第二章 波函数与波动方程
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现：
a. 波－粒两象性
E P （粒子）
ν λ （波）
ων ==h E （Planck 假设）Einstein 关系
k P = （P
h =λ，λπ
2k =） （de Broglie 假设） de Broglie 关系 ∴ 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述
)Et r P (i )t r k (i A Ae -?-?==ψω
b. 物理量取值不一定是连续的
辐射体辐射的能量取值 νnh E = ,2,1,0n = 氢原子的能量
202n 8n a e E πε?=
cm 10529.0e m 4a 82
e 200-?==
πε
由于平常粒子的波长1010-<λ?，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子1≈λ?，因此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因
经典粒子 经典波
√原子性（整体性） ?实在物理量的空间分布 ?轨道 √干涉，衍射
这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。 §2.1 波－粒两象性：想像一个实验
实验事实：
a ．每次接收到的是一
个电子，即电子确是以一个整体出现；
b ．电子数的强度21P ,P ，但，1221P P P ≠+；
c ．电子枪发射稀疏到任
何时刻空间至多一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。
因此，我们可得到下面的结论：
a'. 不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一
个个电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象）；
b'. 不能想像，电子通过2,1时，能像经典电子（有轨道）那样来描述（因
1221P P P ≠+）；
c'. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。
总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间分布。如按经典波描述，现在应是电子密度分布，这当然不是。）。
但是，这种干涉现象在经典中有类似表示，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度分布为
1I ，2I ，12I 1221I I I ≠+。
我们是如何解释这干
涉现象呢？
通过缝1时， 水波以
t i 1e h ω-描述
通过缝2时，水波以t i 2e h ω-描述 通过1，2时， 则以t i 21e )h h (ω-+ 描述
∴ 强度211h I =， 2
22h I =
)h h h h (h h h h I 2*
1*212
22
12
2
112+++=+=
δcos I I 2I I 121++=
（1
i 11e
h h δ=，2
i 22e
h h δ=，21δδδ-=）
δcos I I 221即为干涉项。
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到的电子多少。
这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也可用21,φφ函数来描述（它们一般应是复函数） 2
11P φ=， 2
22P φ=
)(P 2*
1*212
22
12
2
112φφφφφφφφ+++=+=
δcos P P 2P P 121++= （21δδδ-=）
21,φφ称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方2
φ来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数21φφ+的模的平方来描述。但是，这种描述是什
么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样出现。
§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年）几率诠释—几率波
真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是1926年被Max Born 提出的。 如电子用一波函数)x (φ来描述，则
① 从上面分析可以看到，在x —dx x +范围内，接收到电子多少是与
2
)x (dx )x (P φ=的大小有关；
② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”
的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为)x (P 。这表明，电子出现在接收器上的各个位置是具有一定的几率的。当足够多的电子被接收后。在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波）。
∴ 2
)x ()x (P φ= 是电子出现在x 附近的几率密度（如?=1dx )x (P ）
由此可见，尽管电子通过双缝的描述，类似水波那样用一波函数来描述，但本质是不同的。它不像水波那样是描述某处的水所带能量的大小，而它仅是刻划粒子在空间的几率分布，即 )t ,r (φ是描述或刻划一个电子的几率振幅。
Max Born （1926年）给出了波函数的几率解释。
玻恩几率解释：如果在t 时刻，对以波函数)t ,r (ψ描述的粒子进行位置测量，测得的结果可以是不同的；而在r —r d r +小区域中发现该粒子的几率为r d )t ,r (r d )t ,r (P 2
ψ=（由于是几率，∴ 1r d )t ,r (P =?）。
说明两点：
① )t ,r (ψ不是对物理量的波动描述。它有意义的是，在于r d )t ,r (2
ψ代表在体积
元r d 中发现粒子的几率，所以它不代表物理实体，仅是一几率波； ② 粒子是由波函数)t ,x (ψ来描述，但波函数并不能告诉你，0t 时刻测量时，粒
子在什么位置。粒子位置可能在1x ，可能在 ,x 2，而在1x —11dx x +中发现粒子的几率为12
01dx )t ,x (ψ。也就是说2
0)t ,x (ψ在某x 处越大，则在0t 时刻测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我们讲的是预言到什么，但我们不能说出测量的结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于1x ，只测得一个值。但可想像有很多很多同样的体系，对体系进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现
1n 次 1x —dx x 1+ 2n 次 2x —dx x 2+
i n 次 i x —dx x i +
当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发现粒子在i x —dx x i +处的几率为
dx )t ,x (n n 2
i j
j
i ψ=∑ 我们将会看到，体系的波函数)t ,r (ψ给出了体系所有信息（可能范围），它给出体系一个完全的描述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值（即几率不等于0）和测得该能量值的几率；等等）。正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所处的量子状态，或称状态。以)t ,r (ψ描述体系，就称体系处于态)t ,r (ψ，或称)t ,r (ψ为体系的态函数。
§2.3 波函数的性质，态叠加原理：
既然体系状态的波函数)t ,r (ψ给出了体系所有可能得到的信息，那么它有什么共同性质呢？
（1）波函数的性质
A. 归一化条件：
dr 2
ψ为t 时刻，发现粒子在r —r d r +中的几率。但测量时，总是要发现粒子
的。所以，在整个空间中，发现粒子的几率之和应为1。因此，一个真正的实在的波函数，应该有
1r d )t ,r (2
=?ψ
若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化。
应该注意，只有当波函数归一化后，才能说r d )t ,r (2
ψ是几率。否则在r d 区域中，发现粒子的几率为
'
r d )t ,'r (r
d )t ,r (2
2
?ψψ
若
2
2
A r d )t ,r (=?ψ
则归一化的波函数为
)t ,r (A
1
)t ,r (ψφ=
（可差一相因子δi e ，δ为实数） 这时r d )t ,r (2
φ才代表在dr r r +-区域中发现粒子的几率。 例： t i a 2r
e )t ,r (ωψ--
=
??Ω?=+-
--
drd r e
e
r d )t ,r (2t i a 2r
t i a
2r
2ωωψ
π4dr r e 2
0a r
?=
?∞-
3
a 8π=
∴ 归一化的波函数为
t i a 2r
2
13e
)
a 8(1)t ,r (ωπφ--
=
而在 0r —dr r 0+中的几率为
?θθπ?θθ?θφd d sin e
a
8dr r d d sin )t ,,,r (dr r a
r 3
202
0200??-
=
a r 3
2
00e
dr a
2r -?=
在0θ—θθd 0+中的几率为
?πθ
θ?θθ?θφdrd r e
a
81d sin drd r d sin )t ,,,r (2a r
3
02
02
0??-
=
ππθ
θ2a 2a 81d sin 30??=
θθd sin 2
1
0= 在0?—??d 0+中的几率为
θθπ?θθ?θφ?d sin dr r e
a 8d d sin dr r )t ,,,r (d 2a r
3
2
20??-
=
2a 2a 8d 33
?=
π?
