1 绪论
(1). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4____位有效数字。
20＝0.4…?10, a 1=4, εr ≤
1
21
a ?10-(n-1)< 0.1% ，故可取n ≥4, 即4位有效数字。 (2). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对
误差限为
31
102
-′ (3). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝
对误差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2| (4). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：
__C_____. (A)
6
121)(-, (B) (3-22)2, (C)
3
2231)(+, (D) 99-702
(5). 要使17的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_________位有效数字？
17＝0.4…?10, a 1=4, εr ≤
1
21
a ?10-(n-1)< 0.1% 故可取n ≥3.097, 即4位有效数字。 (6). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =
y x -, 请给出一个精度较高的算式u =.
u=
y
x y x +-
(7). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =
y x -, 请给出一个精度较高的算式u = .
u=
y
x y x +-
(8). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误
差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2|；
2 方程根
(9). 设迭代函数?(x )在x *邻近有r （≥1）阶连续导数，且x * = ?(x *)，并且有?(k )(x *)=0
(k =1,…,r -1)，但?(r ) (x *)≠0，则x n +1=?(x n )产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___
(10). 称序列{x n }是p 阶收敛的如果c x x x x p
n n n =--+∞
→*
*lim
1
(11). 用牛顿法求 f (x)=0 的n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0
的单根，u(x)=
()
()
f x f x '
(12). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解
x 1=1.5970149 (13). 用牛顿法解方程012
3
=--x x 的迭代格式为_______________ 解 k
k k k k k x x x x x x 231
2
231
----=+ (14). 迭代过程)(1k k x x ?=+收敛的充分条件是)(x ?' ≤ 1.___
(15). 用Newton 法求方程f(x)=x 3
+10x-20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= 1.5970149 (16). 用牛顿法解方程012
3
=--x x 的迭代格式为
(17). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解
x 1=1.5970149
(18). 迭代公式x k +1=x k (x k 2+3a )/(3x k 2+a )是求a 1/2的 (12) 阶方法
3方程组
(19). 矩阵的 LU 分解中L 是一个 _为单位下三角阵，而U 是一个上三角阵____。
(20). 设线性方程组的系数矩阵为A =????
??
?
?
?-68
4715313148
3412,全主元消元法的第一次可选的主元素为 -8，或8___，第二次可选的主元素为 8+7/8或-8-7/8 ____. 列主元消
元法的第一次主元素为 _－8_________；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_____;
(21). 在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的
充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能__(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵___不一定___(一定，不一定)能进行LU 分解。
(22). 设A 是正定矩阵，则A 的cholesky 的分解 唯一 (唯一,不唯一).
(23). 设????
??????=2021012a a A ，为使A 可分解为A=LL T ，其中L 是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围是 ，取a=1，则L= 。
(24). 解 )3,3(-∈a ，????????
?????????
?
323
20
02321002
4迭代 (1). ?
?
?
?
??-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ； 答：4，3.6180340，5；
(2). 已知方程组??
????=????????????2121132.021
b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法___是___收敛
（填“是”或“不”）。
(3). 给定方程组 ??
????
????=????????????????????--111 211111112321x x x 记此方程组的Jacobi 迭代矩阵为
B J =(a ij )3?3，则a 23= -1； , 且 相应的Jacobi 迭代序列是__发散_____的。 (4). 设()3
()1f x x =-，则()f x 关于[0,1]C 的
f
￥
= 1
, 2
f
=
(5). ?
?
??
??-=1301A ，则)1,)1(|(|1)(,4||||2,12
1=-=-==λλλρA I A A (6). R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_?C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的
两个范数_一定____是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。 (7). T
x )12,4,0,3(-=，则=1||||x 19 ,=2||||x 13____，=∞||||x ____12 ；
(8). 已知方程组??
????=????????????2121132.021b b x x ，
则解此方程组的Jacobi 迭代法___收敛（填“收敛”或“发散”），
(9). T
X )4,3,2(-=则=1||||X ，=2||||X ，=∞||||X
解
(10). 已知方程组??
????=???????
???
??2121132.021
b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法_____________收敛（填“是”或“不”），
解 （3）因??????=132.021A 的Jacobi 迭代矩阵??
