17.1变量与函数
变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。
对于x的每一个值，y都有唯一的值与之相对应，称x是自变量，y是因变量，也称y是x 的函数。
函数关系的表示方法：1.解析法，即用函数表达式表示；2.列表法；3.图像法
会用解析法表示函数关系式。
17.2函数的图像
直角坐标系，x轴，横轴，y轴，纵轴，坐标原点，两轴的正方向；横坐标，纵坐标，坐标；
第一、二、三和四象限，坐标轴上的点不属于任何一个彖限；直角坐标系中的点与有序实数对——对应。
会作坐标系中的点和写点的坐标。
描点法画函数图像：列表一描点一连线
会函数曲线图
17.3 一次函数
Y二kx+b,其中k、b是常数,kHO；若b二0 (KHO)也叫做正比例函数。
记住一个结论：若某一个点(a, b)在正比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点(-a, -b)也在该函数图像上；即正比例函数关于原点对称。
一次函数的图像是一条直线，正比例函数经过原点。由于两点确定一条直线，所以可以分别找出图像与坐标轴的两交点，画出过该两个点的直线即为所求图像。K为直线的斜率，b为图像在y轴上截距。
K>0,增函数；k<0,减函数。
用待定系数法求一次函数的表达式。由于表达式中需确定k, b两个系数的值，所以只要已知函数图像上的两个点即可列出二元一次方程组，解出两系数。
特殊值：两直线平行，则斜率k相同；两直线垂直，这斜率k值的乘积为-1.
17.4反比例函数
Y二k/x(kH0的常数)叫反比例函数，也叫双曲线；由于自变量x为分母，所以x不能取0；图像与坐标轴没有交点。
记住一个结论：若某一个点(a, b)在反比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点
(-a, -b)也在该函数图像上；即反比例函数关于原点对称。
K>0,图像在一、三彖限，减函数；K<0,图像在二、四象限，增函数。
注意：在比较函数值的大小时，需要分段讨论，因为反比例函数只在某个象限内才是增函数或减函数，因为函数图像与x轴和y轴都没有交点。
要理解反比例函数的儿何意义:反比例函数图像上的任意点与原点构成的对角线的矩形面积不变，面积都等于|k|。(见典型例题22题)。该结论常变形为，反比例函数图像上的点向x(y)轴作垂线，图像上的点、垂足和原点这三个点构成的Rt△面积为|k|/2
要记住一个结论：反比例函数y二k/x图像上的点到原点的距离，当|x| = |y|时取得最小值距离为|K|
17. 5实践与探索
1.图像的直观性特点；数形结合解方程，画出函数图像，交点即为方程组的解。
2.方程(不等式)与函数图像的关系：学会看图。
3.回归线
典型例题
1.一次函数与一个反比例函数的图像交于P (-2,1)、Q (1, m),求两个函数表达式。
思路：P点一反比例函数表达式一确定Q点中的ni值一一次函数表达式要充分利用函数的表达式求点的坐标。
2.将函数y二2x+3的图像平移，使其经过点(2,-1),求平移后的函数表达式。
说明：(1)由于是平移，故斜率k不变，所以可以利用待定系数法确定截距b值；
(2)此题可以水平平移，也可以垂直平移；
(3)此题可知，如果斜率k确定了，直线平移可以扫描到坐标系中任意点；
如果截距b确定了，直线旋转可以扫描到坐标系中任意点。
3.直线y二2x/3-2,分别交x轴、y轴于A、B两点，0是原点。
(1)求Z\AOB的面积
(2)ilAAOB顶点的直线把AAOB分成面积相等的两部分，这样的直线有几条，这些直
线的函数表达式是什么？
说明：(1)要利用数形结合
(2)首先要知道过三角形顶点的直线如何把该三角形分为面积相等的两部分：等底等
高的两个三角形面积相等，所以直线需要过底边的中点；
其次，如何找出该屮点：屮点的坐标等于两端点坐标和除以2,即X中二(X端点i+X端点2), Y中二(Y端点i+Y端点2)
最后，两点确定一条直线，用顶点和底边屮点即可确定该直线的函数表达式。本题的延伸：1.
