第二章 普通张量的基本概念
§2.1 普通张量的记法
一、
上标、下标、自由指标
普通张量理论采用上标和下标。
上标称为逆变指标，下标称为协变指标。 具有上标的分量称为张量的逆变分量。 具有下标的分量称为张量的协变分量。
同时具有上标和下标的分量称为张量的混变分量。
i T i T ij T ij T i j T ? i j T ? k ij T ??
字母中的上标和下标称为自由指标。对于张量，自由指标的个数就是张量的阶数。
二、爱因斯坦求和约定、哑标 求和简记法（爱因斯坦约定）：
在一个单项式中，同一个指标出现两次，而且一次作为上标，一次作为下标，就表
示对该指标求和。
表示求和的重复指标称为哑标。
j i j i x a =ξ 或是 k
i k i x a =ξ
注意与笛卡儿张量求和的区别。
三、Kronecker 记号δ
?
??=01
i
j
δ j i j i ≠=
3=i i δ i j k j i k δδδ= 3==i i j i i j δδδ
i l k l j k i j δδδδ= i k i k x x =δ ij k j ik a a =δ
四、置换符号
??
?
??-==011
ijk
ijk e e 非循环序列、、逆循环序列、、循环序列、、)()()(k j i k j i k j i 应用实例
1、 表示行列式
k j i ijk n m l lmn a a a e a a a e a a a a a a a a a a 32132133
32
3
123222
1
13
12
11===
2、 矢量的叉积
设 j j e a = k k e b b = i
i e c =?=
i i e c b a e ==?=222 k j ijk i b a e c = 五、求普通导数的简记法
取坐标参数x j ，则：
j i j i u x u ,=?? j i
j i u x u ,=?? j j u x u ,=?? jk i k j i u x
x u ,2=???
§2.2 基矢量、矢量的逆变分量和协变分量
客观过程的内在规律是不应该依赖所选择的坐标系的，即自然规律是协变的。因此，尽可能建立张量方程。摆脱坐标系。现在研究几种坐标系。
一、 笛卡儿直角坐标系
)
('1
p p )
(22p 笛卡儿直角坐标系采用三个相互垂直的单位矢量作为基矢量。
i i e p e p e p e p =++=332211
i e 称为协变基矢量。i p 为逆变分量。
332211e p e p e p ++=
i e 称为逆变基矢量，i p 为协变分量。
笛卡儿直角坐标系中，i e 和i e 是重合的，无须区分。
二、笛卡儿斜角坐标系
设三个不共面的单位向量*
1e ，*
2e ，*
3e 构成斜角坐标系的协变基矢量。
1
e
2
*
*
33*
22*
11i i
e p e p e p e p =++=
p i 为矢量的逆变分量。此时，矢量的逆变分量并不等于矢量在坐标轴上的投影。若位移为*
j j e u =，则功：
332211u p u p u p W ++≠
以二维为例，两轴夹角为α
α
cos )()
()(1
2212211*
22*11*22*11u p u p u p u p e u e u e p e p W +++=+?+=?=
现在引入一个新的基矢量1*e ，2*e ,3*e 逆变矢量 j
i i j
e e δ=?*
* 可知：
1、)(**j i e e
i j ≠⊥
2、逆变基矢量j e *不是单位向量。
协变基矢量线性独立，故逆变基矢量也线性独立。 j
j e
p e p e p e p p *3
*32
*21
*1=++=
j p 称为的协变分量。
再计算功： i
i e p *= *
j j e u =
i
i i j j i j j i i u p u p e u e p u p W ==?=?=δ**
若 *
i i e p = j
j e p *=
j j u p w = j j i i u p u p w == 一般地，设u ,v 为任意两矢量，则：
j j i i v u v u ==?
三、 柱坐标
任何一个空间点上的矢量都可以在协变基矢量或逆变基矢量上进行分解。可以这样来理解。
1、空间有个固定的坐标系。基矢量固定在坐标原点。把矢量移至原点分解，然后再移回作用点。
2、 在空间每一点上都有一组基矢量，矢量在作用点分解，基矢量是一个活动框架，可随时安放在空间点上。
对直线坐标系，两者没有区别。对曲线坐标系，采用活动标架会带来极大方便。考查柱坐标，在A 点安上协变基矢量构成的活动标架i e ，i e 是相互正交的单位矢量。
3
,g g e =PA AB PC
过A 点的某线元矢量为 dz e rd e dr e ds 321++=θ
dr ，θd ，dz 是ds 的逆变分量。若稍作变化，取坐标的微分为矢量ds 的逆变分量。前边
的系数作为协变基矢量，即：
dr dx =1
θd dx =2
dz dx =3
11e g = r e g ?=22 33e g = 则：
i i dx g dx g dx g dx g s d =++=332211
四、 任意坐标系
对任意坐标系，可把线元矢量表示成下述形式：
i i dx g s d =
i dx 为坐标微分，i g 为协变基矢量。
以后采用由上式所确定的在所有坐标系中都适用的协变基矢量。
现在推导基矢量的具体表达式。
设空间两邻近点A 、B ，它们对某固定点O 的位置矢量分别为，r ，d r +='，A 、B 间线元矢量d d =
i
i dx x
dx x dx x dx x r d s d ??=??+??+??=
=332211 r x
r
g i i ,=??=
协变基矢量等于位置矢量对相应曲线坐标的偏导数，其方向与坐标曲线相切。
根据协变基矢量i g 按下式确定逆变基矢量j
g j
i j
i g g δ=?
