第一章 函数·极限·连续
一. 填空题
1．设?∞-∞
→=??
?
??+a t ax
x dt te x x 1lim , 则a = _2._______. 2. =___
21_____.??? ??+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222
211lim
3. 已知函数???=0
1
)(x f
1
||1||>≤x x , 则f[f(x)] ___1____.
4. )3(lim n n n n n --+∞
→=___233lim
=-+++-+∞
→n
n n n n n n n n ____.
5. ??
?
??-→x x x x 1sin 1
cot lim 0
=______.
解. 6
1
6sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim
020300==-=-=-?→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x
6. 已知A n n n k
k n =--∞→)1(lim 1990
(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______.
所以 k －1=1990, k = 1991;
1991
111===k A A k ，
二. 选择题
1. 设f (x )和?(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ?(x )有间断点, 则 (a) ?[f (x )]必有间断点 (b) [ ?(x )]2必有间断点 (c) f [?(x )]必有间断点 (d) )
()
(x f x ?必有间断点 所以(d)是答案.
2. 设函数x
e
x x x f sin tan )(??=, 则f(x)是
(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 极限???
?
?
?
+?+++?+?∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在
解., 所以(b)为答案.
4. 设8)
1()1()1(lim 5025
95=+++∞→x ax x x , 则a 的值为
(a) 1 (b) 2 (c) 5
8 (d) 均不对
解.所以(c)为答案. 5. 设βα
=------∞→)23()
5)(4)(3)(2)(1(lim
x x x x x x x , 则α, β的数值为
(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 53
1
(d) 均不对 解. (c)为答案.
6. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时
(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小
(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小 解. 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim
0=++++→x
a
x x x x , 则a 的值为
(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.所以(a)为答案. 8. 设02)
1()21ln()cos 1(tan lim
220
2
≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有
(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c 解.所以(d)为答案.
三. 计算题 1. 求下列极限 (1) x
x x e x 1)(lim ++∞
→
解. e e e e
e
e x x
x
x x x x e x e x e x x
e x x x
x
x =====++++++∞
→+∞
→+∞→+∞→11lim
)ln(lim
)
ln(1lim )(lim
(2) x x x
x )1
cos 2(sin
lim +∞→
解. 令x
y 1
=
y
y x x y y x
x 1
0)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim
)
cos 2ln(sin lim 00e e
e y y y y y
y y y y ==+-+→→
(3) 3
1
0sin 1tan 1lim x x x x ??? ??++→
解. =??
? ??++→3
1
0sin 1tan 1lim x x x x 3
1
0sin 1sin tan 1lim x x x x x ??? ?
?
+-+→
3)s i n 1(s i n
t a n s i n
t a n s i n 10s i n 1s i n t a n 1lim x x x x x x x x x x x +--+→???
????
?
??
? ??
+-+==3
0sin tan lim x x
x x e -→ =3
)
cos 1(sin lim
x x x x e
-→=2
12
sin 2sin lim
3
2
e e
x x x x =?→.
2. 求下列极限 (1) 3
2
31
1
2arcsin )11ln(lim
--+→x x x
解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换 331323
1
3231
2
21
121lim
1
21
lim
1
2arcsin )11ln(lim
=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ??
?
?
?-→x x x 2
2
0cot
1lim 解. 方法1：
???
?
?-→x x x 220cot 1
lim =???? ??-→x x x x 2220sin cos 1lim =???
?
??-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =????
??+-→42
20cos )1(1lim x x x x =???
? ??++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x
x x x x x x x x →→++- =2
1
122cos 2sin cos 4cos 2lim
220+++-→x x x x x x x =2
1
31242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim 0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =3
2
2131612131242sin 2lim
0=++-=++-→x x x
3. 求下列极限 (1) )1(ln lim
-∞→n
n n n
n
解. n n
n n n n n n n n ln 1
lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)
1ln(lim
0=+→x x x
(2) nx
nx
n e e --∞→+-11lim
解. ??
?
??-=+---∞→101
11lim
nx
nx
n e e 000<=>x x x (3) n
n n n b a ???
?
??+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0 解. n
n
n
n b a ???
?
??+∞→2lim a b c n x /,/1== x c x
x
x x x ae c a 2
ln )1ln(lim
10021lim -+→+→+=???
?
??+
=ab a
b
a
c a ae ae
x
x x x x c c
c x c ====+-++→+→1ln lim
2
ln )1ln(lim
00
4. 求下列函数的间断点并判别类型
(1) 1
212)(11+-=
x
x
x f
解. 11
212lim )0(1
10
=+-=+
→+
x
x
x f , 11
212lim )0(1
10
-=+-=-
→-x
x
x f
所以x = 0为第一类间断点.
( 2 ) ???????-+=1
1sin cos 2)2()(2x x
x x x f π 00>≤x x
解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;
1
1
s i n l i m
)(l i m 21
1
-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2
(π
-
f 不存在, 而2
cos 2)2(lim
2
π
ππ
=+-
→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;
∞=+-
-→x
x x k x c o s 2)
2(lim 2
ππ
π, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.
5. 讨论函数??
?
??+=βα
x e x x x f 1sin )(
00≤>x x 在x = 0处的连续性.
解. 当0≤α时)1
sin (lim 0x
x x α+
→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;
当0>α, 0)1sin (lim 0=+→x x x α
, 所以 1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.
6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 n
n
c c c c x f c x f c f ++++++=
212211)()()(ξ.
证明: 令M =)}({max 1i n
i x f ≤≤, m =)}({min 1i n
i x f ≤≤
所以 m ≤
n
n
c c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M
所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得n
n
c c c c x f c x f c f ++++++=
212211)()()(ξ
7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.
8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈?x x f x x ?. 所以x x f x -=)()(?恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈?x x f x x ?. 令)(min 1
0x m x ?≤≤=, 则0>m .
