开普勒三定律的数学证明
摘要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角动
量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。
关键字：开普勒定律；角动量守恒
Mathematical Proofs of Kepler' Law
Du Yonghao
(Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China) Abstract: My paper particularly derives Kepler ' Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler ' Second Law.
Key words: Kepler' Law; Law of Con servati on of An gular Mome ntum
1刖言
开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，
而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕
太阳公转的角动量守恒。开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕太阳的椭
圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比[1]。
2开普勒第二定律证明
2.1数学方法
令r t为行星在t时刻的位失，令r t t为行星在t t时刻的位失。面积.A为在
t时刻与t t时刻间行星位失扫过的面积，即r t与
r =r t - r t所围成的三角形面积，如图1,得:
1 Y -*■
M &- r(t F
2
所以：
令'4》0 ,得：
d A4rt rt
星的质量。根据牛顿第二定律
F 二ma 得:
—y r (t )=ma (t )=mr "(t ) r d
两边同时除以m 得:
—r t r t =r t 7 t F t r t dt
可知向量r t 「t 是一个常数，所以其大小||r t r t 也是一个常数。所以理为一常数。 dt 2.2物理方法
行星在太阳的引力作用下绕日运动， 所以行星受到的引力对太阳的力矩为零， 即行星对
太阳的角动量L 守恒（为常矢量）。根据角动量守恒， L 的大小为：
L = L =||mM :v = m r V =mrvsin 日 为常数（其中 日为r 与v 的夹角）
设在足够小的时间dt 内，太阳到行星的位矢r 扫过的的角度很小，于是在dt 时间内位矢r 扫 过的三角形面积为：
1 dS r vdt
2 1
dS rvsi n^dt
2
所以位矢r 扫过的面积的速度为：
dS 1 .「 u
rvsinv
dt 2
所以得：
L =2mu
行星与太阳之间的万有引力是作用在行星上的唯一的力，弓I 力大小为
GMm |rt 2
其中m 为行
GMm
r t 二
所以：
GM
GM ^3
GM
r(t ) +0
|rt 3
r t r t =0
根据角动量守恒定律 L 为常量，所以u = L 为常量。所以行星运动单位时间内扫过的面积 2m 为定值。
3开普勒第三定律证明
将太阳置为原点（太阳在行星椭圆轨道的一个焦点上）
，椭圆长轴在X 轴上，如图2。
根据椭圆的性质可知 FC CF = 2a ，又因为FC 二CF ，所以FC 二CF = a 且
F B BF = 2a 。
根据勾股定理:
a 2 =
b 2 +
c 2，(FB f=h 2+(2c $ 如图 3
h 2 2c 二 FB =2a-h =4a 2-4ah h 2
化简得:
c 2 = a 2 _ ah
又因为a 2二b 2 ? c 2，所以:
2 ■ 2 2 2
a -
b
c a b 2 = ah
所以开普勒第三定律指出周期的立方和行星与太阳间距的平方成正比。
4开普勒第一定律证明
因为 FB = 2a-BF =2a-h ，所以:
-ah
FB 与x 轴夹角为 二/ 2，根据开普勒第一定律得:
h =1■二/2 二
r o 1 e 二 1
1 ecos 二 /
2 GM
因为 b 2 二 ah ， h 二
GM
2
dt
所以:
* 兀ab ]2 _
- ah _ ldA/dt.丿(dA/dt $
(dA/dtf GM
2 2 ■- a
GM
"a 3 2dA/ dt 2 - -2
9
令r t 为t 时刻行星的位失，rt =|rt 为行 星和太阳的距离，所以 rt^t 为t 时刻行星的
极坐标。令 u i =r/r = COST \ si nr j
u i 二-sin r i
cosr j ，得：
十
F —
— F
—
U i - V U 2
U 2 - -V U i 所以：
a =巴=(r ”_r (8*2 / + (2r 筍‘ + 询"?2 dt
因为行星受万有引力方向与其位置方向相反。所以:
r _「2
_GM
将t =0代入D = r o v o k ，当r 0 = r 0时，且v ° v 0成立，可证:
t 为任意值时都有 r~ - 5%
2
r
2 2
dq r ° V 。 GM q
3 -
dr r
两边同时对r 进行积分得:
令p =i/r ，代入9 得:
? dr v = dt
d ru i dt
=r -sin 小 i r cos j r cos^ i r sin^ j
/
、
i i
丄
2
—— - + v°
i 一 2
J r 0丿
1 r 丿
2
q =2GM
r 卄2
型
图 4[2]
10
2
P o GM
卅 6 _ Vo 2
对10分离变量并积分得:
2 2
p - P o GM /V o 2 2
P o _ P o GM /V o
参考文献
[1] 李敏君，邱荒逸?用矢量法证明开普勒三定律[J].高师理科学刊，2000, 20(4 ): 49- 52. [2] [美]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon.微积分[M].北京:机械工业出版社
越的=2GM （P —Po ）+Vo [l —
2
、
p
~2
p
o J
屠P o 「 、
2
2
p o GM 2~ V o j
2 P o
GM - P-
V o.丿
2
p o GM P-
V o.
cos^
2
2 p 「P o GM / V o 2 2
P o - P o GM /V o
2
r o
cod 」
2
V o GM +
— V o
cos 日 r 0 最后，我们得到 r 。1 e r
1 ecos^
2
r °V
o
2 r
o
GM
2~ V o 丿 GM +----- 2
V o r 关于r 的函数:
2 GM
r o
V o'
丄2
聖
r o
V o
COST 1
r o V o
M
2 r °v °
GM 2
r o GM r
—1 +1
所以'翥-1为行星绕太阳椭圆轨道的离心率。
2 V o
GM 2 V o
,2009.585- 588.