高三数学上学期月考试题（含解析）
一、单项选择题
1.已知集合{}
2
60A x x x =--<，集合{
B y y ==
，则(
)R
A B =（ ）．
A. ()1,3
B. (]1,3
C. [
)3,+∞
D. ()3,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
求出A 中不等式的解集确定出A ，及B 中x 的范围确定出B ，确定出集合A 的补集再求出
(
)
R
A B 即可.
【详解】因为集合{
}{
}
2
6023A x x x x x =--<=-<<， 则
(][),23,R
A =-∞-?+∞，
又{
{}0B y y y y ===≥，
所以
(
)[)3,R
A B =+∞.
故选：C .
【点睛】此题考查了交集、补集及其运算,熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，是基础题. 2.若复数()2i
1i
a a -∈+R 为纯虚数，则1i a +（ ）
．
B. 2
C. 5
【答案】D 【解析】 【分析】
把给出的复数化简,然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由
2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2
a i a i i a a i
i i i ----+--==++-， 因为复数
2()1a i
a R i
-∈+为纯虚数，
2
02
202
a a -?=???
+?≠??，解得2a =,
所以1i 12a i +=+== 故选:D .
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法,是基础题. 3.下列不等式正确的是（ ） A. 3
0.2
3log 0.20.23<< B. 0.2
33log 0.230.2<<
C. 3
0.2
30.2log 0.23<<
D. 0.2
333
log 0.20.2<<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小. 【详解】对于3log 0.2,由对数函数的图像与性质可知33log 0.2log 10<= 对于30.2,由指数函数的图像与性质可知300.21<< 对于0.23,由指数函数的图像与性质可知0.20331>= 综上可知, 3
0.2
3log 0.20.23<<
故选:A
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题.
4.已知函数()f x 是定义在[)(]
4,00,4-?上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所
示，那么满足不等式()31x
f x ≥-的x 的取值范围是（ ）．
A. [][]1,22,1--
B. [][]4,20,1--
C. [][]4,22,4--
D. [)
[]1,02,4-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用奇函数画出函数图像，同时画出31x
y =-的图像，结合图像即可得出.
【详解】()f x 为[)(]
4,00,4-?上的奇函数，所以如图，画出()f x 在[4,0)-的图象，得点
8
(2,)9
--、点(1.2)在()f x 上，
画出31x
y =-的图象，得到其渐近线为1y =-，且在第一象限与()f x 的图象交点为(1,2)，
要解不等式()31x
f x -，则结合图象，需()f x 的图象在31x y =-图象的上方，从而解
得:[4,2][0,1]x ∈--?.
故选：B .
【点睛】本题主要考查的是函数奇偶性，单调性的应用，以及指数函数的性质应用，数型结合的应用，是中档题. 5.已知π1cos 33α??-= ???，则7πsin 26α??-= ???
（ ）． A.
13 B. 13
-
C.
79
D. 79
-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用诱导公式和二倍角公式计算可得. 【详解】11
cos sin sin 3323
63ππππααα????????-==--=+=
? ? ???????????， 7sin 2sin 2sin 2666πππαπαα???????
-=+-=-- ? ? ????????
?
cos 226
ππα??
??=--- ???????
cos 23πα?
?=-+ ??
?
cos 26πα?
?=-+ ???
22sin 16πα?
?=+- ??
?
7
9
=-
. 故选：D .
【点睛】本题主要考查的是诱导公式，二倍角公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题. 6.数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1
12n n n n
b a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}
n
a b 的前n 项和
为（ ）．
A.
()1
4413
n -- B.
()4413
n
- C.
()1
1413
n -- D.
()1413
n
- 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】因为1
12n n n n
b a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，
因此()12121n a n n =+-=-，11
122n n n b --=?=，
数列{}
n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -++
+=+++
+
02422222n =++++
()14141143
n n -==--. 故选：D .
【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.
7.第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有A ，B ，C ，D ，E 5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且A 和B 是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是（ ）． A.
