房山区2015年高三期末检测试卷
数 学（文科）
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}
11A x x =-≤≤，{}
0B x x =≥，则A
B =
（2）已知命题2
:,20p x x x ?∈--≥R ，那么命题p ?为
（3）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，
则输出的y 值为
（4）下列函数中，在定义域上为增函数的是
（A ）{}
01x x ≤≤ （B ）{}
10x x -≤< （C ）{}1x x <-
（D ）{}
1x x ≥-
（A ）2
,20x x x ?∈--≤R （B ）2
,20x x x ?∈-- ,20x x x ?∈--≤R （D ）2 ,20x x x ?∈-- （A ）1- （B ） 12 （C ）1 （D ）2 （A ）y x = （B ）1y x x =- （C ）e 1x y =- （D ）tan y x = （5）向量12,,,e e a b 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -= （6）若x ，y 满足1,2,0,x y x y ≥?? ≤??-≤? 则x y +的最大值为 （7）设12()ln ,0f x x x x =<<， 若a f =，121 (()())2b f x f x = +，12()2 x x c f +=， 则下列关系式中正确的是 （8）某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资 金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入 资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下： 该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）抛物线2 2y x =的焦点坐标为___． （10）复数 1 2i +的虚部为___． （11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积等于___． （A ）1242e e -- （B ）1224e e -- （C ）123e e - （D ）123e e - （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （A ）a b c =< （B ）a b c => （C ）b c a =< （D ）b c a => （A ）92 （B ） 6516 （C ） 35 8 （D ） 174 侧（左）视图 俯视图 4 （12）直线+2=0x y -与圆22 +4x y =相交于A ,B 两点，则||AB =___． （13）已知函数()sin cos f x x x =，则()f x 的最小正周期为___，()f x 在[,]84 ππ - 上的最小值为___． （14）某同学在研究函数()2016 x f x x = +时，得到以下几个结论： ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 的值域是[-1,1]； ③函数()f x 在R 上是增函数； ④函数()()(g x f x m m =-是常数）必有一个零点． 其中正确结论的序号为___．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知2 2 2 b c a bc +=+. （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）如果3 sin C =2c =，求a 的值. （16）（本小题13分） 已知{}n a 是公差d=3的等差数列，且132,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和T n . （17）（本小题13分） 北京高中会考考试科目原始得分采用百分制，公布成绩使用A 、B 、C 、D 等级制．A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级．各等级分数划分标准：85分及以上为A ，84-70分为B ，69-60分为C ，60分以下为D ．如图的茎叶图(十位为茎，个位为叶)记录了某校高三年级6名学生的数学会考成绩． 茎 叶 （Ⅰ）求出茎叶图中这6个数据的中位数和平均数； （Ⅱ）若从这6名学生中随机抽出2名，记事件X ：“恰有一名 学生的成绩达到A 等”，事件Y ：“至多有一名学生的成绩达到 A 等”，分别求事件X 、事件Y 的概率． （18）（本小题14分） 如图1，在直角梯形ADCE 中，AD ∥EC ，2EC BC =，90ADC ∠=°,AB EC ⊥，点F 为线段BC 上的一点. 将△ABE 沿AB 折到△ABE 1的位置，使1E F BC ⊥，如图2. （Ⅰ）求证：AB ∥平面1CDE ； （Ⅱ）求证：1E F AC ⊥； （Ⅲ）在1E D 上是否存在一点M ，使1E C ⊥平面ABM . 说明理由. （19）（本小题14分） 设函数321 (),3 f x x x x =++2()24 g x x x c =++. （Ⅰ）1x =-是函数()f x 的极值点吗？说明理由； （Ⅱ）当[3,4]x ∈-时，函数()f x 与()g x 的图象有两个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）证明：当x ∈R 时，2 e 1()x x f x +-≥. （20）（本小题13分） 已知椭圆2 2 :236C x y +=的左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，求线段AB 的长； （Ⅲ）设线段AB 的中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 与椭圆C 交于M N 、两点. 是否存在直线l 使得3NP PM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. F A B C D E 1 图2 图1 F E D C B A
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