因此m x x f x x ≥-=∈?)()(],1,0[?. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.
9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 f(ξ) = g(ξ).
证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以 在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.
11. 设????
???>=<-=?0
cos 101
0)cos 1(2
)(0
22x dt t x x x x x x f x
试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.
解. 202
00200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x
x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=??+
++→→→+ 0221lim 21cos lim 202
0=-=-=++→→x
x x x x x 320200)c o s 1(2l i m 1)c o s 1(2
l i m )0()(l i m )0('x
x x x x x x f x f f x x x --=--=-=+
+-→→→- 06)
1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=+
+→→x x x
x x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.
12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=???
??+→x x f x
x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及2
3
)(lim
x
x f x +→. 解. 0)
(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=??
? ??+→→→x x f x x
x x xf x x x f x x x x x . 所以 0)(3s i n l i m 0
=??
?
??+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0
连续. 所以f(0) = －3. 因为
0)(3s i n l i m 20=+→x
x f x x x , 所以03
)(33sin lim 20=++-→x x f x x
x , 所以 2
030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-
=+→→→→ =2
9
23sin 3lim
0=→x x x 02
9
03)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=?=+?=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x 由2
9
3)(lim 20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 2
93
)(0)0(''!21
)0(')0(lim 2220=
++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .
第二章 导数与微分
一. 填空题 1. x
x
x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 111)
1()1()!1(2)1(++++++?-=k k k x k f
, 所以1
)
()
1(!2)1(++?-=n n n x n f 2. 设???=+=t
y t x cos 12 , 则=22dx d y
______.
解. t t
dx dy 2sin -=, 3
2'
224cos sin 214sin 2cos 22sin t t t t t t t t t dx
dt t t dx y d t -=--=??? ??-= 3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e
y
x 确定, 则
=dx
dy
______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以
xy
x e e xy y y y x y
x sin sin '--=++
4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 所以 k x f x f =-=)(')('00
5. 设f(x)可导, 则=??--?+→?x x n x f x m x f x )
()(lim 000____)(')(0x f n m +___.
6. 设)('31)()(lim
0000x f x x f x k x f x =?-?+→?, 则____3
1
=k ____. 7. 已知
x x f dx d 112=????????? ??, 则=??
?
??21'f _______. 解. x x x f 121'32=???? ??-, 所以21'22x x f -=??
?
??. 令x 2 = 2, 所以11'2-=??? ??x f
8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dx
dy
_______. 解.
)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dx
dy
= 9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e y
x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程
为_______. x y 2
1
1=-, 即 x －2y + 2 = 0.
二. 单项选择题
1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是
(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解.. (a)是答案.
2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解., 所以. (d)是答案
注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()
(n f
存在的最高阶导数n 为
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 所以n = 2, (c)是答案.
4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ?x 时, 记?y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x
dy
y x ?-?→?0lim
等于
(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义?y = dy + o (?x), 所以0)
(lim lim
00=??=?-?→→?x
x o x dy y x x . (b)是答案.
5. 设?????+=b
ax x x x f 1sin
)(2
00≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数
解. 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题
1. ')]310ln[cos(2
y x y ，求+=
解. )310tan(6)
310cos(6)310sin('22
2x x x x x y +-=+?+-= 2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++=
解. ='y ???
?
??++++?
++2
22
2211)][ln('x a x x a x x a x f =
2
2)]
[ln('x
a x a x f +++
3. 设y 为x 的函数是由方程x
y
y x arctan
ln
22=+确定的, 求'y . 解.
22222221'2'22x
y x y x y y x y x yy x +-=+++ y x y yy x -=+'', 所以y
x y
x y -+=
' 4. 已知???==t
e y t e x t
t cos sin , 求22dx y
d . 解. t
t t
t t e t e t e t e dx dy t
t t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=, dt
dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1
)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 2
2222?+--+-=?
??? ??+-= 3
22)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-
= 5. 设2
/32
2
)(x x u y y x +=+=，, 求
du
dy
解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212
++=
dx x x x dx
du dy
y )12(23)12(2++=
+
)
12()12(32
2+++=
x x x y du dy 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且???-=-=)1()(3t
e f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx y
d . 解. )('3)1('33t f
e e
f dx dy t t -=
, 所以0
=t dx dy
=3. 3
333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3
t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以
2
322)]
0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+==
7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组???=+=e
e e te x y
t t
2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. e e e e e y t t y t t 2'-=-=. 所以)
2)(1(1
2''e e t te e e e e x y dx dy t
t t t t
t t -+=+-== 所以
e
t dx dy 21
1-==.
t t t
t t e e e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=???? ??-+= 所以 2
22811e
t dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2
32
2
3222
3
2)41(411811
)'1(|''|-
-+=??
? ??
+=
=+=e e e e t y y k
四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时 ???++=c
bx ax x f x F 2
)
()(
>≤x x 二阶可导.
解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 0
x F x F x x +
-→→=, 所以c = f (－0) = f (0); 因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且 ??
?+=-
)0('2)
(')('f ax x f x F 00>≤x x
)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以
a x
f f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )
0(')('lim 00=-+=--→→+
-
, 所以 )0(''2
1
f a =
五. 已知)0(1)()
(2
2n f x
x x f ，求-=. 解. x
x x f +?+-?+
-=112111211)(
1
1)
()1()1(21)1(!21)(+++-?
+-?=n n
n n x x n x f
0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, … !)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, … 六. 设x x y ln =, 求)1()
(n f
.
解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 1
21
)1()()
()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+?=n n n n n n n x
n n x n x x n x x x f
=1
2
112
1)!2()1()1()!2()
1(-------=??
????+----n n n n n x n x n x n n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n 七. 已知
'.,sin cos 200
2
2
y y tdt dt e x y t 求+=??