两条相交直线与x (y)轴围成的三角形面积。思路是先确定交点，其y (x)坐标就是三角形的一个高；与x (y)轴的两交点的横(纵)坐标之差的绝对值即可底边长。
2.两条相交直线与x (y)轴圉成的三角形，三条高线的函数表达式。思路是先
确定斜率k值，由于高线垂直于底边，所以底边直线与高线的斜率Z积为-1；再把顶点带入利用待定系数法确定截距b值。
4.己知平面上四点A(0, 0), B(10, 0), C(10, 6), 0(0, 6),直线y=mx-3m+2 将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为—.
分析：此题需要先在坐标系中做出四边形(矩形)，并要分析出如何把一个矩形分成面积相等的两部分，有哪些直线能把该矩形分成面积相等的两部分，这些直线有什么共同点。此题的关键就是要找出这些均分血积的直线的共同特点：经过矩形对称中心点的直线都能将矩形的面积均分。对称中心的坐标为C点坐标的一半，即(5,3),将该点坐标带入直线y= mx—3m+2即可求出m的值为1/2。
1 |z
5.如图，直线尸於与双曲线y=-(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4。若双曲线
|z 上一点C的纵坐标为8, (1)求AAOC的面积.(2)过原点O的另一条直线/交双曲线y=-(k
X > 0)于P,Q两点(P点在第一象限)，若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.
解：(If 点A的横坐标为4,点A在y =*x上，???点A的纵坐标y =卜4 = 2,即A(4, 2).
k
又???点A(4, 2)在双曲线尸‘上，.??匸2X4F.
8
???点C在双曲线r上,且点C纵坐标为8,???C(1, 8).
如图，过点C作CM丄x轴于M,过点A作AN丄x轴于M.
, , 8
S ACOM=S AAON='^,=4
S AAOC=S四边形cMNA=gX ( | y,41 + | yc | ) X ( x.J — xj)=15.
上述的解法比较简便，主要是利用面积的割补法。若要利用通过常规解法计算S AAOC,则比较法复杂，解题过程如下：
过点C作0A的垂线1交底边于H, TCH丄0A,???垂线1的斜率为KX (1/2) =-1, K二-2,又???垂线1过点C,所以可求出垂线1的表达式为y=-2x+10,垂足H为垂线1和直线AB的交点，.??解得H的坐标为II (4,2)0在RtAOCH中，0C2=82+l2,同理可解得OH,利用勾股定理可得△OCA的高CH,同理解出其底边0A长,???Saoc= (1/2) XCHXOA
(2) ???反比例函数图象是关于原点0的屮心对称图形，???0P二OQ, 0A二0B,???四边形APBQ是平
行四边形
?°?S A POA-^S平行四边形APBQ-yX 24=6.
4 4
设点P的横坐标为m (m>0且mH4),得P (m,—).
m
从(1 )小题可知S悌形PEFA二S APOA，即S梯形PEFA=6
过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F,
S 梯形PEFA二右(A/7 + PE) x EF弓(y：、+yp) X | XF~XE |,
当X F>X E,即当m<4 时,ix (2+-) X(4-m)=6 2 m
解得m=2, m=-8 (舍去),AP (2, 4)
当x卜V XE,即当m>4 时,-X (2+—) X (m-4)=6 2 m
解得Hl二8, m二-2 (舍去)，???P (8, 1)
???点P的坐标是P (2, 4)或P (8, 1)。
6.已知一次函数y=0. 5x + 3的图象过点A(2,4) ,B(0,3), 过点B
能不能画汕一直线BC将△ABO (O为坐标原点)分成面积比为
1 : 2的两部分？如能，可以画岀儿条？并求出其小一条直线所
对应的函数表达式，其他的直接写出函数关系式; 若不能，说明
理由.