协变基矢量与逆变基矢量互称互逆向量。
【例】试确定平面极坐标中的协变基矢量和逆变基矢量。
2
e
o
B
s
d =
矢径 21sin cos e r e r θθ+= 取 r x =1
θ=2
x 则
211sin cos e e r
r
g g r θθ+=??=
= 212cos sin e r e r g g θθθ
θ+-=??=
= 由 0=?θg g r 1=?r r
g g 有 21s i n c o s
e e g r
θθ+= 由 0=?r g g 1=?θθ
g g
有 21cos sin e r
e r g θ
θθ
+-
= 五、 矢量的逆变分量和协变分量
在最一般情况下，适应任何坐标系的协变、逆变基矢量为i g 、j
g i i p g p = 或 j j
p g =
i p ——矢量逆变分量； j p ——矢量协变分量。
§2.3 坐标变换
一、
坐标变换、变换函数
用i
x 和i x '
分别表示新旧坐标系中坐标参数 ),,(321'
''=x x x x x i i i=1，2，3 反变换：
),,(3
21x x x x x i i ''= i=1，2，3
反变换存在的条件式变换函数在i x '
取值范围内单值连续，存在一阶导数，而且Jacobian 行列式
0)det('
33'23'
13'
32
'22'
12
'31'21'
11'≠??????????????????=
??=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x J i i 1、 坐标微分的变换
由变换式和互变换式，有：
j j k k dx x x dx ??=''
''i i j j
dx x
x dx ??= 记
j k k j
x x ??=''β ''i j j
i x
x ??=β
并称为变换系数，'
k j β称为逆变换系数，j i 'β为正变换系数。 j
k j k dx dx '
'
β= ''i j i j dx dx β= 2、 梯度分量的变换
?的分量是
x ???，y ???，z ???。现对任一坐标1
x ，
2x ，3x 定义三个分量1x ???，2x
???，3
x ???
，考察其变换关系： '' i j
j i x
x x x ????=???? 设
''i i a x =??? j j a x
=???
j j
i i a a ''β= 类似地，反变换为：
''
k k j j a a β=
上述变换都是通过正变换系数i i 'β和逆变换系数'i i β来实现的。若确定了变换系数，则可确定物理量在坐标变换中的变换规律。
j
i i
k k j i j x
x x x x x δ=????=??'' j i k i j k δββ=?''
''''k i j i k j δββ=
【例】求直角坐标系和柱坐标的变换系数 直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)r z θ间的关系为
θcos r x = θs i n r y = z=z
222y x r += x
y
a r c t g =θ z=z
置x x ='
, y x =2,z x =3
及r x ='
1,θ='
2x ,z x ='
3。则：
θβcos '111'
1=??=x x ，θβsin '211'2r x x -=??=，0'311
'3=??=x
x β
θβsin '122'
1=??=x x ，θβcos '222'2r x x =??=，0'322
'3=??=x
x β
0'133'
1=??=x x β，0'233'2=??=x x β，1'333
'3=??=x
x β
θβcos 1'1'
11
=??=x x ，θβsin 2'1'12=??=x x ，03'1'
13=??=x
x β
r x x θβsin 1'2'
21
-=??=，r x x θβcos 2'2'22=??=，03
'2'
23=??=
x x β 01'3'
31
=??=x x β，02'3'
32=??=x
x β，13'3'33=??=x x β
二、 基矢量的变换
设旧坐标系中协变基矢和逆变基矢为i g 和j
g 。 新坐标系中协变基矢和逆变基矢为i g '和j g
。
j j dx g d = j j x g ??=
''i i dx g r d = ''i i x
g ??=
j i j i i j i j j j i i g g dx g dx g dx g '''''ββ=?=='
类似地 ''i i k k g g β=
对逆变基矢量 '
''
'i j i j g g δ=? i
j i
j g g δ=?
设 j
i j i g g ''α= 又 k k j j g g ''β= 则
''''''''i k k j j k i j k j j k i j k j i j g g αβδαβαβδ==?=
'''''
''i j i j j j i k k j j j βδβαββ==?
''i j i j βα=?
即 j
i j i g g ''β= '
'i k
i k
g g β=
【例】求柱坐标中的协变基矢量和逆变基矢量 直角坐标系中的协变和逆变基矢量都为1e ，2e ，3e 。 利用前面求出的直角坐标和柱坐标间的变换关系可以得到
21'1sin cos e e g g r θθ+==
21'2cos sin e r e r g g θθθ+-== 3'3e g g z ==
21'1sin cos e e g g r θθ+==
21'2cos sin e r
e r g g θ
θ+-
== 3'3e g g z ==
三、 矢量的变换
i i i i i i i i g v g v g v g v ====''''
1、 已知i v 求'i v
''''k k k j k j j j g v g v g v ===β j i j k i j k j i k j k j v v g g v '''''''βδββ==?? j i j i k i k i k k v v v g g v ''''''''βδ===?
