初中数学综合实践课教学设计及建议
—《三角形首饰盒》为例
王鹏宇，张玲
（西南大学数学与统计学院重庆 400715）
（西南大学数学与统计学院重庆 400715）
摘要：综合实践活动课程作为国家基础教育新课程改革的重点和亮点登上中学课堂的舞台。本文根据综合实践活动课程标准及折纸过程涉及的数学活动经验，以《三角形首饰盒》为例，设计了一堂初中学生的数学综合实践活动课。
1．引言
《2011版数学课程标准》明确把“综合与实践”列入课程内容，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动[1]。“综合与实践”课程设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力[2]。
折纸是一种充满数学味道的艺术。在惊叹折纸艺术美的同时，你是否驻足停留去深究其中的数学原理呢？当把精美的盒子展开时，你曾否关注过那一条条折痕折射出的数学线条呢？将折纸作为一种有趣的数学活动能让学生经历“做”的过程和“思考”的过程，折纸会帮助学生积累数学活动经验，这也是本研究将三角形首饰盒的折叠作为综合实践课的教学素材的原因之一。
2．教学设计
2.1选材分析
开展综合实践课教学,必须合理利用教学资源,以学生为主体,抓住学生兴趣开展教学[3]。由于初中学生好奇心强，三角形首饰盒可激发学生学习兴趣。
初三学生已经习得相似三角形和锐角三角函数，为提高学生对已学知识的应用，特别选择《三角形首饰盒》作为本堂综合实践课的内容。
2.2材料准备
由于三角形首饰盒由盒盖和盒底组成，而盒盖和盒底分别由3个相同的部分拼接而成，因此每个学生需准备6张同样大小的正方形纸，我们选取边长为15cm的正方形纸作为本节课的材料。
2.3学情分析
本次实践课依据选材内容涉及到的数学知识点，将授课对象定为初三学生。本堂课主要是研究三角形首饰盒的展开图分析盒子边长与正方形边长的大小关系，在本堂课之前学生已经掌握了盒底和盒盖的折叠方法。本堂课重在应用数学原理解决实际问题，能培养初中学生的抽象逻辑思维。
2.4教学目标分析
本教学目标是根据《2011数学课程标准》对“综合与实践”的课标要求，从知识与技能、数学思考、问题解决与情感态度四个维度制定。
知识与技能：能根据相似三角形和锐角三角函数的基础知识理解折叠过程的数学原理。
数学思考：通过观察盒盖和盒底学会提出问题。在参与观察三角形首饰盒展开图并且对应找到盒盖和盒底的边长过程中，学会独立思考，能清晰地表达自己的想法。
问题解决：在解决盒子边长与正方形边长关系时，综合运用相似三角形和锐角三角函数的数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
情感与态度：在折叠与计算中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。在分享经验的过程中，锻炼语言组织与表达的能力。 2.5教学重难点分析
重点：三角形首饰盒展开图折痕的分析与计算。
难点：通过折痕计算三角形首饰盒的边长与正方形纸的大小关系。 2.6教学过程设计 1）复习回顾
通过给学生展示作品，让学生回忆步骤，动手操作完成盒盖和盒底的折叠。设计意图是以实物展示调动学生的积极性，培养学生的动手操作能力。
盒盖折叠方法回顾:
G
H
1.将正方形的两对边AD 、BC 重合对折，得到折痕EF,将点A 折到EF 上使得新折
痕通过点B ，新折痕为BH ，点A 的落点为G 。
F
E D
C B
A
I J
2.将DH 与HG 重合对折，折痕为HJ ，
点D 与点I 重合。G
H
F
E D
C
B
A
P
3.将点H 与点J 重合对折，折痕为KL 。过点G 使得BH 重合对折，得到点M ，将点B 与点M 重合对折，折痕为PM 。
L
K
J
I
H
G
N
M
F
E D
C
B
A
4.将CP 从背面与HN 重合，折痕为OL 。
P
O L
K
J I
H
G
N
M
F
E D
C
B
A
K
5.将CP 与OL 重合，折痕为LK 。
P N
L
C O
J
H
6.将LS 折到LQ 上,最后还差一步，将点J 与点I 重合。
K
S
R
Q
P N
L C O
J H
盒底折叠方法回顾：
1.将正方形的对边AD 和BC 重合对折，折痕为EF ，将另外两组对边也重合对折，折痕为GH ，将AB
与GH 重合对折折痕为JK,再将AB 与JK 重合对折，折痕为MN 。
N M K J H G F
B
A
E
D
C
2.过点E 、M 折叠，折痕为EM ，同理过点E,N 折叠，折痕为EN N M K J H G F
B
A
E
D
C
3.得到如图所示
N M K J H G F
B
A
E
D
C
Q
P
K
J N
M
B A 4.沿折痕JK 翻折，得到如图。E
D
C
L
Q
P
K
J
N
M B A 5.将EP 与PQ 重合，折痕为PL 。E
D C L
Q
P
K
J
N M B A 6.将点K 折到JK 上并且使折痕通过
点Q ，将点J 折到JK 上且折痕通过点P 。
E
D C
2) 提出问题
通过观察折叠好的盒盖和盒底，发现盒盖比盒底大，并且能用自己的语言进行表达。设计意图是让学生通过观察盒盖和盒底发现问题，提出问题。 3)解决问题
为使盒盖正好能盖上盒底，就需要对折叠盒盖用的正方形纸张进行裁剪，裁剪多少为宜呢？通过完成以下4个探究问题寻求问题答案。设计意图是让学生学会联系学过的数学知识解决简单问题，增强他们的应用意识。
探究问题1：盒底边长与正方形纸边长的大小关系。 让学生将盒底展开，（为了方便下面的叙述与计算，标示相应字母），盒底的展开图如下所示，学生通过观察对比盒底展开前和展开后，从盒底的展开图中找到盒底的对应边长就是PQ 。学生通过思考发现运用三角形相似可以求得PQ 的边长。 解答过程如下：
,
cm 57.8≈cm 760
2,730157274R ∴,5.7152
1
,74,ΔΔ===?===?===PR PQ cm MO P cm MO MO PR EO ER EMO EPR 故盒底长度而则
相似于
探究问题2：盒盖边长与正方形边长的大小关系
盒盖展开图如下，学生通过观察发现盒盖的边长就是HN ，且HN=HM+MN 。 解答过程如下：
.
