临界问题的求解
临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。
极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。
一、运动学中的临界问题
例1、一列客车以速度v1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度v2匀速前进，且v1f v2，货车车尾与客车车头相距s0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。求客车的加速度a符合什么条件两车才不会撞上？
分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。可见，两车恰好相碰时速度相等是
临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S ≤S 0。下面用两种方法求解。
解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：21112
s v t at =-，货车：22s v t =， 两车不相撞的条件：21,v v at =-120s s s -≤。 联立以上各式有：2
120
()2v v a s -≥。 解法二：客车减速到2v 的过程中客车的位移为：1212v v s t +=
， 经历的时间为：12v v t a
-=；货车的位移为：22s v t =， 两车不相撞则：120s s s -≤。 联立以上四式有：2
120
()2v v a s -≥。 归纳：正确分析物体的运动过程，找出临界状态是解题的关键。 例2、甲乙两地相距 1.6s km =，摩托车的加速度为a 1 1.6/m s =2
，减速时的加速度为a 1 6.4/m s =2摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？
分析：题目中并没有说明摩托车由甲地往乙地是如何运动的，从甲地往乙地所用时间最短这一临界状态是解决问题的突破口。分析的方法可以用数学推导法，也可以用图象分析法等。
解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为t 1，匀速运动时间为t 2，减速运动时间为t 3，总时间为t ，则：
1123m v a t a t == 211112
s a t = 22m s v t = 232312
s a t = 123s s s s =++ 213t t t t =--
联立以上六式并代入数据得：016006.112
1=--tt t
要使以上方程有解，须判别式Δ≥0，即：
016004)6.1(2
≥?-=?t ， 所以 50t s ≥，即最短时间为50s 。
故有：2118016000t t -+=，解得：12340,0,10t s t t s ===。 可见摩托车从甲地到乙地先加速40s 后紧接着减速10s 达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为：
11 1.640/64/m v a t m s m s ==?=。
解法二：用图象分析法。建立如图1所示的
图象，图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距
离，在保证“面积”不变的情况下要使运动时间
变小，只有把梯形变成三角形。 12(),2
m v t t s += 1122a t a t =， 12t t t =+
联立以上三式得：最短时间为50t s =，最大速度为v m 64/m s =。 归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法。
二、平衡状态的临界问题
例1、倾角为30θ=度的斜面上放置一个重200N 的物体，物体与斜面
间的动摩擦因数为3μ=，要使物体恰好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？
分析；由于施力的方向没定，先假定一个方向：
与斜面成α角向上，物体的受力分析如图2所示。
解：x 方向：cos sin F f mg αθ=+ y 方向： sin cos F N mg αθ+= 其中 F N μ=
联立以上三式求解得：/(cos sin )32sin()
F mg ααα?=+=+，其
A
B Q
P
中0
60?=。当030α=时F 有极值：
min F =。
例2、如图3所示，用光滑的粗铁丝做成一个直角三角形ABC ，BC 边水平，ABC α∠=，AB 及AC 上分别套有用细绳连着的小环P 、Q 。当它们相对静止时，细线与AB 边所成的夹角θ的变化范围是多少？
分析：题设中没有说明P 、Q 质量的大小，可用假设法来判断这个问题中可能出现的临界状态。
若Q 的重力大于P 的重力，则可不计P 的重力，P 的平衡转化为二力平衡，此时细绳的拉力与AB 对环P 的支持力几乎在同一直线上垂直于AB 的方向，即θ接近/2π。
若P 的重力远大于Q 的重力，则可不计Q 的重力，Q 的平衡转化为二力平衡，此时绳的拉力与AC 对环Q 支持力几乎在同一直线上垂直于AC 的方向，即θ接近α。
综上分析，θ的变化范围是：/2αθπp p 。
归纳：对于平衡状态问题，正确进行受力分析是找到临界条件、寻找问题突破口的关键。若题设中某些力是末知的，可
根据题设条件进行恰当而又合理的假设。
三、动力学中的临界问题
例1、如图4所示，斜面体的质量为2M kg =，
质量为1m kg =的物体放在倾角为37θ=0的斜面上，，斜面与物体间的动摩擦因数为0.2μ=，地面
光滑。现对斜面体施加一水平推力F ，要使物体相
对斜面静止不动，力F 应为多大？（取2
10/g m s =，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
分析：采用极限分析方法，把F 推向两个极端来分析，当F 很小时，物
体将相对斜面下滑；当F 很大时，物体将相对斜面上滑，因此F 不能太小也不能太大，F 的取值是一个范围。
解：设物体处于相对斜面下滑的临界状态。推力为F ，此时物体的受力情况如图5所示，则
对m ：sin cos cos sin 0
N N ma N N mg θμθθμθ-=??+-=? 对（m M +）：()F M m a =+
联立以上三式代入数据得： 4.78/a m s =2，14.3F N =。
归纳：求解此类问题的关键点是正确进行受力分析，找出临临界条件，列出动学方程和平衡方程。建立坐标系时，要注意以加速度方向为x 正方向。 设物体处于相对斜面向上滑的临界状态，推
力为F '，此时物体的受力如图6所示，则
对m ：sin cos cos sin 0
N N ma N N mg θμθθμθ'+=??--=? 对（m M +）：()F M m a ''=+
联立三式并代入数据得：11.2/a m s '=2
，33.6F N '=。所以推力的范围是：14.333.6N F N ≤≤。
例2、一物体沿动摩擦因数一定的斜面加速下滑，图7中哪个比较准确地表述了加速度a 与斜面倾角的关系？ （ ）
分析：题设中没有明显的临界条件。设动摩擦因数为μ，当物体在斜面上滑动时有：sin cos a g g θμθ=-，可作如下的假设：
（1）当0θ=时，物体静止在水平面上，0a =；
（2）当arctan θμ=时，物体沿斜面匀速下滑；
（3）当arctan θμf 时，物体加速下滑，
（4）当90θ=0
时，0,f a g ==，物体做自由落体运动。综合以上几种假设易知D 正确。
归纳：进行合理假设是找出问题的临介条件的重要手段。
例3、一物体由静止开始沿不同长度的光滑斜面滑到水平面上的B 点，这些斜面的起点都在竖直墙壁处，如图8所示，已知B 点距墙角的距离为b ，要使小物体从斜面的起点滑到B 点所用的时间最短，求斜面的起点距地面的高度是多少？最短时间是多少？
分析：用数学分析方法。设小物体从A 点沿倾角为θ
的斜面滑下到B 点，则AB 长为：/cos s b θ=，