?π
d 21=
当然，也可计算0x —dx x 0
+中的几率
x x a r
3
2
0dz
dy e
dx a
81dxdydz )t ,z ,y ,x (=-
??=
πφ
a
x 02
0e )x a (a
4dx -+=
显然，重要的是相对几率。)t ,r (ψ和
)t ,r (A
1
ψ的相对几率分布是完全相同的，是描述同一量子状态（这与经典波有很大不同）。所以差一常数因子的波函数是完全相同的。 即使归一化了，仍可有一相因子的差别αi e （α为实数）。
有时为了处理问题的方便，或理想化时，我们有时也用一些不能归一化的波函数，如平面波)
t r k (i e ω-?，)a r (-δ等。事实上，这也是一大类波函数（本征值连续所相应的波函数），我们将在以后讨论。 B ．波函数的自然条件：
一般而言，波函数必须连续，有界，单值。
① 连续：由于r d )t ,r (2
?有粒子处于r —r d r +中的几率解释，所以在0r 0+
和0r 0
-处几率当然应该相等，所以)t ,r (?在任何条件下应连续；
② 有界：我们讲有界是指?r d )t ,r (2
?有界，即使是在某些孤立奇点（对于?）也能不违背波函数这一性质。只要在包含它的小区域中的几率有界，实际上就是波函数平方可积。
例如：∞??
→?→0
r ?， 那只要在小区域（0r
=附近）??
→?→0
r 3)t ,r (r 3
4
?π有界即可。 所以要求∞??→?→0
r )t ,r (? 不快于2
3r
1，即0r →时，若)t ,r (?的渐近形式
为s r
1，则要求 23
s <。
对于一维
s x
1
21s <
。当0x →，s 2x 1
x ?有界
对于二维 s 1ρ 1s <。 当0→ρ， s 221ρ
πρ有界 而对∞→r ，那?趋于0应快于
2
3r
1
③ 单值：实际上仅需2
)t ,r (?单值，即)t ,r (?单值，我们将在后面讨论。 ④ 在位势有限大小的间断处，波函数导数仍连续
)t ,0x (')t ,0x ('00+=-?? 这将在第三章中证明。 C ．多粒子体系波函数的形式
N 个粒子体系的波函数为 )t ,r ,r ,r (N 21 ?， 共有
N
3个自由数。N 12
N 21r d r d )t ,r ,r ,r ( ?是描述粒子
1
处于
111r d r r +-粒子N 处于N N N r d r r +-的几率。应该注意，说粒子1处于111r d r r +-等等并不确切。现指N 个粒子是不同粒子。
而粒子1处于11010r d r r +-的几率为
?N 22
N 2101r d r d )r ,r ,r (r d ?
同样，在整个空间中找到这些粒子的几率应为1。
所以，物质粒子的波动性本质上是与经典波不一样的。经典波是指描述某种实在的物理量在三维空间中的波动现象，而物质粒子波函数一般是在多维空间（位形空间）中的几率波。 （2）位置和位能的平均值
既然波函数能给出体系的一切可能的信息，它能预言得到某可能值的几率，那它应该能给出物理量的统计平均值。这显然是应当做得到的，但如何给出，则需要研究。
A ．位置平均值
设：)t ,z ,y ,x (?是归一化波函数。 由于测得x 值在i i i x x x ?+-的几率
为
)z y )t ,z ,y ,x ((x k j 2
z y k j i i k
j ???∑??? 从平均值的定义，则x 的平均值应表为
)z y )t ,z ,y ,x ((x x l i m x k j 2
z y k j i i x i k j i
????=∑∑????
d x d y d z )t ,z ,y ,x (x 2
???=? ?=r d )t ,r (x )t ,r (*??
B ．位能平均值（假设位能表示中不依赖动量）
k j i 2
k j i ijk
k j i z y x )t ,z ,y ,x ()z ,y ,x (V lim V ???=∑?
d x d y d z )t ,z ,y ,x ()z ,y ,x (V 2
?=? ?=r d )t ,r ()r (V )t ,r (*??
初看起来，动量，能量和角动量等等，平均值都应能类似地给出。但动量平均值能否仍按上述表示给出呢？
?=dxdydz )t ,z ,y ,x ()z ,y ,x (P )t ,z ,y ,x (P *??
原则上讲，这是完全错的。因粒子具有波动性，而动量是与波长相联系的（P
h
=
λ）。但波长是描述波在空间变化的快慢，一般而言，一个波函数)t ,r (?由很多不同波长的平面波叠加而成。在某一点（z ,y ,x ）处，其波长不是一个，而是有很多不同大小的波长，即在（z ,y ,x ）处，并不没有确定的
)
z ,y ,x (P )
z ,y ,x (h
=λ值，从而可仿上述平均值来表示。那么究竟如何表示动量平均值呢？ （3）动量平均值
既然不能像位置那样求动量平均值，那如何计算呢？
根据de Broglie 关系，具备一定动量和能量的自由粒子，其波长P
h
=
λ，频率
E
=
ν，即以一平面波来描述 )t E r P (i 2
3)
t r k (i 23P P e )
2(1e )2(1)t ,r (-?-?==ψππω （系数是为了使它们归一化到)'P P (-δ）
λ
π
2k =， πνω2=
所以，描述体系是单色平面波时，则粒子具有的动量是完全确定的，因而平均值就是确定的值P 。
一般而言，描述粒子是由一波包来实现（局限于空间某一区域，所以是由许多平面波叠加而成），即动量有一分布，可由实验来定。
一束具有动量P 的电子束垂直入射到抛光的镍金属晶体上（即戴维逊和盖末实验），在θ方向上有强的电子束出射（若P
h
n
sin a =θ）。 假设，动量取分立值，有二个动量值1P 和2P 的电子束同时入射。由于1P 和2P 对应不同1λ，2λ所以经镍晶体表面散射的角度是不同的，而满足
1
1P h s i n a =
θ， 22P h
s i n a =
θ 当比较远时，两束电子分开，所以分别收集到动量为1P ，2P 的电子束（在1θ，2θ方向）。
这时镍晶体好似一谱分离器，你可认为在1θ方向上接收到的电子以
r P i P 11e )t (C ?平面波来描述；在2θ方向上接收到的电子以 r P i P 22e )t (C ?平面波来
描述。
因此，在远处接收到动量为1P 的电子数目 2
P 2
r P i P 11)t (C e )t (C )(N 111
=∝? θ
收集到动量为2P 的电子数目
2
P 2
r P i P 22)t (C e )t (C )(N 222
=∝?θ。
（而这反映入射到镍晶体表面前电子动量为1P 和2P 的数目多少） 所以，散射后，整个空间的波函数的描述应为
r P i P r
P i P 2211e )t (C e )t (C ??+
（在远处1θ，2θ方向相应1P ，2P 动量的电子）
实际上，镍晶体就是一制备仪器，制备一个体系的状态是以这一波函数来描述。这
才是描述散射后，一个电子的波函数。
而动量为1P 的电子几率为
)t (W )t (C )t (C )t (C )(N )(N )
(N 12
11P P P 2
P 221111=+=+θθθ，
动量为2P 的电子几率为
)t (W )t (C )t (C )
t (C )(N )(N )
(N 22
12P 2P 2P 2
P 221122=+=+θθθ。
因此，对于处于状态
r P i P r
P i P 2211e )t (C e )t (C )t ,r (??+=ψ
的电子，其动量平均值应表为 2
P 2
P 2
P 22P 1P 2P 1)
t (C )t (C )t (C P )t (C P )t (W P )t (W P P 21212
1++=+=
我们可将这一思想（对分立值的情况所做的说明）推广到更一般情况：电子可能
具有各种大小和方向的动量。若描述该电子的波函数为)t ,r (ψ，则有 P d e )
2(1)
t ,P (C )t ,r (r P i 2
3??= πψ （可以证明，若1r d )t ,r (2
=?ψ，则1P d )t ,P (C 2
=?，这表明)t ,P (C 是t 时刻，动量为P 的几率密度振幅。）
∴ 相应的 P d )t ,P (C P )t ,P (C P d )t ,P (C P P *2
??==
这类似于 r d )t ,r (r )t ,r (r *ψψ?=
根据上式的逆变换
r d )t ,r (e )
2(1)t ,P (C r P i 23?
