π
=
A ,又A=
B ，所以3
π
=
==C B A .
（2）由题意知，)6
sin(6sin cos 6cos sin cos 3cos sin 3sin
)(π
ππππ
+=+=+=x x x x x x f ， 令6π
+
=x t ，因为]2,0[π∈x ，所以]3
2,6[π
π∈t . 易知函数t t h sin )(=在]2,6[ππ上单调递增，在]3
2,2[π
π上单调递减，
所以函数)(t h 在]32,6[ππ上的最小值为21
6sin )6(==ππh ，此时x=0；
函数)(t h 在]32,6[ππ上的最大值为12sin )2(==ππh ，此时3π
=x .
综上，可知当]2,0[π∈x ，函数)(x f 最大值为1，最小值为2
1
.
【方法归纳】
利用三角恒等变换求解三角函数的最值问题，最常用的方法是辅助角法和换元法。 （1）辅助角法.求形如c x b x a y ++=cos sin 的最值，解决此类题的关键是： 第一步：通过引入辅助角)sin ,(cos 2
2
2
2
b
a b b
a a +=
+=
???，将原式化为
c x b a y +++=)sin(22?；
第二步：由x 的取值范围求出?+x 的取值范围，从而利用三角函数的有界性求得函数的最
值.
（2）换元法.将形如c x x b x x a y +±+=)cos (sin cos sin 的函数，通过换元转化为形如
f et dt y ++=2的二次函数形式，解此类题的关键点是利用三角函数的平方关系，把异名化为
同名，再转化为二次函数求解，注意新元的取值范围.
【类比训练】已知函数)2
3sin(2)3cos(2)(x x x f -+-=π
π.
(1)求函数)(x f 的单调减区间.
(2)求函数)(x f 的最大值并求)(x f 取得最大值时的x 的取值集合. (3)若56)(=
x f ,求)3
2cos(π
-x 的值. 【解析】f(x)=2cosxcos π3
+2sinxsin π3
-2cosx=cosx+3sinx -2cosx=3sinx -cosx=2sin (x -π6
).
(1)令2kπ+π2
≤x -π
6≤2kπ+32
π(k⑴Z),
所以2kπ+2π3
≤x≤2kπ+5π3
(k⑴Z),
所以单调递减区间为)(],3
52,322[Z k k k ∈++
π
πππ. (2)f(x)取最大值2时,x -π
6
=2kπ+π2
(k⑴Z),则x=2kπ+
2π3
(k⑴Z).
所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x 的取值集合是{x |x
=2kπ+
2π3
,k ∈Z}.
(3)f(x)=65
,即2sin (x -π6
)=
65
,
所以sin (x -π6
)=
35
.
所以cos (2x -
p 3
)=1-2sin 2(x -π
6
)=1-2×(35
)
2=
7
25
.
高考真题
【选择题组】
1、（2019全国⑴文·T11）已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A ． B
C
D 【解析】B. 由，得. 因为，所以.
由，得.故选B. 2、(2018全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
(1,)A a ，(2,)B b ，且2
cos 23
α=
，则a b -=（
） A ．15
B C D ．1
【解析】由题意知cos 0α>，因为2
2cos 22cos 13αα=-=
，所以cos α=， sin α=|tan |α=|||tan |12a b α-=-，所以||a b -=B ．
3、(2018全国卷⑴)若1
sin 3
α=
，则cos2α=（ ） A ．89
B ．
79
C ．79
-
D ．89
-
π2
1
5
2sin 2cos21αα=+24sin cos 2cos ααα=π0,2
α??
∈ ???cos 2sin αα=22
cos 2sin sin cos 1αααα=??+=?
sin α=
【解析】2217
cos 212cos 12()39
αα=-=-?=．故选B ．
4、(2018北京)在平面坐标系中，?AB ，?CD ，?EF ，?GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），
点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）
A ．?
AB
B ．?CD
C ．?EF
D ．?GH
【解析】设点P 的坐标为(,)x y ，利用三角函数可得
y
x y x
<<，所以0x <，0y >．所以P 所在的圆弧是?EF
，故选C ． 5、（2017新课标⑴）已知4
sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）
A ．79-
B ．29-
C ．29
D ．79
【解析】由4sin cos 3αα-=，两边平方得161sin 29α-=，所以7
sin 29
α=-，选A ．
6、（2017山东）已知3
cos 4
x =
，则cos2x =（ ） A ．14- B ．14 C ．18- D ．18
【解析】由3cos 4x =得2
231cos22cos 12()148
x x =-=?-=，故选D ． 【非选择题组】
1、（2019江苏13）已知
，则的值是 . 【解析】由
，得， 所以
，解得或．
当时，，， .