1
2
B.
13
C.
14
D.
15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意,首先A 和B 看成一个整体再根据每个体育馆至少安排一人，计算所有的基本事件，再计算甲体育馆恰好安排了1人含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式,计算可得答案.
【详解】因为A 和B 是同学需分配到同一体育馆，所以把,A B 看成一个元素， 又每个体育馆至少安排一人， 所有的基本事件有2
3
4343
321362
C A ?=
???=， 甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有1
2
2
33232
321182
C C A ?=???=, 甲体育馆恰好安排了1人的概率为181362
=. 故选：A .
【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率公式，考查带有限制条件的元素的排列组合问题，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，是中档题.
8.设抛物线2
2y x = 的焦点为F ，过点(30)M ， 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF = ，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACF
S
S
等于
（ ） A.
45
B.
23
C.
47
D.
12
【答案】A 【解析】
如图过B 作准线1
2
l x =-
：的垂线，垂足分别为11A B ，， BCF ACF
BC S S
AC
=
，又
11,B BC A AC ∽
11
BC BB AC
AA =
，，
由拋物线定义
11
2BB BF AA AF
AF =
=
． 由12BF BB == 知3
32
B B x y ，==-
02
AB y x ∴-=
-： 把2
2
y x = 代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．
故24552
BCF ACF
BF S
S
AF
=
=
=． 故选A ． 二、多选题
9.定义新运算⊕，当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数
()()()12f x x x x =⊕-⊕，[]2,2x ∈-的值可以等于（ ）．
A. 6-
B. 1
C. 6
D. 4-
【答案】BCD 【解析】 【分析】
先根据题意算出函数()f x 的表达式，再算出函数()f x 的值域，即可得答案.
【详解】由题意知()()()32,21122,12x x f x x x x x x --≤≤?=⊕-⊕=?-<≤?
，
易知函数()f x 在[]2,2x ∈-上单调递增， 所以()[]4,6f x ∈-，
所以函数()()()12f x x x x =⊕-⊕，[]2,2x ∈-的值可以等于为4,1,6-. 故选：BCD .
【点睛】本题主要考查的是函数的单调性和函数的值域的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.
10.已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则αβ⊥的充分条件是（ ）． A. l α?，l β⊥
B. l α⊥，m β⊥，l m ⊥
C. αγ⊥，βγ
D. l α?，m β?，l m ⊥
【答案】ABC 【解析】 【分析】
根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断. 【详解】由面面垂直定理可以判断,,A B C 正确，
对于选项D ，l α?，m β?，l m ⊥，也可以得到αβ∥，故D 错. 故选：ABC .
【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.
11.已知函数()()sin f x A x =+ω?（其中0A >，0>ω，0π?<<的部分图象，则下列
结论正确的是（ ）．
A. 函数()f x 的图象关于直线π
2
x =对称 B. 函数()f x 的图象关于点π,012??
-
???
对称 C. 函数()f x 在区间ππ,36??
-
???
?上单调增 D. 函数1y =与()π23π12
12y f x x ??=-≤≤ ???的图象的所有交点的横坐标之和为8π
3
【答案】BCD 【解析】 【分析】
根据图像求出函数()f x 的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.
【详解】由函数()()sin f x A x =+ω?（其中0A >，0>ω，0π?<
<）的图像可得：
2A =，
2543124T πππ=-=，因此T π=, 22π
ωπ
∴=
=,
所以()()2sin 2f x x ?=+，过点2,23π??
- ???
， 因此
432,32k k Z ππ
?π+=+∈，又0π?<<， 所以6
π
=?，
()2sin 26f x x π?
?∴=+ ??
?，
当2
x π=
时，12f π??
=-
???
，故A 错； 当12
x π
=-
时，012f π??
-
= ???
，故B 正确； 当ππ,36x ??∈-
????，ππ2,226x π??+∈-????，所以()2sin 26f x x π?