加速度为：sin a g θ=，则有 21sin cos 2
b t g θθ= 解得：
t = 由以上结果分析可知：当45θ=0即h b =时，下滑的时间最短，最短
时间为：min t =
归纳：数学法是解题的重要工具。
例4、如图9所示，在竖直平面内有一固定点O ，O 点系一长为l 的轻绳绳的另一端系一质量为m 的小球，把小球拉离平衡位置使绳与竖直方向的夹角为(/2)θθπp ，然后让小球绕O 点在竖直平面内摆
动，现在O 点的正下方A 点钉一铁钉，要使小球能摆到原
来的高度，则铁钉A 与O 点的距离l X 必须满足什么条件？
分析：小球若能摆到最高位置，意味着小球达到最高点时的速度为零。小球的运动轨迹是圆周的一部分，那么圆周上哪些位置小A
b θ B
球的速度可能为零？先来分析这个问题。找圆周上三个特殊位置和二个一般位置来分析，这五个位置的受力情况如图10所示，对应的动力学方程为：
位置1：211v F mg m l
-= ① 位置2：222cos v F mg m l
θ-= ② 位置3：233v F m l
= ③ 位置4：244cos v F mg m l
θ+= ④ 位置5：255v F mg m l += ⑤ 要使小球在竖直平面内做圆周运动，则绳对小球的拉力必须大于或等于零，即0F ≥，在1、2、3三个位置小球的速度可以为零，而在4、5位置小球的速度不能为零，否则小球将会离开圆周，若小球保持做圆周运动，由④⑤两式可知，当0F =时，有0v f 。由上面的分析可知；要使小球在圆周上运动，且在某点的速度等于零，则这些位置只能在圆周水平直径以下的这部分圆周上（包括水平直径的两个端点），在这个问题中，水平直径的两个端点就是临界点。
所以，该题中要求小球能摆到原来的高度，则钉子的位置与小球释放时的位置在同一等高线上是临界位置，钉子的位置只能在这一等高线以上，即l x cos l θ≤。
归纳：在竖直圆周上运动的问题较复杂，分析这类问题的关键是分析物体在不同位置时的受力情况，然后建立动力学方程进行讨论分析。实际上，要使小球在绳子的拉力作用下能在竖直平面内做完整的圆周运动，必须具备的条件就是绳子的拉力大于或恰好等于零，
由此可以得出小球达到最高点时v 这一速度临界条件。
四、振动和波中的临界问题
例1、把一根长度为10cm 的轻弹簧下端固定，上端连一个质量为m 的物块P ，在P 的上面再放一个质量也是m 的物块Q ，系统静止后，弹簧的长度为6cm ，如图11所示。如果迅速撤去Q ，物块P 将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是多少？
分析：由题意可知在撤去Q 后物块P 将在竖直方向做简谐运动，即以平衡位置为中心做往复运动，找到平衡位置和确定振动的振幅
是求解问题的关键：平衡位置在重力和弹力平衡的位置，由
题设条件可知，平衡位置在弹簧长度为8cm 的位置；P 刚
开始运动时，弹簧的长度是6cm ，可知振幅是2cm 。根据
对称性可知弹簧的最大长度为10cm 。 例2、质量分别为2A m kg =和3B m kg =的两物块A 、B 用轻弹簧相连后竖直放在水平面上，现用力F 把物块向下压而使之处于静止状态，如图12所示，然后突然撤去外力，要使物块B 能离开地面，则压力F 至少要为多大（设该过程在弹性限度内进行）？
分析：先假设B 是不动的，则撤去压力F 后，A 将在竖直平面内做简谐运动，平衡位置在弹簧压缩量为0A m g x k
=
的位置；若要物体B 能被拉离地面，则弹簧至少要被拉长B m g x k =，可见A 物体的振幅为： 0()B A m m g A x x k
+=+=，所以压力F 至少为： ()50B A F kA m m g N ==+=。 归纳：由以上两例分析可知：求解这一类问题一要正确进行受力分析，二要灵活运用简谐运动对称性的特点。
例3、一列横波沿x 轴传播，a 、b 是x 轴上的两点，相距s 6m =，0t =时b 点恰好振动达到最高点，而a 点正好经过平衡位置向上振动，已知这列波的频率为25Hz 。试求该波的最大波速。
分析：该题没有说明a 、b 在x 轴上的距离与波长的关系以及波的传播方向，也就是存在一个波的传播方向及波速不确定的问题，波可能是沿x 轴正方向传播，也可能是沿x 轴负方向传播；若a 、b 在x 轴上的距离小于一个波长则波速最大。
解：若波沿a b →方向传播：34s n λλ=+，443s n λ∴=+， 波速为：4600/4343
sf v f m s n n λ===++，（0,1,2,3...n =） 当0n =时波速最大，m max 200/m s =。 若波沿b a →方向传播：14s n λλ=+，441s n λ∴=+， 波速为：4600/4141
sf v f m s n n λ===++，（0,1,2,3...n =） 当0n =时波速最大，m max 600/m s =。
归纳：对于波动问题，由于其运动规律有周期性的变化，在一般求解中往往含有多个解，若题中有了其他条件的限制，就有了符合条件的特定解（最大或最小），在本题中就是求波的上限值（也可以说是临界值）。若题目给出的是波传播方向上两点的传播时间，求波的传播速度则其波速有下限值，即有最小值。求解波动问题一定要注意以下两点，一是两大特性：波动的周期性（空间和时间的周期），波传播方向的不确定性；二是三大关系：质点间距离与波长的关系，传播时间与周期的关系，质点振动方向与波传播方向的关系。
五、电磁学中的临界问题
例1：A 、B 表示真空中相距为d 的平行金属板，极板长为L ，加上电压后，其间的电场可视为匀强电场，在0t =时，将图13所示的方形波加在A 、B 上，且U A U =0，
U B 0=，
此时恰有一带电微粒沿两板中央飞入电
场。微粒质量为m （不计
重力），带电量为q ，速度大小为v ，离开电场时恰能平行于金属板飞出，求（1）所加交变电压U 0的取值范围，（2）所加电压的频率应满足什么条件？
分析：若要粒子恰能平行于金属板方向飞出，就要粒子在离开电场时只有平行于金属板的速度，而垂直于金属板方向的速度为零。带电粒子在进入电场以后只受电场力作用，但电场力是周期性地变化的，在这种周期性电场力的作用下，带电粒子的运动可以分为这样两个分运动：垂直于电场方向的匀速直线运动；平行于电场方向的匀变速直线运动（加速度大小不变）。平行于电场方向的运动是比较复杂的：第一个半周内，粒子做初速度为零的匀加速运动，第二个半周内，做匀减速直线运动，末速度变为零；第三、四个半周期内的运动依次重复第一、二两个半周期内的运动。由粒子的运动情况分析可知，要使粒子能平行于金属板飞出，必须满足二个条件：一是粒子在电场中运动的时间只能是电压周期的整数倍，即t nT =，这样才能证证粒子离开电场时只具有平行于金属板方向的速度；二是粒子不能落到极板B 上，在电场中平行于电场方向运动的距离要小于极板间距离的一半，即/2y d p 。这两个条件就是问题的临界条件。
解：由上面的分析有临界条件：t nT =，2
d s p ， 结合垂直于电场方向的运动规律和平行于电场方向的运动规律：
L t v =， 0qU qE a m md
== 2
21()2224
T naT s a n =?= 联立以上各式得：22022nmd v U qL p 、nv f L
=，(1,2,3.......)n =。 归纳；处理这类问题的关键是正确进行受力分析，确定物体的运动规律，特别注意速度的变化和加速度的变化，再结合题目所给的约束找出问题的临界条件。
例2、金属板M 、N 平行放置，两板间距为4d cm =，板长4d cm =，板间加有平行于板面的匀强磁场，如图14所示，
两板之间用导线相连。当电子束从M 、N 两板
正中间以速度810v =?7/m s 沿平行于板的方
向射入板间，结果在板的周围末发现电子飞出板
间，由此可知板间的磁感应强度B 必须符合什
么条件？
分析：由题意可知，电子没有飞出板间，则一定是打在了极板上。两板间无电场，只有磁场，电子在磁场中只受到向左的洛仑兹力作用。根据电子的受力情况，电子只能在匀强磁场中做匀速圆周运动。由于极板的制约，电子打在极板上的位置只能是M 上，当电子打在M 的上端时对应最小的半径，当电子打在M 板的下端时对应最大的半径，这两种情况就是问题的临界状态，求出这两种临界状态对应的圆半径就可求出磁感应强度的大小，可见磁感应强度的大小是一个范围。