当时，，， 所以.
综上，的值是．
2、（2017新课标⑴）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4π
α- =__________．
【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα= 又22sin cos 1αα+=，所以21
cos 5
α=
因为(0,)2
π
α∈
，所以cos αα== 因为cos()cos cos sin sin 444
πππ
ααα-=
+22== 3、（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y
tan 2π3tan 4αα=-??+ ??
?πsin 24α?
?+ ???tan 23tan()4α
α=-π+tan 2
3tan tan 4
1tan tan
4
ααα=-π+π
-tan (1tan )21tan 3ααα-=-+tan 2α=1
tan 3
α=-tan 2α=2
2tan 4
sin21tan 5ααα==+221tan 3cos21tan 5ααα-==-
+43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210
αααπππ+=+=?-?=1tan 3α=-2
2tan 3
sin21tan 5ααα==-+221tan 4cos21tan 5ααα-==
+34sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+=-=sin(2)4
απ
+10
轴对称．若sin α=13
，则sin β=_________．
【解析】与关于轴对称，则 ，所以． 4、（2017江苏）若1
tan()46πα-=，则tan α= ．
【解析】tan()tan 744tan tan[()]445
1tan()tan 44
ππ
αππααππα-+=-+==--?． 5、（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点
34
(,)55
P --．
(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5
sin()13
αβ+=
，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4
sin 5α=-，
所以4
sin()sin 5
απα+=-=
． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3
cos 5
α=-，
由5sin()13αβ+=
得12
cos()13
αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-
或16cos 65
β=-． 6、（2018江苏）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=
，cos()5αβ+=-．
αβy 2k αβππ+=+()1sin sin 2sin 3
k βππαα=+-==
(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值．
【解析】(1)因为，，所以．
因为，所以， 因此，． (2)因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以，
因此，．
4tan 3
α=sin tan cos α
αα=
4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29
cos 25
α=
27cos22cos 125
αα=-=-
,αβ(0,π)αβ+
∈cos()αβ+=
sin()αβ+=tan()2αβ+=-4
tan 3
α=22tan 24
tan 21tan 7
ααα=
=--tan 2tan()2
tan()tan[2()]1+tan 2tan()11
ααβαβααβααβ-+-=-+==-+
2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝ π 4 ， ππ ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
? →·n ? 则 sin θ＝? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD ＝? ?＝ 02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32 ? 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1） 设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)， ??n·→＝0， ?2x －2y ＝0， ∴? ∴? ??n·→＝0， ?－3y ＋z ＝0， 令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ， ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明：EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
高考语文10种标点符号使用规范热点题型典例解析
高考语文10种标点符号使用规范热点题型典例解析 热点题型一：句内点号的用法 例1、下列各句中，标点符号使用正确的一项是( ) A．作家大都重视写作前的情感培养：有的借欣赏音乐进入情境；有的面对墙壁久久沉思；有的甚至跳起迪斯科来兴奋自己。 B．面对人生绝境，双腿残疾的史铁生不屈不挠，“微笑着，去唱生活的歌谣，”创作了《我与地坛》等一系列发人深省的文学作品。 C．多数法国人对萨科齐并不满意，萎缩的经济规模、逼近10%的失业率，以及雷声大雨点小、光说不做的各项改革，都无法让人再相信他。 D．国务院总理李10月25日主持召开国务院常务会议，部署推进公司注册资本登记制度改革，降低创业成本，激发社会投资活力。 【答案】D 【解析】A项，分号使用错误，两处分号都应改为逗号；B项，“歌谣”后逗号放在后引号外面。C项，“经济规模”后顿号改为逗号。 【提分秘籍】 句内点号包括顿号、逗号、分号，分别表示句子内部大小不同、性质不同的停顿。(1)顿号表示句子内部并列词语之间的停顿。顿号表示的停顿比逗号小，一般用来隔开并列的词或者并列短语。(2)逗号表示句子内部的一般性停顿。(3)分号表示一句话里并列分句之间的停顿。 一、句子内部并列词语之间的停顿用顿号。 实际运用中，句中并列的成分不仅仅有词语，短语也较常见；顿号并非只用于并列词语间，并列词语间也并非只能用顿号。 1．当并列词语或短语联合起来充当句子某一主干成分(即主谓宾)时，并列词语或短语间用顿号。如：亚马逊河、尼罗河、密西西比河和长江是世界四大河流。 2．当并列词语或短语并列作句子某一主干成分(即主谓宾)时，必须用逗号。如：当铺，钱号，窄轨，已经随着土皇帝的覆灭最后湮没了；煤炭，汾酒，老醋，却在人民的生活里广泛散发着热力和芳香。 3．当并列词语或短语不作句子主谓宾而充当定状补(常见是定语)时，用顿号。如：正方形是四边相等、四角均为直角的四边形。 4．当并列词语或短语不能单独作句子某一成分，且必须与其他词语构成短语才能充当时，用顿号。如：近年来，随着经济的发展、城市的扩大、人口的猛增和生活质量的提高，城市垃圾不断增加，“城市垃圾处理”已成为环境保护的一大难题。 5．当不同层次词语或短语并列出现时，应按从小到大的层次先顿号再逗号。如：过去、现在、未来，上下、左右，中国、外国，都是互相联系，互相影响，互相制约的。 6．并列短语作定语时要用顿号，并列的介宾短语作状语它们之间用逗号。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换 α/4