解. 两边对x 求导, 2
22
2
cos 2cos 2',cos '2cos 2'2
2
y
y e
x x y y yy x x y e y y -=
+=
第三章 一元函数积分学(不定积分)
一. 求下列不定积分: 1.
?-+-dx x x
x 11ln 112
解. =-+-?dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +??
? ??-+=-+-+?2
11ln 4111ln 11ln 21 2. c x x x x d x x dx x x x
+???
??-+=-+-+=-++??2
211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.
?++?+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2
解. c x x x x d x x dx x x x x x +??
? ??++=++++=++?+++??2
2cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.
?
+)
1(8
x x dx
解. 方法一: 令t
x 1
=,
c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=??
?
??+-
=+???
)1ln(81
11111
)1(88782
8 = c x +??
? ??+-811ln 81
5．dx x
x x x x x dx x x x ??+++
-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ???
+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 11
21cos sin 1sin cos 2121 dx x x x x x x x d x ??++++++-=2
cos 22cos 2sin 21
2
1cos sin 1)cos sin 1(21212
2tan 12
tan 121|cos sin 1|ln 2121x
d x x x x ?++++-=
c x
x x x +++++-=|12
tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121
二. 求下列不定积分: 1.
?+++2
2)
1(2
2
x x x dx
解.
?
?++++=+++1
)1()1()1(22)
1(2222
x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ?t t t dt
sec tan cos 22 =?++++-=+-=c x x x c t t tdt 1
2
2sin 1sin cos 22
2.
?+2
4
1x
x
dx
解. 令x = tan t,
?????++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt x
x
dx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224
=c x x x x
+++???
?
??+-23
2
1131
3.
?++2
2
1)12(x
x
dx
解. 令t x tan =
????+=+=+=++t t d dt t t t dt t t t x
x dx
2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12( =c x
x c t ++=+2
1arctan
sin arctan
4.
?-2
2
2x a dx x (a > 0)
解. 令t a x sin =
???
+-=-=?=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dx
x 2sin 412122cos 1cos cos sin 222222
22
=c x a a
x
a x a +??
?
??--222
2arcsin 2
5.
?-dx x 32)1(
解. 令t x sin =
????
++=+==-dt t
t dt t tdt dx x 4
2cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(224
3
2
=
?+++=+++c t t t dt t t t 4sin 321
2sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 4
1
1(2sin 41arcsin 83
=c t
t t x +-++)4
sin 214(
cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+
)25(18
1
arcsin 8322 6.
?
-dx x x 4
21
解. 令t
x 1=
???
--=??
? ??--=-dt t t dt t t t t dx x
x 224
224
211111
u t sin =令?-udu u 2
cos sin =c x x c u +-=+3
323
3)1(cos 31
7.
?-+dx x x
x 1
1
2
2
解. 令 tdt t dx t x tan sec ,
sec ==
?
??++=+=+=-+c t t dt t tdt t t
t t dx x x
x sin )cos 1(tan sec tan sec 1
sec 1
1
2
22
c x
x x
+-+
=1
1
arccos 2 三. 求下列不定积分:
1. ?+-+dx e e e e x x
x
x 1
243 解. ???+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x
x x x x x x x x x x x x x )arctan(1
)()(11222243 2.
?+)41(2x x dx
解. 令x
t 2=, 2
ln t dt
dx =
c t
t dt t t t t dt dx x x +--=??? ??+-=+=+???2
ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++-
-)2arctan 2(2
ln 1
四. 求下列不定积分:
1. ?-dx x x 100
5
)2(
解. ???---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 99
49959951005)2(99
5)2(99)2(991)2(
=?--??+-?---dx x x x x x x 983984995)2(98
994
5)2(98995)2(99 =96
2973984995)
2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-?????--???--?---x x x x x x x x c x x x +-?????
???--???????-
94
95)
2(95969798992345)2(95969798992345 2.
?+4
1x
x dx
解.
???
?+-=+-=+-
=+22244
424)
(1211111
/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令
c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=?2
4
22
1ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令
五. 求下列不定积分: 1.
?xdx x 2
cos 解. ???
+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 41
41)2cos 1(21cos 22 ?-+=xdx x x x 2sin 41
2sin 41412
c x x x x +++=2cos 8
1
2sin 41412
2.
?xdx 3
sec
解.
???-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec
3
=?
?
-++=--xdx x x x x xdx x x x 3
2
sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan sec
c x x x x x
d x +++=
?|t a n s e c |ln 2
1
tan sec 21sec 3 3. ?dx x
x 2
3
)(ln 解. ???+-=-=dx x x x x x d x dx x x 2
23
323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln
?+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ?+---=dx x x x x x x x 2236
ln 6)(ln 3)(ln c x
x x x x x x +----=6
ln 6)(ln 3)(ln 23 4.
?dx x )cos(ln
解.
???-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln ∴c x x x
dx x ++=?
)]sin(ln )[cos(ln 2
)cos(ln 5.
??
??---+-=-
==dx x x x x xd dx x x x
x dx x
x
x 2
sin 812sin 812sin 812
cos 2sin 2
cos 81
sin 2cos 22233
4
34
c x x x x
d x x x +--=+-=---?2
cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1.
?
-++dx x x x x 2
22)
1()
1ln( 解.
??
-++=-++2
2
22211)1ln(21)1()1ln(x d
x x dx x x x x =
?+?---++dx x
x x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt t t x x x 2222sec sec 1
tan 1121)1(2)1ln(??---++? =dt t t x x x ?---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =?---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c t
t x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(2
2 =c x
x x
x x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222
2.
?
+dx x
x x 2
1arctan
解.
?
??
++-+=+=+dx x
x x x x xd dx x
x x 2
2
2
22
11arctan 11arctan 1arctan =c x x x x dx x x x +++-+=+-
+?