?-=
ψπ
则 P d ]r d )t ,r (e )
2(1[
P )t ,P (C P *r P i 23?
??=ψπ P d e )t ,P (C )
2(1)
i )(t ,r (r d r P i 23*?
???-=
πψ
r d )t ,r ()i )(t ,r (*ψψ??-=
∴ r d )t ,r ()i )(t ,r (P *ψψ??-=
这表明，如果不用直接方法求动量平均值，而用)t ,r (ψ去求P ，则需
要引进算符?-= i P
?来代替P （变量）进行计算，我们称?-= i P ?为粒子的动量算符。
对于粒子处于状态)t ,r (ψ（已归一化），则其动量的平均值为
r d )t ,r ()i )(t ,r (P *ψψ??-=
所以，在量子力学中的描述和经典力学中的描述是有本质差别的。量子力学中物理量（力学量）的描述是用算符来描述。在微观粒子行为的量子力学描述中，引入的
算符r
?， P ?，对应于经典的位置和动量变量。然而这些算符不等于经典变量。 由上述推理：
① 求动能平均值（m
2P T 2
=），可表为
r d )t ,r (T
?)t ,r (T *ψψ?=
r d )t ,r (m 2P
?)t ,r (2*ψψ?=
r d )t ,r (m 2)t ,r (22*
ψψ??-=
所以动量 ?-=→ i P
?P )z y x (m 2m 2m 2P ?T 2
2
22222222??+??+??-=?-=→
即 )z
y x (m 2m 2T ?22
2222222??+??+??-=?-= 球坐标 ]}sin 1)(sin sin 1[r 1)r r (r r 1{m 222
22222?θθθθθ??+????+????-=
]}sin 1)(sin sin 1[r 1)r (r r 1{m 222
22222?θθθθθ??+????+??-=
柱坐标 ]z
1)(1[m 222
2222??+??+????-=?ρρρρρ
② 角动量 ??-→?=r
?i P r L （原则上为P r )r P P r (2
1
?=?-?）
∴ )cot cos (sin i )y z z y (i L ?x
?
θ?θ???+??=??-??-= )c o t s i n c o s (i )z x x z (i L ?y
?
θ?θ???+??-=??-??-= ?
??-=??-??-= i )x y y x (i L ?z
于是角动量平方
]s i n 1)(s i n s i n 1[L L L L ?22222z 2y 2x 2?
θθθθθ??+????-=++=
∴ ]r L ?)r r (r r 1[m 2T ?222222
-????-=
)r L
?r r r 1(m 2222222 -??-=
222r
mr
2L ?m 2P ?+=
这看上去与经典动能在形式上相同，但有实质的不同。因这是算符形式。另外，
就r P
?而言，经典为径向动量P r
r
?，但现在就不同了。 )i P ?r ?(r 1r r r i P ?r -?=??-= （这在后面将讨论） )r
r
?P ?P ?r ?r 1(21?+?=
另外 )c o t i (e L ?i L ?L ?i y
x ?
θθ
???+??=+=+ )c o t i (e L ?i L ?L ?i y
x ?
θθ
???+??-=-=-- （4）态叠加原理
若体系由)t ,z ,y ,x (ψ来描述，则2
)t ,z ,y ,x (ψ（已归一）描述了体系的几率分布或称几率密度。
若粒子处于
r p i 2r p i 1
21e
)t ,p (C e
)t ,p (C ??+态中，则测量动量的取值仅为1
p ，
2p ，而不在21p p -之间取值。对于大量粒子，好像一部分电子处于1p 态，另一部分
电子处于2
p 态。 但你不能指定某一个电子只处于1
p 态或只处于2
p 态。即对一个电子
而言，它可能处于1
p 态（即动量为1
p ），也可能处于态（即动量为2
p ），即有一定几
率处于1
p 态，有一定几率处于2
p 态。
由这启发建立量子力学最基本原理之一：
A. 态叠加原理：
如果1
a ψ是体系的一个可能态，2
a ψ也是体系的一个可能态，则
21a 2a 1c c ψ+ψ=ψ是体系的可能态，并称ψ为1a ψ和2a ψ态的线性叠加态。
说明二点：
① 对体系测量力学量A ?时，测得值为1
a ，使你认为体系（在未测之 前）可能处于1
a ψ态上，则称1
a ψ是体系的一可能态；如测得值为2a ，使你认为2
a
ψ也为体系的一可处的态。因此，体系处的可能态为2
1a 2a 1c c ψ+ψ ；
② 如体系处于2
1a 2a 1c c ψ+ψ，那测量力学量A ?的测得值，可能为1a 或2a ，而不可能为其他值。而测得1a 和2a 的几率分别2
22
1c ,c ∝。
态叠加原理是否正确，是以导出的结果是否正确为依据。 B ．讨论（与经典比较）
① 经典认为：)t ,r (a ψ本身叠加将产生一个新的态
)t ,r (2)t ,r ()t ,r ()t ,r (a a a ψψψ?=+=
这是因为空间各处的强度增大到原来的4倍。而量子力学认为，根据态叠加原理，
这两个态是一样的。在)t ,r (a ψ和)t ,r (2a ψ中测量力学量A
?都只有一个值a ，而空间的几率分布2a )t ,r (ψ与2
a )t ,r (2ψ在空间各点之间的相对几率是一样的。事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一常数并不改变或产生新的态。
② 经典振动可处处为0，即没有振动。但量子力学中则没有0)t ,r (=ψ的态，因?=1r d )t ,r (2
a ψ或一不为零的常数。
③ 若)t ,r (C )t ,r (C )t ,r (2
1
a 2a 1ψψψ+=，经典认为是一个新的振动态，即以
)t ,r (ψ来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作)t ,r (1a ψ波动，或者
可能作)t ,r (2
a ψ波动。但对量子力学来说，体系可能处于)t ,r (1
a ψ态，也可能处
于)t ,r (2
a ψ态。但不会处于)t ,r (3
a ψ 态（213
a ,a a ≠）
。因测量力学量A ?所得的测量值是不会为3a 的。
应该强调指出，有时在处理物理问题时，常常对函数)t ,r (ψ展开，
∑=i
a a )t ,r (C )t ,r (i i ?ψ。对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如富里叶
分解。这仅表明有各种波相干，但并不能说，振荡发生在某一频率上。但量子力
学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量A