2、 已知'i v 求i v
''''''i i k k j j k j i j i k i i k v v v v v βδβββ====
3、 已知i
v 求'
i v ，知'
i v 求i
v 。
j i j i v v ''β= ''i k i k v v β=
【例】在A 点作用力，用直角坐标表示为32+=，试求在极坐标系中的逆变分量。
取 21==p p x ，32==p p y '1p p r = '2p p =θ 变换系数
θβc o s '11=， θβsin '
12= r θβs i n '
21-
= r
θβcos '
22= θθββs i n 3c o s 2'
122'111+=+=p p p r
r
r p p p θ
θββθc o s 3s i n 2'
222'211+-
=+= （注：θ
p 已不再具有力的量纲）
§2.4 张量的普遍定义
一、 矢量的解析定义、最简单的张量
在三维空间进行坐标变换时，协变基矢量j g （或逆变基矢量j
g
）按关系式
j j i i g g ''β= 或 j i j i g g ''β=
变换。这时，如果由三个分量所构成的物理量或几何量i v （或i
v ）同样方式，即
j j i i v v ''β= 或 j i j i v v ''β=
变换，则这些物理量或几何量的集合i v 就称为协变矢量或矢量的协变分量，简称i v 向量（或
逆变分量）
矢量为一阶张量，标量为零阶张量。
二、 二阶张量的定义
在三维空间中，组成参照标架的协变基矢量和逆变基矢量按式 i i i i g g ''β= i
i i i g g '
'
β=
变换，这时
1、 若在原坐标系中的九个分量T ij 按式
ij j j i i j i T T ''''ββ=
变换，则这九个分量的集合定义一个二阶逆变张量。
2、
若在原坐标系中的九个分量ij T 按式
ij j
j i
i j i T T ''''ββ=
变换，则这九个分量的集合定义一个二阶协变张量。
3、
若在原坐标系中的九个分量i j T ?及j i T .按式
i j j j i i i j T T ??=''
'
'ββ j i j j i i j i T T ??=''''ββ
变换，则这九个分量i j T ?或j i T .的集合定义一个二阶混变张量。
三、 高阶张量的普遍定义
在三维空间中，构成参照标架的协变基矢量和逆变基矢量按式
i i i i g g ''β= 和 i
i i i g g '
'
β=
变换，这时，若在该空间有r
N 3=个分量ij kl T ????（数字或函数系）所确定的物理量或几何量。按式
ij kl l l k k j j i i
j i l k T T ???????????=''''
'
'''ββββ
变换，则这些物理量或几何量的集合称为r 阶张量。
如全是上标，称为r 阶逆变张量。 如全是下标，称为r 阶协变张量。
同时具有上标和下标，则称为某阶逆变某阶协变混变张量。
张量的第二个定义
设i a ,k
b ,……, n
c 为r 个任意矢量的分量，若r
N 3=个分量i
n k T ????能将它们构成标量
n k i i n k c b a T ???=?????
则这N 个分量i
n k T ????的集合构成一个r 阶张量。
张量的第三个定义
如果把一个r 阶张量记为T ，n jk i T ??????，n jk i T ????，j
i n k T ???????，……分别是它的逆变分量、协
变分量和各混变分量，则可记为
?
?????=??????=??????=??????=???????????????????n
k j i j i n k n
k j i n jk i n
k j i n jk i g g g g T g g g g T g g g g T T
这是张量的不变性记法。
四、 商法则
如果j i n k a ??????与任意一个张量的乘积是一个非零张量，则j
i n k a ??????一定是一个r 阶张量。
【例】已知平面直角坐标系中的应力分量x σ，y σ，yx xy ττ=试求极坐标系中应力张量的逆变、协变和混变分量。
21
11
σ
11
1
1
?12
?σ
12?2
?1
1?σ
变换系数为
θβcos '11= θβs i n '
12= r θβs i n '21-
= r
θβc o s '
22= θβcos 1'1= θβs i n
1
'2r -= θβs i n 2'1= θβc o s 2'2r = 于是，根据张量的坐标变换求得：
逆变分量：
yx xy y x rr θτθθτθθσθσσσcos sin cos sin sin cos 22'1'1+++==
yx xy y x r r r r τθθτθθσθσθσ
σ
θθ
2
22222'
2'2cos sin cos sin cos sin --+== yx xy y x r r
r r r τθτθσθθσθθσ
σ
θ
22'
2'1sin cos cos sin cos sin -++-==
yx xy y x r
r
r r r τθ
τθσθθσθθσ
σ
θ22'
1'2cos sin cos sin cos sin +-+-==
协变分量：
yx xy y x rr θτθθτθθσθσσσcos sin cos sin sin cos 22'1'1+++==
yx xy y x r r r r θτθθτθθσθσσσθθcos sin cos sin cos sin 222222'2'2--+==
yx xy y x r r r r r θτθτθσθθσθσσθ22'2'1sin cos cos sin cos sin -++-==
yx xy y x r r r r r θτθτθσθθσθσσθ22'1'2cos sin cos sin cos sin +-+-==
混变分量：
yx xy y x r r θτθθτθθσθσσσcos sin cos sin sin cos 2
2'1'1+++==?? yx xy y x
θτθθτθθσθσσσθθcos sin cos sin cos sin 22'2'2--+==?? yx xy y x r r r r r θτθτθσθθσθσσθ22'1'2sin cos cos sin cos sin -++-==??
yx xy y x r r
r r r τθτθσθθσθθσσθ
22'
2'
1cos sin cos sin cos sin +-+-==??
yx xy y x r r θτθθτθθσθσσσcos sin cos sin sin cos 2
2'1'1+++==?? yx xy y x θτθθτθθσθσσσθθcos sin cos sin cos sin 22'2'2--+==?? yx xy y x r r r r r θτθτθσθθσθσσθ22'1'2cos sin cos sin cos sin +-+-==??
yx xy y x r
r
r r r τθτθσθθσθθσ
σ
θ22'2'
1sin cos cos sin cos sin -++-==??