解：如图15所示，当半径最小时： 12d R =1
mv eB =， 代入数据得：211 4.610mv B T eR -=
=? 当半径最大时：22222()2
d R R d =-+得254R d =， 22mv R eB =，代入数据得：322
9.110mv B T eR -==?， 所以磁感应强度B 符合的条件是：329.110 4.610T B T --?≤≤?。
归纳：带电粒子在磁场中运动时洛仑兹力只能改变粒子的运动方向。而不能改粒子速度的大小，粒子一般情况下做圆周运动，由于题设条件的限制，粒子可能的运动轨道只能在一定的范围，这个范围就是临界条件，由临界条件求出轨道半径是求解这类问题的关键。
N
例3、如图16所示，A 、B 为竖直放置足够长的平行板，板间距离为1.010d =?-2m ，A 板中央有一电子源P 能沿水平方向连续发射速度为
0 3.210?:7/m s 范围的电子。
若两平行板之间不加磁场，电子将打在B 板的P '；现两平行板间加一垂直于纸面向里、磁感应强度为39.110B -=?T 的匀强磁场。已知电子质量为319.110m -=?kg ，电子电量 1.610e =?-19C ，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地。
（1）问是否有电子打到B 板？如有则电子击中B 板的范围如何？并求出其长度。
（2）令 3.210v =?7/m s ，若B 板的右侧加一与B 板成600
角斜向下方的匀强电场，电场强度为E （图16中没有画出），并去掉B 板。求速度最大的电子从P 点出发至打到A 板上所经历的时间t 的表达式。
分析：题设中给定了电子的速度范围，这些垂直
于磁场方向进入的电子只有速度达到一定值才可以
打到B 板上，打到B 板上的电子的最小轨道半径为d ，这是该题的一个临界状态。
解：（1）设能打到B 板上的电子的最小速度为v 0，由牛顿第二定律及向心力公式得：
200mv ev B R =，即：70 1.610/edB v m s m
==?。 可见有电子打在B 板上。对应速度为v 0的电
子恰能打在M 点，M 点距P '点的距离为P M '=d 。 当电子的速度为最大时，设它能打在B 板上的N 点，对应的半径为R '，这是该题的另一个临界状态，如图16所示。由牛顿第二定律及向心力公
A P
O
B P / N d 图16
式得：
2mv evB R ='，即：22.010mv R m eB
-'==?。 又由图16中的几何关系有：
2R d '= ，30PO N '∠=0
02(1cos30)0.26810P N R m -''=-=?。
所以电子打在B 板上的长度为：
20.7310NM P M P N m -''=-=?。
（2）由（1）可知2R d '=，即粒子运动轨迹PN 所对的圆心角为300，则电子沿平行于电场的方向进入电场，所以电子在电场中先作减速运动，然后反向作匀加速运动，再次进入磁场，最后打在A 板上。由于电子返回磁场时速度大小没变，所以圆周运动的轨道半径不会变，在图17中由几何关系不难发现：电子最后打在A 板上时其轨迹恰好与A 板相切，这是该题的又一个关键性的临界状态。
由P N →的时间：1126T m t eB
π=
=， 在电场中运动的时间：222v mv t a eE
=?=， 由N A →的时间：363T m t eB π==，总时间为：22m mv t eB eE π=+。 归纳：该题涉及的知识点虽不多，但是一道难度较大的题，如何确定电子的运动过程和可能的轨迹是难点，解决办法就是找出关键性的临界状态，从而确定电子在相应的临界状态时的运动轨迹，再恰当地利用物理知识和几何知识来求解。
六、光学中的临界问题
例1、如图18所示，M 是一直立的平面镜，P 1P 2是竖直放置的米尺，AB 是一遮光板，在米尺上开一小孔s ，某人眼睛紧贴小孔s 可从M 中看到米尺的某部分的像。
（1）试画图标明人眼睛通过平面镜能看到米尺在AB 下面的部位。
（2）为使人眼不能通过s 在M 中看到米尺在AB 的下部位，可在M 上贴一遮光纸，试在图中确定出所贴纸的最小尺寸及位置。
分析：（1）标明人眼睛通过平面镜能看到米尺
在AB 下面的部位，必须找出其边界光线。根据光
路可逆原理，若将人眼看成是点光源，则从s 射出
的光线经M 反射后能照射到的区域就是能被人看
得到的区域。为确定这个区域，在图18中先根据平面镜成像的对称性画出人眼的像s '，其中一条边界线就是s A '连线所对应的入射光线，s A '连线与M 相交于a 点，与P 1P 2相交于c 点，连接as ；另一条边界线是sA 的连线所对应的反射光线，sA 的连线与M 相交于b 点，连接s b '延长交P 1P 2于d 点，则cd 段即为人眼能观察到的范围。最后在,as bs ，,ca db 上并标上表示光的传播方向的箭头。
（2）由于米尺上的cd 段只能通过M 的ab 部分反射才能达到s 处，故只要在ab 部分贴上遮光纸，S 处的眼睛就不能从M 中看到AB 以下米尺的任何部位。
归纳：利用光路可逆原理进行逆向思维是解决光学问题的一个重要手段，将眼睛做为发光体把问题转化为求点光源发出的光经平面镜反射后所能照射到的范围问题，从而使问题得以简化。确定边界线即临界条件是求解观察范围的关键。
例2、（05北京）如图19所示，用折射率为n 的透明介质做成内、外半径分别为a 、b 的的空心球，当一束平行光射向此球壳，经球壳外、内表面两次折射，而能进入空心球壳的入射平行
光束的横截面积是多大？
分析：根据对称性可知所求光束的横
截面是一个圆面。所以关键是求出这个圆
的半径R ，即找出边界光线。
解：设入射光线AB 为所求光束的临界光线，入射角为i ，经球壳外表面折射后折射角为r ，因为AB 是临界光线，所以射向内表面的光线的入射角恰好等于临界角，在ΔOEB 中由正弦定理得：
sin sin a b r C
=（C 是临界角），1sin C n =， sin sin i n r =， 所以，sin sin a a b n r i ==。 由几何关系有：sin R b i a ==，进入空心球壳的入射平行光束的横截面积是：22S R a ππ==。
归纳：在折射问题中边界光线与临界角有不可分割的密
切关系，充分利用几何关系是求解问题的关键。
体验：
1、一跳伞运动员从350m 高空离开飞机落下，为了以最
短时间落到地面，开始末张开降落伞而自由下落一段距离后
才张开伞，张开伞后跳伞运动员以2/m s 2的加速度匀减速下降，到达地面时速度为4/m s ，求：
（1）跳伞运动员自由下落的时间；
（2）跳伞运动员在距地面多高处开始张伞？
（3）跳伞运动员在空中运动多长时间？
2、如图20所示，已知物体A 的重力为G ，重物与竖直墙面的动摩擦因数为μ，外力F 与竖直方向夹角为θ，要使物体A
不掉下来而处于静止状态，求外力F 的取值范围。
3、如图21所示，轻绳AC AB =，当小车以速度2.5/v m s =匀速运动时，AB 、AC 两段绳的张力分
别是5N 和3N ，那么当小车的加速度分别是：（1）2.5/m s 2，（2）5/m s -2，
（3）8/m s 2
时两绳的张力各是多少？（图示方向为加速度方向）。 4、一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，母线与轴线的夹角为30θ=0
，
图21
如图22所示，长为l 的轻绳一端固定在圆锥的顶点o 点，另一端拴一个质量为m 的小球（可看作质点），小球以速率v 绕圆锥的轴线做水平匀速圆周运动。
（1
）当v =时，求绳子对小球的拉力。
（2
）当v =
5、一带电量为q ，质量为m 的小球从一倾角为θ的斜
面上由静止开始滑下，斜面处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外，求小球在斜面上滑行的速度范围和最大距离。
6、如图23（a ）所示，在平面坐标系xoy 的第一象限内有一个匀强磁场，磁感应强度大小恒为B ，方向垂
直于xoy 平面，且随时间做周期
性的变化，如图（b ）所示，规