?，可能测得值仅为0C i a ≠的i a 值，其几率2
a
i C ∝，即系数i
a C 不仅仅是展开系数，而是正
比于取i a 值的几率振幅。
④ 它反映了一个非常重要的性质，而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为1
p 的自由粒子是以一个平面波
)t E r p (i 1p 1P 11
e
C )t ,r (-?=ψ描
述，动量为2p 的自由粒子是以平面波
)t E r p (i 2p 2P 22
e
C )t ,r (-?=ψ描述。如
体系（一个自由粒子）可能处于这两个态，则表明体系所处的态为
)t E r p (i 2)t E r p (i 12P 21P 1e
C e
C )t ,r (-?-?+=ψ，
可是这个态没有确定的动量P （当你预言动量的测量值时）。但)t ,r (ψ也是
描述自由粒子的可能态。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为
p d e )p (C )t ,r ()t E r p (i P
-??=ψ 而m
2p E 2
P =
至于具体状态，那应由一定的条件来定)p (C 。
所以，量子力学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看只能有一定值）。
具有确定动量0P 的自由粒子是以平面波
)t E r p (i 2
3p 0p 00e
)
2(1)t ,r (-?=
πψ来描述。但你不能说具有确定动量的自由粒
子就是处于平面波这个状态，这要看你所要观测的物理量。事实上，大家熟知的
t iE lm 0m ,l lm )t E r P (i 2
30P 0P 0e
),(Y )r ,k (C e )
2(1--?∑=?θπ
而在lm Y 中测量角动量2
L ?和角动量z 分量z
L ?的测得值为2)1l (l +， m 。这表明，这一自由粒子有一定几率处于lm Y 态上，其几率为dr r )r ,k (C 2
20m ,l ?。
另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数1C ，2C （如1ψ，2ψ给定）。对于2211C C ψψψ+=，这时ψ完全被1C ，2C 所决定。
???
? ??21C C 完全可替代ψ来描述该态（以后要讨论），)
t ,a (i a 111e )t (R C δ= )t ,a (i a 222e )t (R C δ=，所以，重要的是2
1R R
和)t ,a ()t ,a (21δδδ-=。
⑤ 态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。
例1. 高斯波包（The Gaussian wave packet ）
一个质量为m 的自由粒子，其)P (C 为高斯分布
2
20x 2)P P (412
2x e
)
2(
)0,P (C
--=σπσ
求：相应的粒子波包)0,x (ψ
x x iP )P P (412
2dP 2e e )2()0,x (x 20x 22
ππσψσ
?=--∞+∞-?
2202
20x 224x x iP x
)
2x i P P (41
222
1e
e
dP e )2()2(1σσσπσπ-
---??=?
x iP 4x 2
2412
22102
2e
)2()2(1
+-
=
σσ
ππσπ
x iP 4x 41
2
022e e )21(
?=-σ
πσ
∴ 高斯分布的富氏变换成另一个高斯分布
??==1dx )0,x (dp )0,p (c 2
2
ψ
这是一个0t =，位置在σσ--区域（位置几
率明显不为0），而动量在σ2P 0 -—σ
2P 0 +区域（动量几率明显不为0区域）
§2.4含时间的薛定谔方程（Austrian Schrodinger’s equation ） （1） Schrodi nger’s equation 的建立
应该指出，薛定谔方程不是从基本原理导出来的，它的正确性是靠由它所推出的结果及预言的正确性来证实的。
有确定动量的自由粒子：根据de Broglie 关系和Einstein 关系
∴ ω ==m
2P E 2
P k n h P ==λ （n 2k λπ=
） 它应相应于一个de Broglie ’s 波
)t E r P (i P p Ae
-?=ψ
由这波函数可得
P p )t E r P (i E ]Ae [t i p ψ=??-?
∴ )t ,r (E )t ,r (t
i p P ψψ=??
但这不是普遍适用的方程（因含有一特殊参量p E ）。
因 )t ,r (E )t ,r (t
i 'P p 'P ψψ≠??
而若 21p 2p 1A A ψψψ+=
)t E r p (i 2)t E r p (i 12
p 21
p 1e
A e
A -?-?+=
则 )t ,r ()E E ()t ,r (E )t ,r (E )t ,r (t
i 2121p p p p ψψψψ+≠≠≠??
但从另一方面
)t E r P (i )t E r P (i p p Ae
P Ae
i -?-?=?-
)t E r P (i p )t E r P (i 2
)
t E r P (i 22p p p Ae
E Ae m
2P Ae m 2-?-?-?==?-
∴ )t ,r (m
2P
?)t ,r (t i P 2P ψψ=??
在这方程中无特殊参量p E ，它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最
普遍的自由粒子的波函数也成立。
P d e )P (C t
i )t ,r (t i )t E r P (i P p ?-???
=??
ψ P d e m
2P )P (C )t E r P (i 2p ?-?=
而 P d e m
2)P (C )t ,r (m 2P ?)t E r P (i 222p ?-??-= ψ
P d e m
2P )P (C )t E r P (i 2p ?-?=
∴ )t ,r (m
2)t ,r (t i 2
2ψψ?-=??
)t ,r (H ?ψ自由粒子=
这一微分方程决定了体系状态随时间的演化。
将上述情况推广，对于质量为m 的粒子，在位势)t ,r (V 中运动时，则
)t ,r (V m
2P E 2
+=
因此，描述这一粒子运动的波函数应满足
)t ,r ()]t ,r (V m
2[)t ,r (t i 22ψψ+?-=?? )t ,r ()]t ,r (V m
2P ?[2ψ+=
最为普遍的方程是：体系的Hamiltonian )t ,P ,r (H V T E =+= ?
)t ,P ?,r ?(H ? 则 )t ,r ()t ,P ?,r ?(H
?)t ,r (t
i ψψ=??
