七年级初一数学数学第六章 实数的专项培优练习题(附解析
一、选择题
1．下列式子正确的是（ ）
A ．25＝±5
B ．81＝9
C ．2(10)-＝﹣10
D ．±9＝3
2．若24a =，29b =，且0ab <，则-a b 的值为( )
A ．5±
B ．2-
C ．5
D ．5-
3．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（ ）．
A ．1
B 2
C 3
D 6
4．下列一组数2211
-8,3,0,2,0.010010001 (7)
223
π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
5．在下列结论中，正确的是（ ）.
A 25
5-44=±（） B ．x 2的算术平方根是x
C ．平方根是它本身的数为0，±1
D 64的立方根是2 6．对于两数a 、b ，定义运算：a*b=a+b —ab ，则在下列等式中，①a*2=2*a ；②（-2）*a=a*（-2）；③（2*a ）*3=2*（a*3）；④0*a=a ，正确的为（ ）
①a*2=2*a ②（-2）*a=a*（-2） ③（2*a ）*3=2*（a*3） ④0*a=a
A ．① ③
B ．① ② ③
C ．① ② ③ ④
D ．① ② ④
7．观察下列各等式：
231-+=
-5-6+7+8=4
-10-l1-12+13+14+15=9
-17-18-19-20+21+22+23+24=16
……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）
A ．-130
B ．-131
C ．-132
D ．-133
8．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
9．如图，数轴上的点E，F，M，N表示的实数分别为﹣2，2，x，y，下列四个式子中结果一定为负数是（）
A．x+y B．2+y C．x﹣2 D．2+x
10．下列各数中3.14，5，0.1010010001…，﹣1
7
，2π，﹣3
8有理数的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知M是满足不等式36
a
-<<的所有整数的和，N是满足不等式x≤
372
-
的最大整数，则M＋N的平方根为________．
12．已知，x、y是有理数，且y＝2
x-+ 2x
-﹣4，则2x+3y的立方根为_____．
13．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①31；②33
12
+；③333
123
++；
④3333
1234
+++，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值
3333
12326
++++=__________．
14．若2
3(2)0
y x
-+-=，则y x
-的平方根_________．
15．对任意两个实数a，b定义新运算：a⊕b=
()
()
a a b
b a b
≥
?
?
?
若
若＜
，并且定义新运算程序仍然是先做括号内的，那么（5⊕2）⊕3=___．
16．定义新运算a☆b＝3a﹣2b，则（﹣2）☆1＝_____．
17．实a、b在数轴上的位置如图所示，则化简()2
a b b a
++-=___________. 18．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求31
ab c d
-+＝_____．
19．定义：对于任意数a，符号[]a表示不大于a的最大整数．例如：
[][][]
3.93,55,4
π
==-=-，若[]6
a=-，则[]2a的值为______．
20．若x、y分别是811
-2x-y的值为________．
三、解答题
21．对于实数a,我们规定用a}a{a}为 a的根整数.如10}=4.
(1)计算9？
(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；
(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次
}=4,再进行第二次求根整数}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2.
22．观察下列等式：111122=-?，1112323=-?，1113434
=-? ， 将以上三个等式两边分别相加得：11111111112233422334++=-+-+-???=13144
-= （1）猜想并写出：1n(n 1)
+ = ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①
1111 (12233420152016)
++++????= ； ②1111...122334(1)n n ++++????+= ； （3）探究并计算：1111 (24466820142016)
++++????． 23．观察下列两个等式：1122133-
=?+，2255133-=?+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+成立的一对有理数,a b 为“共生有理数对”，记为(),a b ，如：数对12,3?? ???，25,3?? ???
，都是“共生有理数对”． （1）判断下列数对是不是“共生有理数对”，（直接填“是”或“不是”）．
(2,1)- ，(13,2
) ． （2）若 5,2a ?
?- ???
是“共生有理数对”，求a 的值； （3）若(),m n 是“共生有理数对”，则(),n m --必是“共生有理数对”．请说明理由； （4）请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为 （注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．
24．观察下列各式，回答问题
21131222
-=?， 21241333-
=? 21351444
-=? …．
按上述规律填空：
（1）211100-＝ × ，2112005
-＝ × ， （2）计算：21(1)2-?21(1)...3-?21(1)2004-?21(1)2005-＝ ． 25．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：0,?0,?