)1ln(arctan 111arctan 1222
2
3. ?dx e e x
x
2arctan 解. dx e e e e e de e dx e e x
x x x
x x x x x ???++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ?++-=--22121arctan 21?++-=-dx e e e e x x x
x )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x
x x x
x x x x +++-=+-+-=---?)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设???-+-+=-x
e
x x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求?dx x f )(. 解.
?????-+-+=-?
??
dx e x x dx
x x dx x f x )32()3)1ln(()(22
???
??+++-+-+--+=-1
22222)14(3)]1ln([2
1)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以
c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c
?
dx x f )(??
?
??++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([2
1)1ln(212222
2 00<≥x x
八. 设x b x a e f x
cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令t x e t x
ln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以
?
+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)( =
c x a b x b a x
+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2
九. 求下列不定积分: 1.
?
-dx x x 234 解. 令t x sin 2=
??
?--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323 =c x x c t t +---=++-23
225253)4(3
4)4(51cos 532cos 332
2.
?>-)0(2
2a dx x
a x 解. 令t a x sec =
???
+-===>-c at t a tdt a t t a t
a t
a a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c x
a
a a x +--arccos
2
2
3.
dx e
e e x
x x ?
-+21)1(
解.
=
-+?
d e
e e x
x x 21)1(?-dx e
e x
x 21+dx e
e x
x ?
-221
=
?
-x x e de 21－dx e e d x
x ?--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4.
?-dx x
a x
x
2 (a > 0)
解. ?-dx x a x x 2 x u =令 ?-du u a u 2
4
22 t a u sin 2=令 ?tdt a 42sin 8
=??+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24
)2cos 1(8222
2
=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-?4sin 4
2sin 2324cos 122sin 2242
22
2
2
=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432
222
=c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333
222 =c a
x
a a x a x a a x a a x a a x a +----2222222232arcsin
3222
=c x a x x a a x a +-+-)2(2
32arcsin
32
十. 求下列不定积分:
1. ?+-dx x x
cos 2sin 2 解. ???++++=+-x
x d dx x dx x x cos 2)
cos 2(cos 212cos 2sin 2
t x =2t a n 令 ??+++=+++-+
+|cos 2|ln 322|cos 2|ln 11212222
22x t dt x t t t dt =
c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 3
1arctan 34|cos 2|ln 3arctan 34
2.
?+dx x x x
x cos sin cos sin
解. ??
+-+=+dx x
x x x dx x x x x cos sin 1
cos sin 2121cos sin cos sin =?
??+-+=+-+dx x
x dx x x dx x x x cos sin 1
21)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =?++
--)
4
sin()4(42)cos (sin 21ππ
x x d x x =
c x x x ++--|)8
2tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1.
?++dx x x
x )32(332
解. ??+=+=++++c x d dx x x x x x x x 3
ln 3)3(3)32(3
32
332
2
2
2.
?-+-dx x x x
)13()523(2
32
解. )523()523(2
1)13()523(2
23
22
32
+-+-=-+-??x x d x x dx x x x
c x x ++-=25
2
)523(5
1
3.
dx x
x x ?
+++2
21)
1ln(
解.
??
+++=
++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 2
1)1ln()1ln(1)
1ln(22
222
2 4.
?+++++)
11ln()11(2
22
x x x
xdx
解.
c x x x
d x x x
xdx
+++=++++=+++++?
?|)11ln(|ln )
11ln()11ln()
11ln()11(222222
十二. 求下列不定积分: 1.
?+dx x x x )1(arctan 2
解.
???-+-=++=+1
222222)1(arctan 2
1)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ??+++-=+++-
=dx x x x x d x x x 2
2222)1(1
211arctan 21arctan 11211arctan 21
dt t x x tdt x x t x ??+++-=++-=2
2cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 22
2令
c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-
=cos sin 41
arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c x
x
x x x aex +++++-=2
2141arctan 411tan 21 2.
?+dx x x
1arcsin
解. 令t x t x
x
2tan ,1arcsin
==+则
???++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx x
x
tan tan tan tan tan 1arcsin
2222 c x x
x x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin
