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M 点向N 点飞行的过程中，速度逐渐减小.在此过程中探月卫星所受合力方向可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 “嫦娥一号”探月卫星从M 点运动到N ，曲线运动，必有力提供向心力，向心力是指向圆心的；“嫦娥一号”探月卫星同时减速，所以沿切向方向有与速度相反的合力；向心力和切线合力与速度的方向的夹角要大于90°，BCD 错误，A 正确。 故选A 。 2.（2020·赣榆月考）如图所示，长为L 的轻直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端固定一质量为m 的小球，小球搁在水平升降台上，升降平台以速度v 匀速上升。下列说法正确的是（ ） A.小球做匀速圆周运动 B.当棒与竖直方向的夹角为α时，小球的速度为cos v C.棒的角速度逐渐增大
D.当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为sin v L α 【答案】D 【解析】 A.小球受重力、平台的弹力和杆的作用力，因为升降平台以速度v 匀速上升，平台的弹力和杆的作用力变化，即小球受到的合力大小变化，小球做的不是匀速圆周运动，A 错误； BCD.棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示 合速度 =v L ω实 沿竖直向上方向上的速度分量等于v sin v L ωα= 所以 sin sin v v v L ωαα = = 实， 平台向上运动，夹角增大，角速度减小，BC 错误D 正确。 故选D 。 3.（2020·江西省月考）如图所示，质量相同的两个小球a 、b 分别从斜面顶端A 和斜面中点B 沿水平方向抛出。恰好都落在斜面底端。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A.小球a 、b 做平抛的初速度大小之比为2:1 B.小球a 、b 到达斜面底端时的位移大小之比为1:1 C.小球a 、b 运动过程中速度变化量的方向不相同
更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年 高考物理精选考点专项突破题集 专题四 曲线运动 一、单项选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、如图所示，两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD 中点的轴OO 1转动。已知两物块质量相等，杆CD 对物块A 、B 的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B 到OO 1轴的距离为物块A 到OO 1轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在绳子从处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是( ) A 、 B 受到的静摩擦力一直增大 B 、B 受到的静摩擦力是先增大，后保持不变 C 、A 受到的静摩擦力是先增大后减小 D 、A 受到的合外力先增大后减小 【答案】B 。 【解析】因为同一转轴，所以A 、B 的角速度相同，由r A 2020春人教版物理必修二第五章曲线运动习题含答案 必修二第五章曲线运动 一、选择题 1、(双选)如图为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是() A．D点的速率比C点的速率大 B．B点的速率比A点的速率大 C．A点的加速度比D点的加速度大 D．从B点到E点加速度与速度的夹角一直减小 2、在“嫦娥三号”落月前的接近段几乎是沿着一条倾斜的直线运动。现假设“嫦娥三号”匀减速地靠近月面并忽略它的质量变化,如图所示。你认为在接近段,“嫦娥三号”所携带的喷气发动机的喷气方向应为图中的( ) A.竖直向下的A方向 B.斜向下的B方向 C.沿接近段轨迹的C方向 D.平行月面向前的D方向 3、物体在平抛运动过程中,在相等的时间内,下列相等的物理量是( ) A.位移 B.下落高度 C.平均速度 D.速度的变化量 4、（双选）某同学在“研究平抛物体的运动”实验中得到A、B、C、D、E五个实验点，如图所示，则关于产生较大偏差的B点的形 成原因，可能是 A. 小球开始滚下的高度较其他各点高 B. 小球开始滚下的高度较其他各点低 C. 小球离开斜槽后与白纸有接触 D. 小球开始滚下时具有了一个初速度 5、（双选）如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1 ，从动轮的半径 为r 2 。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( ) A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为r 1 r 2 n D．从动轮的转速为 r 2 r 1 n 6、A、B两个质点分别做匀速圆周运动,若在相等时间内,转过的圆心角之比为 θ A ∶θ B =3∶2,它们通过的弧长之比为s A ∶s B =4∶3,则( ) A.它们角速度之比为ω A ∶ω B =2∶3 B.它们的线速度之比为v A ∶v B =4∶3 C.它们周期之比为T A ∶T B =3∶2 D.它们的向心加速度之比为a A ∶a B =2∶3 7、一质量为m的质点绕圆心做匀速圆周运动，其所受向心力大小为F，运动周期为T，则它在时间内的平均速度大小为（） A. B. C. D. 8、质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速变为2 4v gR ，则两位置处绳子所受的张力之差是（） A．6mg B．5mg C．4mg D．2mg 9、在抗洪抢险中,战士驾驶摩托艇救人。假设江岸是平直的,洪水沿江向下游流 去,水流速度为v 1,摩托艇在静水中的航速为v 2 ,战士救人的地点A离岸边最近处人教版高中物理必修2第五章曲线运动习题含答案
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