附录 矢量与张量运算 1标量﹑矢量与张量 1.1基本概念 在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。 我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。例如质量、压强、密度、温度等都是标量。 矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为 也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示 a =(a 12+a 22+a 32)1/2 我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。 二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。张量w 可用矩阵的形式来表示： w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。若w ij =w ji ，则称为对称张量。如果将行和列互 相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则 w T = 显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。 w =(w +w T )+ (w -w T ) 单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量 是最简单的对称张量。 张量对角分量之和称为张量的迹 t r w = 张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。 1.2基本运算 1.2.1矢量加法与乘法运算 在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图附-1所示，减法为加法的逆运算。 1e e e a 332211e e e a a a a ++=??????????=3332 31232221131211w w w w w w w w w ??????????3323 13 322212312111w w w w w w w w w 2121 δ?? ??? ?????=100010001δδ ∑i ii w
张量概念的形成与张量分析的建立 【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2008 【分类号】：O183.2 【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
矢量及张量 1. 协变基矢量：321g g g a 3 21a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基矢量。 2. 逆变基矢量：3 21g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，i g 是逆变基矢量。 3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，i i g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：j i δ=?j i g g 5. 标积：i i j i j i b a b a =?=?g g b a 6. 坐标转换系数i i 'β ： i i i i i i i i i i i x x x x x x g g r r g '''''β=??=????=??= 7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为'' ''m l m j i l j i i j g g g g ?=?=ββδ 8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=?=?=g g g v 9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有 ijk k j i ijk e g 1][= =g g g ε 由 行 列 式 的 性 质 及 线 性 ][][]['''''''''n m l n k m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。 定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε== 10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g ?==??εε，所以l ijl j i g g g ε=?，l ijl j i g g g ε=? 11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=?=?，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==?，双标 量积用前前后后规则完成。 12. 混和积：abc εg g g g g g c b a ====ijk k j i k j i k j i k k j j i i c b a c b a c b a ε],,[],,[],,[ 13. rst ijk rst ijk k t k s k r j t j s j r i t i s i r e e εεδδδδδδδδδ==，有以上关系可得 14. 重要关系： k s j t k t j s ist ijk δδδδεε-=
晶体物理性能 南京大学物理系
由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域． 《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用． 鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容． 由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．
第三章 几个基本的张量 §3.1 度量张量 一、 度量张量 j j i i g g δ= j i j i g g δ= 协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为： j ij i g g g = j ij i g g g = ij g 是i g 的协变分量，ij g 是i g 的逆变分量。 ij g 和ij g 称为度量张量。 ij g ——度量张量的协变分量或协变度量张量。 ij g ——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。 证明：ij g ， ij g 是二阶张量： ' '''i j i i g g g = 又 ij j j i i j i ij j j i i j i j ij j j i i j j j ij i i j ij i i i i i i g g g g g g g g g g g g '''''''''''''''''ββββββββββ==∴====同理， 度量张量的混变分量是单位张量，即 i j i j g δ= j i j i g δ= 二、 度量张量的性质和作用 1、 度量张量各分量等于同名基矢量的点积。 ij k j ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ ij j k ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ 2、 度量张量是二阶对称张量。 i j j i g g g g ?=? ji ij g g = i j j i g g g g ?=? ji ij g g =