六年级上册数学计算题及答案
六年级上册数学计算题及答案【篇一：六年级计算题练习大全】 1810187 （3）9.56＋4.875－＋1.44 5711 （21）－ 615155122 （22）4 －3＋1 －2 73735424 17 7 （18）3635 737324） 25）（357 29）435 －11 4－1.75＋0.4 32）（13－1 33）2－[137 6 ＋（4 －12）] 4） 37）[（21545
4 ＋6 －3 ）（（（（（（（（（（（（ 8771 981682 5 655 3 751172 849 511310 8108119124 20255541 12152 8921 34 43511 9416413 （78）25.125― ―17.4 51919 8259 531
78566 62021 381512 584348 －2.09）] 10 114 3） 7－7 （66）121111 4 5 4）] （78）25.125―13 5 ―17.4 7452 【篇二：六年级数学上册计算题过关练习】 xt>班级: 姓名: 总分: 1、直接写出得数。(20分) 7 （3） 6 ）
3、解方程。(10分) （1） 4、列式计算。(20分) （1）一个数的3 5是30，这个数是多少？ 六年级数学计算题过关练习一 班级: 姓名: 总分: 1、直接写出得数。(20分) = 2、怎样简便就怎样算。(20分) （1）3－712－512（2）5355 （3） 6 ） 3、解方程。(10分) （1） 4+3）=24 4、列式计算。(20分) （1）一个数的3 5 是30，这个数是多少？ （2）比一个数多12%的数是112，这个数是多少？解决问题：（30分） 1、一枝钢笔18元，一枝毛笔的价钱是钢笔的1 3 。一枝毛笔的价钱是多少？ 2、一块长方形草坪，长30米，宽是长的56 。这块草坪的面积是多少？
《高等数学（经济数学1）》课程习题 集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（）
A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
经典的小学一年级趣味数学游戏经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。 小伙伴的游戏 让你的小伙伴任意写一个三位数，要求两端的数字不同，并把它们的差告诉你。写好后，再让他把这个数两端的数字交换位置，又得到一个数。 然后，把较大的数减去较小的数，所得的差一定可以被9整除，而你总能够说出这个差被9除的商是多少。 商等于那个三位数两端数字的差与11的乘积。例如，845－548＝297，297÷9＝33＝×11。
为什么会这样呢？一个办法，是把所有的三位数，一个一个地算一遍。 另一个办法，是摹仿“一个求平方的速算法”的答案，用字母代替三位数给出证明。 猜数游戏 取1到12个数，把它们沿一个圆圈摆好。无论谁从这个圆圈里暗定一个数，都能够很快地把它猜出来。当然，也可以用12张*牌猜暗定的牌点，还可以拿一个时钟来猜暗定的钟点。 好。现在你让一个小朋友，在心里暗定圆圈中的一个数。然后，你在这个圆圈上给他指定任意一个数，并用心算把这个数加上12，算好了，你大声说出这个数，就让暗定数的人，从他自己确定的数默数起，要求在心里默数的时候，从你指定的那个数开始数，沿圆圈反时针方向挨个数过去，一直数到你大声说出的那个数为止。这样，就正好停在他暗定的数上。 假定小朋友暗定圆圈中的数是5，你指定的数是9，把12与9用心算加起来，得21。然后，你对他说：“请你默数，
由你指定的那个数数起，从9开始数，沿反时针方向，依次数过去。当数到21，你就停下来。”他从5那里开始，由数9数起，9、10、11……数到21，就会停在他暗定的数5上。这个游戏有点唬人。其实，道理简单。从5到9是这样数：5、6、7、8、9；从9到5，也得经过这几个数：9、8、7、6、5.只是要倒过来数。加12，再数一圈，又回到同一个数5。 明白了道理，还可以编出许多更有趣的游戏。例如暗定5、指定9，你就可以变个花样，说：“现在，我敲桌子。敲第一下，你在心里，把你暗定的数加1。敲第二下，你再加1。这样如下去，当加到21时，你就大声说21。”这时，你停止敲桌子，就可以指出他暗定的数是5。 为什么你准能指出5呢？因为你在敲桌子的时候，在心里数着1、2、3、……他说“21”时，你数到16。考虑到他是从9数起，要是从5数起，那你应数到17。然后，你由9那里开始，反时针方向从1数到17，就数到了5。 正方形的剪纸 怎样用一张长方形的纸折出一个正方形？ 用上题裁好的长方形纸ABCD，把其中的一条短边BC，与
中考数学计算题大全及答案解析 1．计算： （1）； （2）． 【来源】2018年江苏省南通市中考数学试卷 【答案】(1)-8；（2） 【解析】 【分析】 （1）先对零指数幂、乘方、立方根、负指数幂分别进行计算，然后根据实数的运算法则，求得计算结果； （2）用平方差公式和完全平方公式，除法化为乘法，化简分式． 【详解】 解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】 本题考查的知识点是实数的计算和分式的化简，解题关键是熟记有理数的运算法则. 2．（1）计算： （2）化简： 【来源】四川省甘孜州2018年中考数学试题 【答案】（1）-1；（2）x2 【解析】 【分析】 （1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，计算即可得到结果．
（2）先把除法转化为乘法，同时把分子分解因式，然后约分，再相乘，最后合并同类项即可． 【详解】 （1）原式=-1-4× =-1- =-1； （2）原式=-x =x(x+1)-x =x2． 【点睛】 此题考查了实数和分式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（1）解不等式组： （2）化简：（﹣2）?． 【来源】2018年山东省青岛市中考数学试卷 【答案】（1）﹣1＜x＜5；（2）． 【解析】 【分析】 （1）先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】 （1）解不等式＜1，得：x＜5， 解不等式2x+16＞14，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜5； （2）原式=（﹣）?
=? =． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤和分式混合运算顺序和运算法则． 4．先化简，再求值：，其中． 【来源】内蒙古赤峰市2018年中考数学试卷 【答案】， 【解析】 【分析】 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值，最后代入计算可得． 【详解】 原式（x﹣1） ． ∵x=22﹣（1）=21，∴原式．【点睛】 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．5．先化简，再求值．（其中x=1，y=2） 【来源】2018年四川省遂宁市中考数学试卷 【答案】-3. 【解析】 【分析】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
1.计算：22 ﹣1|﹣． 2计算：( )0 - ( )-2 + 45° 3.计算：2×(－5)＋23－3÷． 4. 计算：22＋(－1)4＋(－2)0－|－3|； 5.计算：30 82 145+-Sin 6.计算：?+-+-30sin 2)2(20． 7.计算， 8.计算：a(3)+(2)(2) 9.计算： 10. 计算：()()03 32011422 - --+÷- 11.解方程x 2 ﹣41=0． 12.解分式方程 2 3 22-= +x x
13．解方程：＝．14.已知﹣1=0，求方裎1的解． 15.解方程：x2+4x－2=0 16.解方程：-1)-x)= 2．17.（2011.苏州）解不等式：3﹣2（x﹣1）＜1．18.解不等式组： 19.解不等式组 () ()() ? ? ? + ≥ - - + - 1 4 6 1 5 3 6 2 x x x xπ 20.解不等式组 ?? ? ? ? < + > + .2 2 1 ,1 2 x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解：原式=1-4+12.
