南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（文科）
2017.01
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ．
2．双曲线x 2
－y 2
4
＝1的渐近线方程是 ▲ ．
3．已知复数a ＋2i
1－i 为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．
4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值是 ▲ ．
5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．
6．已知实数x ，y 满足条件?????x ＋y －2≥0，
x －y ≤0，y ≤3，
则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ▲ ．
9．观察下列等式：
(sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43
×1×2；
(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；
(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；
(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；
…… 依此规律，
当n ∈N *时，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π 2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π 2n ＋1)－2
＝ ▲ ．
10．若“?x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．若在x ＝－3处函数f (x )有极大
值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ．
12．有下列命题：
①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件； ③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；
④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件． 其中所有真命题的序号是 ▲ ．
13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为(－2c ，0)．若
椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝2PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．
14．已知t ＞0，函数f (x )＝?
???
?x (x －t )2
，x ≤t ，14x ，x ＞t ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t
的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分
15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
16．（本题满分14分）
已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－n i，其中i是虚数单位，m，n为实数．
(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；
(2)若z1＝(z2)2，求m，n的值．
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)． (1)求圆M 的方程；
(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．
18．(本题满分16分)
某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，C F 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．
(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；
(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
A B C F D
E
（第18题图）
O
θ
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 3
2，两个顶点分别为A (－
a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3AM →＝MB →
，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且点C 在x 轴上方． (1)求椭圆E 的方程； (2)若BC ⊥CD ，求k 的值；
(3)记直线BC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．
20．（本题满分16分）
已知函数f (x )＝ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；
(2)已知e 为自然对数的底数，存在x ∈[1
e ，e]，使得
f (x )＝1成立，求a 的取值范围；
(3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1
x )成立，求a 的取值范围．
x
A
B y
C
M O (第19题图)
D
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准 2017．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分
标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．若|a |≠|b |，则a ≠b 2．y ＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．4n (n ＋1)3 10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④
13．[
33，2
2
] 14．(3，4) 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）
解：（1）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 中点D 的坐标为（6，0）， ………………2分
所以AD 的斜率为k ＝8－0
7－6＝8， ……………… 5分
所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －0＝8(x －6)，
即8x －y －48＝0． ……………… 7分 （2）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 所在直线的斜率为k ＝4－(－4)
10－2＝1，…… 9分
所以BC 边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分 所以BC 边上的高所在直线的方程为y －8＝－(x －7)，
即x ＋y －15＝0． ………………………… 14分 16．（本题满分14分） 解：（1） 当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ，
所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， ………………4分 所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝5． ………………6分 （2）若z 1＝(z 2)2，则m －2i ＝(1－n i)2，
所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ， ……………10分
所以???m ＝1－n 2，－2＝－2n ，
………………12分
解得???m ＝0，n ＝1．
………………14分
17．（本题满分14分） 解：（1）过点(2，－1)且与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －3＝0，……2分
由???y ＝－2x ，x －y －3＝0， 解得???x ＝1，y ＝－2．
所以圆心M 的坐标为(1，－2)， ………………4分 所以圆M 的半径为r ＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2， ………………6分 所以圆M 的方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2． ………………7分 （2）因为直线l 被圆M 截得的弦长为6， 所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝
2－(
62)2＝2
2
， ……………9分 若直线l 的斜率不存在，则l 为x ＝0，此时，圆心M 到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．
若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，
由d ＝|k ＋2|k 2＋(－1)2＝2
2
， ………………11分
整理得k 2＋8k ＋7＝0，
解得k ＝－1或－7， ………………13分 所以直线l 的方程为x ＋y ＝0或7x ＋y ＝0． ………………14分 18．（本题满分16分） 解：（1）作AH ⊥CF 于H ，
则OH ＝cos θ，AB ＝2OH ＝2cos θ，AH ＝sin θ， ……………2分
则六边形的面积为f (θ)＝2×1
2
(AB ＋CF )×AH ＝(2cos θ＋2)sin θ
＝2(cos θ＋1)sin θ，θ∈(0，π
2)． ………………6分
（2）f ′(θ)＝2[－sin θsin θ＋(cos θ＋1)cos θ]
＝2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝2(2cos θ－1)(cos θ＋1)． ………………10分 令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，π
2
)，
所以cos θ＝12，即θ＝π
3， ……………………12分
当θ∈(0，π3)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，π
3
)上单调递增；
当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(π3，π
2)上单调递减， …………14分
所以当θ＝π3时，f (θ)取最大值f (π3)＝2(cos π3＋1)sin π3＝3
23． …………15分
答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为3
23平方百米．
…………………………16分
19．（本题满分16分） 解：（1）因为3AM →＝MB →，
所以3(－1＋a ，0)＝(a ＋1，0)，解得a ＝2． ………………2分
又因为c a ＝ 3
2，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，
所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
＝1． ………………4分
（2）方法1
设点C 的坐标为(x 0，y 0)，y 0＞0,
则CM →＝(－1－x 0，－y 0)，CB →
＝(2－x 0，－y 0)．
因为BC ⊥CD ，所以(－1－x 0)( 2－x 0)＋y 02＝0． ① ……………6分 又因为x 02
4
＋y 02＝1， ②
联立①②，解得x 0＝－23，y 0＝22
3， ………………8分
所以k ＝22
3
－23＋1＝22． ………………10分
方法2
因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，且BC ⊥CD ，
所以BC 的方程为y ＝－1
k (x －2)， ………………6分
联立方程组，可得点C 的坐标为(2－k 21＋k 2，3k
1＋k 2)， ………………8分
代入椭圆方程，得(2－k 21＋k 2)24＋(3k 1＋k 2
)2
＝1，
解得k ＝±22．
又因为点C 在x 轴上方，所以3k
1＋k 2
＞0，所以k ＞0，
所以k ＝2 2 ………………10分 （3）方法1
因为直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，
由?
