2.设ii是空间坐标x, y. z的函数，证明:
W(“)=拿％
ati
-J J V. J(//) = V//_
du
-<74 Vx J(//) = V//x—・
dAAu) GO cA r:(n) dAAu) du也『(")cu ciA^(u) du — dA
•「• —+ ‘ •‘ ・+ —~ =
V?/ •
V x A(u)=
d
c:
N(“)
1)证明卜•列结果.并体会对源变数求微商(V =e x A + e v A + e.A)与对场变数求
dx•创"cz
徴商(V = e x^- + e v^ + e.亠)的关系。
dx y•比
L L・ r … 1厂・1 r r… r L・”, 小
V?- = -V r = —e V— = -V —=——.V x — = O.V ・r = -V —=
o(r 0) r r r r r r r
(垠后一式在人r=0点不成立•见第二章第五节)。
2)求
V. F. V x F, (n • V)F, V(5 • F), V. [£0 siii(QF)UtVx[EoSin(Fj)].J(中乳斤及均为常矢量。
证
明:
w
AGO
du內：du dz du dz du dx du dx du dy^ " du 9F丿
3・设「= J(・Y_* )2 +()：_)・)2 +(二一二)'为源点d到场点X的距离，1•的方向规定
为从源点指向场点。
证明： V 坐二心+坐二口 +主二2 = 3
dx dy 6二
e y
兀
V x F
=
d
=0
V
X-.X
y-y
9r 9r
•
(q .V)r = [(a x e x + a y e y + a :e :)• (^-e x +£勺 +£耳)][(丫一・丫・)乙 +($-.廿)兮 +(二一
于龙」 c y cv cz
=Sx 宁 + d 各 + d-孑)[(X — x')e x + (y-y')e. + (二一 r')e_] ex dy * cz
•F
= n x e x +a y e y +a :e : =a
V(dr) = ax(VxF) +(aV)r + rx(Vx5) + (r.V).a
=(a • V)r + r x(y xa) + (r a) a
=(7 + r x (V x n) + (r • V) • n
V -[E o sin (斤-r)] = [V(siii(^ r)] • E o + sin (斤 r)(V • £0)
=[f-sin(F • r)e x + —sin(k - r)e y + — siii(A- • F)6」£Q
ux dz
=cos (斤• r\k x e x + k y e y + k z e 2 )E 0 = cos (斤-r)(k • E)
V x [£0 sin (斤• r)] = [V sin(F • f)] x£0+sin(F • r)V x E o
7. 有一内外半径分别为□和“的空心介质球，介质的电容率为£,使介质内均匀帯挣止H
由电荷p/,求
(1) 空间各点的电场
(2) 极化体电荷和极化面电荷分布
即：D .4加"=•'一 扌）刃
（八_屮）
、
••・ E = ---- r.（r 2 >r >?i ）
3曰・
山挨• d§ = ¥ =爭出 _ > Q
.£ =（； _[> r 2
）
3£o 尸
FV 人时,E=0
2） P= S Q X C E = S Q £ g ° E =（£-£O ）E
_ - （厂 3_片3）
“ —（r ）—沪• [*。汁
考虑外球此时• r=r” ii 从介质1指向介质2 （介质扌斤向其空）• P* =0
考虑到内球亞时,r=r 2
尸3_尸3
_
bp=_@_£o） r 3】P
F
3 er
8. 内外半径分别为r 】和“的尤芳长屮空导体圆杠.沿轴向流有也定均匀鬥山电流片 导体 的
磁导率为“，求磁感应强度和磁化电流。
护・dl = 1广勢pd§=lf
为尸< 时,Zy = 0.故方= 5 = 0
当 r2>r>ri 时，\fi 'dl = 17D'H = -dS -力兀（八-）
干Ip ▽.（、拿）
3s r
厂3_厂3
_
»心=（…。）药
5必异-才）“（宀刊二-
B =----- ; ----- = —；/ x r
2r 2厂丄
当1>“时・2m・H =刃,（扌一八彳）
=（^-1）V x H =（出_ 1）办,0i v , v 灼）
"o “0〜
a M = n x（M2 -M x）Xn从介质1指向介质2）
在内表面上，M]=O.M°=（±~-1）匚¥）|“ = 0 Z//X 1 1
故&M = » X M2 =0.（厂=耳）
在上表面，r=r?时
a A/=Hx（-M1） = -HxA/1|r=A =_r x r_Zpl； xr|r=, =-!^Lj \
• r2厂・2r 71 - z/n
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度必总是等丁•体门由电荷密度p f的- （1 -严）倍。
证明：pp =—V • P =—V •（£ 一）E = 一（£ 一£（））▽ ° E = 一（£ 一£（））~~ = ~（1 ------------------------------------------------------------- ）p了