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
2021届新高考高三数学新题型专题01三角函数解答题 开放性题目 第三篇(原卷版)
第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题01 三角函数解答题
1. 已知OA ＝(2asin 2x ，a)，(1,cos 1)OB x x =-+，O 为坐标原点，a≠0，设f(x)＝OA OB ?＋b ，b>a. (1)若a>0，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2)若函数y ＝f(x)的定义域为[ 2 π ，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值． 2. 已知直线12,x x x x ==分别是函数()2sin(2)6f x x π=-与3()sin(2)2g x x π=+图象的对称轴. （1）求12()f x x +的值； （2）若关于x 的方程()()1g x f x m =+-在区间[0,]3π 上有两解，求实数m 的取值范围. 3. 已知函数f （x ），g （x ）满足关系g （x ）=f （x ）?f （x +α），其中α是常数．
（1）设()cos sin f x x x =+，2 πα=，求g （x ）的解析式； （2）设计一个函数f （x ）及一个α的值，使得()()2g x cosx cosx =+； （3）当()sin cos f x x x =+，2π α=时，存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2）恒成立， 求|x 1-x 2|的最小值． 4. 已知函数()21111cos cos sin ,2222f x x x x x x R ??=-+∈ ???. （1）求函数()f x 的值域； （2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2,f B b ==ABC S ?=，求a c +的值； （3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明. 5. 已知函数()2sin cos sin .f x x x x =- (1)求()f x 的最小正周期； (2)设ABC ?为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ?的面积. 6. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数. (1)若4f π??= ??? ()f x ，求a 、b 的值. (2)若1a =，6x π =是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π. 7. 已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-. （1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π??∈???? ，求点A 的坐标. 8. 已知函数21()2cos 22 f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ， 的
高考热点题型导学案
热点探究课(四) 立体几何中的高考热点 题型 [命题解读] 1.立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题．客观题主要考查空间概念，点、线、面位置关系的判定、三视图．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证能力．考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出了转化化归思想与数形结合的思想方法． 热点1空间点、线、面间的位置关系 空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等． 如图1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． 图1 (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E-ABC的体积． [解](1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. 2分又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分
① ② (2)证明：法一：如图①，取AB 中点G ，连接EG ，FG . 因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝1 2AC . 6分 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG . 又因为EG 平面ABE ，C 1F 平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE . 8分 法二：如图②，取AC 的中点H ，连接C 1H ，FH . 因为H ，F 分别是AC ，BC 的中点，所以HF ∥AB . 6分 又因为E ，H 分别是A 1C 1，AC 的中点， 所以EC 1═∥AH ，所以四边形EAHC 1为平行四边形， 所以C 1H ∥AE ，又C 1H ∩HF ＝H ，AE ∩AB ＝A ， 所以平面ABE ∥平面C 1HF . 又C 1F 平面C 1HF ， 所以C 1F ∥平面ABE . 8分 (3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 10分 所以三棱锥E -ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 12分 [规律方法] 1.(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”
2018年高考语文热点题型和提分秘籍专题07选用仿用变换句式仿用句式(含修辞)(含解析)