????y ＝k (x ＋1)，x 2
4＋y 2
＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8k 2 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2， …………………12分
所以k 1k 2＝k 2(x 1＋1) (x 2＋1) (x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1 x 2＋x 1＋x 2＋1)
x 1 x 2－2 (x 1＋x 2)＋4 …………………14分
＝k 2
(4k 2－4 1＋4k 2－8k 2 1＋4k 2＋1) 4k 2－4 1＋4k 2＋2×8k
2
1＋4k 2
＋4＝－3k 236k 2＝－112，
所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法2
因为直线BC 的方程为y ＝k 1(x －2)，
由?????y ＝k 1(x －2)，x 2
4＋y 2
＝1，得C (8k 12－2 1＋4k 12，－4k 1 1＋4k 12)， ………………12分 同理D (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 2
1＋4k 22
)， 由于C ，M ，D 三点共线，故MC →，MD →
共线，
又MC →
＝(8k 12－2 1＋4k 12＋1，－4k 1 1＋4k 12)＝(12k 12－1 1＋4k 12，－4k 1 1＋4k 12)， MD →＝(8k 22－2 1＋4k 22＋1，－4k 2 1＋4k 22)＝(12k 22－1 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22
)， 所以12k 12－1 1＋4k 12×－4k 2 1＋4k 22＝－4k 1 1＋4k 12×12k 22－1 1＋4k 22， ……………14分
化简得12k 12k 2－k 2＝12k 1k 22－k 1，即(12k 1k 2＋1)(k 1－k 2)＝0，
由于k 1≠k 2，否则C ，D 两点重合，于是12k 1k 2＋1＝0，即k 1k 2＝－1
12，
所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法3
设C (x 0,y 0)，则CD ：y ＝
y 0
x 0+1
(x +1)(－2＜x 0＜2且x 0≠－1)， 由?
??y ＝y 0
x 0+1
(x +1)，x 24
＋y 2
＝1，消去y ，
得[(x 0＋1)2＋4y 02]x 2＋8y 02x ＋4y 02－4(x 0＋1)2＝0. ………………12分 又因为x 02
4＋y 02＝1，所以得D (－8－5x 05＋2x 0，－3y 05＋2x 0)， ………………14分
所以k 1k 2＝y 0
x 0－2·－3y 0
5＋2x 0－8－5x 05＋2x 0
－2
＝－3y 02(x 0－2)(－9x 0－18)
＝y 02
3(x 02－4)＝1－
x 0243(x 02－4)
＝－112， 所以k 1k 2为定值． ………………16分 20．（本题满分16分） 解：（1）a ＝1时，f (x )＝x －ln x , 则f '(x )＝1－1x ＝x －1x
，
令f '(x )＝0，则x ＝1． ……………………2分
当0＜x ＜1时，f '(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；
当x ＞1时，f '(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分
所以当x ＝1时，f (x )取到最小值，最小值为1． …………………4分 （2）因为 f (x )＝1，所以ax －ln x ＝1，即a ＝1x ＋ln x
x ， ………………6分
设g (x )＝1x ＋ln x x ，x ∈[1
e ，e]，则g '(x )＝－ln x x 2，
令g '(x )＝0，得x ＝1．
当1e ＜x ＜1时，g '(x )＞0，所以g (x )在(1
e
，1)上单调递增； 当1＜x ＜e 时，g '(x )＜0，所以g (x )在(1，e)上单调递减； ………………8分 因为g (1)＝1，g (1
e
)＝0，g (e)＝2e ，所以函数g (x )的值域是[0，1]，
所以a 的取值范围是[0，1]． ……………………10分 （3）对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1
x )成立，
则ax －ln x ≥a x ＋ln x ，即a (x －1
x
)－2ln x ≥0．
令h (x )＝a (x －1x )－2ln x ，则h '(x )＝a (1＋1x 2)－2x ＝ax 2－2x ＋a
x 2，
①当a ≥1时，ax 2
－2x ＋a ＝a (x －1a )2＋a 2
－1
a
≥0，
所以h '(x )≥0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，
所以x ∈[1，＋∞)时，恒有h (x )≥h (1)＝0成立，
所以a ≥1满足条件． ………………12分 ②当0＜a ＜1时，有1a ＞1，若x ∈[1，1
a ]，则ax 2－2x ＋a ＜0，
此时h '(x )＝ax 2－2x ＋a
x 2
＜0，
所以h (x )在[1，1a ]上单调递减，所以h (1
a
)＜h (1)＝0，
即存在x ＝1
a
＞1，使得h (x )＜0，所以0＜a ＜1不满足条件．……………14分
③当a ≤0时，因为x ≥1，所以h '(x )＝ax 2－2x ＋a
x 2＜0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，
所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，所以a ≤0不满足条件．
综上， a 的取值范围为[1，＋∞). ………………16分