曲线与方程 例题解析
【例1】求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．
【分析】因题没有直角坐标系，故需按建系、设点、列式、代换、化简、证明直接来求轨迹方程． 【解】 以两不同定点A ，B 所在的直线为x 轴，ＡＢ的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设Ｐ（x ，y ）是轨迹上任一点，A(－a ，0)，B(a ，0)，（a ＞０）．
由题设得PB PA λ=，即
()()2222y a x y a x +-=++λ，
∴()()()021122222=++++-ax a y x λλ 当1=λ时，方程x=0表示一条直线．
当1≠λ时，方程为2
222
2
2
1211??? ??-=+?
??
? ?
?-++λλλλa y a x ，表示一个圆． 所以当1=λ时，点的轨迹是一条直线；当1≠λ时，点的轨迹是一个圆．
【点评】 题中没有坐标系，因此要根据条件建立坐标系，一般要利用题中的有关定点、定直
线、和图形的对称性来建立．
【例2】已知△ABC 的两个顶点坐标分别是A （－2，0）、B （0，－2），第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心轨迹方程．
【分析】可设重心坐标为（x ，y ），顶点C 的坐标为（0x ，0y ），根据已知条件将0x 、0y 用x ，y 表示，再代人曲线132-=x y 的方程，求轨迹方程．
【解】设C 点坐标为（0x ，0y ），△ABC 重心坐标为（x ，y ），依题意有 3020
x x ++-=
3
200y y +-=
解得 230+=x x 230+=y y
因点C （x ．，0y ）在132-=x y 上移动，132
00-=x y 所以()1233232-+=+x y ，整理得
()191322
+=??? ?
?
+y x 为所求△ABC 重心轨迹方程．
【点评】本题是用转移代人法求轨迹方程．若动点M 随着已知曲线上的动点()11,y x P 作有规律的运动，又可将点P 的坐标表示为()()y x g y y x f x ,,,11==，则需要将()()y x g y y x f x ,,,11==代入已知曲线的方程，整理便得所要求的轨迹方程． 【例3】已知动圆过点
相外切，求动圆圆心的轨迹方
程．
【分析】根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点．根据双曲线的定义，可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程． 【解】 因为
所以定圆圆心为
，半径为6
设动圆圆心为，半径为r
由双曲线定义，
的轨迹是双曲线的一个分支．
故所求轨迹方程为：
【点评】 由条件及圆锥曲线的定义能判断所求轨迹是什么曲线，再利用圆锥曲线的标准方程来求轨迹方程是一个简化的过程．
【例4】 已知点P(－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足2
3
,
0-
==? （1） 当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；
（2） 设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平
行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．
【分析】 动点M 的轨迹是由点A 在y 轴上移动而得，因而用动点M 的坐标来表示点A 的坐标，再根据点A 满足MQ AM AM PA 23
,
0-
==?求点M 的轨迹C 的方程． 【解】（1）设点M 的坐标为(x ，y)，则由MQ AM 2
3-=得A(0，－
2
y ) 0=?得(3，2y
-
))2
3,(y x ?=0?y 2=4x ∴所求动点M 的轨迹C 的方程：y 2=4x
(2) 轨迹C 的焦点为F （1，0），准线为l ：x=－1，对称轴为x 轴， 设直线m 的方程为x=ty+1，代入y 2=4x ，得y 2－4ty －4=0．
设H 、G 的坐标分别为(121,4
y y )，(22
2
,4y y )，则y 1y 2=－4．
∴n l=E(－1，y 2)
∴,1(-=y 2)，),4
(12
1
y y OH =
∵（－1·y 1）－（421
y ·y 2）=－y 1－（4
21y y ）y 1=－y 1＋y 2=0，
∴E ，O ，H 三点共线．
【点评】本题是用向量的知识方法来处理求动点M 的轨迹C 的方程，并用向量的知识来证明
E ，O ，H 三点共线．所以要求具有较强分析问题和处理问题的综合能力．
【例5】过定点()
0,3-M 作直线与椭圆13
42
2=+y x 相交于Ａ、Ｂ两点，Ｏ为原点，求△ＡＯＢ面积的最大值．
【分析】设过定点()
0,3-M 作直线方程后，与椭圆13
42
2=+y x 联立，写出△ＡＯＢ面积关于直线的斜率的函数解析式，利用基本不等式求解． 【解】设直线ＡＢ的方程为()
3+=x k y ，
则由方程组()
???