定垂直于xoy 平面向里的磁场
方向为正。一个质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，在0t =时刻从坐标原点以初速度v 0沿x 轴正方向射入在磁场中运动，经过一个磁场变化周期T （T 末确定）的时间，粒子达到第一象限内的某一点P （不计粒子重力）。
（1）若OP 连线与x 轴之间的夹角为450
，则磁场变化周期T 为多大？ （2）因P 点的位置随着周期的变化而变化，试求P 点纵坐标的最大值为多少？此时磁场的变化周期T 又为多少？
7、（05东北模拟）横截面积为矩形的粗细
均匀的玻璃棒被弯成如图20所示的半圆环形
状，其内半径为R ，横截面宽为d 。一束平
行光垂直于玻璃棒左水平端面射入，并使之全部从右水平端面射出，则R 与d 的最小比值是多少？（已知玻璃的折射率为 1.5n =）
（参考答案：）
1、3.5,290,18.7;s m s
2、cos sin cos sin G G F θμθθμθ
≤≤+-；3、2,5,N N 5.12N ；4、1.03,2mg mg ；5、sin mg v qB
θ≤，2222cos 2sin m g B q θθ；6、m qB π，
(2mv qB + 53m qB
π；7、2。 本文载于<高中物理知识探究与思维方法>
(注:需要<高中物理知识探究与思维方法>的老师或同学可与本人联系.每本20元，包括邮寄费。)
高中物理常见临界问题（极值问题）分析处理训练 一问题概述： 当物体由一种运动形式（物理过程与物理状态）变为另一种运动形式（物理过程与物理状态）时，可能存在一个过渡的转折点，即分界限的现象。这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。这是量变质变规律在物理中的生动表现。如:力学中的刚好滑动；正常行驶;宇宙速度，共振；电学中电源最大输出功率；光学中的临界角；光电效应中的极限频率等 解决临界问题，通常以定理、定律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。 所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最值结果。求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括（1）利用矢量图求极值（2）用三角函数关系求极值；（3）用二次方程的判别式求极值；（4）用不等式的性质求极值。（5）导数法求解。一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。极值问题与临界问题从本质上说是有区别的，但高考中极值问题通常都可用物理临界法求解。 解答临界问题的关键是找临界条件。许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。 有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，耐心讨论状态的变化，可用极限法（把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来）假设法（即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。）数学函数极值法等方法找出临界状态。然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。 ※为了提高解题速度，可以理解记住一些重要的临界条件及状态： 物体自由地沿斜面刚好匀速下滑则μ=tgα。 物体刚好滑动静摩擦力达到最大。 两个物体沿同一直线运动，在速度相等时距离最大或最小。 两物体刚好相对静止必速度相等、加速度相等。 两个物体距离最近（远），相对速度相等。 速度达到最值——沿速度方向的合外力为零(曲线运动时则切向合外力为零) 两个一同运动的物体刚好(不)脱离时，两物体间的弹力刚好为零，速度、加速度相等。 刚好到达某点——速度为零（速度不一定为零） 物体刚好(不)滑出——物体到达末端时二者等速。 在竖直面内做圆周运动，绳端物体刚好到达最高点——绳拉力为零，重力是向心力， 杆端物体刚好到达最高点——物体速度等于零。 两个物体刚好(不)分离——两物接触且弹力为零，速度加速度（垂直接触面方向）相等。绳刚好拉直——绳直且拉力为零，绳刚好拉断——张力等于绳所能承受最大拉力。 刚好不相撞——两物体间距为零时等速。 碰撞过程碰后相对速度为零时，损失的动能最大 粒子刚好(不)飞出两极板间匀强电场或匀强磁场——轨迹与板边缘相切，粒子刚好(不)飞出磁场区——轨迹与磁场边界相切。
高中物理中的临界与极值问题 宝鸡文理学院附中何治博 一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。 高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等
词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。 二、常见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件： 1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角 为0 45 2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时 刻 3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰 好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。
动力学中的临界问题 1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件。用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。 2．临界或极值条件的标志 （1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在着临界点； （2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态； （3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点； （4）若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。 3．产生临界问题的条件 （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N =0。 （2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。 （3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T =0。 （4）加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。 例1：如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg 的恒力F 向上拉B ，运动距离h 时，B 与A 分离，下列说法正确的是( ) A ． B 和A 刚分离时，弹簧长度等于原长 B ．B 和A 刚分离时，它们的加速度为g C ．弹簧的劲度系数等于mg h D ．在B 和A 分离前，它们做匀加速直线运动