?=+ ???在ππ,36x ??∈-????
上单调递
增，故C 正确； 当π23π1212x -
≤≤时，[]20,46
x π
π+∈，所以1y =与函数()y f x =有4的交点的横坐标为1234,,,x x x x ，12347822663
x x x x πππ
+++=?+?=，故D 正确.
故选：BCD .
【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.
12.已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）． A. 函数()f
x 为偶函数
B. 若()()f a f b =，其中0a >，0b >，a
b ，则1ab =
C. 函数()
2
2f x x -+在()1,3上为单调递增函数
D. 若01a <<，则()()11f a f a +<-
【答案】ABD 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断. 【
详解】函数()2log f x x =- 对于A ，()2
log
f
x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为
偶函数，故A 正确；
对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，a b ，所以()()()f a f b f b ==-，
22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；
对于C ，函数(
)(
)
2
2
22log 2f x x x x -+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数
()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；
对于D ，因为01a <<，2
1110,011a a a ∴+>>-><-<，()()101f a f a ∴+>>-故
()()()()
2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D 正确.
故选：ABD .
【点睛】本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题. 三、填空题
13.已知向量()()3,2,,1a b m =-=．若向量()
2//a b b -，则m =_____． 【答案】32
- 【解析】 【分析】
由向量的差的坐标运算可得：2(32,4)a b m -=--， 由两向量平行的坐标运算得：432m m -=-，运算即可得解. 【详解】解：
向量(3,2)a =-，(,1)b m =，
∴2(32,4)a b m -=--，
(2)//a b b -，432m m ∴-=-， 3
2
m ∴=-．
故答案为：32
-
． 【点睛】本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题.
14.某海域中有一个小岛B （如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的A 处出发由西向东直线航行，在A 处望见小岛B 位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达C 处，此时望见小岛B 位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）
【答案】无 【解析】 【分析】
可过B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D ，结合角度关系可判断ABC 为等腰三角形，再通过BCD 的边角关系即可求解BD ，判断BD 与3.8的大小关系即可
【详解】
如图，过B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D ，在ABC 中，9060=150ACB ∠=?+??，907515BAC ∠=?-?=?，则1801501515ABC ∠=?-?-?=?，所以ABC 为等腰三角形。
8AC BC ==，又9060=30BCD ∠=?-??，所以sin304BD BC =?=，4 3.8>，所以渔船没有
触礁的危险
故答案为：无
【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题
15.如图，在三棱锥S ABC -中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长3SA SB SC ===，M 、
N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM MN ⊥，则异面直线MN 与AC 所成角为______；
三棱锥S ABC -的外接球的体积为______．
【答案】 (1). π2
(2). 9π
2
【解析】 【分析】
根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出AC ⊥平面SBE ，再根据MN SB ，可得
MN AC ⊥，从而得出异面直线MN 与AC 所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而
得出球的直径，即可得出球的体积.
【详解】由三棱锥S ABC -中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长3SA SB SC ===知，三棱锥S ABC -是正三棱锥，则点S 在底面ABC 中的投影为底面的中心O ，E 为AC 中点如图，
因此,,SO BE O SO AC AC BE ⊥⊥?=,所以AC ⊥平面SBE ,SB ?平面SBE ,
SB AC ∴⊥,又M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，
则MN
SB ,因此MN AC ⊥，异面直线MN 与AC 所成角为
2
π
； ,MN AC,AM AM MN AC A ⊥⊥=,
MN ∴⊥平面SAC ,又MN SB ，则SB ⊥平面SAC ,又三棱锥S ABC -是正三棱锥，
因此三棱锥S ABC -可以看成正方体的一部分且,,,S A B C 为正方体的四个顶点，故球的直径为
()()()
2
22
3333++=，
则球的体积为3
439322
π
π??= ???.
故答案为：
2
π；9π2.
【点睛】本题主要考查的是异面直线所成角，线面垂直的判定定理，以及球的体积，考查学生的理解能力，是中档题.