3、 度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。 j i jk ik g g δ= jk ik hl jl ih l jl k ik j i j i g g g g g g g g g g ==?=?=δδ 由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。 4、 度量张量是坐标微分二次型的系数 设坐标微分dx i ，空间线元i i dx g d =，则： j i ij j j i i dx dx g dx g dx g d d =?=? 5、 度量张量确定空间两矢量的夹角 i i g u u = k j kj k k g v g g v == θcos v u =? 又 j i ij k i j i kj v u g g g v u g =?=? v u v u g j i ij = ∴θcos 又 kl l k l l k k g v u g u g u u =?==2 2 1 2 1) ()(cos n m mn l k kl j i ij v u g v u g v u g = ∴θ 6、 度量张量确定矢量的逆变分量 和协变分量之间的关系。 j kj k j kj k k i ij j k i i i ij j j j i i u g u u g u g g g u g g u g g u g u g u u ==??=??=== 即ij g 起着下降某个指标作用，ij g 则上升某个指标。 7、 度量张量的混变分量是单位张量 j i jk ik g g g ?= j i jk ik g g g ?= j i j i j i j i g g g δ===?? 上式在任何参照标架中都成立。 8、 在正交坐标系中度量张量的性质。 正交坐标系中，
第三章太赫兹波的探测 就太赫兹波的研究领域来说，太赫兹信号的探测也是一项十分重要的内容。由于目前太赫兹辐射源的发射功率较低，而且还耦合了相对较强的热背景噪声，所以要想探测太赫兹信号，就得用高灵敏度的探测手段才能得以实现。在宽波段太赫兹信号的探测中，基于热吸收的直接探测方法是最常用的手段。但是这些探测方法都需要通过冷却来降低热背景噪声。而通常的冷却方法就是利用液氦（He）来实现，或者是用冷却式的硅（Si）、锗（Ge）和锑化铟（InSb）热辐射测量仪来进行测量。热电的红外测量仪器在太赫兹的波段也是可以使用的。利用铌（Ni）在超导态和正常态之间的转变，科研人员已经根据这种超导技术成功地研制出了非常灵敏的热辐射测量仪。另外，利用干涉仪也可以直接测得THz光谱信息。最近的单光子探测器就是利用干涉仪技术实现了对太赫兹光子的探测。这种探测装置，利用包含一个量子点的单光子晶体管在强磁场中工作,得到了其他方法所不能达到的灵敏度。尽管这种测量的速度现在仍被限制在1ms左右，但是已经有人提出了高速探测的设想，如果这个设想实现的话，它将会在太赫兹探测领域引发另一场革命。 在需要高光谱分辨率的太赫兹信号探测中，比较常用的是外差式探测器。在这样的系统中，探测器中的振荡器会以太赫兹量级的频率进行振动，并与接收信号发生混合。如果对信号进行频率下转换，信号就会被放大，并且对它就可以进行测量了。在室温条件中，利用半导体技术产生太赫兹辐射是可行的。而且利用平面肖特基二极管混频器来产生 2.5THz的太赫兹波技术，已经成功地应用于空间技术中了。如果利用高灵敏度的超导外差式探测器的话，在探测的过程中需要对探测器进行冷却。在空间技术领域，还有一些别的超导器件比较常用。其中应用最广泛的就要数超导-绝缘体-超导（SIS, superconductor-insulator-superconductor）结混频器。高温超导体(如YBCO)则可以应用于更宽波段的测量当中。而对于太赫兹窄波段的测量，则可以使用各种窄波段探测器来实现,如等离子体场效应管，经研究证明，它的基频已经可达600GHz了。 太赫兹时域光谱（THz-TDS，Terahertz time－domain spectroscopy）系统中的太赫兹脉冲测量，需要使用相干探测器来实现。最常用的两种相干探测方法是光电导取样和自由空间的电光取样，这两种方法都需要使用超快激光脉冲。其中，电光效应是低频电场(太赫兹脉冲)和激光束(光学脉冲)在探测晶体中的耦合。简单的张量分析表明,使用一块〈110〉取向的闪锌矿结构电光晶体（如ZnTe晶体），可以得到很高的探测灵敏度。经过太赫兹电场调制探测晶体的折射率椭球，进而调制了通过探测晶体的探测光束的椭偏度。探测光束的被调制的偏振状态，可以反映出包括太赫兹电场的大小和相位在内的光谱信息，从而达到探测太赫兹脉冲的目的。使用超短激光脉冲(如<15fs)和薄的探测晶体(如<30μｍ)，也可以进行中红外波段的电光信号探测。 3.1脉冲太赫兹信号的探测 3.1.1 光电导取样 光电导取样是基于光导天线（PCA, photoconductive antenna）发射极发展起来的太赫兹脉冲信号探测技术。为了探测太赫兹信号，首先将未加偏置的PCA放置
一．矢量与张量 1.1矢量及其代数运算公式 1.1.1矢量 在三维Euclidean 空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规律的实体，用黑体字母表示，例如u,v,w 等。它们所对应的矢量的大小（称模、值）分别用|u |,|v |,|w |表示。称模为零的矢量为零矢量，用0表示。称与矢量u 模相等而方向相反的矢量为u 的负矢量，用-u 表示。矢量满足以下规则： （1）相等：两个矢量相同的模和方向，则称这两个矢量相等。即，一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。 （2）矢量和：按照平行四边形定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量. 矢量和满足以下规则： 交换律： u +v =v +u 结合律： （u +v )+w =u +(v +w ) 由矢量和与负矢量还可以定义矢量差： u -v =u +(-v ) 并且有 u +(-u )=0 (3)数乘矢量：设a,b 等为实数，矢量u 乘数实数a 仍是同一空间的矢量，记作v =a u 。 其含义是:v 与u 共线且模为u 的a 倍，当a 为正值时v 与u 同向，当a 为负值时v 与u 反向，a 为零时v 为零矢量。数乘矢量满足以下规则： 分配律： （a+b)u =a u +b u a(u +v )=a u +a v 结合律： a(b u )=(ab)u 由矢量关于求和与数乘两种运算的封闭性可知，属于同一空间的矢量组),,2,1(I i u i =的线性组合i I i i u a ∑=1仍为该空间的矢量， 此处i a 是实数。矢量组I u u u ,,21线性相关是指存在一组不全为零的实数I a a a ,,21，使得 i I i i u a ∑=1=0 线性无关：若有矢量组J u u u ,,21，当且仅当0=j a （j=1,2,…,J)时，才有j J j j u a ∑=1 =0,