课堂练习：（临界问题） 1、一劲度系数为m N k /200=的轻弹簧直立在水平地板上，弹簧下端与地板相连，上端与一质量kg m 5.0=的物体B 相连，B 上放一质量也为kg 5.0的物体A ，如图。现用一竖直向下的力F 压A ，使B A 、均静止。当力F 取下列何值时，撤去F 后可使B A 、不分开 ( ) A.N 5 B.N 8 N 15 D.N 20 2、如图，三个物块质量分别为1m 、 2m 、M ，M 与1m 用弹簧联结，2m 放在1m 上，用足够大的外力F 竖直向下压缩弹簧，且弹力作用在弹性限度以内，弹簧的自然长度为L 。则撤去外力F ，当2m 离开1m 时弹簧的长度为___________，当M 与地面间的相互作用力刚为零时，1m 的加速度为 。 3、如图，车厢内光滑的墙壁上，用线拴住一个重球，车静止时，线的拉力为T ，墙对球的支持力为N 。车向右作加速运动时，线的拉力为T '，墙对球的支持力为N '，则这四个力的关系应为：T ' T ；N ' N 。（填>、<或＝）若墙对球的支持力为0，则物体的运动状态可能是 或 。 4、在光滑的水平面上，B A 、两物体紧靠在一起，如图。A 物体的质量为m ，B 物体的质量m 5，A F 是N 4的水平向右的恒力，N t F B )316(-=（t 以s 为单位），是随时间变化的水平力。从 静止开始，当=t s 时，B A 、两物体开始分离，此时B 物体的速度方向 朝 （填“左”或“右”）。 5、如图，在斜面体上用平行于斜面的轻绳挂一小球，小球质量为m ，斜面体倾角为θ，置于光滑水平面上 (g 取2/10s m )，求： （1）当斜面体向右匀速直线运动时，轻绳拉力为多大； （2）当斜面体向左加速运动时，使小球对斜面体的压力为零时，斜面体加速度为多大； （3）为使小球不相对斜面滑动，斜面体水平向右运动的加速度的最大值为多少。
高中物理临界问题解题技巧类解 临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。 极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。 一、运动学中的临界问题 例1、一列客车以速度v 1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度v 2匀速前进，且v 1v 2，货车车尾与客车车头相距s 0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。求客车的加速度a 符合什么条件两车才不会撞上？ 分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S ≤S 0。下面用两种方法求解。 解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：21112 s v t at =-，货车：22s v t =， 两车不相撞的条件：21,v v at =-120s s s -≤。 联立以上各式有：2 120 ()2v v a s -≥。 解法二：客车减速到2v 的过程中客车的位移为：1212v v s t += ， 经历的时间为：12v v t a -=；货车的位移为：22s v t =，
高中物理必修一常考题型 一、直线运动 1、xt图像与vt图像 2、纸带问题 3、追及与相遇问题 4、水滴下落问题（自由落体） 二、力 1、滑动摩擦力的判断 2、利用正交分解法求解 3、动态和极值问题 三、牛顿定律 1、力、速度、加速度的关系； 2、整体法与隔离法 3、瞬时加速度问题 4、绳活结问题 5、超重失重 6、临界、极值问题 7、与牛顿定律结合的追及问题 8、传送带问题 9、牛二的推广 10、板块问题 11、竖直弹簧模型
一、直线运动 1、xt 图像与vt 图像 2014生全国（2） 14.甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t =0到t=t 1的时间内，它们的v-t 图像如图所示。 在这段时间内 A.汽车甲的平均速度比乙大 B.汽车乙的平均速度等于2 21v v C.甲乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 2016全国（1） 21.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v -t 图像如图所示。已知两车在t =3s 时并排行驶，则 A.在t=1s 时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前7.5m C ．两车另一次并排行驶的时刻是t =2s D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离 为40m 2、纸带问题 【2012年广州调研】 34．（18分） (1) 用如图a 所示的装置“验证机械能守恒定律” ①下列物理量需要测量的是__________、通过计算得到的是_____________（填写代号） A ．重锤质量 B ．重力加速度 C ．重锤下落的高度 D ．与下落高度对应的重锤的瞬时速度 ②设重锤质量为m 、打点计时器的打点周期为T 、重力加速度为g ．图b 是实验得到的一条纸带， A 、 B 、 C 、 D 、 E 为相邻的连续点．根据测得的s1、s2、s3、s4写出重物由B 点到D 点势能减少量的表达式__________，动能增量的表达式__________．由于重锤下落时要克服阻力做功，所以该实验的动能增量总是__________（填“大于”、“等于”或“小于”）重力势能的减小量
高中物理临界问题总结 物理常见临界条件有哪些呢?正在备考的同学们赶紧来看看高中物理知识点物理常见临界条件汇总。下面是小编为您整理的作文，希望对您有所帮助。 高中物理临界问题总结 1.演绎法:以原理、定理和定律为依据,先找出所研究问题的一般规律和一般解,然后分析讨论其特殊规律和特殊解,即采用从一般到特殊的推理方法。 2.临界法:以原理、定理或定律为依据,直接从临界状态和相应的临界量入手,求出所研究问题的特殊规律和特殊解,以此对一般情况进行分析讨论和推理,即采用林特殊到一般的推理方法。 由于临界状态比一般状态简单,故解决临界问题时用临界法比演绎法简捷。在找临界状态和临界量时,常常用到极限分析法:即通过恰当地选取某个物理量(临界物理量)推向极端(“极大”和“极小”,“极左”和“极右”等),从而把隐蔵的临界现象(或“各种可能性”)暴露出来,找到解决问题的“突破口”。因此,先分析临界条件 物理学中临界问题题1 如图所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是 A.处为拉力,为拉力
B.处为拉力,为推力 C.处为推力,为拉力 D.处为推力,为推力 解析因为圆周运动的物体,向心力指向圆心,小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向O,向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力,而重力方向向下,故杆必定给球向上的拉力,小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力,即小球的重力恰好对球没有作用力,即小球的重力恰好提供向心力,设此时小球速度为vb,则:mg = m vb = 当小球在最高点的速度vvb时,所需的向心力Fmg,杆对小球有向下的拉力;若小球的速度vvb时,杆对小球有向上推力,故选A、B正确 评析本题关键是明确越过临界状态vb = 时,杆对球的作用力方向将发生变化。