83.10≈43
25H ∴,
4
31521,231523,23521,
35153
3
30tan 15,15,3101533
230
cos 15.,
90G 30HBG HGB cm MN HM N cm BM MN cm BG BM cm HG HM cm HG cm BG cm HB HB GM =+========?=?===?==
⊥=∠=∠?盒盖的长度，，中，在
问题拓展：HJ 和MG 是相等的吗？
学生通过计算发现，HJ 和MG 不相等，“眼见不一定为实”，数学一定要经过严密的计算和证明。
探究问题3：盒盖与盒底的大小关系
若使盒盖能恰好盖在盒底上，同时兼顾美观与精致，只要盒盖的边长比盒底边长大0.2cm 即可，因此需要盒盖的边长为8.77cm 。
探究问题4： 折边长为8.77cm 的盒盖需要多大的正方形纸
通过前面的探究，学生已知盒盖边长与正方形边长的一般关系式，故设正方形边长为a ，
.123
5acm MN HM HN =
+=则盒盖的长度
因此当HN=8.77cm 时，a=12.15cm 。
最后，由于给定的正方形纸边长为15cm ，所以只要将正方形纸的边长裁剪为12.15cm ，用边长为12.15cm 的正方形纸折叠盒盖，用15cm 的正方形纸折盒底，那么折叠好的三角形首饰盒就很精致了。 4) 折叠操作
通过观察学生的折叠过程发现学生存在的问题并及时指导，最后让学生互相分享折叠经验。设计意图是让学生体验获得成功的乐趣，提高语言表达能力。
3．教学建议
(1)考虑到学生在折叠过程花费太多时间，建议前一节课就学习折叠盒盖和盒底，这样会避免学生由于忘记折叠方法浪费过多时间。
(2)在综合实践活动中, 教师应该真正参与到学生的实践活动中去,了解学生的想法, 发现学生的问题。由于时间有限，在最后学生折叠操作的环节教师没有时间给予每个学生指导，无法深入了解每个学生。
(3)综合实践课的问题设置要由浅入深，呈梯度推进[4].虽然本节课涉及的4个探究问题环环相扣，不仅调动学生思考的积极性，而且调动学生联系已有的数学知识来解决实际问题，但是还应将问题更一般化，比如再增加一个探究问题5—折叠给定大小的盒子时需要多大的正方形纸，这样就可以让学生灵活应用已有的数学知识。
(4)综合实践课的问题解决具有灵活性。本文是从盒底与盒盖的的边长入手进行计算，还可以从盒底与盒盖的高度来进行分析计算。
参考文献：
[1] 朱桂凤，孙朝仁. 数学综合实践课的设计与思考—以一节综合实践课的教学设计为例[J].中学数学杂志，2012(6)：37-40.
[2] 《2011版数学课程标准》
[3] 黄燕苹，李秉彝 .折纸与数学[M].北京：科学出版社，2012.
[4] 贾海燕.初中数学综合实践课的开展与研究[J].教育研究，2007（12）：449.
作者简介：
王鹏宇（西南大学数学与统计学院重庆北碚400715 1254363977@https://www.doczj.com/doc/668837111.html, tel:183********）汉族，山西朔州研究生主要研究方向：数学教育
张玲（西南大学数学与统计学院重庆北碚400715 zl125168@https://www.doczj.com/doc/668837111.html,）汉族湖北黄冈研究生主要研究方向：数学教育
通讯地址：重庆市北碚区天生路2号西南大学梅园1舍309室