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计
“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。 所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。 授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。 目前网上给出如下一些教案示例： 1.“第一章矢量与张量” 2.“第二章应变分析” 3.“第三章应力分析 4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5) 5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4) 弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。 弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。 弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。 人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。 弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。 本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。
第五章 张量微分 §5.1 第一型克氏符号 一．定义 在曲线坐标()k x 下,基向量e i 对坐标j x 的偏导数e i j x ?? 与基向量e j 的 点积,称为第一型克雷斯托夫符号,记为,ij k Γ,即 ,e i e j ij k k x ?Γ=?? 二.性质 1.第一型克氏符号,ij k Γ关于指标,i j 对称，即 ,,ij k ji k =ΓΓ 证明:(P.432-1) 2.第一型克氏符号,ij k Γ与k m δ的并,可表成 ,,k m ij m ij k δΓ=Γ. 证明:(P.437-2) 3.度量张量g ij 对坐标k x 的偏导数,可表成: ,,g ij ik j jk i k x ?=Γ+Γ ? 证明:(P.428-2) 三.计算
1.在仿射坐标()k x 下，第一型克氏符号,ij k Γ的计算公式为 1(),2g g g jk ij ik j i ij k k x x x ???Γ=+-??? 证明: (P.428-2) 2.在正交坐标()k x 下,第一型克氏符号,ij k Γ为 12(),2h ii i i i x ?Γ=? 2.()1(),2k i k h i ii k x ≠?Γ=-? .()12(),2j i j h ij i i x ≠?Γ=? 其余0.,ij k Γ= 证明:(P.328-3). 3.在直角坐标(,,)x y z 下,第一型克氏符号,ij k Γ为 0.,ij k Γ= 证明:(P.437-3). 4.在园柱面坐标(,,)z ρ?下,第一型克氏符号,ij k Γ为 22,1ρΓ=- 12,221,2ρΓ=Γ=, 其余0.,ij k Γ= 证明:(P.429). 5.在球面坐标(,,)r θ?下,第一型克氏符号,ij k Γ为 22,1r Γ=- 2sin 33,1r θΓ=- 2sin cos 33,2r θθΓ=- 21,212,2r Γ=Γ= 2sin 31,313,3r θ=Γ=Γ 2sin cos 32,323,3r θθ=Γ=Γ
地震勘探原理复习提纲 一、本课程主要内容 绪论：物探与地震勘探的概念 第一章地震波基础 第二章地震波运动学 第三章地震资料采集：包括观测系统、地震组合法、共反射点叠加 第四章地震资料处理简介 第五章地震数据采集系统 二、主要名词与概念 1.地质年代与地层单位，宙、代、纪、世；宇、界、系、统， 2.油气藏、油气田 3.物探（基本勘探方法） 4.地震勘探（基本勘探方法） 地震勘探是利用地下介质的弹性和密度差异的一种物探方法。 地震勘探可以分为三种基本勘探方法，即反射波法、折射波法和透射波法。 5.费马原理 6.Snell定律 7.地震折射波 8.理想弹性体 弹性理论有个6基本假设，理想弹性体是指满足连续性假设、完全弹性假设、均匀性假设和各向同性假设的弹性体。 9.张量10.面波11.波阻抗12.平面简谐波 13.波型转换14.偏振交换15.发散16.波散（频散，色散） 17.地震波的吸收18.球面扩散19.大地滤波作用 20“滑行波”21视速度定理22.回转波 23.回折波24.动校正 25剩余时差 把某个波按水平界面均匀介质一次反射波做动校正后残存的时差称为剩余时差。 26.静校正 静校正主要包括井深校正、地形校正和低速带校正三部分。 27.偏移 28.时间场 29.时距曲线 30.时间剖面的显示方法 31.振幅恢复 32.反褶积 33.观测系统（包括基本原则） 34.地震组合法，线性组合，面积组合 35.空间方向系数 36.共反射点叠加法 37.动态范围，瞬时动态范围 38纵测线、非纵测线 39.识别全程多次有两个重要标志，一是标志，二是倾角标志。 40.地震勘探中常用的震源有炸药震源、可控震源、重锤、空气枪、电火花等；
张量分析与场论 第一章 张量代数 任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。 由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。 张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。 第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。 1.1点积、矢量分量及记号ij δ 我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如 位移u ρ，力F ρ等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法 法则，即设u ρ，v ρ为矢量，则v u w ρρρ+=的运算如右图所 示。 在理论力学中我们还知道，如u ρ表示某一点的位移， F ρ表示作用在该点上的力， 则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小，θ表示矢 量F ρ与矢量u ρ之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。 点积的定义：设u ρ，v ρ为两个任意矢量，设|u ρ|，|v ρ|分别为其大小（也称为模）。θ为这两个矢量之间的夹角，则u ρ与v ρ的点积为 由点积定义可知，点积具有交换律，即u ρ?v ρ=v ρ?u ρ。可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如w ρ=u ρ+v ρ，则 或可写为 如果0v u =?ρρ则称u ρ垂直于v ρ，记为u ρ⊥v ρ。 由点积的定义可知，2u u u ρρρ=?。如|u ρ|=1则称u ρ为单位矢量。 以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用分析的方法来进行。 我们引入坐标系，用坐标的方法来描述一个矢量。在 空间选三个矢量组成坐标架，这三个矢量取名为 （1e ρ,2e ρ,3e ρ ），其大小为1，方向互相垂直，即有如下的性 质：