高考物理常见临界条件汇总 物理常见临界条件有哪些呢? 一、临界状态和临界条件 当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态。出现临界状态时，该状态既可理解成“恰好出现”也可理解为“恰好不出现”。与临界状态相关的物理条件称为临界条件。解答临界问题的关键是找出临界条件。 临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力求准确把握题目的物理情景，分析清楚物理过程，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从而找出临界条件。 许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“最小”、“不相碰”、“不脱离”等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时一定要抓住这些特定的词语发掘出内含规律，找出临界条件。 二、临界情况————————临界条件 绳刚好被拉直——绳上拉力为零 刚好不上(下)滑保持物体静止在斜面上的最小水平推力拉动物体的最小力——静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡 转盘上“物体刚好发生滑动”——向心力为最大静摩擦力 绳刚好被拉断——绳上的张力等于绳能承受的最大拉力 两个物体距离最近(远)——速度相等 天车下悬挂重物水平运动，天车突停——重物从直线运动转为圆周运动，绳拉力增加 绳系小球摆动，绳碰到(离开)钉子——圆周运动半径变化，拉力突变 使通电导线在倾斜导轨上静止的最小磁感应强度——安培力平行于斜面 圆形磁场区的半径最小——磁场区是以公共弦为直径的圆 双弹簧振子弹簧的弹性势能最大——弹簧最长(短)，两端物体速度为零 速度达到最大——物体所受合外力为零 刚好不相撞——两物体最终速度相等或者接触时速度相等 刚好不分离——两物体仍然接触、弹力为零原来一起运动的两物体分离时不只弹力为零且速度和加速度相等 粒子刚好飞出(飞不出)两个极板间的匀强电场——粒子运动轨迹与极板相切 杆端物体刚好通过最高点——物体运动到最高点时速度为零 绳端物体刚好通过最高点——物体运动到最高点时重力(“等效重力”)等于向心力速度大小为刚好运动到某一点(“等效最高点”)——到达该点时速度为零 物体刚好滑出(滑不出)小车——-物体滑到小车一端时与小车的速度刚好相等 粒子刚好飞出(飞不出)磁场——粒子运动轨迹与磁场边界相切 粒子刚好飞出(飞不出)两个极板间的匀强电场——粒子运动轨迹与极板相切 粒子刚好飞出(飞不出)磁场——粒子运动轨迹与磁场边界相切 粒子刚好飞出(飞不出)两个极板间的匀强电场——粒子运动轨迹与极板相切
圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N
变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小，
物体的平衡单元测试 一、选择题 1．关于静摩擦力，下列说法正确的是 ．两个相对静止的物体之间一定有静摩擦力的作用 B．静摩擦力一定是阻力 受静摩擦力作用的物体一定是静止的 D．在压力一定的条件下，静摩擦力的大小是可以变化的，但有一定限度 ．关于相互接触的两物体之间的弹力和摩擦力，下列说法正确的是 A．有摩擦力一定有弹力 B．摩擦力的大小与弹力成正比 C．有弹力一定有摩擦力D．弹力是动力，摩擦力是阻力 3．一个弹簧挂30N的重物时，弹簧伸长1.2cm，若改挂100N的重物时，弹簧总长为20cm，则弹簧的原长为 12cm B．14cm C．15cm D． 16cm 4．把一个力分解成两个力，并已知一个力的大小和另一个力的方向．下列说法错误的是A．可能无解 B．可能有一个解 C．可能有两个解 D．一定有两．将一个力F=10N分解为两个分力，已知一个分力的方向与F成30°角，另一个分力的大小为6N，则在分解中 A．有无数组解 B．有两解 C．有唯一解 D．无解 6．在分析物体受力时，下面的说法正确的是 ．向上抛出后的物体受到向上的作用力 B．两物体相互挤压时，其弹力沿接触面垂直的方向指向施力物体 ．轻绳的拉力方向指向绳子收缩的方向 D．放在斜面上的物体受到的重力可分解成下滑力和正压力 7．三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心Oa位于球心，b球和c球的重心Ob、Oc分别位于球心的正上方和球心的正下方，如图1-87所示，三球均处于平衡状态．支点P对a球的弹力为Na，对b球的弹力为Nb，对c球的弹力为Nc，则 A．Na= N b= Nc B．Nb＞Na＞Nc C．Nb＜Na＜Nc D．Na＞Nb=N c 8．如图1-88所示，物体在水平力F作用下静止在斜面上，若稍增大水平力 F，而物体仍能保持静止，下列说法正确的是 ．斜面对物体的静摩擦力及支持力都不一定增大 ．斜面对物体的静摩擦力及支持力都一定增大
高中物理常见的“临界条件” 一、刚好不相撞 两物体最终速度相等或者接触时速度相等。 二、刚好不分离 两物体仍然接触、弹力为零，且速度和加速度相等。 三、刚好不滑动 1.转盘上“物体刚好发生滑动”：向心力为最大静摩擦力。 2.斜面上物体刚好不上（下）滑：静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 3.保持物体静止在斜面上的最小水平推力: 静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 4.拉动物体的最小力：静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 四、运动到某一极端位置 1.绳端物体刚好通过最高点（等效最高点）：物体运动到最高点时重力（等效重力）等于向心力，速度大小为(gR)1/2[(gˊR)1/2]. 2.杆端物体刚好通过最高点：物体运动到最高点时速度为零。 3.刚好运动到某一点：到达该点时速度为零。 4.物体刚好滑出（不滑出）小车：物体滑到小车一端时与小车速度刚好相等。 5.粒子刚好飞出（飞不出）两个极板间的匀强电场：粒子沿极板的边缘射出（粒子运动轨迹与极板相切）。 6.粒子刚好飞出（飞不出）磁场：粒子运动轨迹与磁场边界相切。 五、速度达到最大或最小时：物体所受的合外力为零，即加速度为零 1.机车启动过程中速度达最大匀速行驶：牵引力和阻力平衡。 2.导体棒在磁场中做切割运动时达稳定状态：感应电流产生的安培力和其他力的合力平衡。 六、某一量达到极大（小）值 1.两个物体距离最近（远）：速度相等。 2.圆形磁场区的半径最小：磁场区是以公共弦为直径的圆。 3.使通电导线在倾斜导轨上静止的最小磁感应强度：安培力平行于斜面。 4.穿过圆形磁场区域时间最长：入射点和出射点分别为圆形直径两端点。 七、绳的临界问题 1.绳刚好被拉直：绳上拉力为零。 2.绳刚好被拉断：绳上的张力等于绳能承受的最大拉力。 3.绳子突然绷紧：速度突变，沿绳子径向方向的速度减为零。 八、运动的突变
2010物理学科高考总复习----约束问题与临界值问题专题 现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。 1．有关约束问题的基本概念 如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。那么该曲线或曲面就称为约束。例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束问题。图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运 动限制作用的抽象。 约束的分类随依据不同而异。按约束随时间改变与否，可分为 稳定约束与不稳定约束。例如图2中，如果斜面体是固定的，则称 为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜 面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。按其约束的方向来分， 可分为单向约束和多向约束。如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。 力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。例如图1中绳子对小球的拉力，图2 中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和