称为含时间的Schrodinger’s equation 。
但应注意，同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学表示：
x
1
xP P x 1m 21m 2P x
x 2x = ? ?x
x P ?P → 222x m 2??- )x
41
x (m 22222+??-
因此，经典的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化），即算符时，应注
意x xP 和x P x 对经典是一样的，但对量子力学而言是不同的。所以规定：
① 在直角坐标中表示分量，再代入算符表示；
② 对于形式为与i P 线性函数的物理量，∑i
i )z ,y ,x (f P ，则取
]P )z ,y ,x (f )z ,y ,x (f P [21
i i
i +∑ （f 为实）
； ③ 如果是矢量，则在z ,y ,x 直角坐标下的分量表示，然后再作i
i x i P ??-→ 替换，再换为其它坐标。
（2） 对Schrodinger equation 的讨论
A ．量子力学的初值问题：
当体系在时刻0t 的状态为)t ,r (0ψ时，以后任何时刻的波函数就完全由S,eq ，
所决定（因对t 是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，即决定状态的演化。
因此，在量子力学中的因果律是对波函数的确定。它不像经典力学那样是确定轨道或力学量的测得值，而是决定状态的演化。
如)P ?,r ?(H ?)t ,P ?,r ?(H ?=，即与时间无关，则t 时刻的解可表为（如0t 时为)t ,r (0?）
)t ,r (e
)t ,r (0)t t )(p ?,r (H
?i 00?ψ --=
如果 ∑=
'
k k 'k k 'k k P P )q (f F ，
则 )]q i ()q (f )q i [(F
?'k 'k k 'k k k ??-??-=∑+
∑ij
j i ij P P f 应写为)P ?f P ?P ?f P ?(21)P P f P P f (21j ji i ij j ij i j i ji ij j i ij +→+∑∑ z y P yzP 2相当于)P zyP P zyP P yzP P yzP (2
1
y z z y y z z y +++
)P ?yz P ?P ?yz P ?(2
1y z z y ++? 如何从0t =波函数来确定t 时刻波函数？ 例如 自由粒子
① 0t =时刻，已知为)0,r (ψ
由于是自由粒子，在0t =时，它必是 r P i e ?的叠加态
即 ??=P d )
2(1e )P (C )0,r (2
3r P i
πψ
当)0,r (ψ给定，则
?
?-=
r d )0,r (e )
2(1)P (C r P i 23ψπ
也就是，当)0,r (ψ给定，则)P (C 由)0,r (ψ定出。 我们知t 时刻自由粒子的态是由
)t E r P (i P e
-?叠加而成，叠加系数
为)P (C （已确定）
∴ P d e )P (C )t ,r ()t E r P (i P -??=ψ
而 m
2P E 2
P =
下一节中再进一步讨论。
② 从另一角度讨论，对于自由粒子m
2P ?H ?2=，直接利用 )0,r (e
)t ,r (t H
?i ψψ -=
P d e )2(1)
P (C e r P i 2
3t H ?
i ?-?=π
P d e e )2(1)P (C r P i t m 2i 2
322 ???=π P d e e )2(1)
P (C r P i t m 2P i 2
32 ?-?=π
P d e )2(1
)
P (C )t E r P (i 2
3P -??=π
m
2P E 2
P =
③ 例：自由粒子在0t
=时处于态
)
x iP 4x (4
12K 2
2e
)2()0,x (+-
-=σπσψ
可以证明 K x P P =
粒子处于x 的几率密度为2
22x 212e
)
2(σπσ--
∴ 发现粒子主要在区域),(σσ-
令 x iP x x x 121(x,0)C(P )e dP (2)
ψπ=?
∴ dx )0,x (e )
2(1)P (C x iP 21x x ψπ?
=
dx e
)
2()
2(x )P P (i 2x 2
14
12K x 2
2?-----= σππσ
2
2
K x 222K x 2)P P (])P P (i 2x [41
2
1
412
e
dx e )2()2( --
-+---??=?σσσππσ 2
2K x 2
)P P (412
2e )2(
--=σ
πσ
∴ x P i(P x E t)x x 12
1(x,t)C(P )e dP (2)
ψπ-=?
x )t m 2P x P (i )P P (2
14122
dP e
)
2(1)2(2
x
x 22K x 2?-
+--=
σππσ
m 2itP x iP )m 2it 1(4)P m t x (212
4
122
K
K 2
22K e
e )m 2it 1(1)2(-
+---
?+
=σσσ
πσ ???????
?
?
? ??-+---=-+-- t m 2P i x iP P P P 2P )t m 2P x P (i )P P (2
x
x 22K 22K x 22x 22
2x x 22K x 2σσσσ因
讨论：
a. 波包的扩展
如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟）一个物体在0t
=时，它位于
0x =，（有一宽度)(σσ--）, 而平均动量为K P 。
在0t 时刻，其包络线中心位于 m t P 0K 。 所以，包络极大处的速度
K
x P P x
K g dP dE
m P v ===
称为群速度，即群速度等于粒子速度。
从相位看，如 1t 相位为 12K
11K m 2P t x P θ=-
2t 相位为 22K
22K m 2P t x P θ=-
∴
ρv m
2P x t K
==?? , 所以，相速度 K
P P K P E
m 2P v ===ρ
你也可以计算标准偏差，即发现粒子的主要区域在
x x 0?-—x x 0?+
（m
t
P x 0K 0=）
2122
0222])m 2t (
1[x x )x x (x σ
σ +=-=-=?。 所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。
设：
2
m T σ=
当T t >>，包波已扩散很大，因此似乎与经典粒子无任何相似之处
K
*x 2
x x x P dx )t ,x ()dx
d i )(t ,x (dP )t ,P (C P P =-==??ψψ
σ
σ2)P P 4(
)
P P ()
P P (P 212K 2K 2
22
12x 2x
2
x x x
=
-+=-=-=?
0])m 2t (1[2P x 2122x ≠+=
???σ
（以后讨论其物理意义）
所以，这样一个显示经典粒子的 波包，动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩
展，使得你在
2
m T t σ=>>时，
就认不得经典粒子了。上图即为高斯波包的传播
这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。
a. 波包扩展的时间量级 在实际生活中，对一宏观粒
子，我们从来没有看见它会扩展，以至好似消失
ⅰ 人： kg
10m 2≈，
m 104.03-?=σ
秒秒2934622
10100545.1/1016.010m T ≈???==--
σ
所以，人活2910秒长的时间，还算像人样。 （当T t >>，才扩散得很大）
但 1年7
10
3?=秒
∴ 对于经21103?年仍还可以，这即21103?年=1310亿年。因此，量子现
象你是看不到的。
ⅱ 尘粒： 3
10
m -=克， cm 104
-=σ
秒秒16342661010)10(10T =?≈---
即经1610秒8
103?=年3=亿年，尘粒仍保持“经典粒子“图象。 ⅲ 电子（原子中） 31
109m -?=千克， 10
10
5.0-?=σ米
∴
1710T -≈秒
而在波尔的氢原子中，电子绕质子一周所花的时间 16
10-≈τ秒。由这看出，电子在原子中不可能以波包形式描述。
另外，求波函数随时间的演化，也可这样来做。t 时刻的波函数，可由't 时刻的波函数完全确定。由于S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着，ψ必须满足齐次的微分方程。即可表为
0'r d )'t ,'r ()'t ,'r ;t ,r (G )t ,r (==?ψψ
)'t ,'r ;t ,r (G 称为Green 函数，或称传播子。知道了Green 函数，就知道态随时
间的演化。
如0t 't =时刻，粒子处于0r ，即
)r 'r ()t ,'r (00-=δψ
由上式得
)t ,r ;t ,r (G 'r d )t ,'r ()t ,'r ;t ,r (G )t ,r (0000==?ψψ 这就是格林函数的含义。
（0t 时刻，粒子处于0r ，则t 时刻，r 处发现粒子的几率密度振幅即为
)t ,r ;t ,r (G 00）
由薛定谔方程我们可直接给出 )r r
(e )t ,r ;t ,r (G 0)t t )(P ?,r (H ?1i 000-=
--δ
例：自由粒子的格林函数
P d e
e
)
2(1)t ,r ;t ,r (G )
r r (P i )
t t )(P ?,r (H ?1i 3
00000?-?--=
π
P d e )2(1])t t (E )r r (P [i 0P 0?