一类粘弹性流体模型与数值分析的分析
摘要 粘弹性流体问题一直是流体力学和理论数学研究的一个重要问题．本文主 要研究一类粘弹性流体的数学模型．耳POldroyd—B型流体的数学模型．这类数 学模型一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容，均归结为偏微分方程(组)的求解，因此，研究具有高效率高精度的算法是很有必要的．在本文 中我们提供了几种解决两类偏方程的数学方法．文章主要内容如下j 本文第一章介绍了非牛顿流体力学及相关数值分析综述．第二章着重讨论 了基于Oldroyd随体时间导数的01droyd-B型流体的数学模型的本构方程的 建立、求解，并最终给出了此类方程l级、2级变分一解析解，同时，我们还在 两个特殊情形(常压力梯度和周期性压力梯度)下，讨论了该变分一解析解具体表 达形式． 第三章主要工作是应用混合有限元、最小二乘混合有限元和V循环多重网格 法去解决Oldroyd B型流体流动问题．一方面，我们将混合有限元方法应用于求 解非定常型的服从Oldroyd B型本构律的黏弹性流体流动问题．另一方面，我们将 运用混合有限元方法、最小二乘混合有限元方法和Y循环多重网格法去逼近 Oldroyd B型流体流动问题，并讨论了逼近解与真解的误差估计和收敛性．其主要 内容如下：讨论用混合有限元方法去研究01droyd B型流体流动问题的解的存在 唯一性，并给出了逼近解的误差估计；介绍应用混合有限元的最小二乘法去逼近01droyd B型流体流动问题，并讨论了逼近解的收敛性；讨论01droyd B型流体 流动问题的V循环多重网格格式，并给出了迭代解的存在唯一性和误差估计．本文第四章的主要目的就是研究一类非对称椭圆问题的最小二乘混合有限 元方法的超收敛现象．特别是对一般的非自共扼二阶椭圆边值问题，我们讨论了其最小二乘混合元解的存在唯一性及超收敛性．在第五章中，我们分别对半线性反应扩散问题和非线性反应扩散问题的扩张混合有限元方法给出了几个两层网格方法，并对它们的收敛性进行了分析．关键词：Oldroyd—B型流体，反应扩散方程，有限元，混合有限元，超收敛，误差估计
各章要点 第一章：矢量和张量 指标记法： 哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底： k i k i i x ??==?ξ?ξr g e j j i i ?=δg g i i k k x ?ξ=?g e 123 = ==g g g 张量概念 i i'i'i =βg g i'i'i i =βg g i k i k j j ''''ββ=δ i'i'i i v v =β i i 'i 'i v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =???T g g g g 度量张量 ij i i i j i i g =?=?=?G g g g g g g ?=?=?=?=v G G v v T G G T T .j kj i ik T T g = 张量的商法则 lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk ...lm T(i,j,k,l,m)T = 置换符号 312n 1n 123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn ijk .L .m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A = 置换张量
i j k ijk ijk i j k =ε??=ε??εg g g g g g ijk i j k ()e ε=??=g g g ijk ijk i j k ()ε=??=g g g i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()?=ε=ε=?=?a b g g a b εεa b 广义δ符号 i i i r s t j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t e e δδδδδδ==εε=δδδδ ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ ijk k ijt t 2δ=δ ijk ijk 6δ= 性质：是张量 重要矢量等式：()()()??=?-?a b c a c b a b c 第二章： 二阶张量 重要性质：T =T.u u.T 主不变量 i 1.i Tr()T ζ==T i j l m 2l m .i .j 1T T 2 ζ=δ 3det()ζ=T 1()()(())(())()?????????=ζ??T u v w +u T v w +u v T w u v w 2)[)][()(]()[()]()????????????=ξ??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()?????=??T u T v T w T u v w 标准形 1. 特征值、特征向量 ?=λT v v ()-λ?=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形 i 12 3 i 1122 33=??=λ?+λ?+λ? N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法） 12112233(cos()sin())(sin()cos())=?+??+-?+??+?R e e e e e e e e
张量分析与场论 第一章 张量代数 任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。 由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。 张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。 第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。 1.1点积、矢量分量及记号ij δ 我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如 位移u ，力F 等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法 法则，即设u ，v 为矢量，则v u w +=的运算如右图所 示。 在理论力学中我们还知道，如u 表示某一点的位移， F 表示作用在该点上的力， 则该力对物体质点所做的功为 θcos ||||u F W = 其中F 、|u |分别表示矢量F 、u 的大小，θ表示矢量F 与矢量u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。 点积的定义：设u ，v 为两个任意矢量，设|u |，|v |分别为其大小（也称为模）。θ为 这两个矢量之间的夹角，则u 与v 的点积为 θcos ||||v u v u =? 由点积定义可知，点积具有交换律，即u ?v =v ?u 。可以用几何的方法证明点积也具 有分配率，即如w =u +v ，则 F v F u F w ?+?=? 或可写为 F v F u )v u ( ?+?=?+F 如果0v u =? 则称u 垂直于v ，记为u ⊥v 。 由点积的定义可知，2u u u =?。如|u |=1则称u 为单位矢量。 以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用