????=032.020B ，8.0)(=B ρ，
故Jacobi 迭代是收敛的， (11). 已知方程组?
?
?=-=+262038
25y x y x ，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高
斯-塞德尔法的迭代格式是________________；
解 ???
????+=+-=??????????
-+++10132035
852,0203
520)1()1()()1(k k k k x y y x (12). 已知方程组??
????=????????????2121132.021b b x x ，
则解此方程组的Jacobi 迭代法_____________收敛（填“是”或“不”）， 解 因????
??=132.021A 的Jacobi 迭代矩阵?
?
????=032.020
B ，8.0)(=B ρ，故Jacobi 迭代是收敛的， (13). 已知方程组??
?=-=+26
2038
25y x y x ，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞
德尔法的迭代格式是________________；
解
(14). ???
?
????=21010a A ，要使0lim =∞→k k A ，a 应满足___________； 解 1 (15). T X )4,3,2(-=则=1||||X ，=2||||X ，=∞||||X 。 ? ? ? ???-=1301A ，则=1||||A ，=)(A ρ 。 解 4||||,29||||,9||||21== =∞X X X 。 )1,)1(|(|1)(,4||||2,121=-=-==λλλρA I A A (16). 设若1031A ?? =? ??? ,则矩阵A 的1-范数1=A 4 ，cond 1(A)= 16 。 (17). 如果线性方程组Ax b =用Jacobi 迭代法，其迭代矩阵B 满足11B <。如果用 Gauss-Seidel 迭代法解此线性方程组Ax b =，则方法 一定 (一定,不一定)收敛 (18). 设 ???? ?? ? ??------=1111111111 1111 11Q ，则2Q = 2 (19). T x )12,4,0,3(-=，则=1||||x ，=2||||x ，=∞||||x ； 答案：（1）19，13，12； (20). 方程组Ax b =用超松驰法求解时，迭代矩阵为]U D )1[()L D (B 1ω+ω-ω-=-ω, 要使迭代法收敛，条件0<ω<2是 必要条件 (充分条件、必要条件、充要条件)； 如果A 是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当ω在区间 (0,2) 时。 (21). 给定方程组 1211 12x a x a 轾轾轾犏犏 犏=犏犏犏臌 臌臌，其Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为00a a 轾-犏犏-臌 当 a <1 时，Jacobi 迭代格式收敛；其Gauss-Seidel 迭代格式的迭代矩阵为 200a a 轾-犏犏臌 ，当 a <1 时Gauss-Seideli 迭代格式收敛。 (22). 已知方程组?? ????=??????? ??? ??2121132.021 b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法__是__收敛（填“是”或“不”） (23). 已知?? ? ? ??=4321A ,则1A =__6___ ，A ￥=__7__ , A 的谱半径()A ρ = 1(53) 2 + (24). （1）.设()3 ()1f x x =-，则()f x 关于[0,1]C 的 f ￥ = 1 ,1f = 1 4 , 2 f = 。 (25). T X )4,3,2(-=则=1||||X ，=2||||X ，=∞||||X 解 (26). 已知方程组?? ?=-=+26 2038 25y x y x ，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞 德尔法的迭代格式是________________； 解 设线性方程组的系数矩阵为A =???? ?? ? ? ?-68 4715313148 3412 ,列主元消元法的第一次主元素为 (13) ；第二次主元素为(用小数表示) (14) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为B G =(a ij )4?4，则 a 23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4; (27). 5插值 (28). 在等式∑== n k k k n x f a x x x f 0 10)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x )有 关。 （限填“有”或“无”） (29). 设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，则 ∑=-n k k m k x l x x 0 )()(≡0 m=1,2,…,n (30). 用1n +个不同节点作不超过n 次的多项式插值，分别采用Lagrange 插值方法与 Newton 插值方法所得多项式 (相等, 不相等)。 (31). 函数3 320, 10(),01(1),12x f x x x x x x -≤ 与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ?++-≤<=?++≤≤?中, 是三次样条函数的函数是 _f____ ，另一函数不是三次样条函数的理由是 _____二阶导不连续__________ 。 a) 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数 不 超过4次的插值多项式是 x 2-3x +1 。 函数3 320, 10(), 01(1),12x f x x x x x x -≤ 与 函数33 21,10 ()221,01 x x x g x x x x ?++-≤<=?++≤≤?中,是三次样条函数的函数是 ()g x ，另一函数不是三次样条函数的理由是 不满足具有二阶连续导数 。 (32). 令f(x)=ax 7+ x 4+3x+1, 则f[20, 21,…,27]= a ；f[20, 21,…,28]= 0 (33). 设)())(()() ())(()()(110110n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- (i =0,1,…,n )，则∑=n k k k x l x 0 ) (＝ _x_____ , 这里（x i ≠x j ,i ≠j , n ≥2）。 (34). 牛顿插商与导数之间的关系式为： ! ) (],,,[) (10n f x x x f n n ξ= (35). 