吉林省长春市十一中2015届高三上学期
期中考试数学（理）试题（解析版）
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，重点考查学生的运算能力，思维能力，运算能力，分析问题解决问题的能力、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合，函数方程、复数、、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、积分等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份很好的试卷. 【题文】一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
【题文】１.，则=N M （ ） A ．{|23}x x << B ．{|1}x x <
C ．{|3}x x >
D ．{|12}x x <<
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】A 集合M={x|x-2＞0}={x|x ＞2}，N={x|log 2（x-1）＜1} ={x|0＜x-1＜2}={x|1＜x ＜3}，故 M∩N={x|2＜x ＜3}，故选A ．
【思路点拨】解对数不等式求出N ，再由两个集合的交集的定义求出 M∩N ．
【题文】2.（i 为虚数单位）的虚部是（ ）
A ．
B C ．
D 【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】B B
【思路点拨】先化简成最简形式，然后确定虚部。
【题文】3. ）
A ．222b a c
>> B ．222a b c
>>
C ．222c
b
a
>>
D ．222c
a
b
>>
【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7
【答案解析】A b>a>1,0
所以222b a c
>>，故选A.
【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小，再根据指数函数的单调性求出结果。
【题文】4. ）
A B C D 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【题文】5.函数)(x f y =在区间)2,2(-上的图象是连续不断的，且方程0)(=x f 在)2,2(-上仅有一个实根0=x ，则)1()1(f f -的值（ ） A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．与0的大小关系无法确定
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】D 由于函数y=f （x ）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f （x ）=0在（-2，2）上仅有一个实根x=0，可得图象：
因此f （-1）f （1）的值与0的大小关系不正确．故选：D ．
【思路点拨】根据函数y=f （x ）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f （x ）=0在（-2，2）上仅有一个实根x=0，画出图象即可判断出．
【题文】6.设),(y x P 是函数图象上的点，则y x +的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C
D ．2ln 3+
【题文】7.在等比数列{}n a 中，7a 是98,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ?（O 为原点）中，)1,1(=OA ，),2(q OB =，A ∠为锐角，则公比q 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．1或2- 【知识点】等差数列等比数列D2 D3
【答案解析】C ∵等比数列{a n }中，a 7是a 8，a 9的等差中项， ∴2a 7=a 8+a 9，∴2=q+q 2，∴q=1或q=-2，
∵△OAB （O 为原点）中，OA =（1，1），OB =（2，q ），∠A 为锐角，∴1×2+q ＜0，∴q=-2，故选：C ． 【思路点拨】利用等比数列{a n }中，a 7是a 8，a 9的等差中项，求出q=1或q=-2，根据△OAB （O 为原点）中，OA =（1，1），OB =（2，q ），∠A 为锐角，确定q 的值．
【题文】8.的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为
椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的 ）
A ．2
3
)(x x x f +=
B C ．x x x f cos sin )(+= D ．x
x
e
e x
f -+=)(
【知识点】单元综合B14
【思路点拨】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可． 【题文】9.的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相切，则b a +的最大值是（ ）
A ．4
B
C ．2 D
【知识点】导数的应用B12
本不等式，可求a+b 的最大值．
【题文】10.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞是单调递增的，若
dx x S ?=2
1
2
1，，dx e S x ?=213，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．123()()()f S f S f S <<
B ．321()()()f S f S f S <<
C ．213()()()f S f S f S <<
D ．312()()()f S f S f S <<
【知识点】定积分与微积分基本定理B13
【思路点拨】利用积分公式求出S 1，S 2，S 3的大小，然后利用函数单调性和奇偶性的性质即可判断大小．
【题文】11.的两个根)(,2121x x x x <以下说法正确的是（ ） A ．221>+x x B ．221>x x
C ．1021< D ．2121<+ 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】D 在同一坐标系中作出y=|log 2x|与y=lg （x+1） 的图象，如图： 由图可知：0＜x 1＜1，1＜x 2＜2， 所以1＜x 1+x 2＜2． 故选D ． 【思路点拨】在同一坐标系中作出y=|log 2x|与y=lg （x+1）的图象，观察图象可得． 【题文】12. 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲 线于B A ,两点，记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当双曲线离心率为（ ） A. B D.2 【题文】二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 【题文】13.函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f M 处的切线方程 则='+)1()1(f f . 【知识点】导数的应用B12 【思路点拨】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（1）即可． 