解：能，如图，直线BC和BC'都符?合题意.
V S A BOC:S A ABC —S A ABC* :S ABOC* =1 ： 2, 00 — CC —AC
9 ,
i A9 S 2
则点C的纵坐标是§X4=§,点C‘的纵坐标是§X4=§；同理得点C的横坐标是§，点C，的
4 9 4 4 8
横坐标是§, ...eq, -), C* (-,-).
设直线BC 的表达式是y = k
此题要考虑因变量和自变量的取值范围。
10?如图,在点M, N, P, Q 中,一次函数y=kx+2（k<0）的图象不可能经过的点是（） 主要考虑斜率K<0的倾斜方向和函数的截距为2时，畅数图像的大致位置。
11.设函数y 二与y 二2x+l 的图彖的交点坐标为（a, b ）,求丄_?的值.
x a b
此题考查的是分式的计算2-台警，从函数y 二可知xy=l,从函数y=2x+l 可知y-2x=l 。
a b ab x
???坐标点（a, b ）为两个函数的交点，.I 该点满足两个函数，即ab=l, b~2a=l.
a b
12.. 一次函数y 二kx+4的图象经过点（-3,?2）,点M 在直线y 二kx+4上且到y 轴的距离是
3, 求点M 的坐标.
分析：考虑到有两个点，到y 轴的距离为3,即是X 坐标为±3.
13. 若函数 >匸（3 +加）兀j 是反比例函数，则m 的取值是 _______
反比例函数的系数3+mHO,且Am=3
14. 已知正比例函数y = kx 的图像与反比例函数y = ±±的图像有一个交点的横坐标是-1,
兀
那么它们的交点坐标分别为 _____________
???根据方程kx 二乎,把X-1带入可得k=2.正比例函数y = kx 的图像是关于原点对称的，??? 另一个交点的横坐标是1,???两个交点是（-1, -2）和（1,2）
15. 已知yl 与x 成正比例（比例系数为kl ）, y2与x 成反比例（比例系数为R2）,若函数 y 二yl+y2的图象经过点（1, 2）, （2, 0. 5）,则8kl+5k2的值为 ____
设yl=kl ?x, y2竺，???y 二kl >x+—,带入两个点的坐标可得2=kl+k2①和Mkl+—->l=4kl+k2
x x 2 尢 2
②，①X4+②可得9二8kl+5k2
分析：列出方程（组）后不要急于求解，要观察待求的表达式有何联系，是否有简便算法。 16. 直线 y = kx （k>0）与双曲线〉，=幺交于 A （x H yi ）, B （X2,刃）两点，则 2xiy 2—7x 2yi= ?
? X
■ ■ ■ 0 2
Q -2 ? P
A. M
B. N
C. P
D. Q
X
根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图彖上点的坐标特点解答
???y = i是反比例函数，.??它与直线y=kx的两个交点A, B关于关于原点对称，
x 】=_X2, y 】=_y2,
A2xiy2—7x 2yi = 2xi (-yj —7 (-xi) yi=-2xiyi+7xiyi=5xiyi 又???点A 点B 在双曲线y 二4/x 上,即Ax,yi =4
2xiy 2-7 X2yi=5 X 4=20.
注：耍充分理解正比例函数和反比例函数图像关于原点的对称性。
17. 如图，长方形A0CB 的两边OC 、0A 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐
标为B ( —岂，5), D 是AB 边上的一点，将△AD0沿直线0D 翻折，使A
3
点恰好落在对角线0B 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那 么
该函数的解析式是 __________
???点B 在直线0B 上，.??把B 点的坐标带入可得直线0B 的函数为y 二*x ① 4
设点E 的坐标为(x,y),根据翻折可知0E=0A=5,过E 点作x 轴的垂线垂足为H,在RtAOEH 中，OE^EH'+OH',即25二『+/,把①带入该方程，解得x 二±4,?.?点E 在第二象限，??.x 二-4 把x=-4带入①式可得y=3, ...E (-4, 3)。再把E 点坐标带入反比例函数y=k/x,可得k 二-12 18. 反比例函数y =-的图象过点〃(3, 2) o 財(/〃，n)是反比例函数图象 x 上的一动点，其中0<刃<3过点M 作直线MB 〃x 轴，交y 轴于点过点 A
作直线AC 〃y 轴交x 轴于点C,交直线MB 于点I)。当四边形OADM 的面
积为 6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由.