设x 0, x 1,x 2是区间[a , b ]上的互异节点，f (x )在[a , b ]上具有各阶导数，过该组节点的 2次插值多项式的余项为： R 2(x )= )(!3)(2 )3(k k x x f -∏=ξ (36). 在等式∑== n k k k n x f a x x x f 0 10)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x )__ 无__关. (37). 高次插值容易产生________龙格（R u n g e ）现象。 (38). (39). 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数 不超过4次的插值多项式是 ___ x 2-3x +1___ 。 (40). 令f(x)=x 7+ x 4+3x+1, 则f[20, 21,…,28] =______0_____ (41). 确定n +1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要____4n______个 (42). 若 f (x ) 充 分 光 滑， 若2 n+1 次 多 项 式 H 2n+1(x ) 满 足H 2n+1(x i )= f (x i ), ),,2,1(),()(12 n i x f x H i i n ='='+,则称H 2n+1(x)是f (x )的 __ _ =f (x )—H 2n+1(x )= ； (43). 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数 不超过4次的插值多项式是 ______ 。 解 （4）y =x 2-3x +1 (44). 用1n +个作不超过n 次的多项值插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton 插 值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等) 6拟合 (1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 _法方程组病态 ___问题。 (2). 试确定[0,1]区间上2x 3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一 否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。 (3). 设f (x )∈C [a ,b ]， f (x )的最佳一致逼近多项式是__一定___存在的。 (4). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数, 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数； ||f||∞；2-范数 (5). 若{?0(x ), ?1(x ),…, ?n (x )}是[a,b]上的正交族。∑== n k k k x a x 0 )()(? ?为f(x)的最佳平方 逼近。系数a k = 10 n k f a k k k k ,,,) ,() ,( == ??? (6). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 无穷 范数. 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 2 范数. (无 穷范数；2-范数，1-范数) (7). 设f (x )=2x 4在[-1,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P (x )= 2x 2-1/4 。 (8). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题. (9). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. (10). 函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. (11). 函数f(x)=|x| 在[-1,1]的，次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是 12 。 7积分 (45). G auss 型求积公式不是 插值型求积公式。（限填“是”或“不是”） (46). n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1 次 (47). 设) (n k C 称为柯特斯系数 则 ()n n k k C =∑=______1____ (48). 为辛卜生（Sim pso n ）公式具有___3____次代数精度。 (49). 2n 阶New t o n -C o t es 公式至少具有2n +1次代数精度。 (50). 设公式 ∑ == n k k k n x f A I 0 )(为插值型求积公式， 则 ),,1,0( d )( n k x x l A b a k k ==? , 且 n k k A =∑=b-a (51). n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n －1次。 (52). G auss 点与积分区间____无关_____但与被积函数___有关。 (53). 当常数A= 109 ，B= 109 ，a = ± 时，数值积分公式2 2 16 ()()(0)()9 f x dx Af a f Bf a -?+ +ò是Gauss 型积分公式 (54). S impsons 数值求积公式具有 ____3_________次 度，用于计算 dx x x x )45.02)2(ln (21 4+++? 所产生的误差值为； (55). 形如 ? ∑=≈b a n k k k x f A dx x f 0 )()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 ______n____阶，至多可达到__2n+1________阶； (56). 勒让德（Legendre ）多项式是区间______[-1,1]_____上，带权_____1_____正交的正 交多项 (3) 用梯形公式计算积分 2 3 2 x e dx -≈? 9.219524E-003:此值比实际值 小 (大,小) (57). 用复化梯形公式计算积分 1 ()f x dx ? ,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能 保 证满足误差小于0.00005的要求（这里(2) () 1f x ∞ ≤）；如果知道(2) ()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分 1 ()f x dx ? 此实际值 大 (大，小)。 (58). 若用复化梯形求积公式计算积分1 0x I e dx = ? 区间[0,1]应分 2129 等分， 即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 -?