作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。 2．约束反力的求解 约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。 [例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r， 两者连线与竖直线成β角。如图5所示。试求： （1）摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。 （2）小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情 况下，L、r、β、α之间的关系。 [解析]（1）小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于 单向约束问题。小球摆到图示位置B时，是以钉子A为圆心的，以L—r为半径的圆周运动。设绳子对小球的约束反力为T，AB线与竖直夹角为θ，由机械能守恒定律得 由牛顿运动定律得此时法向方向方程 式（1）、（2）联立解得 （2）若绳子发生弯曲，则T=0，意味着约束解除，由此条件求得
[学习目标]掌握动力学连接体问题和临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件． 一、动力学的连接体问题 1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，如图1所示，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．
图1 2．整体法：把整个连接体系统看作一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力． 3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形． 4．整体法与隔离法的选用 (1)求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法． (2)求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．
如图2甲所示，A、B两木块的质量分别为m A、m B，在水平推力F作用下沿水平面向右加速运动，重力加速度为g. (1)若地面光滑，则A、B间的弹力为多大？ (2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，则A、B间的弹力为多大？ (3)如图乙所示，若把两木块放在固定斜面上，两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，在方向平行于斜面的推力F作用下沿斜面向上加速，A、B间的弹力为多大？
图2 答案(1) m B m A＋m B F(2) m B m A＋m B F(3) m B m A＋m B F 解析(1)若地面光滑，以A、B整体为研究对象，有F＝(m A＋m B)a， 然后隔离出B为研究对象，有F N＝m B a， 联立解得F N＝m B m A＋m B F. (2)若动摩擦因数均为μ，以A、B整体为研究对象，有F－μ(m A＋m B)g＝(m A＋m B)a1，然后隔 离出B为研究对象，有F N′－μm B g＝m B a1，联立解得F N′＝m B m A＋m B F. (3)以A、B整体为研究对象，设斜面的倾角为θ， F－(m A＋m B)g sin θ－μ(m A＋m B)g cos θ＝(m A＋m B)a2 以B为研究对象 F N″－m B g sin θ－μm B g cos θ＝m B a2 联立解得F N″＝m B m A＋m B F. 连接体的动力分配原理：两个物体(系统的两部分)在外力(总动力)的作用下以共同的加速度运动时，单个物体分得的动力与自身的质量成正比，与系统的总质量成反比.相关性：两物体间的内力与接触面是否光滑无关，与物体所在接触面倾角无关.
2009年罗山高中高三物理第二轮专题复习 临界问题 一、特别提示 当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。 解答临界问题的关键是找临界条件。 许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。 有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。 临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景， 抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。 二、历年高考题 1．（19分） （05年，全国Ⅰ卷 24）如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方 地面上的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为)(31m m 的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
解析： 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为x 1，有 k x 1=m 1g ① 挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2，有k x 2=m 2g ② B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹 簧性势能的增加量为△E=m 3g(x 1+x 2)－m 1g(x 1+x 2) ③ C 换成 D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得 E x x g m x x g m m v m v m m ?-+-++=++)()()(2 1 )(21211211321213 ④ 由③④式得 )()2(2 12112 31x x g m v m m +=+ ⑤ 由①②⑤式得 k m m g m m m v )2()(2312 211++= ⑥ 2. （06年，全国Ⅰ卷 20）一位质量为m 的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt 时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v 。在此过程中， A .地面对他的冲量为mv+mg Δt ，地面对他做的功为1 2 mv 2 B .地面对他的冲量为mv+mg Δt ，地面对他做的功为零 C .地面对他的冲量为mv ，地面对他做的功为1 2 mv 2 D .地面对他的冲量为mv －mg Δt ，地面对他做的功为零 答案 ：B 3.(15分) （07年，全国Ⅰ卷 23）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 mis 的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S 0-13.5 m 处作了标记，并以V-9 m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20m. 求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a. (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离. 解：(1)设经过时间t ，甲追上乙，则根据题意有vt-vt/2=13.5