0,?a b a b a b a b a b a b ->>??-==??-<
则则则；
2与2的大小
∵
224-=
<<
则45<<
∴
2240-=>
∴22>
请根据上述方法解答以下问题：比较2-与3-的大小． 26．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ??++-= ???
，点P 是数轴上的一个动点．
（1）求出A 、B 之间的距离；
（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；
（3）数轴上一点C 距A
点c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】
A
5，故选项A 错误；
B
9，故选项B 正确；
C
＝10，故选项C 错误；
D
、＝±3，故选项D 错误．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．
2．A
解析：A
【分析】
首先根据平方根的定义求出a、b的值，再由ab＜0，可知a、b异号，由此即可求出a-b 的值．
【详解】
解：∵a2=4，b2=9，
∴a=±2，b=±3，
而ab＜0，
∴①当a＞0时，b＜0，即当a=2时，b=-3，a-b=5；
②a＜0时，b＞0，即a=-2时，b=3，a-b=-5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．B
解析：B
【分析】
首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】
解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8)表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和
．
故本题选B．
【点睛】
本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
4．C
解析：C
【分析】
根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
【详解】
解：
2211
-8,3,0,2,0.010010001...
7223
，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数
的个数有：
0.010010001...2π，(相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个
故选：C
【点睛】 本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方
0.1010010001…，等. 5．D
解析：D
【分析】
利用算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可.
【详解】
54
=，错误； B. x 2的算术平方根是x ，错误；
C. 平方根是它本身的数为0，错误；
=8,8 的立方根是2，正确；
故选D.
【点睛】
此题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，正确理解相关定义是解题关键.
6．C
解析：C
【分析】
原式各项利用题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：根据题意得：①a*2=a+2-2a ，2*a=2+a-2a ，成立；
②（-2）*a=-2+a+2a ，a*（-2）=a-2+2a ，成立；
③（2*a ）*3=（2-a ）*3=2-a+3-3（2-a ）=2-a+3-6+3a=2a-1，2*（a*3）=2*（a+3-3a ）=2+a+3-3a-2（a+3-3a ）=2a-1，成立；
④0*a=0+a-0=a ，成立．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n 行右边的数就是n 的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
解：第一行：211
=；
第二行：224
=；
=；
第三行：239
=；
第四行：2416
……
第n行：2n；
∴第11行：2
11121
=．
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.
【详解】
从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．
故选B.
【点睛】
本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.
9．C
解析：C
【分析】
根据点E，F，M，N表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论．
【详解】
解：∵﹣2＜0＜x＜2＜y，
∴x+y＞0，2+y＞0，x﹣2＜0，2+x＞0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．
解析：C
【分析】
直接利用有理数的定义进而判断得出答案．
【详解】
解：3.14，0.1010010001…，-
17 ，2π 3.14，-17＝-2共3个.
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键． 二、填空题
11．±2
【分析】
首先估计出a 的值，进而得出M 的值，再得出N 的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M 是满足不等式－的所有整数a 的和，
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N 是满足不等式x≤的
解析：±2
【分析】
首先估计出a 的值，进而得出M 的值，再得出N 的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M a <<
a 的和， ∴M ＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N 是满足不等式x ∴N ＝2，
∴M ＋N ＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】
此题主要考查了估计无理数的大小，得出M ，N 的值是解题关键． 12．-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x+3y 的
值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（
解析：-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：
20 20 x
x
-≥
?
?
-≥
?
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
2
=-．
故答案是：﹣2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．13．351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=10
=1+2+3+n +
=1+2+326+=351
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解． 14．【分析】
根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.
【详解】
解：，且，
∴y-3=0，x-2=0，
．
．
的平方根是．
故答案为：.
【点睛】
此题考查算术平
解析：±1
【分析】
根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.
【详解】
解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，
∴y-3=0，x-2=0，
3,2y x ∴==．
1y x ∴-=．
y x ∴-的平方根是±1．
故答案为：±1.
【点睛】
此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.
15．【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】
(⊕2)⊕3=⊕3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关
解析：【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】
2)⊕3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16．﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（?2）?2×1＝?6?2＝?8，
故答案为?8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（?2）?2×1＝?6?2＝?8，
故答案为?8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0,
|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小
解析：2a
-
【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0,
=-a-b+b-a=-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据
,0
,0
a a
a
a a
≥
?
=?
-<
?