??=++=134
3
22y x x k y 消去y ，得
()()
.01123843222
2
=-+++k x k x
k
()(
)2
2
22
4339141k k k x x k AB B A +++=
-+=．
又点Ｏ到直线ＡＢ的距离2
13k
k d +=，则
.343)]3(3[343)3(33221
2
2
22
22=+++≤++=
=?k k k k k k AB d S AOB
当且仅当2233k k +=即2
6
±
=k 时，△ＡＯＢ面积的最大值的最大，其最大值为3． 若直线ＡＢ与y 轴平行时，可求△ＡＯＢ面积为2
3． 故△ＡＯＢ面积的最大值为3．
【点评】求圆锥曲线内接几何图形面积的最值中，点到直线的距离，弦长公式等常常用到． 【例6】
对称轴平行于y 轴的抛物线，其顶点在直线x ＋y=1上，焦点在直线x －y=2上，且抛物线在x 轴上所截得的线段长为４．求抛物线的方程．
【分析】 由题中条件可知，所求抛物线的方程不是标准方程，开口可以向上也可以向下，因此需设求顶点的坐标及p 的值．
【解】设抛物线的对称轴方程为x=a ，由于顶点．焦点在对称轴上，因此设其顶点()a a A -1,，焦点()2,-a a F ，其方程为()()[]()0122≠--=-p a y p a x ，其中
()()32122
-=---=a a a p
． ∴2p=4(2a －3)，因此抛物线的方程可化为()()()a y a a x +--=-13242 ① 又抛物线在x 轴上所截得的线段长为４．设线段的两端点为()()0,,0,21x D x C 则421=-=x x CD
令①中y=0得()()()a a a x +--=-13242，整理得
012207222=-+--a a ax x
∴()()()
12207424422
212
212
2
12-+--=-+=-=a a a x x x x x x
整理得02522=+-a a ，解得2,2
1
==
a a 当2=a 时，所要求的抛物线的方程为()()1422+=-y x ；
当21=a 时，所要求的抛物线的方程为??? ?
?
--=??? ??-218212
y x ．
【点评】 题中p 的正负与抛物线的开口方向一致，p 与常说具有几何意义的p 仅相差一个
正负号，这样设方程统一而较简单．其顶点．焦点的设法注意到尽量减少未知量的个数；对弦长通常采用“设而不求”．“整体代入”．
【例7】中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为2
3
，与直线x ＋y －1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且ＯＭ⊥ＯＮ．求椭圆的方程．
【分析】 若设()()2211,,,y x N y x M ，则由ＯＭ⊥ＯＮ可知02121=+y y x x ．而点Ｍ、Ｎ的坐标是直线x ＋y －1=0与椭圆方程组成方程组的解．
【解】设中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ．
∵离心率e=
2
3
∴a=2b ∴椭圆的方程可化为22244b y x =+
设()()2211,,,y x N y x M ，由于点Ｍ、Ｎ都在直线x ＋y －1=0上， 因此22111,1x y x y -=-=，21y y ＝()2121211)1)(1(x x x x x x ++-=-- ∵ＯＭ⊥ＯＮ， ∴
12
2
11-=?x y x y 即02121=+y y x x 即()0212121=++-x x x x
将直线x ＋y －1=0与椭圆的方程22244b y x =+联立消取y ，得
0448522=-+-b x x
∵Ｍ、Ｎ是直线与椭圆的两交点
∴58
21=+x x ，544221b x x -=代入()0212121=++-x x x x 得
054425812=-+-b 解得852=b ，∴25
2=a
∴所要求的椭圆方程为18
5252
2=+y x 【点评】由e=
2
3
得a=2b 将椭圆方程化成22244b y x =+，体现了“尽量减少未知量的个数”，使求解的目标非常明确．
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中数学经典例题、错 题详解
【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四 位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中 正确的结论是（ ） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1） （3，＋∞） D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角 的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα 1 数学必修一典型例题 一、集合常见考题： 1．设A={(x ，y)|y=－4x+6}，B={(x ，y)| y=5x －3}，则A ∩B= （ ） A.{1，2} B.{(1，2)} C.{x=1，y=2} D.(1，2) 2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2，3}，N={2，3，5}，则()()N C M C U U I =（ ） A.Φ B. {2，3} C. {4} D. {1，5} 3．如图，I 是全集，M ，S ，P 是I 的三个子集， 则阴影部分所表示的集合是 A ．()M P S I I B ．