【题文】14.设0>t ，函数的值域为M ，若M ?4，则t 的取值范 围是 . 【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3 【答案解析】 + 【题文】16.某学生对函数x x x f cos 2)(=的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数)(x f 在[]0,π-上单调递增，在[]π,0上单调递减； 是函数)(x f y =图象的一个对称中心； ③函数)(x f y =图象关于直线π=x 对称； ④存在常数0>M ，使对一切实数x 均成立． 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号) 【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4 【答案解析】④ f （x ）=2x?cosx 为奇函数，则函数f （x ）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f （0）=0，f （π）=-2π，所以②错．再由 f （0）=0，f （2π）=4π，所以③错． |f （x ）|=|2x?cosx|=|2x|?|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f （x ）|≤M|x|对一切实数x 均成立，所以④对．故答案为：④． 【思路点拨】由函数是奇函数可得函数f （x ）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错；通过给变量取特殊值，举反例可得②③不正确；令M=2，则|f （x ）|≤M|x|对一切实数x 均成立，所以④对． 【题文】三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分） 【题文】17.（本小题满分10分） 在ABC ?中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足： cos (3)cos b C a c B =-. （1）求B cos ； （2）若4BA BC =?，，求边a ，c 的值. 【知识点】解三角形C8 BC BA ?=4，b=4简整理求得cosB 的值．BC BA ?=4 可得设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有n n n S a a 4)3)(1(=+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）求证数列{}n a 是等差数列； （2的前n 项和为n T 求n T 。 【知识点】数列求和D4 【思路点拨】（1）由已知利用“当n≥2时，a n=S n-S n-1”即可求得a n与a n-1的关系，进而证明数列{a n}是等差数列． （2）利用（1）可得，n∈N*，再利用“裂项求和”即可得 【思路点拨】（Ⅰ）设BD∩OC=F ，连接EF ，由已知条件推导出EF ∥PO ，平面ABCD ⊥平面PAD ，PO ⊥平面ABCD ，从而得到EF ⊥平面ABCD ，进而得到AB ⊥EF ，再由AB ⊥BD ，能证明AB ⊥平面BED ，由此得到AB ⊥DE ． （Ⅱ）在平面ABCD 内过点A 作AH ⊥CO 交CO 的延长线于H ，连接HE ，AE ，由已知条件推导出∠AEH 是二面角A-PC-O 的平面角．由此能求出二面角A-PC-O 的余弦值． 【题文】20.（本小题满分12分） 已知函数c bx e ax x f x ++=-31 3 )(在1=x 处取得极值72++c b ，c b a ,,为常数， （1）试确定b a ,的值； （2）当[)+∞-∈,4x 时，讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若存在0>x ，使得不等式12)(2 --≤c c x f 成立，求c 的取值范围． 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】（1）a=3，b=-4（2）[-4，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数 （3）c≤0或c ≥3 （1）f′（x ）=3ax 2e x-1+ax 3e x-1+3bx 2， ∵f （x ）=ax 3e x-1+bx 3+c 在x=1处取得极值2b+c+7， ∴(1)0(1)27f f b c '=??=++?即43027 a b a b c b c +=? ?++=++?解得a=3，b=-4． （2）由（1）得f （x ）=3x 3e x-1-4x 3+c ，f′（x ）=9x 2e x-1+3x 3e x-1-12x 2=3x 2[（3+x ）e x-1-4]， ∴当-4≤x≤1时，f′（x ）≤0，当x ＞1时，f′（x ）＞0， ∴函数f （x ）在[-4，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数． （3）由（2）可知，当x=1时，f （x ）min =-1+c ， ∴若存在x ＞0，使得不等式f （x ）≤c 2-2c-1成立，则有，-1+c≤c 2-2c-1，解得c≤0或c≥3． 【思路点拨】（1）利用导数与函数极值的关系列出方程组即可求出a ，b 的值； （2）由（1）得f （x ）=3x 3e x-1-4x 3+c ，f′（x ）=9x 2e x-1+3x 3e x-1-12x 2=3x 2[（3+x ）e x-1-4]，利用导数即可求得函数的单调区间； （3）由（2）可知，当x=1时，f （x ）min =-1+c ，则有-1+c≤c 2-2c-1，解得即可． 【题文】21.（本小题满分12分） 设点)0,(),0,(21c F c F -的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且21PF PF ?的最小值为0. （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，动直线m kx y l +=:与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且l N F l M F ⊥⊥21,，求四边形21MNF F 面积S 的最大值. 【知识点】椭圆及其几何性质H5 ），则PF =（x+c ∴PF PF ?=x 2 +y 2 利用PF PF ?的最小值为可得PF PF ?=x 2 +y 【题文】22．（本小题满分12分） 已知函数)0()(2 ≠-=a ax x x f ，x x g ln )(=，)(x f 图象与x 轴异于原点的交点M 处的 切线为1l ，)1(-x g 与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行. （1）求(2)f 的值； （2）已知实数R t ∈，求函数[]t x xg f y +=)(，[]e x ,1∈的最小值； （3）令)()()(x g x g x F '+=，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α， 21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式 恒成立，求实数m 的取值范围. 【知识点】导数的应用B12
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