根据第1页17. 4的结论，可知S AAOC =S ABOM =3,
?I S 矩形()狀二3+6+3二12,又 T 0C 二XA =3, OB=S OBIK ： 0C=124- 3=4
Ay B =4=yM,带入反比例函数y=6/x 可得M 的坐标(3/2, 4)
??? BM 二3/2, D\1 二DB-BM 二3-3/2二3/2
???DM=BM
19. 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的()
A.反比例函数
B.正比例函数
C.无法确定
D.反比例或正比例
Vy=a/m, m 二b/x, /.y=a/(b/x) =ax/b,为正比例函数
20.
函数y = —ax + a 与y=-a/x (sHO)在同一坐标系中的图象可能是( )
可假设a>0,贝Ijy=-ax + a 将不经过第三象限，函数y-a/x 图像在二四象限。当然也可以 假设
a<0
(C)
21. 在同一平而直角坐标系中，反比例函数y 二-8/x 与一次函数
y = -x + 2交于A, B 两点，0为坐标原点，则S&B 二 ____
此题需作出草图(右图)，S AAOB = S AAOC +S ACOB =|x 0CX h A +|x OC X
h?=ix |x c | X (|y.J + |yJ)弓X2X (4+2) =6
2 2
k
22. 如图，A. 〃是函数y =-图像上两点，点C 、1)、E 、〃分别在坐标 X
轴上，且与点力、B 、0构成正方形和长方形.若正方形丿的面积为6 ，则
长方形必万〃的面积是( )o (分析见第1页17.4)23.
如图，直线y =
mr 与双曲线y 二k/x 交于点A, B 。过点A 作八M 丄x 轴， 垂足为点M,连结BM.若S △防1,则丘的值是( )
根据第1页的结论，A, B 两点关于原点对称，.??|*|二W B |,即有 S 帥二S ABO ”二1/2,若过A 点作y 轴的垂线，垂足为C,则 S ACOM =2S AAOM =1，根据第 1 页 17. 4 的结论，则 | k | =S ACOM = 1 ? 又；?图像 在一三象限，???k=l
24. 若点A(xi, yi), B (X2, y2)是反比例函数y=2/x 图象上的两点，且xi
注意：需要分段讨论，即需要考虑当&和刈都在y 轴的同侧时的情况，也需要考虑xi 和& 都在y 轴的异侧时的情况。
25. 如图，在在第一彖限的点A 既在双曲线y =乎上，又在直线
y=2x-2上,且该直线与X 轴的交点为B 。y 轴上有C(O,b)、D(0,b+2)
两点，当四边形ABCD 周长収得最小值时，b= _____
分析：因为AB 两点是固定的，且CD 的长也是固定的，所以求四边
形ABCD 的周长最小值就是求AD+BC 的最小值。根据错题集上总结
的经验可知，以y 轴为对称轴，作A 的对称点/V,连接A ，B,则/VB 与
y 轴的交点即为C 点的位置。解方程可知B 点的坐标为(1,0),解方程组A 的樂标为(3,4), ???&的坐标为(-3,4)o 过A ，点作x 轴的垂线，垂足为H,则H 的坐标为(-3, 0)。???在Rt △A'HB 中，A'H=4, HB=4, AZA ,BH=45° , /.RtACOB 中，OC=OB=1
23?函数讦图象的大致形状是() 知道函数值y 的取值范围，即可得出答案。
26. (南山中学2016年招考)己知abcHO,且巴=比
c
a 经过() A. 一、二象限 B.二、三象限 C.三、四象限 D. 一、四象限 解：由已知得a+
b 二卬①，b+
c 二ap ②，c+a=bp ③，把①+②+③得
2(a+b+c)=p(a+b+c),???有 p=2 或 a+b+c=O
当p=2时，函数y=2x+2图像经过一、二、三象限；
当a+b+c 二0时，函数y=-x-l 经过二、三、四象限;
所以函数一定经过二、三象限。
注：此题为第16章和第17章的综合题目。(1)要观察到己知条件中几个等式的特点，对于 几个字母循环相加的情况首先要想到几个等式相加；(2)得到等式2(a+b+c)二p(a+b+c)后，切 不可直接约去因式(a+b+c),因为a+b+c 可能等于0,???要分情况讨论；(3》当a+b+c 二0时, 竽#"P 。通过分析我们知道此题难点很多，且处处陷阱，上述分析的3个主要难点屮, 任意一个地方出错则满盘皆输。
27. 如图，A 、B 是双曲线y = ￡上的两点，过A 点作AC 丄x 轴，交OB 于D 点，垂足为C.若厶人。。的面积为1, D 为 OB 的中点，则k 的值为()
分析：过B 作x 轴的垂线，垂足为H 。
VAC 丄x 轴，BH 丄x 轴，???AC 〃BH,又TD 为OB 中点，
CD 为AOBH 的中位线，???CD 二BH/2, A S AOCD =S AOBH /4，
根据17.4中的反比例函数的几何意义可知：S AOCA =S AOBH ，