专题07 选用、仿用、变换句式、仿用句式（含修辞） “选用、仿用、变换句式”是重要的语言表达技能，主要考查根据不同的语言环境选用恰当的句式的能力、仿照给定句子写出句式相同的句子的能力和根据语境，灵活自如地变换句式的能力。近几年高考常是把对选用和仿用的考查同对语法、修辞的考查结合起来，同扩展和变换句式结合起来，既注重形式的一致，也注意内容选择的灵活。 “选用、仿用、变换”都是指操作，是重要的语言表达技能。其知识依托为句式的基本特征知识、语法知识与修辞知识等。 热点题型一选用句式 例1、填入下面一段文字横线处的语句，最恰当的一句是 ( ) 辣，我们都不陌生，很多人无辣不欢甚至吃辣上瘾，这是因为辣椒素等辣味物质刺激舌头、口腔的神经末梢时，会在大脑中形成类似灼烧的感觉，机体就反射性地出现心跳加速、唾液及汗液分泌增多等现象， ________，内啡肽又促进多巴胺的分泌，多巴胺能在短时间内令人高度兴奋，带来“辣椒素快感”，慢慢地我们吃辣就上瘾了。 A．大脑在这些兴奋性的刺激下把内啡肽释放出来 B．内啡肽因这些兴奋性的刺激而被大脑释放出来 C．这些兴奋性的刺激使大脑释放出内啡肽 D．这些兴奋性的刺激使大脑把内啡肽释放出来 【答案】C 【提分秘籍】 所谓选用句式指的是根据上下文特定语境，对意义相同或相近而在风格色彩、修辞功能、表达效果等方面存在细微差别的一些句式进行比较，选出其中最恰当、最富有表现力的句式。选用句式的目的就是能在阅读时辨识文章中句式的表达效果以及能在写作时选用最佳表达效果的句式。只要不是病句，句式本身无好坏之分，关键在于要符合语境的需要。 [技巧攻略] 解答这类题的一般步骤是：首先，要审清题目要求，弄清题目是要求保持上下文的连贯，还是为了突出强调某个意思。其次是根据题目要求认真分析所供材料。如要求保持上下文的连贯，则要注意分析话题、句式；如要求强调某一意思，就要从句首句末的位置上去分析。再次是比较各选项的异同，结合语境要求的
高考数学新题型归纳
2019年高考数学新题型归纳 （一）解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 （二）新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中
笔者会详细叙述。 （三）新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路）。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 （四）知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。
高考语文 热点题型训练 10.2现代文阅读(二)(含解析) (2)
高考语文热点题型训练 一、阅读下面的文字，完成后面1～3题。 园日涉以成趣 陈从周 中国园林如画如诗，是集建筑、书画、文学、园艺等艺术于一体的精华，在世界造园艺术中独树一帜。 每一个园林都有自己的风格，游颐和园，印象最深的应是昆明湖与万寿山；游北海，则是湖面与琼华岛；苏州拙政园曲折弥漫的水面、扬州个园峻拔的黄石大假山等，也都令人印象深刻。 在造园时，如能利用天然的地形再加人工的设计配合，则不但节约了人力物力，并且利于景物的安排，造园学上称为“因地制宜”。 中国园林有以山为主体的，有以水为主体的，也有以山为主水为辅，或以水为主山为辅的，而水亦有散聚之分，山有平冈峻岭之别。园以景胜，景因园异，各具风格。在观赏时，又有动观与静观之趣。因此，评价某一园林艺术时，要看它是否发挥了这一园景的特色，不落俗套。 中国古典园林绝大部分四周皆有墙垣，将景物藏之于内。可是园外有些景物还要组合到园内来，使空间推展极远，予人以不尽之意，此即所谓“借景”。颐和园借近处的玉泉山和较远的西山景，每当夕阳西下时，在湖山真意亭处凭栏，二山仿佛移置园中，确是妙法。 中国园林，往往在大园中套小园，如颐和园的谐趣园、北海的静心斋、苏州拙政园的枇杷园、留园的揖峰轩等，它们不但给园林以开朗与收敛的不同境界，同时又巧妙地把大小不同、结构各异的建筑物与山石树木安排得十分恰当。至于大湖中包小湖的办法，运用的最妙的要推西湖的三潭印月了。这些小园、小湖多数是园中精华之所在，无论建筑处理、山石堆叠、盆景配置等，都是工笔细描，耐人寻味。游园的时候，对于这些小景观，宜静观盘桓。 中国园林的景物主要模仿自然，用人工的力量来建造天然的景色，即所谓“虽由人作，宛自天开”。这些景物虽不一定强调仿自某山某水，但多少有些根据，用精练概括的手法重现。颐和园的仿西湖便是一例，可是它又不尽同于西湖。亦有利用山水画的画稿，参以诗词的情调，构成许多诗情画意的景色。在曲折多变的景物中，还运用了对比和衬托等手法。颐和园前山为华丽的建筑群，后山却是苍翠的自然景物，两者给人不同的感觉，却相得益彰。在中国园林中，往往以建筑物与山石作对比，大与小作对比，高与低作对比，疏与密作对比等。而一园的主要景物又由若干次要的景物衬托而出，使宾主分明，像北京北海的白塔、景山的五亭、颐和园的佛香阁便是。
(完整word)2018年高考数学总复习三角恒等变换
第三节 三角恒等变换 考纲解读 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲 常用三角恒等变形公式 和角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++= - 差角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + 倍角公式 sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα =- 降次（幂）公式 2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222 αα ααααα-+=== 半角公式 sin 2 2α α==
sin 1cos tan .21cos sin a α αα α-= =+ 辅助角公式 sin cos ),tan (0),b a b ab a ααα??+=+=≠角?的终边过点(,)a b ，特殊 地，若sin cos a b αα+=，则tan .b a α= 常用的几个公式 sin cos );4π ααα±=± sin 2sin();3 π ααα=± cos 2sin();6 π ααα±=± 题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明 (1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=- (2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβ αβαβ +++= - 解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于 12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得 2 221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-?+ 22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ?--+--=-+ 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ?--=-+ :cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+?+=- 证法二：利用两点间的距离公式. 如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++ 3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ???得，213.AP PP =故