3.解：原式10+8-68 4.解：原式＝4＋1＋1－3＝3。 5.解：原式= 222222=+-． 6. 解：原式＝2＋1＋2×2 1＝3＋1＝4． 7. 解：原式=1+2﹣ +2× =1+2﹣ + =3． 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解：原式=5+4-1=8 10. 解：原式3 1122 -- 0． 11. 解：（1）移项得，x 2 ﹣4﹣1， 配方得，x 2 ﹣44=﹣1+4，（x ﹣2）2 =3，由此可得x ﹣2=±，x 1=2+，x 2=2﹣； （2）1，﹣4，1．b 2 ﹣4=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0． 2±， x 1=2+，x 2=2﹣． 12.解：10 13.解：3 14. 解：∵﹣1=0，∴a﹣1=0，1；2=0，﹣2． ∴﹣21，得2x 2 ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=． 经检验：x 1=﹣1，x 2=是原方程的解．∴原方程的解为：x 1=﹣1，x 2=． 15.解: 4168426 26x -±+-±- 16. 解：去分母，得 3=2(1) . 解之，得5. 经检验，5是原方程的解. 17. 解：3﹣22＜1，得：﹣2x ＜﹣4，∴x＞2． 18.解：x ＜-5 19.解：15≥x 20. 解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为x ＋1＜4 x ＜3 故原不等式组的解集为－1＜x ＜3．
一年级趣味数学小游戏：10以内的数 教学10以内数的组成时，我设计了一个“碰球”的游戏来巩固10以内数的组成。如我先出示数字8，对学生说：“嗨、嗨，我的3球碰几球？”学生可以说：“嗨、嗨，你的3球碰5球，”学生说出的数必须与老师说的数合起来是8。在这样愉快的氛围中，几乎所有的学生都能迅速地说出碰球的数，于是10以内数的组成很快就被小朋友牢牢地记住了。 10以内数的分与合 在教学《10以内数的分与合》时，我设计一个扔皮球的游戏，让学生讨论数的分与合的不同方法。学生分成小组，指名学生拿10个皮球，看谁先报出他扔进几个皮球，就让谁来扔皮球，并请他讲讲是怎么想的。如一个学生扔完后，篮外有3个皮球。有的说我是想3和7合成10，所以扔进7个球；有的说前面一个同学篮外有4个球扔进6个，现在篮外是3个，我可以肯定他扔进了7个，因为外面少一个，里面就多一个……学生们从不同角度想出正确答案，呈现出思维的个性化，多样化，更可贵的是培养了学生的创新思维。
10以内的加减法 在教学10以内的加减法的时候，学生最喜欢和我一起参加“乘车游戏”，游戏之前，教师需要准备一些司机头饰和算式卡片，把它们发到每个学生手中，游戏开始了，得到司机头饰的学生就当小汽车司机，戴上头饰神气地站到指定的地方，我一般也是戴上头饰当“小司机”，每个头饰上写了一个10以内的数，拿到算式卡片的学生就根据自己卡片上的得数去乘坐不同的“汽车”，全部上车之后，由司机验票，乘错车的被罚下车，验票结束之后，司机就带领乘客在音乐声中“坐车”，因为有我的参与，所以孩子们显得特别兴奋，他们都想坐上我的车，都为能跟老师一起做游戏而感到自豪。 最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改
六年级经典数学计算题及答案 “/ 5 5 2、11 5 7 4 1 12 +( 十+)--+X8 —(1 — X 4) 13 26 5 18 4 18 5 6 2、解下列方程或比例。（共36分3分/个） 2X + 18X 2 = 104 5 —0.6X —0.2 1 5 X —X= —(1 —15% )X —3— 48 6 8 2 1 X: —0.6: 0.6:36% —0.8:X 3 200 3X —20%= 1.21 ^X+ - X= 38 6 7 9 —1.6X —9.8X —22 1 X + 2 —16X 50% 5 2X 1 —2.5 0.75 —X 3 0.5 1.5 6 学校: 班级姓名: 得分: 1、脱式计算。（能简算的要简算，共36分3 分/个） 25 X 1.25 X 32 3.5 X 3.75 + 6.25 X 3.5 99 X 45 1 X 36+ 2 2 X 3.6 + 25 X 0.36 + 9 (4+ 8) X 25 104 X 25 17 —) 19 X 19X 17 3.04 —1.78 —0.22 29 27 + 28 28
3、列式计算。(共28分第9小题4分，其它3分/小题) (1) 0.6与2.25的积去除3.2与1.85的差，商是多少? (2) —与它的倒数的积减去0.125所得的差乘8，积是多少? 12 5 1 (3) 28个加上24的，和是多少? 7 6 (4) 14.2与15.3的和，减去10.5与2.4的积，差是多少? (5) 10减去它的20%再除以2,结果是多少? (6) —个数除以417,商208余107，这个数是多少? 5 2 2 (7) —个数比三的1三倍少土，求这个数。 6 5 3 3 (8) —个数的—比30的25%多1.5，求这个数是多少? 5
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
1.计算：22+|﹣1|﹣ ． 2计算：( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° 3.计算：2×(－5)＋23－3÷12 ． 4. 计算：22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； 5.计算：3082145+- Sin 6.计算：?+-+-30sin 2)2(20． 7.计算 ， 8.计算：a(a-3)+(2-a)(2+a) 9.计算： 10. 计算：()()0332011422 ---+÷-
11.解方程x 2﹣4x+1=0． 12.解分式方程 2322-=+x x 13．解方程：3x ＝ 2x －1 ． 14.已知|a ﹣1|+ =0，求方裎+bx=1的解． 15.解方程：x 2+4x －2=0 16.解方程：x x -1 - 3 1- x = 2． 17.（2011.苏州）解不等式：3﹣2（x ﹣1）＜1． 18.解不等式组：???2x ＋3＜9－x ，2x －5＞3x ． 19.解不等式组()()() ?? ?+≥--+-14615362x x x x 20.解不等式组?????<+>+.22 1,12x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解：原式=1-4+1=-2. 3.解：原式=-10+8-6=-8 4.解：原式＝4＋1＋1－3＝3。
