数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和:()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质：{}n a 是等差数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；
（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）
n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，
即：当100a d ><，，解不等式组10
0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.
当100a d <>，，由10
0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值.
(6)项数为偶数n 2的等差数列{}
n a ，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，
1
+=
n n
a a S S 偶
奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}
n a ，有
)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，
1
-=
n n S S 偶
奇.
2. 等比数列的定义与性质
定义：
1
n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.
等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ?=
，或G =
前n 项和：()11(1)
1(1)1n n na q S a q q q =??
=-?≠?
-?（要注意！）
性质：{}n a 是等比数列
（1）若m n p q +=+，则m
n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时，11a S =；
2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法 如：数列{}n a ，122111
25222
n n a a a n +++=+……，求n a
解: 1n =时，11
2152a =?+，∴114a = ①
2n ≥时，12121111
215222
n n a a a n --+++=-+…… ②
①—②得：
122n
n a =，∴1
2n n a +=，∴114(1)2(2)
n n n a n +=?=?≥? ［练习］数列{}n a 满足1115
43
n n n S S a a +++==，，求n a
注意到11n n n a S S ++=-，代入得
1
4n n
S S +=；
又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =
2n ≥时，113
4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法 如：数列{}n a 中，1131
n n a n
a a n +==+，，求n a
解:
3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11
n a a n
=又13a =，∴3n a n =.
（3）迭加法 由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法
2n ≥时，21321(2)
(3)()n n a a f a a f a a f n --=?
?-=?
???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……
∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1
1113
2n n n a a a n --==+≥，，求n a （
()1312n
n a =
-）
（4）等比型递推公式 (待定系数法)
1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）
可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =
-，∴1n d a c ?
?+??-??
是首项为1
1d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -??+
=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -?
?=+- ?--??
（5）倒数法 如：11212
n
n n a a a a +==
+，，求n a 由已知得：
1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112
n n a a +-= ∴1n a ??????
为等差数列，11
1a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+
(附：公式法、利用
{
1(2)1(1)
n n S S n S n n a --≥==
、累加法、累乘法、构造等差或等比1n n a pa q
+=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法) 4. 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
()()221111
;;;;1412132
n n n n a a a a n n n n n n n =
===+-+++
()()
()()()()1
221
211;1;212321212n n n n n n n n n a a a n n n n ++++==-=++--+
如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求11
1
n
k k k a a =+∑
解：由
()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??
==-≠ ?+??
·
∴11111
223111*********n
n
k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??
????????=-=-+-++-?? ? ? ? ???????????∑∑……
11111n d a a +??=
- ???
［练习］求和：111
112123123n
+
+++
+++++++ (121)
n n a S n ===-
+…………， （2）错位相减法 若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.
如：2311234n n S x x x nx -=+++++……
①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
②
① —②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……
1x ≠时，()()
2
111n
n
n
x nx S x
x -=-
--，1x =时，()
11232
n n n S n +=++++=
…… （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?
?=++++?
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
［练习］已知2
2
()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??
??
??
++
++++= ? ? ???????
由2
222222
111()111111x x x f x f x x x x
x ?? ?????+=+=+= ?+++????+ ???
∴原式1111
1(1)(2)(3)(4)1113
2342
2f f f f f f f ?
??
??
???????=++
++++=+++= ? ? ??????????????????
?
数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。
放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明A
（1）1111n n =-+n(n+1)
1111
()1k n k =-+n(n+k); (2) 211111()1211
k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k
-=<<=-++-- (4)1111
(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-??+++++??
; (5)()()
11
1!!1!n n n n =-
++
(6)2
=
<
<=1
(1)n n >+)
(7)012310112...2(1)2121n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C n n --=++++++≥+++=+?-≥+