16.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为
半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________. 【答案】
4
3
【解析】 【分析】
先证明AMN ?是正三角形，在'MFF ?中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得
22
22||2||cos120(||2)FF FM FF FM F M FM a ''?'+-==+，化为22340c ac a --=，
从而可得结果.
【详解】
由题意，得()(,0),,0A a F c -，另一个焦点(),0F c '
-，
由对称性知，AM AN =，
又因为线段AM 的垂直平分线经过点N ，， 则AN MN =，可得AMN ?是正三角形， 如图所示，连接MF ，则AF MF a c ==+，
由图象的对称性可知，1
302
MAF NAF MAN ?∠=∠=∠=， 又因为AMF ?是等腰三角形， 则120AFM ?∠=， 在'MFF ?中， 由余弦定理：2
2
22||2||cos120(||2)FF
FM FF FM F M FM a ''?'
+-==+，
上式可化为2
2
2
14()22()(3)2c a c c a c a c ??++-?+-
=+ ???
， 整理得：22340c ac a --=，即()()34=0c a c a +-，由于0,0a c >>， 则4
340,3
c a c a -==
， 故43
c e a =
=，故答案为43.
【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值. 四、解答题 17.已知函数sin ()2
x
f x =
，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再
将图像上每个点的横坐标缩短到原来的
12，然后向左平移6π得到()y g x =的图像.
（1）当[0,]2
x π
∈时，求()g x 的值域；
（2）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()4
f A =
，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.
【答案】（1）[0,1+；（2【解析】 【分析】
（1）现根据平移法则求得()g x ，再求()g x 值域即可；
（2）由()f A =
求得A ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积. 【详解】（1）sin ()2
x
f x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得()sin f x x =；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的1
2
，得到()sin 2f x x =；然后向
左平移
6π个单位，得到()sin 23f x x π??=+ ???
()sin 232g x x π??=++ ???，当[0,]2x π∈，42,333x πππ??+∈????， sin 232x π????+∈-?? ?????
，
()sin 20,2213g x x π??
?=+++? ??
???
（2）sin ()23
A f A A π=
=?=或23π
（由题意三角形为锐角三角形，故舍去23π）， 1
sin 2
ABC S bc A ?=，①
()2
2
2222cos 22b c bc a
b c a A bc bc
+--+-==
，②
又4a =，5b c +=，代入①②得bc =3,则ABC S ?=
【点睛】本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题
18.已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n *∈N ，n b 是n a 和1n a +的等比中项．
（1）设22
1n n n c b b +=-，n *∈N ，求证：{}n c 是等差数列；
（2）若112
a =，1d =，()2
11n n d n c *=∈-N ， （Ⅰ）求数列
()
{}
21n
n b -的前2n 项和2n S ；
（Ⅱ）求数列{}n d 的前n 项和n T ．
【答案】（1）证明见解析(2) （Ⅰ）2
2n n +（Ⅱ）()
41n
n +
【解析】 【分析】
(1)根据等差数列定义即可证明；
(2)(Ⅰ)求出数列{}n c 的通项，再利用并项求和即可得出2n S ；（Ⅱ）求出数列{}n d 的通项，再利用裂项求和即可得出n T . 【详解】（1）证明：∵n b 是n a 和1
n a +的
等比中项，
∴2
1n n n b a a +=?，
()22
11211212n n n n n n n n n n n c b b a a a a a a a d a +++++++=-=?-?=?-=?，
122n n c da ++=，()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，n *∈N ，
所以{}n c 是等差数列．
（2）由（1）可得222222
21234212n n n S b b b b b b -=-+-++
-+
()()()222222
2143221n n b b b b b b -=-+-++-
1321n c c c -=+++，
（Ⅰ）知21n c n =+，数列
(){}2
1n
n
b -的前2n 项和2n
S
；
()22132134122
n n n S c c c n n n -+-=+++=
?=+．
（Ⅱ）因为21n c n =+，()2
11
n n d n c *
=
∈-N ，
∴()
()2
21
111111444141211
n d n n n n n n n ??