5.解：原式=222222=+-． 6. 解：原式＝2＋1＋2×2 1＝3＋1＝4． 7. 解：原式=1+2﹣+2×=1+2﹣+=3． 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解：原式=5+4-1=8 10. 解：原式=31122 -- =0． 11. 解：（1）移项得，x 2﹣4x=﹣1， 配方得，x 2﹣4x+4=﹣1+4，（x ﹣2）2=3，由此可得x ﹣2=± ，x 1=2+，x 2=2﹣； （2）a=1，b=﹣4，c=1．b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0． x==2±， x 1=2+，x 2=2﹣． 12.解：x=-10 13.解：x=3 14. 解：∵|a﹣1|+ =0，∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2． ∴﹣2x=1，得2x 2+x ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=． 经检验：x 1=﹣1，x 2=是原方程的解．∴原方程的解为：x 1=﹣1，x 2=． 15.解: 2x - 16. 解：去分母，得 x +3=2(x -1) . 解之，得x =5. 经检验，x =5是原方程的解. 17. 解：3﹣2x+2＜1，得：﹣2x ＜﹣4，∴x＞2． 18.解：x ＜-5 19.解：15≥x 20. 解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为x ＋1＜4 x ＜3 故原不等式组的解集为－1＜x ＜3．
1、 136+471=607 2、 286×25=7150 3、 995-775=220 4、 875÷25=35 5、 345+427=772 6、 463×30=13890 7、 985-807=178 8、 852÷47=18 (6) 9、 622+190=812 10、 856×49=41944 11、903-786=117 12、 457÷38=12 (1) 13、437+270=707 14、 524×36=18864 15、525-412=113 16、 862÷72=11 (70) 17、81+519=600 18、275×55=15125 19、736-675=61 20、546÷94=5 (76) 21、683+181=864 22、702×36=25272 23、833-732=101 24、875÷47=18 (29) 25、461+433=894 26、183×33=6039 27、961-600=361 28、375÷49=7 (32) 29、166+262=428 30、300×29=8700
1、 718-608=110 2、 781÷48=16 (13) 3、 419+489=908 4、 645×91=58695 5、 188-14=174 6、 798÷32=24 (30) 7、 275+421=696 8、 164×55=9020 9、 811-796=15 10、452÷43=10 (22) 11、391+589=980 12、106×54=5724 13、230-177=53 14、328÷74=4 (32) 15、252+69=321 16、737×64=47168 17、395-46=349 18、741÷32=23 (5) 19、696+266=962 20、604×38=22952 21、487-35=452 22、289÷32=9 (1) 23、397+455=852 24、464×14=6496 25、856-213=643 26、135÷89=1 (46) 27、256+728=984 28、571×13=7423 29、999-921=78 30、197÷27=7 (8)
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
六年级经典数学计算题及答案 学校： 班级 姓名： 得分： 1、脱式计算。（能简算的要简算，共36分 3分/个） 25×1.25×32 3.5×3.75＋6.25×3.5 99×45 4 1×36＋221×3.6＋25×0.36＋9 （4＋8）×25 104×25 （ 173×194）×19×17 3.04－1.78－0.22 29×2827＋281 12÷（135÷265＋52） 1811÷45＋187×54 8÷（1－61×4） 2、解下列方程或比例。（共36分 3分/个） 2X ＋18×2＝104 5－0.6X ＝0.2 3X －20﹪＝1.21 61X ＋72X ＝38 X － 61X ＝85 (1－15﹪)X －3＝48 9－1.6X ＝9.8X －252 X 1＋2＝16×50﹪ X: 32＝0.6: 2001 0.6:36%＝0.8:X 312 X ＝ 5 .05.2 5.175.0＝6X
3、列式计算。（共28分 第9小题4分，其它3分/小题） （1）0.6与2.25的积去除3.2 与1.85的差，商是多少？ （2） 127与它的倒数的积减去0.125所得的差乘8，积是多少？ （3）28个 75加上24的61，和是多少？ （4）14.2与15.3的和，减去10.5与2.4的积，差是多少？ （5）10减去它的20%，再除以2，结果是多少？ （6）一个数除以417，商208余107，这个数是多少？ （7）一个数比 65的152倍少32，求这个数。 （8）一个数的4 3比30的25%多1.5，求这个数是多少？
综合能力训练(一) 一、直接写出下面各题得数． 8×(125－25) 48＋52÷4 160＋40÷4 (19－11)×125 (12＋42÷7)×5 26×8÷26×8 二、把下面运算中不正确的地方改过来． 1．(841－41)÷25×4 2．600×(1200－200÷25) =800÷25×4 =600×(1000÷25) =8=24000 三、把下面各组式子列成综合算式． 1．3280÷16=205 2．23×16=368 205×10=2050 625－368=257 6000－2050=3950 1028÷257=4 四、计算下面各题． 1．280＋840÷24×5 2．85×(95－1440÷24) 3．58870÷(105＋20×2) 4．80400－(4300＋870÷15)