---?=
π
P d e
)
2(1
]t t )r r (m 2P P [m 2t t i
3
02
0?--?---=
π
P d e
)2(1)
t t (2)r r (m i ]t t )r r (m P [m 2t t i 3
0202000?--+-----= π
)
t t (2)r r (m i
z
y x )S S S (i 230
3
02
02
z 2y 2x e
dS dS dS e )t t m 2()
2(1
--∞
+∞
-++-?-=
?
π
)
t t (2)r r (m i 3230202
0e )i (])
t t (2m
[
---= ππ
)
t t (2)r r (m i
3000020e
]
i
)t t (2m
[
)t ,r ;t ,r (G ---= π
根据 )x (e i
lim
2
x i δπααα=∞
→ 这即自由粒子的Green 函数
)r r (e )t ,r ;t ,r (G 0)t t (H ?
i 0000-=--δ
)r r ()t ,r ;t ,r (G lim 000t t 0
-=→δ
B ．粒子数守恒
在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即
0r d dt
d 2
=?ψ 这即要求，凡满足S chrodinger’ eq.的波函数，必须满足上式。
由 )t ,r ()t ,P ?,r (H ?)t ,r (t i ψψ=??
)t ,r ()t ,P ?,r (H ?)t ,r (t
i ***ψψ=??- 从而得 **2*2*2
v m
2P ?v m 2P ?)t ,r (t i ψψψψψψψψψ--+=?? 。
若V 为实函数（保证体系是稳定的，能量为实）
))(i (m 2P ?**ψψψψ?-?-?= )(m
2**2ψψψψ?-???-= 对整个空间积分，得
r d )(m
2i r d )t ,r (dt d *
2ψψψψψ?-???=?? ??∞
??-?=s d )(m 2i *
ψψψψ
对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数应平方可积（平方可积条件要求
∞→r ，0→ψ应快于
2
3r
1），于是
0s d )(m 2i *
=??-???∞
ψψψψ 证得 0r d )t ,r (dt
d 2
=?ψ
这即表明，一旦波函数在某时刻已归一化，则任何时刻都是归一化的。当波函
数未归一化时，那
2
2
A r d =?ψ，而A 与t 无关。这正是物理上的要求。
若V 非实，则
??=r d V 2r d )t ,r (dt d *2
ψψψ虚部
。所以当0V <虚，则体系
不稳定而衰变掉。当0V >虚
，则其它粒子衰变为该粒子。
由上可见，若取 2
ψρ=
)P ?(R m
1)(m 2i j *e **ψψψψψψ=?-?-=
则 0j t
=??+??ρ
j 称为几率流密度矢。
上述表示，即为几率守恒的微分形式，形式上与流体力学的连续方程一样，但是有很大的实质差别。
如对空间某一体积积分，则有
??????-=V s
s d j r d dt d
ρ 这表明，单位时间内，体积V ?中，发现粒子的总几率增加是等于从该体积表
面（S 面）流入该区域的几率，也就是说，在某区域中的几率减少，则另一区域中的几率增加，全空间几率不变。
一维情况
j x t ??-=??ρ )t ,b (j )t ,a (j dx )t ,x (j x
dx )t ,x (dt d b a b a -=??
=??ρ 几率流密度矢是处处连续的。
由
)t ,x (j x
)t ,x (t ??-=??ρ
∴
)t ,x (j )t ,x (j )t ,x (dt d 00x x 00εερε
ε
+--=?+-
)t ,x (j )t ,x (j ]2)t ,2x ([dt
d
000εεεεερ+--=???+- 当 0→ε 则 0]2)t ,2x ([dt
d
0=???+-εεερ ∴ )t ,x (j 连续
因此，即使在特定情况下，波函数导数可不连续，但j ?仍是处处连续。
C. 多粒子体系的薛定谔方程 设：体系有n 个粒子，质量分别为 21m ,m ，所处的位势为)r (V i ，相互
作用为)r ,r (V j i ij ，则
∑∑∑<++=i N j
i j i ij i i i 2i )r ,r (V )r (V m 2P H ?
这时S. eg.为
)t ,r ,r ,r ()t ,P ,r ,P ,r ,P ,r (H ?)t ,r ,r ,r (t
i N
21N N 2211N 21
ψψ?=?? 这也看出与经典不一样。ψ不一定都是三维空间的函数，而是多维的，即在多
维位形空间中的。
§2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题
当位势与时间无关，即)r (V )t ,r (V =。 （1） 不含时间的薛定谔方程
)t ,r ()p ?,r ?(H ?)t ,r (t
i ψψ=??
)t ,r ())r (V m
2p ?(
2ψ+=
由于H 与t 无关，可简单地用分离变数法求特解。
令 )r (u )t (T )t ,r (=ψ
于是 =dt
)t (dT )r (u i )t (T )r (u )p
?,r (H ?