2021届新高考版高考数学专项突破训练：专项4 新高考·新题型专练
2021届新高考版高考数学专项突破训练 专项4 新高考·新题型专练 一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则() A.M=N B.N?M C.M∩N=M D.(?R M)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.复数z=的虚部为 B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R 3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是() 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是() A.f ( - 2)=4 B.若f (m)=9,则m=±3
C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减 5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和 为1 024,则下列说法正确的是() A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则() A.|b|= B.(2a+b)∥(a+2b) C.向量2a- b与a- 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为 7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是() A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增 D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是() A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)=
2020届高考英语复习热点题型专练：(4)阅读理解(四)
阅读理解（四） A Most buildings are built to stand up straight, but these look as if they might fall over! The church tower of Suurhusen Built in 1450, the 27-metre-high church tower lies in Suurhusen, Germany. It was built in wet land on foundations of oak tree trunks (树干). When the land was drained (排水) later, the wood broke down, causing one side of the tower to be a little lower than the other. In 1975, the tower became a real hazard and people were not allowed to enter until the foundations were made strong again. The lean (倾斜) of the tower is now about five degrees. The Leaning Tower of Pisa The work of building the tower began in 1173, and was finally completed in 1372. In fact, it began to lean after just a couple of floors were built. And this condition continued in the centuries after its completion. The tower was finally closed to the public in 1990 after people failed to stabilize (使稳固) its foundations. In 2001, it was reopened after engineers removed soil from underneath its raised side. Now it leans just an angle of 3.97 degrees. Capital Gate of Abu Dhabi Completed in 2011, the Capital Gate tower in Abu Dhabi was designed to lean eighteen degrees. The building stands next to the Abu Dhabi National Exhibition Centre and contains, among other things, a fine hotel with wonderful views of the harbour. Also known as the leaning tower of Abu Dhabi, the tower is one of the tallest buildings in the city. Big Ben of London The building leans 0.26 degrees to the northwest. This was mainly caused by the engineering projects (项目) that have been carried out in the ground below it since the late 1800s. The tower, which has been continuously open since it was completed in 1858, has nowhere near the lean of the Tower of Pisa and is still completely safe to enter. 语篇解读：本文是一篇应用文。文章主要介绍了四座闻名世界的斜塔。 1．The underlined word “hazard” in Paragraph 2 probably means “________”．A．danger B．church
2018届高考数学(理)热点题型：数列(含答案)
数列 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用. 【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且 S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3 ＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ?? ??－12n －1 ＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－? ????－12n ＝?????1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数， 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1