=
=
=?=- ?+++??
+-，
()
11111111111142233414141n n T n n n n ????=-+-+-+
+-=-= ? ?
+++????. 【点睛】本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂项求和的应用，考查学生的计算能力，是中档题.
19.如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ?平面ABCE ）．
（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =
试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为
15
5
，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析（215 【解析】 【分析】
(1)先利用线面垂直的判定定理证明AE ⊥平面POB ，再利用面面垂直证明面POB ⊥平面
ABCE 即可；
(2)建立空间直角坐标系求出平面AEQ 的法向量，再利用向量所成角的关系式求出直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值，建立关系式，即可得出
PQ
OB
的值. 【详解】（1）证明：连接BE ，在等腰梯形中ABCD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 中点，
∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，
∴OB AE ⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OB
OP O =，
OB?平面POB，OP?平面POB，∴AE⊥平面POB．
又AE?平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE．
（2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴2
AD DE
==，
在等腰梯形ABCD中2
AE BC
==，∴PAE
△正三角形，
∴3
OP=，同理3
OB=，
∵6
PB=，∴222
OP OB PB
+=，∴OP OB
⊥．
由（1）可知OP AE
⊥，OB AE
⊥，
以O为原点，OE，OB，OP分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系O xyz
-，由题意得，各点坐标为()
0,0,3
P，()
1,0,0
A-，()
0,3,0
B，()
2,3,0
C，()
1,0,0
E，∴(3,3
PB =-，(3,3
PC=-，()
2,0,0
AE=，
设()
01
PQ PB
λλ
=<<，()
1,333
AQ AP PQ AP PB
λλλ
=+=+=，
设平面AEQ的一个法向量为()
,,
n x y z
=，
则
n AE
n AQ
??=
?
?=
?
，即()
20
3330
x
x y
λλ
=
??
?
++=
??
，
取0
x=，1
y=，得
1
z
λ
λ
=
-
，∴0,1,
1
n
λ
λ
??
= ?
-
??
，
设直线PC与平面AEQ所成角为θ，
π
0,
2
θ??
∈??
??
，
则
15
sin cos,
5
PC n
PC n
PC n
θ
?
===，即
2
33
15
1
5
101
1
λ
λ
λ
λ
+
-
=
??
+ ?
-
??
，
化简得：2
4410
λλ
-+=，解得
1
2
λ=，
∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ ． 【点睛】本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的证明，以及利用空间向量法求线面所成角，考查学生的分析问题、解决问题的能力，同时考查学生的计算能力，是中档题.
20.2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <<；
（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ “的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现市民小王要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．
14.5≈；②若()2,X
N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，
【答案】（1）0.8186（2）分布列见解析,40 【解析】 【分析】
(1)先求出μ，再根据正态分布的知识求出()3679.5P Z <<即可；
(2)先求出X 的所有可能情况20,40,60,80元，再求X 的的分布列及数学期望即可. 【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05μ=?+?+?+?+?+?+?
0.875 6.751116.2516.8758.565=+++++=；
又3665≈-79.565≈， 所以()11
3679.50.95450.68260.818622
P Z <<=
?+?=． （2）根据题意可以得出所得话费的可能值有20，40，60，80元， 得20元的情况为低于平均值，概率121
233
P =
?=， 得40元的情况有一次机会获得40元，两次机会获得2个20元，概率
1112272323318
P =?+??=，
得60元的情况为两次机会，一次40元，一次20元，概率121222339
P =???=， 得80元的情况为两次机会，都是40元，概率1111
23318
P =??=，
所以变量X 的分布列为：
所以其期望为()1721
2040608040318918
E X =?+?
+?+?=． 【点睛】本题主要考查是正态分布的知识及离散型随机变量的分布列、数学期望问题，综