，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝
对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 18．【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴＝﹣1+0+1＝0．
解析：【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴1＝﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
19．-11或-12
【分析】
根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小
解析：-11或-12
【分析】
根据题意可知65a -≤<-，12210a -≤<-，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：65a -≤<-
∴12210a -≤<-
∴[]2a 的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出a 的取值范围是解此题的关键．
20．【分析】
估算出的取值范围，进而可得x ，y 的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分x ＝4，小数部分y ＝，
∴2x－y ＝8－4＋，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理
解析：4+【分析】
估算出8-x ，y 的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵34<<，
∴4<85，
∴8x ＝4，小数部分y ＝448=
∴2x －y ＝8－44=
故答案为：4
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出x ，y 的值．
三、解答题
21．(1)3；(2)2，3，4(3)3
【分析】
（1的大小，再根据新定义可得结果；
（2）根据定义可知12，可得满足题意的m 的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.
【详解】
解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；
（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m 的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4； （3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.
22．（1）
111n n -+；（2）①20152016；②1n n +；（3）10074032. 【分析】
（1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取
14
，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】 （1）()11n n + =111
n n -+； （2）①1111...12233420152016++++????=11111122334-+-+-+…+1120152016
-=112016-=20152016
； ②()1111...1223341n n ++++????+=11111122334-+-+-+…+111n n -+=111n -+=1
n n +； （3）
1111 (24466820142016)
++++???? =14（1111...12233410071008++++????），
=1
4
（11111
1
22334
-+-+-+…+
11
10071008
-），
=1
4
（1
1
1008
-），
=1
4
×
1007
1008
=1007 4032
.
【点睛】
本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键.
23．（1）不是；是；（2）a=
3
7
-；（3）见解析；（4）（4，
3
5
）或（6，
5
7
）
【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题；
【详解】
解：（1）-2-1=-3，-2×1+1=1，
∴-2-1≠-2×1+1，
∴（-2，1）不是“共生有理数对”，
∵3-1
2
=
5
2
，3×
1
2
+1=
5
2
，
∴3-1
2
=3×
1
2
+1，
∴（3，1
2
）是“共生有理数对”；
故答案为：不是；是；（2）由题意得：
a-
5
()
2
- =
5
1
2
a
-+，
解得a=
3
7 -．
（3）是．
理由：-n-（-m）=-n+m，
-n?（-m）+1=mn+1
∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n+m=mn+1
∴（-n，-m）是“共生有理数对”，
（4）3344155-
=?+； 5566177-=?+ ∴（4，35）或（6，57
）等． 故答案为：是，（4，
35）或（6，57
） 【点睛】 本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）
99101100100?，2004200620052005?；（2）10032005. 【分析】
(1)观察已知等式可知等式右边为两个分数的积,其分母相等且与等式左边分母的底数相等，分子一个比分母小1,一个比分母大1,由此填空
(2)根据(1)发现的规律将每个括号部分分解为两个分数的积再寻找约分规律.
【详解】
解：（1）211100-＝99101100100?，2112005-＝2004200620052005?． （2）2112??-
? ??? 211...3??-? ??? 2112004??-? ??? 2112005??- ??? ＝
1322? ×2433? ×…×2003200520042004?×2004200620052005? ＝
12×20062005． ＝10032005
．． 【点睛】
本题考查的是有理数的运算能力,关键是根据已知等式由特殊到一般得出分数的拆分规律和约分规律.
25．23>-
【分析】
根据例题得到2(3)5--=-5.
【详解】
解：2(3)5--=- ∵<，
∴45<
<，
∴2(3)50-=->，
∴
23>-.
【点睛】
此题考查实数的大小比较方法，两个实数可以利用做差法比较大小.
26．（1）12；（2）-4；（3）2--或14-【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据A 和B 所对应的数，可得AB 中点所表示的数，即为点P 所表示的数； （3）根据题意可以得到c 的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P 对应的数.
【详解】
解：（1）∵2110|2|02ab a ??++-= ???
， ∴
11002
ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10， ∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12；
（2）∵P 到A 和B 的距离相等，
∴此时点P 所对应的数为：()
21042+-=-；
（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，
∴c ＜0，又|AC|=
∴c=2-BC=12-
∵2PB PC =，
①P 在BC 之间时，点P 表示(2101223-+?-=--
②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+?-=-
∴点P 表示的数为：2--或14-
【点睛】
本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．