所以34＝S 2≤S n <1， 故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2 ＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口. 【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列??????????1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴?????? ????5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ）， 解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12? ?? ??12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12???? ??? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3 ＝12? ?? ??13－12n ＋3，
高考语文 热点题型和提分秘籍 专题14 理解与现代汉语不同的句式和用法(解析版)1
专题14 理解与现代汉语不同的句式和用法 2017年新课标《考试大纲》规定：理解与现代汉语不同的句式和用法。能力层级：B “不同句式”主要指判断句、被动句、倒装句、省略句等。 “不同用法”主要指词类活用，包括名词、动词、形容词的活用以及使动用法和意动用法。 高考命题重点通过选择题(实词理解题)和翻译题的方式考查词类活用。 热点题型一 判断句 例1.下列各组句子中，句式不相同的一组是( ) A.????? ①非蛇鳝之穴无可寄托者，用心躁也②如今人方为刀俎，我为鱼肉 B.? ???? ①故今之墓中全乎为五人也②刘备天下枭雄 C.????? ①《诗》三百篇，大底圣贤发愤之所为作也②妪，先大母婢也 D.????? ①屈平疾王听之不聪也②城北徐公，齐国之美丽者也 【提分秘籍】 判断句，就是以名词、代词或名词性短语为谓语对主语进行判断的句式。在判断判断句时，首先看其标志： (1)以“……者，……也”“……也”“……者也”“……者，……”为标志。
(2)以判断动词“为”“是”为标志。(注意：“是”一般作为指示代词“这”来使用，表判断的情况相对较少) (3)以判断副词“乃”“即”“则”“皆”“诚”“悉”“亦” “素”为标志。 (4)以否定副词“非”“未”“弗”“无”“莫”为标志。 其次，对无标志判断句，要看其谓语是不是名词或名词性短语。如“秦，虎狼之国”，“秦”是名词，“虎狼之国”是名词性短语，对主语“秦”作出判断。 判断句翻译时一般要译成“是”或“不是”。当用副词加强判断时，翻译中应把副词的基本义译出，并补上判断词“是”，如“必”“亦”“即”“诚”“皆”“则”“素” “乃”可以依次译成“一定是”“也是”“便是”“确实是”“都是”“原来是”“本来是”“就是”。 【举一反三】 下列各句中，与其他三句句式不同的一项是( ) A.和氏璧，天下所共传宝也 B.且相如素贱人 C.七十者衣帛食肉，黎民不饥不寒，然而不王者，未之有也 D.此诚危急存亡之秋也 解析 C 项为宾语前置句，其他三句为判断句。 答案 C 热点题型二 被动句 例2.下列各组句子中，不属于被动句的一组是( ) A.? ???? ①不拘于时，学于余②若属皆且为所虏
三角恒等变换中的综合问题
三角恒等变换中的综合问题 新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类: 1 三角函数式的化简 解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。 例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一 解原式= = == ∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα 点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。 练习:已知函数f(x)= ①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:) 2 三角函数的求值 求值题常见的类型及解法。 2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。
高考数学新题型分类
2019年高考数学新题型分类 新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者
会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、
2019高考六大高考热点题型：概数列
数列 热点一 数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例1】 (满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列??????????a n 2n ＋1的前n 项和. 教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由S n 求a n ，本题第(2)问源于教材必修5P47B 组T4，主要考查裂项相消法求和. 满分解答 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，②1分 (得分点1) ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1 ，4分 (得分点2) 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，5分 (得分点3) 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1 .6分 (得分点4) (2)记?????? ????a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1 ，8分 (得分点5) 则S n ＝? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ?? ??12n －1－12n ＋1 10分 (得分点6) ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 .12分 (得分点7) 得分要点 ?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由a n 满足的关系式，通过消项求得a n ，验证n ＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n 项和S n . ?得关键分：(1)a n －1满足的关系式，(2)验证n ＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分. ?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分
