第一章集合与常用逻辑用语知识结构
【知识概要】
一、集合的概念、关系与运算
1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性•在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依据。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法.有的集合还可用Venn图表示，用专用符号表示，如N, N , N , Z, R,Q,等。
3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x是集合A的元素，贝U x A，否则x A。
4. 集合与集合之间的关系：
①子集：若x A，则x B，此时称集合A是集合B的子集，记作A B。
②真子集：若A B，且存在元素x B，且x A，则称A是B的真子集，记作：A B.
③相等：若A B，且A B，则称集合A与B相等，记作A= B.。
5. 集合的基本运算：
①交集：AI B x x A且x B ②并集：AUB {xx A或x B}
③补集：C U A {x|x U,且x A}，其中U为全集，A U。
6. 集合运算中常用结论：
①AI A A,AI,AI B BI A, AI B A A B。
②AUA A,AU A, AUB BUA, AUB A B A。
④由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个。
③ AU(C U A)U , (C U A)I A
C u(AI B)(C U A)U(C U B), C U(AUB)(C U A)I(C U B)。
④由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个。
⑤空集是任何集合的子集，即A。
若p,则q 若q,则p 在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往就是导致我
们在解题中出现错误的一个对象，避免因忽视空集而出
现错误。
• 7 .含参数的集合问题是本部分的一个重要题
型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，
并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用。
、命题及其关系
•1命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
•2.四种命题的相互关系：
• 3. “若p则q ”是真命题，即p q ; “若p则q ”是假命题，则p q。
• 4.在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题
的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。
• 5.充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：
(1)注意问题的设问方式，我们知道，①p是q的充分不必要条件是指p q且p q ;
②p的必要不充分条件是q是指p q且q p。这两种说法是在充分必要条件推理判断中
经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误。
(2)要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。
(3)恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p是q的充分不必要条件，
则p是q的必要不充分条件；若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条
件。
• 6.证明p是q的充要条件
(1)充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ;
(2)必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p 。
三、逻辑联结词与量词
• 1含有“且()”“或()”“非()”命题的真假性:
• 2 •全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，
用符号“ ”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可
用符号简记为x M , p(x)。
含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M中任意一个x，使p(x)成立”
可用符号简记为x M , p(x)。
第二章函数知识结构
函数的概念及其表示
(1) 函数的概念
①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ,对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都有唯一
确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A , B以及A到B的对应法则f ) 叫做集合A到B的一个函数，记作f : A B .
②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
(2) 区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b];满足a x b的实数x
的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a, x a, x b, x b的实数x的集合分别记做[a, ),(a, ),( ,b],( ,b) •
注意：对于集合｛x| a x b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须
a b •
(3) 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①f(X)是整式时，定义域是全体实数.
②f(X)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.
③ f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.
⑤y tanx 中，x k (k Z).
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⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数
的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]
的定义域应由不等式a g(x) b 解岀.
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.
(4) 求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的•事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值•因此求函数的最值与值域，其实质是相同的,