()M P S I U C ．S I C P)(M ?? D ．S I C P)(M ?? 4.{}{}|||1,||2|3,A x x a B x x A B ?=-<=->=I 且，则a 的取值范围 5．设集合{} 2|2530,M x x x =--=集合{}|1N x mx ==，若M N M =U ，则非零．．实数m 的取值集合．．为 . 6、（本小题满分10分）已知集合A={x| 5 32+-x x ≤0}， B={x|x 2 －3x+2<0}， U=R ， 求（Ⅰ）A ∩B ；（Ⅱ）A ∪B ；（Ⅲ）（uA ）∩B. 7、（本题满分12分） 已知集合() 3,12y A x y x ?-? ==??-?? ，()(){},115B x y a x y =++=，试问当a 取何实数时，A B =?I ． 2 8．（本小题满分12分）已知集合2{|121},{|310}P x a x a Q x x x =+≤≤+=-≤. （1）若3a =，求()R C P Q I ；（2）若P Q ?，求实数a 的取值范围． 二、函数基本概念及性质常见考题 选择填空： 1、 已知1 |1|3)(2 ---=x x x x f ，则函数)(x f 的定义域为（ ） . [0, 3] B. [0, 2)(2, 3] A ? C. (0, 2)(2, 3] D. (0, 2)(2, 3)?? 2、函数y=342-+-x x 的单调增区间是（ ） A.[1，3] B.[2，3] C.[1，2] D.(,2]-∞ 3、下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. x y ?? ? ??=21 B. x y 1= C. y=－x 3 D. )(log 3x y -= 4． ()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在),0[+∞上是减函数，若()()2-≥f a f ，则a 的取值范围是（ ） A ．2-≤a B ．2≥a C ．22≥-≤a a 或 D ．22≤≤-a 5、R 上的函数()f x 对任意实数,x y 满足()()()f x f y f x y +=+，且(2)4f =，则(0)(2)f f +-的值为（ ） A 、－2 B 、4- C 、0 D 、4 6、3 1 1)(x a a x f x x ?-+=为 函数。（奇偶性） 7、设函数()2 1 2 f x x x =++ 的定义域是[],1n n +（n N ∈），那么()f x 的值域中共含有 个整数． 8、若函数2 34y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44?? - -???? ，则m 的取值集合为 ． 9、若函数()2 121y x ax =-++在区间(),4-∞上递减，则a 的取值范围为 ． 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解 高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法． 高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误!未指定书签。 ①、3A 且3B ；②、3A 且3B ； ③、3A 且3B ；④、3A 且3B 。 2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是 4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为 5、设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，，则b a -= 6、设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则M N 。(选填 、、、?、＝、 N M ?、N M ?) 7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ? ?????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值范围是 9、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2， 3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 10、定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 11、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．． 的个数是 二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 12、(14分)若集合S ={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合P 的所有子集 13、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2高一数学必修三知识点总结及典型例题解析
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
高中数学典型题型与解析
(完整版)高中数学必修一典型例题
高中数学排列组合经典题型全面总结版
高中数学经典例题、错题详解
高中数学 典型例题 子集、全集、补集·典型例题 新课标
高一数学集合基础经典练习题 (1)
相关主题
文本预览