高考物理题中的临界问题 当物体由一种物理状另一种物理状，可能存在一个渡的折点，物体所的状 通常称界状，与之相关的物理条件称界条件。 解答界的关是找界条件。多界，干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”??等界状出了明确的暗示，，一定要抓住些特定的 掘内含律，找出界条件。 一、做直运的物体“达到最大（小）速度”的界条件: 物体加速度等于零1．如图 3— 25 所示，一个质量为m 的物体固定在劲度系数为k 的轻弹簧右端，轻弹簧的左端固定在竖直墙上，水平向左的外力推物体把弹簧压缩，使弹簧 长度被压缩了 b ，弹性势能为E。已知弹簧被拉长（或者压缩） 图 3— 25 x 时的弹性势能的大小E p1 kx 2，求在下述两种情况下， 2 撤去外力后物体能够达到的最大速度？ （1）地面光滑。 （2）物体与地面的动摩擦因数为。 3．如图（ a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。 导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩 R m v 1形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始B L 时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移 （a） 动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为 f 的恒 定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内，求导体棒所达到的恒定速度 v2；
4 如图所示，一根长L = 1.5m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为 E ==×105N / C 、与水平方向成θ＝300角的倾斜向上的匀强电场中。杆的下端 M固定一个带电小球 A ，电荷量Q＝+×10－6C；另一带电小球 B 穿在杆上可自由滑动，电荷量 q＝+×10一6C，质量 m＝×10 一 2 B 从杆的上端 N静止释放，小球92 kg 。现将小球 B 开始运动。（静电力常量 k＝×10 N·m ／ C2，取g =l0m / s2)。求小球B的速度最大时，距M 端的高度 h1为多大？ 6．一竖直绝缘杆MN上套有一带正电q ，质量为m的小铜环，环与杆 之间的动摩擦因数为，杆处于水平匀强电场和水平匀强磁场共存的 m q 空间，如图3— 4— 45 所示，电场强度为E，磁感应强度为 B ，电场 和磁场方向垂直。当自由释放小铜环后，它就从静止开始运动，设场 区足够大，杆足够长，求环在运动中的最大加速度和最大速度。 7．如图所示，一质量为m的带电小球，用长为l 的绝缘细线悬 挂在水平向右的匀强电场中，静止时悬线与竖直方向成θ 角θ （<45o）。如果不改变电场强度的大小而突然将电场的方向变为 E m 竖直向下，电场方向改变后，带电小球的最大速度值是多少？ 8．如图，水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场相互 垂直。在电磁场区域中，有竖直放置的，半径为R 的光滑绝缘A E 圆环，环上套有一个带正电的小球。已知小球所受电场力与重 O B
高中物理常见的“临界条件”，99%的童鞋都会分析错！相信很多同学都有这样的经验，在做题时，看不出这是临界情况，头脑一热，就走到别的路上了，带大家梳理一下这些易错的临界条件！ 一、刚好不相撞 两物体最终速度相等或者接触时速度相等。 二、刚好不分离 两物体仍然接触、弹力为零，且速度和加速度相等。 三、刚好不滑动 1.转盘上“物体刚好发生滑动”：向心力为最大静摩擦力。 2.斜面上物体刚好不上（下）滑：静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 3.保持物体静止在斜面上的最小水平推力: 静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 4.拉动物体的最小力：静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡。 四、运动到某一极端位置 1.绳端物体刚好通过最高点（等效最高点）：物体运动到最高点时重力（等效重力）等于向心力，速度大小为(gR)1/2[(gˊR)1/2]. 2.杆端物体刚好通过最高点：物体运动到最高点时速度为零。
3.刚好运动到某一点：到达该点时速度为零。 4.物体刚好滑出（不滑出）小车：物体滑到小车一端时与小车速度刚好相等。 5.粒子刚好飞出（飞不出）两个极板间的匀强电场：粒子沿极板的边缘射出（粒子运动轨迹与极板相切）。 6.粒子刚好飞出（飞不出）磁场：粒子运动轨迹与磁场边界相切。 五、速度达到最大或最小时：物体所受的合外力为零，即加速度为零 1.机车启动过程中速度达最大匀速行驶：牵引力和阻力平衡。 2.导体棒在磁场中做切割运动时达稳定状态：感应电流产生的安培力和其他力的合力平衡。 六、某一量达到极大（小）值 1.两个物体距离最近（远）：速度相等。 2.圆形磁场区的半径最小：磁场区是以公共弦为直径的圆。 3.使通电导线在倾斜导轨上静止的最小磁感应强度：安培力平行于斜面。 4.穿过圆形磁场区域时间最长：入射点和出射点分别为圆形直径两端点。 七、绳的临界问题 绳刚好被拉直：绳上拉力为零。 绳刚好被拉断：绳上的张力等于绳能承受的最大拉力。 绳子突然绷紧：速度突变，沿绳子径向方向的速度减为零。 八、运动的突变 天车下悬挂重物水平运动，天车突停：重物从直线运动转为圆周运动，绳拉力增加。 绳系小球摆动，绳碰到（离开）钉子：圆周运动半径变化，拉力突变。 物体运动到曲面和水平面的交界处：对支持面的压力突变。 稳定轨道上运行的卫星突然加速或减速：卫星变轨，做离心运动或近心运动。
几何光学中高考常考的五类热点问题 几何光学是高考的重点和热点，对几何光学的考查，主要采用多知识点的综合命题形式。下面是近年高考几何光学的综合问题。 一、反射和折射综合问题 例1.（03年江苏卷） 如图1，一玻璃柱体的截面为半圆形，单色细光束从空气射向柱体的O点（半圆的圆心），产生反射光束1和透射光束2，已知玻璃折射率为3，入射角为45°（相应的折射角为 24°）。现保持入射光不变，将半圆柱体绕通过O点垂直于图面的轴线顺时针转过15°，如图中虚线所示，则（）。 图1 A. 光束1转过15° B. 光束1转过30° C. 光束2转过的角度小于15° D. 光束2转过的角度大于15° 解析：原来入射光线的入射角是45°，当半圆柱体顺时针转过15°，入射角变为60°，入射角增加了15°，则原来的反射光线要转过30°角，即光束1要转过30°角，选项B正确。根据折射定律知道，入射角与折射角不是正比关系，而是入射角正弦与折射角的正弦成正比，并且折射角的改变角度总小于入射角的改变角度。因本题入射角增加了15°角，折射角也要增加，但比入射角增加的角度要小，即光束2转过的角度小于15°。正确选项为BC。 2. 反射和全反射综合题 例2.（04年江苏卷） 如图2所示，只含黄光和紫光的复色光束PO，沿半径方向射入空气中的玻璃半圆柱后，被分成两光束OA和OB，沿如图2所示方向射出，则（）。
图2 A. OA 为黄光，OB 为紫光 B. OA 为紫光，OB 为黄光 C. OA 为黄光，OB 为复色光 D. OA 为紫光，OB 为复色光 解析：黄光和紫光在玻璃和空气的分界面上都要发生反射，反射时遵循反射定律，故OB 光束是黄光和紫光的复色光；光由光密介质进入光疏介质时，如果入射角大于或等于临界角，光就会发生全反射。又因为玻璃对黄光的折射率小于对紫光的折射率，从而知黄光发生全反射的临界角大于紫光的临界角，也就是说，同样的入射角，当紫光恰好发生全反射时，黄光还没有发生；当黄光恰好发生全反射时，紫光已经发生。本题就是黄光恰好发生全反射的情况，故光束OA 是黄光。本题的正确选项为C 。 3. 折射和全反射综合题 例3. （05年全国I 卷） 图3为一直角棱镜的横截面，∠bac ＝90°，∠abc ＝60°。一平行细光束从O 点沿垂直于bc 面的方向射入棱镜。已知棱镜材料的折射率n =2，若不考虑原入射光在bc 面上的 反射光，则有光线（ ）。 图3 A. 从ab 面射出 B. 从ac 面射出 C. 从bc 面射出，且与bc 面斜交 D. 从bc 面射出，且与bc 面垂直 解析：根据sin // C n ==112可知，棱镜的临界角C ＝45°。光线垂直BC 边进入棱 镜后，由几何知识和反射定律可知∠1＝60°（图4），∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∠5＝