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第十七教时
教材：数列极限的定义（N -ε）
目的：要求学生掌握数列极限的N -ε定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。 过程：
一、复习：数列极限的感性概念 二、数列极限的N -ε定义
1．以数列??????-n n
)1(为例 ,41
,31,21,1:--n
a
观察：随n 的增大，点越来越接近
即：只要n 充分大，表示点n a 与原点的距离n n a n n 1
0)1(0=--=-可以充分
小
进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是
101
，要使n n a n
n 10)1(0=--=-<10
1 只要10>n 即可 即：数列???
???-n n )1(的第10项之后的所有项都满足
(2) 同理：如果预先给定的正数是310
1
，同理可得只要310>n 即可 (3) 如果预先给定的正数是
*)(10
1N k k
∈，同理可得：只要k
n 10>即可
3．小结：对于预先给定的任意小正数ε，都存在一个正整数N ，使得只要N n >
就有0-n a <ε
4．抽象出定义：设{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的
任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有
a a n -<ε，那么就说数列{}n a 以a 为极限（或a 是数列{}n a 的极限）
记为：a a n n =∞
→lim 读法：“→”趋向于 “∞→n ” n 无限增大时
注意：①关于ε：ε不是常量，是任意给定的小正数
②由于ε的任意性，才体现了极限的本质
③关于N ：N 是相对的，是相对于ε确定的，我们只要证明其存在
④a a n -：形象地说是“距离”，n a 可以比a 大趋近于a ，也可以比a 小趋近
于a ，也可以摆动趋近于a
三、处理课本 例二、例三、例四
例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身 例四 这是一个很重要的结论 四、用定义证明下列数列的极限：
1．1212lim =-∞→n
n n 2．23
1213lim =+-∞→n n n
证明1：设ε是任意给定的小正数
n n n 211212=--要使ε
n
两边取对数 ε1
log 2
>n 取 ?????
?
=ε1log 2N …………介绍取整函数
当N n >时，ε<--12
1
2n n 恒成立 ∴1212lim =-∞→n n n 证明2：设ε是任意给定的小正数
要使
ε<-+-231213n n 只要5121ε<+n 2
1
45->εn 取??
?
???-=2145εN 当N n >时，
ε<-+-231213n n 恒成立 ∴2
3
1213lim
=+-∞→n n n
2
1-