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。 (59). S impsons 数值求积公式具有 ___3__________ 次度，用于计算 dx x x x )45.02)2(ln (21 4+++? 所产生的误差值为； (60). 形如 ? ∑=≈b a n k k k x f A dx x f 0 )()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 _____n_____阶，至多可达到___2n+1_______阶； (61). 若用复化梯形求积公式计算积分1 0x I e dx = ? 区间[0,1]应分 2129 等分， 即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 -?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值 (62). 在以1 0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C = ò为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2 3 x - 。 (63). S impsons 数值求积公式具有 ___________次代数精度，用于计算 dx x x x )45.02)2(ln (21 4+++? 所产生的误差值为_____________； (64). 形如 ? ∑=≈b a n k k k x f A dx x f 0 )()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 __________阶，至多可达到__________阶； 8微分方程 (25). 欧拉预报--校正公式求解初值问题(,)()y f x y y a ì￠=??í?=h ?? 的迭代格式(步长为h) 1k y += ，此方法是 阶方法。 1k y +=[](,)(,(,))2 k k k k k k k h y f x y f x h y hf x y + +++，此方法是 2 阶方法。 (26). 称微分方程的某种数值解法为p 阶方法指的是其局部截断误差为O (h p +1)。 (27). 求解微分方程数值解的E ul e r 法的绝对稳定区间是____(-2,0)______。 (28). 欧拉预报--校正公式求解初值问题 0 (0)0 y y x y '+-=?? =? ,如取步长h=0.1,计算y(0.1) 的近似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法 (29). （1）当a = 12 ，b = 1 2 时，下述形式的RK 公式为二阶公式 12121(,)(,) n n n n n n y y hK K f x y K f x ah y hbK +ì=+??? =í??=++??? (30). 欧拉预报--校正公式求解初值问题(,)()y f x y y a ì￠=??í?=h ?? 的迭代格式(步长为h) 1k y +=[](,)(,(,))2 k k k k k k k h y f x y f x h y hf x y + +++，此方法是 2 阶方 法。 (31).用Euler方法解初值问题 (0)1 y y y ì￠-= ?? í? = ?? 的近似解的最终表达式 n y=() 1n h + (取步长 x h n =)；当n时，lim n n y=x e。 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( ￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 第5章 MATLAB 数值计算 1.选择和填空。 （1）下列变量名中的________是合法变量。 A. char_1 , i , j B. x*y , a.1 C. x\y , a1234 D. end , 1bcx （2）已知x 为1个向量，计算ln(x)的运算为________。 A. ln(x) B. log(x) C. Ln(x) D. log10(x) （3）已知a=0:4，b=1:5，下面的运算表达式出错的为_______。 A. a+b B. a./b C. a ’*b D. a*b 2.用“from:step:to ”方式和linspace 函数分别得到从0到4π，步长为0.4π的变量x1和从0到4π分成10点的变量x2。 3.输入矩阵A =123456789?????????? ，使用全下标方式取出元素“3” ，使用单下标方式取出元素“8”，取出后2行子矩阵块，使用逻辑矩阵方式取出1379?????? 。 4.输入A 为3×3的魔方阵，Ｂ为3×3的单位阵，由小矩阵组成3×6的大矩阵C 和6×3的大矩阵D ，将D 矩阵的最后１行构成小矩阵E 。 5.输入字符串变量a 为“hello ”，将a 的每个字符向后移4个，例如“h ”变为“l ”，然后再逆序排放赋给变量b 。 6.求矩阵1234?????? 的转置矩阵、逆矩阵、矩阵的秩、矩阵的行列式值、矩阵的三次幂、矩阵的特征值和特征向量。 7.求解方程组12341241 23412342x 3x x 2x 8x 3x x 6 x x x 8x 77x x 2x 2x 5 -++=??++=??-++=??+-+=? 8.计算数组A =123456789?????????? ，B =111222333??????????的左除、右除以及点乘和点除。 9. 计算函数2()sin(4)-=t f t t 的值，其中t 的范围为0~2π，步长取0.1π；z 为0.707；1()f t 为()0>=f t 的部分，计算1()f t 的值。 作业题：3、5、9（写到作业纸上，待通知交时再交上来） 其余为练习题（大家上机练习一下，课堂上可能会提问） 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 计算机数值方法测试题二 Prepared on 22 November 2020 《计算机数值方法》测试题 一．判断题（1分×10=10分）（对打√，错打×） 1．数值方法是指解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。( ) 2．……计算R=≈是截断误差。( ) 3．不同的矩阵三角分解对应着不同的解法，但在本质上，都是经过A=LU 的分 解计算，再解Ly=b 和Ux=y 的线性方程组。( ) 4．一般不用n 次多项式做插值函数。( ) 5．Runge 现象说明并非插值多项式的次数越高其精度就越高。( ) 6．Romberg 算法是利用加速技术建立的。( ) 7．从复合求积的余项表达式看，计算值的精度与步长无关。( ) 8．可用待定系数法和函数值或公式的线性组合构造新的数值函数求解微分方程。 ( ) 9．局部截断误差e k （h ）与y （x k ）的计算值y k 有关。( ) 10．对大型线性方程组和非线性方程采用逐次逼近更为合适。( ) 二．填空题（2分×5=10分） 1． 