=dt
)
t (dT )t (T 1i
)r (u )p ?,r (H ?)r (u 1=常数 由于它与任何t 或r 都保持相等，所以它们必等于一个与t ，r 无关的常数。
于是有
)t (ET dt )
t (dT i = )r (Eu )r (u )p ?,r (H
?E E =。 我们有
/iEt Ae )t (T -=。
所以，当H 与t 无关时，含时间的薛定谔方程的特解为： /iEt E E e )r (u )t ,r (-=ψ
其中 )r (Eu )r (u )p ?,r (H
?E E =。 该方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称能量本征方程。
843量子力学考试大纲 适用于物理学所有学科 Ⅰ考查目标 理论物理、粒子物理与原子核物理、凝聚态物理等专业研究生入学考试《量子力学》课程，重点考查考生掌握量子力学基本概念、基本原理以及运用量子力学基本理论解决具体相关物理问题的能力，为进一步学习其它专业课程或从事科研和教学工作奠定坚实的基础。 Ⅱ考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 波粒二象性、波函数和薛定谔方程 45分 量子力学的力学量及其表象 30分 微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 75分 四、试卷题型结构 简答题 2小题，每小题10分，共20分 证明题 2小题，每小题15分，共30分 计算题 4小题，每小题25分，共100分 Ⅲ考查范围 一、波粒二象性、波函数和薛定谔方程 考查主要内容： （1）光的波粒二象性的实验事实及其解释。 （2）原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件。 （3）德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 （4）德布罗意波的实验验证。 （5）波函数的统计假设和量子态的表示形式。 （6）态叠加原理的内容及其物理意义。 （7）薛定谔方程和定态薛定谔方程的一般形式。
（8）粒子流密度的概念及粒子数守恒的物理内容。 （9）一维薛定谔方程求解的基本步骤和方法。 （10）几个典型的一维定态问题： a.一维无限深势阱； b.一维谐振子； c.一维方势垒； d.一维有限方势阱； e. 势。 二、量子力学的力学量及其表象 考查主要内容： （1）动量算符的表示形式及其与坐标算符间的对易关系，动量算符本征函数的归一化。 （2）角动量算符的表示形式及其有关的对易关系，角动量算符2?L和z L?的共同本征函数及所对应的本征值。 （3）电子在固定的正点电荷库仑场中运动的定态薛定谔方程及其求解的基本步骤；定态波函数的表示形式；束缚态的能级及其简并度；并由此讨论氢原子的能级、光谱线的规律、电子在核外的概率分布和电离能等。 （4）量子力学中的力学量与厄米算符相对应；厄米算符的本征函数组成正交完备集。 （5）力学量可能值、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件。 （6）不确定关系及其应用，守恒量的判断方法。 （7）矩阵的运算。 （8）态的矩阵表示。 （9）算符的矩阵表示。 （10）量子力学公式的矩阵表示。 （11）不同表象间的变换。 三、微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 考查主要内容： （1）非简并定态微扰理论。 （2）简并情况下的定态微扰理论。 （3）电子自旋的实验事实。 （4）电子自旋算符和自旋波函数。 （5）全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念。 （6）全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理。 （7）两自旋体系的波函数。 （8）电磁场中荷电粒子的运动，两类动量。 （9）正常塞曼效应。 （10）定域电子（考虑自旋）在均匀磁场中的运动。
第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程， 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学， 形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，
会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤， 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容： §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点： 实物粒子的波粒二象性及其统计意
义； 概率密度和发现粒子的概率计算； 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世 纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上， 是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多， 而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(
《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础 班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为（νh E =）、（λh p =）。德布罗意的假设，最先由（戴维 孙-革末）实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性）的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波），物质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布）。 3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说，这种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。其中位置与动量不确定关系的表达式为（2 ≥???x p x ）；能量与时间不确定关系的表达式为（2 ≥???t E ）。 4、薛定谔将（德布罗意公式）引入经典的波函数中，得到了一种既含有能量E 、动量P ，又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ，这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征，因此在薛定谔建立的量子力学体系中，就将这种波函数用来描述（微观粒子的运动状态）。
第 1 章原子结构与元素周期系 [ 教学要求] 1 ．掌握近代理论在解决核外电子运动状态问题上的重要结论：电子云概念，四个量子数的意义，s 、p 、d 原子轨道和电子云分布的图象。 2 ．了解屏蔽效应和钻穿效应对多电子原子能级的影响，熟练掌握核外电子的排布。 3 ．从原子结构与元素周期系的关系，了解元素某些性质的周期性。 [ 教学重点] 1 ．量子力学对核外电子运动状态的描述。 2 ．基态原子电子组态的构造原理。 3 ．元素的位置、结构、性质之间的关系。 [ 教学难点] 1 ．核外电子的运动状态。 2 ．元素原子的价电子构型。 [ 教学时数] 8 学时 [ 教学内容] 1 ．核外电子运动的特殊性：核外电子运动的量子化特征（氢原子光谱和玻尔理论）。核外电子运动的波粒二象性（德布罗衣的预言，电子的衍射试验，测不准关系）。 2 ．核外电子运动状态的描述：波函数、电子云及其图象表示（径向与角度分布图）。波函数、原子轨道和电子云的区别与联系。四个量子数（主量子数n ，角量子数l ，磁量子数m ，自旋量子数ms ）。 3 ．核外电子排布和元素周期表；多电子原子的能级（屏蔽效应，钻穿效应，近似能级图，原子能级与原子序数关系图）。核外电子排布原理和电子排布（能量最低原理，保里原理，洪特规则）。原子结构与元素周期性的关系（元素性质呈周期性的原因，电子层结构和周期的划分，电子层结构和族的划分，电子层结构和元素的分区）。 4 ．元素某些性质的周期性，原子半径，电离势，电子亲和势，电负性。 1-1 道尔顿原子论 古代自然哲学家对物质之源的臆测：本原论（元素论）和微粒论（原子论） 古希腊哲学家德谟克利特（Democritus, 约460—370 B C ）：宇宙由虚空和原子构成，每一种物质由一种原子构成。 波意耳：第一次给出了化学元素的操作性定义---- 化学元素是用物理方法不能再分解的最基本的物质组分，化学相互作用是通过最小微粒进行的，一切元素都是由这样的最小微粒组成的。 1732 年，尤拉（Leonhard Euler, 1707—1783 ）：自然界存在多少种原子，就存在多少种元素。 1785 年，法国化学家拉瓦锡（Antoine L. Lavoisier 1743—1794 ）：提出了质量守衡定律：化学反应发生了物质组成的变化，但反应前后物质的总质量不变。 1797 年，里希特（J. B. Richter 1762—1807 ）：发现了当量定律。 1799 年，法国化学家普鲁斯特（Joseph L. Proust 1754—1826 ）：发现定比定律：来源不同的同一种物质中元素的组成是不变的。 1805 年，英国科学家道尔顿（John Dalton 1766—1844 ）：把元素和原子两个概念真正联系在一起，创立了化学原子论：每一种化学元素有一种原子；同种原子质量相同，不同种原子质量不同；原子不可再分；一种不会转变为另一种原子；化学反应只是改变了原子的结合方式，使反应前的物质变成反应后的物质。
量子力学基础知识总结 一．微观粒子的运动特征 1.黑体辐射和能量量子化 黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。 2.光电效应与光子学说 爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。 光子学说内容： ①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子 光子能量ε＝hν/c ②光子质量m＝hν/c2 ③光子动量p=mc=hν/c= h/λ ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。光电效应： hν＝ W+E K ＝hν +2 1 mv2,W为脱出功,E k 为光电子的动能。 3.实物微粒的波粒二象性 德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ 德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv) 4. 测不准原理：?x?x p≥h?y?p y ≥h?z?p y ≥h?tE≥h 二、量子力学基本假设 1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。 对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。 波函数ψ可以是复函数， 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。 2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。 算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射