五、装订车间每人每小时装订课本640册，照这样计算，12人8小时装订课本多少册？ 六、汽车队开展节约用油活动，12辆车一年共节约汽油7200千克，平均每辆车每个月节约汽油多少千克？ 七、一部电话机售价320元，一台“彩电”的售价是电话机售价的8倍，一台电脑的售价比“彩电”售价的3倍还多1000元，一台电脑多少元？ 八、两个车间生产零件，5天后甲车间生产1520个零件，乙车间生产1280个零件，若每天工作8小时，乙车间比甲车间每小时少生产多少个零件？ 参考答案 三、1．6000－3280÷16×10 2．1028÷(625－23×16) 四、1．455 2．2975 3．406 4．76042 五、640×12×8= 61440(册) 六、7200÷12÷12=50(千克) 七、320×8×3＋1000=8680(元) 八、(1520－1280)÷(8×5)=6(个)
１．有一支游击队来到河边，要过河，可是桥已被敌人破坏，河水又很深。正着急，忽然看见有两个孩子在河边一只小船上玩。这只船很小，只能乘一个战士或两个孩子，不能再多了。两个孩子很机智，他们想出了一个办法，使全体游击队员都渡过了河。他们是怎么过河的？ ２．有一天，2个爸爸、2个儿子一同上公园，可是只有3个人，这是怎么回事？ ３．12个小朋友捉迷藏，已经捉住了3个，还藏着（）个人？ ４．白帽子和蓝帽子各是多少。星期天，一年级（3）班有9位同学去爬观大山。男同学戴蓝色运动帽，女同学戴白色运动帽。奇怪的是，一个男同学看到蓝帽子和白帽子的同样多。请问男女同学各有几人？男同学有（）人，女同学有（）人。 ５．同学们吃午餐，每桌坐5人，5个同学同时吃5个烧饼要5分钟，那么16张桌子的80个同学同时吃80个烧饼需要多长时间？ ６．青蛙上跳，有一口井，井壁光滑，深4米。井底有一只青蛙，每次能跳上1米，（）次可以跳到井口边上来？
７．小朋友们排队做游戏，小丽和排头隔着3个人，老师说她恰好在中间。一共有（）个人？ 4、13－11﹢10－8﹢7－5﹢4－2 = 5、3﹢18﹢27﹢2﹢5﹢15 = 6、外滩的钟6点钟的时候敲了6下用了5秒钟，那么12点钟的时候敲12下用（）秒？ 7、□－△=8 △－○=1 □－○= 8、小刚比小明大2岁，小明比小强小4岁，那么小刚和小强谁大？大多少？（）大，大（）岁。 9、1个苹果重量 = 2个梨的重量 1个梨重量 = 2个香蕉重量 1个苹果重量 = （）个香蕉重量 10、有21个小朋友排队，从前往后数小超排在第7位，从后往前数小伟也排在第7位，他们俩人之间有（）人？ 11、有一组小朋友在玩捉迷藏的游戏，其中有8人已被捉住，还
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
一年级下趣味数学兴趣小组活动计划 叶爱金 一、指导思想 数学是一个色彩缤纷的万花筒，美丽而奇妙..。数学是神奇的世界，肯定有不少学生产生了浓厚的兴趣。为此，训练学生的思维活动是重中之重。数学思维活动在数学教学课堂中探求问题的思考、推理、论证的过程等一系列数学活动都是数学教学中实施思维训练的理论依据之一。因此，趣味数学，一是能更好的促进学生数学思维能力的发展，符合课改的要求；二是填补了我们课改中的弱项。 二、教学目标 1、尊重学生的主体地位和主体人格，培养学生自主性、主动性，引导学生在掌握数学思维成果的过程中学会学习、学会创造。 2、将数学知识寓于游戏之中，教师适当穿针引线，把单调的数学过程变为艺术性的游戏活动，让学生在游戏中学习在玩中收获。、 3、课堂上围绕“趣”字，把数学知识容于活动中，使学生在好奇中，在追求答案的过程中提高自己的观察能力，想象能力，分析能力和口语表达能力。力求体现我们的智慧秘诀：“做数学，玩数学，学数学”。 三、教学措施 1、结合教材，精选小学数学的教学内容，以适应社会发展和一步学习的需要。力求题材内容生活化，形式多样化，解题思路方程化，教学活动实践化。 2、教学内容的选编体现教与学的辨证统一。教学内容呈现以心理学的知识为基础，符合儿童认知性和连续性的统一，使数学知识和技能的掌握与儿童思维发展能力相一致。 3、教学内容形式生动活泼，符合学生年龄特点，赋予启发性，趣味性和全面性，可以扩大学生的学习数学的积极性。 四、教学内容（每次约两课时） 第一次 十几减几 第二次 认图形 第三次 整十数加、减整十数和认识几十几 第四次 比较数的大小
第五次 两位数加整十数、一位数 第六次 解决实际问题 第七次 两位数加、减两位数——不进位、不退位第八次 人民币的认识
1 以 内 数 学 计 算 题 含 答 案26+46= 57-31= 78- 62= 23+58= 44-29= 88- 68= 63-30= 81-25= 86- 10= 25+46= 80-26= 41+50= 99-34= 28+35=
32+52= 43+55= 29-13= 12+35=88-19= 95- 90= 54- 46= 75-23= 78-31= 67-33= 28-13= 25+43= 20-11= 11+64= 98-40= 95- 84= 57-29= 32+50= 33-30= 40- 20= 12+40= 13+60= 72-30=88-66=
23+25= 63-33= 69-15=
47-11= 12+36= 33+42= 83- 11= 76-68= 42-30= 90-87= 85- 81= 25+29= 89- 84= 41- 22= 19-14= 89-20=17+43= 10+20= 78-15= 31+49= 64-50= 89-14= 99-96= 93- 72= 56-28= 89- 10=
90- 24= 14+55= 84- 61= 67-14= 46+53= 92- 70= 35-10= 86- 30=18+67=19+62=42-31=38+41=13+50=20-16=33-26=91- 14=23+26=17+41=12+83=49+51=76-39=98-23=20+70=44-37=99-23=86- 11=13+29=54-38= 61-54= 29+65= 81-19= 78-54= 93- 33= 87- 51= 24+32= 46-11= 96- 76= 57-13= 38-34= 61-32=
WORD 格式 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
WORD 格式 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。