设x ∈[a,b]，x ≠x 0，则一阶均差f （x ）= 。 2． 矩阵A 的F-范数||A||F = 。 3． Euler 公式为 。 4． 矩阵 A 的条件数Cond （A ）∞= 。 5． 设x 为准确值，x *为x 的一个近似值，近似值x *的相对误差E r （x *） = 。 三．选择题（2分×5=10分） 1．设x=Pi ；则x *=有（ ）位有效数字。 (A) 4位 (B)5位 (C)6位 2．顺序主元a ii ≠0（i=1,2……k ）的充要条件是A 的顺序主子式D i （i=1,2……n- 1）（ ）。 (A) 不全为0 (B) 全不为0 (C) 全为0 3．若存在实数P ≥1和c ＞0，则迭代为P 阶收敛的条件是（ ）。 (A) ∞ ?→?k lim p k k e e ||||1+=c (B) O(h p ) (C) O(h p+1) 4．方程x 3-x 2-1=0在x 0=附近有根，则迭代格式x k+1=在x 0=附近（ ）。 (A) 不收敛 (B) 局部收敛 (C)不确定 5．下面哪个公式的局部截断误差为O （h 3）。（ ） （A ）Euler 公式 （B ）三阶Runge —Kutta 公式 （C ）梯形公式 四．计算题（7分×6=42分） 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 1、 方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。 2、，则A 的LDL T 分解中，。 3、，则__________，_______________. 4、已 知，则用复合梯形公式计算求 得，用三点式求得____________. 5、，则_________ ，三点高斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有________位有效数字。 7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。 8 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。 10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C ==∑__________________。 11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限 210ε-=。 13.用列主元消去法解线性方程组 1231231 232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 14. 确定求积公式 012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++? 。 中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 15、 试求使求积公式的代数精度 尽量高，并求其代数精度。 16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。 17.设()()[,],max ()n n a x b f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n +--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n n n a x b M b a R x n -≤≤-≤ 18用n=10的复化梯形公式计算时， （1）试用余项估计其误差 （2）用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。 19已知方程组AX ＝f,其中 （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数 和SOR 法 的谱半径(可直接用现有结论) 20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？ 21证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。 22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。 数值计算方法练习题 习题一 1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）； 2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？ 3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。 （1）；（2）；（3） 4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？ （1）；（2）；（3） （4） 5. 序列满足递推关系式 若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用 。 7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。 （1）；（2） （3）；（4） 8. 设，求证： （1） （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。 9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。 10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 11.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 12.近似数x*=0.0310, 13.计算取 四个选项： 习题二 1. 已知，求的二次值多项式。 2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。 3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。 4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。 5. 已知，求及的值。 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。 7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。 8. 下表为概率积分的数据表，试问： （1）时，积分 （2）为何值时，积分？ 数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1 第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。数值分析典型习题
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