第六章 原子结构与周期系 6.1 引言 6.1.1 物质结构的研究对象 物质结构主要是研究物质（原子、分子、晶体等）的组成、结构和性能。 这里所说的结构，既包括物质的“几何结构”（如分子中原子，晶体中粒子的结合排布方式等），也包括物质的电子结构（如原子的电子层结构，分子、固体中的化学键，以及分子间作用力等）。 物质结构知识的理论基础是量子力学（研究微观粒子运动规律的科学）。实验基础是合成化学和结构化学等，它们提供了大量实验事实，需要理论解释，从而推动了理论化学的发 展。物质结构知识是化学三大重要理论之一。 6.1.2学习目的 1．了解化学反应的本质 例1．汽车尾气的治理。 例2．反应H 2 + I 2 = 2HI 的速率方程为v=kc （H 2）c （I 2），是二级反应。 在1967年前，人们一致认为这是一个二级基元反应。但是1967年人们通过实验发现这是一个复杂反应，如果用分子轨道理论中的前线轨道理论，很容易得到解决。 例3．“相似互溶原理” 从热力学观点来看，溶解过程的ΔS>0，而一般情况下ΔH>0（即吸热），而根据ΔG=ΔH-T ΔS ，要使ΔG<0，则 H ?应尽量小。为什么结构相似H ?就小呢？ 2．发现、制取符合人类一定需要的物质 例4．“硬质合金” 硬质合金广泛应用于火箭材料、高速切削材料、以及高级磨料等。一般是由IV 、V 、VI 副族金属元素，加少量C 、N 、B 等元素制成。为什么？ 例5．金属表面扩渗稀土元素 按过去金相学的观点，稀土原子的半径较大，不能扩散进入金属表面层。但实验结果确实进入了，这又为什么？ 例6．C 60的发现 例7．活性炭 泽林斯基认为：棉花和泥土有吸收气体的能力，是因为暴露在固体表面的固体分子只受到内层及左右两旁分子的吸引，吸引力没有完全抵消掉。如右示意图所示←·→ ，表面分子受到一个指向固体内部的作用力，即还有剩余吸引力可以吸引来到它近旁的气体分子。 ↓ 于是，泽林斯基得出结论：完全用不着为每一种毒气去找它们的防御品。只要能选择一种比棉花或泥土有更大的比表面的固体，就能够对付所有的毒气了。 泽林斯基为了加强木炭吸附化学物质的能力，经过不断的研究，终于在1917年得到了一种特殊物质——“活性炭”。 制成的活性炭，具有质轻、疏松、多孔等特点。每一克就有几百平方米的比表面积。因为吸附气体的能力特别强，当然防毒效果也就更好了。 3．对化学发展起重要作用 第一次革命性飞跃发生在1804年，道尔顿提出了原子论（即一切物质都是由原子组成的）。它合理地解释了当时许多化学现象和规律。标志着近代化学的开始。因此，道尔顿被
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+
5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应
量子力学讲义
一、量子力学是什么？ 量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。 研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。 二、量子力学的基础与逻辑框架 1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性： 光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。 2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，h p λ = de Broglie 关系（对粒子）： E =ω， p k = 总之，),(),(k p E ω? 3.（派生出的）三大基本特征： 几率幅描述 ——(,)r t ψ 量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2 ≥ ???p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设 ?=r d r A r A )(?)(* ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用 四、课程教学的基本要求 教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社 参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社
第一章 绪论 §1.1 辐射的微粒性 1.黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。在t ?时间，从s ?面积上发射出频率在 ν?+ν-ν 范围内的能量为： ν???νs t )T ,(E )T ,(E ν的单位为2 /米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T ,(u 4 c )T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米 焦耳3 ） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领 )T ,(f )T ,(E ν=ν 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以)T ,(E λ来描述。 ????λ λ ν=λλλν=λλ νν=ννd c )T ,(E d d c d ) T ,(E d d d ) T ,(E d )T ,(E 2 )T ,(E c )T ,(E 2 νν = λ (秒米焦耳?3 ) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 T ,(E λ与λ的变化关系在理论上， ① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 h 32 e c h 2)T ,(E ν-νπ= ν ?? ?=π=k h c c h 2c 22 1（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-?）
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
《量子力学》课程教学大纲 课程代码：090631011 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：光电信息科学与工程专业 大纲编写（修订）时间：2017.10 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 量子力学是近代物理的两大科学之一，是描述微观运动世界的基本理论，是近代光学技术的重要基础，是光信息科学与工程专业一门重要的专业必修基础课。本课程主要讲授量子力学的基本概念，基本原理和数学方法。为后续的专业课程学习打下夯实的量子力学基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1.掌握量子理论的物理图像，基本概念； 2.获得描述微观物理规律的理论工具--量子力学的基本原理和框架结构，能用这些原理解决常见的，简单的微观物理现象； 3.加深对现代科学理论的形式、特点的认识，提高科学方法论水平； 4.了解量子力学有关的科学发展。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：掌握量子力学的基本原理和总的理论框架 2.基本理论和方法：掌握用波函数描述微观粒子的状态，用算符描述相应的力学量，以及波函数的演化规律——薛定谔方程。会解简单的一维定态薛定谔方程。掌握用矩阵描述态和算符的方法。掌握简并和非简并的微扰理论，以及含时微扰理论，能用含时微扰理论解释原子的跃迁和发光。掌握电子自旋的基本理论，全同粒子的特性及其描述方法。 3.基本技能: 利用数学手段解决具体物理问题的能力。 （三）实施说明 1.大纲中的重点内容是学习量子力学基本理论所必需掌握的内容，教学中如果学生接受的较好，可适当增加一些在实际中有很广泛应用的问题作为重点内容。 2.教学方法，课堂讲授中要重点对基本概念、基本原理和基本方法进行讲解；要站在学生的角度进行讲解，以使学生能较自然的接受以前没有接触到的新的概念，新的理论框架和思想方法。并在讲解中使学生深入理解现代科学理论的建立过程，反过来促进学生对所学内容的理解和掌握。 3.教学手段，本课程属于理论课，在教学中对基本原理，基本方法的讲解主要采用板书形式；对于具体应用并且数学推导较繁琐的问题可采用课件形式，既能使学生看清解题的思路、过程、特点，又能节省时间。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程的先修课程是《线性代数》，《数学物理方法》，《原子物理》 （五）对习题课、实践环节的要求 1．对重点、难点章节（如：一维问题的计算，力学量平均值和幺正变换的计算，微扰问题的计
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出
现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2
量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.doczj.com/doc/6b7711534.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(22=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其 中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 2 (,,)x y z ψ(,,) c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ 《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题 一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？量子力学主要知识点复习资料全
《量子力学》考试知识点(精心整理)
大学物理量子力学习题附答案
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