第五章 张量分析 在笛卡尔坐标系中已经讨论过矢量的导数和积分，就矢量而言有三个分量，分量相同则矢量相同，分量不同则矢量不同，且矢量分量的变化能够完全描述矢量的变化。 在曲线坐标系中的情况则完全不同。譬如在极坐标系中，图，任意两点的矢量相等，但它们的径向分量和周向分量却不相等。然而在 两点的矢量并不相等，但在极坐标系中却有相同的径向分量和周向分量（为零）。 在曲线坐标系中的空间各点上，可以确定一组协变基矢量i g 和一组对偶的逆变基矢量 i g ，它们一般都是空间点位置即曲线坐标}{i x 的函数，因此空间各点的基矢量构成了局部 的斜角直线坐标系，可称曲线坐标系是空间局部坐标系。由于直线坐标系的基矢量在整个空间各点上处处相同，相应地称直线坐标系为整体坐标系。在曲线坐标系中研究张量在邻近区域各点的变化时，考察基矢量的空间变化情况则是进行张量分析的基础。 第一节 克里斯托夫符号 考察任意一个矢量的导数，则有： ()j i,i i i j ,j ,i i j ,v v v g g g v +== ( ) i j ,i i j i,j ,i i j ,v v v g g g v +== 以上两式中的最后一项是基矢量的导数，注意基矢量的偏导数仍是矢量，也可以分解到基矢量i g 或i g 方向上的分量。首先考察协变基矢量的导数，令： k k ij k ijk j i,g g g Γ=Γ= 这里引进了三指标符号，称ijk Γ为第一类克里斯托夫符号，称k ij Γ为第二类克里斯托夫符号。上式左端包含9项，右端有3项，所以克里斯托夫符号有27个分量。若用另一个基矢量点 乘上式，得： ijk l k ijl k l l ij k j i,Γ=Γ=?Γ=?δg g g g k ij k l l ij k l l ij k j i,Γ=Γ=?Γ=?δg g g g 即克里斯托夫符号的分量都是关于协变基矢量的导数与基矢量的点积构成的。 因为k k ij k ijk g g Γ=Γ，用l g 和l g 点乘等式的两边，可得： kl k ij ijl k l ijk g Γ=Γ=Γδ l ij l k k ij kl ijk Γ=Γ=Γδg 所以，克里斯托夫符号的第三个指标可以象矢量分量的指标一样上升和下降。 另外，联系协变基矢量是矢径对坐标的偏导数： i i x ??= r g 则有：
本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。 第一章矢量与张量 §1. 矢量代数 1.1 向量的定义 1.2 Einstein约定求和 1.3 e ijk与d ij 之间的关系 §2. 张量代数 2.1 张量的定义 2.2 张量的运算 2.3 张量与矢量之间的运算 2.4 张量与张量之间的运算 §3. 矢量分析 3.1 Hamilton算子 3.2 无旋场与标量势 3.3 无散场与矢量势 3.4 Helmholtz分解 §4. 张量分析 4.1 矢量的梯度 4.2 张量的散度和旋度 4.3 ▽(A·α)等公式 4.4 两个有关左右旋度的展开式 4.5 张量的Gauss公式和Stokes公式
§1 向量代数 1.1向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系 ，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成 (1.1) 设在中有另一个坐标系，其标架为，它与 之间的关系为 （1.2） 由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵 (1.3) 将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出 （1.4）向量在新坐标系中的分解记为 (1.5)
将(1.4)代入(1.1),得到 (1.6) 公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。 这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。 1.2 Einstein约定求和 用求和号，可将(1.1)写成 (1.7) 所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成 (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成 (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。 按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成 (1.10) (1.11) 将(1.11)代入(1.8)，得
本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容, 并提供相应的计算练习实例以及相应练习。 第一章 仿射正交张量 §1.1 指标记号及两个符号 一、 指标记号 1、 凡使用指标的记号系统为指标记号, 如单位基向量: e i , 空间内任一点坐标: x i , 今后会遇到的应变张量ij e 、 应力张量ij τ 等。 2、 求和约定 例: 空间内任一点P 的向径可表示为: 3 1122331i i i x x x x ===++∑x e e e e ( 1) 在( 1) 式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。能够将其简写为: 112233i i x x x x =++=x e e e e ( 2) 这即是求和约定, 亦即在数学表示式内同一项中, 有某个指标重复出现一次且仅一次( 如( 2) 式中的指标i ) , 就表示对该指标在其取值范围内取一切值, 并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。 需要说明的是: 由于该指标仅表示在其取值范围内求和, 因此用其它拉丁字母代替亦可, 可是不能与后文提到的自由指标相重复。 例1: i ji j t n τ= 该例中, 同一项中指标j 有重复且只重复一次, 因此为哑标。 另一指标i 不参与求和约定, 称其为自由指标。 该式展开为: i =1时, 11111212313j j t n n n n ττττ==++ i =2时, 22121222323j j t n n n n ττττ==++ i =3时, 33131232333j j t n n n n ττττ==++ 自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数, 哑标的个数决定了