S AOCD = S AOAC / 4=(S AODA + S AODC )/4=(1+ S AODC )/4
? ?S AODC =1/3,??S°OCA =1+1/3=4/3
根据17.4中总结的公式SA O CA=k/2=4/3, Ak=8/3
28. 如图矩形ABCD 中，AB=3, BC=4,点P 从A 出发，按A-B-C 的方向在AB 和BC 上移 动。设PA=x,点D 到直线PA 的距离为y,则y 关于x 的函数冬像大致是()
分析：当P 在AB 段时,即x 〈3时,y=4, /.排除A 选项；
当P 移动到C 时,x 取得最大值3+4二7,???排除B 、C 选项。
但如何确定函数图像大致为D 呢？
当P 在BC 段时,即3 又VSAADP=xy/2, x y/2=6；即y=12/x o /.函数图像为反比例函数y=12/x 的一部分。 29. _________________________________________________________ 对任意实数k ,直线y 二kx+(2k+l)恒过一定点，该定点的坐标为 __________________________ 分析：既然对于任意的k 都成立，应该把k 作为自变量，即y 二(x+2)k+l,与k 无关的话, 需要k 的系数为0,即x=-2, y=l 那么直线y 二px+p —定 c+a 信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s 华师大版八年级下册数学知识点总结 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 八年级华师大版数学（下） 第16章 分式 §分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点： （1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B A =0的条件是：A=0， B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。 分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式； 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ??????→? ???分式多项项单项式整式 用式子表示为：A B = A ·M B ·M = A ÷M B ÷M ，其中M （M ≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是： （1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示： bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： bc ad c d b a d c b a =?=÷ 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。 t 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[-T 0/2，T 0/2]内的定义为 ???>≤=2/ 02/ )(~ττt t A t x 满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。 解： 根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有 t t x T C t n T T n d e )(~ 1000j 2/2/0ω--?=== --? t A T t n d e 10j 2/2 /0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2 (Sa 00τωτn T A = 故周期矩形信号)(~ t x 的指数形式Fourier 级数表示式为 t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞ -∞ =∞-∞=== 利用欧拉公式 2 e e )cos(00j j 0t n t n t n ωωω-+= 可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为 ()t n n T A T A t x n 0001 0cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑ ∞ =+= 结论： 实偶对称的周期矩形信号)(~ t x 中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。 t 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号)(~ t x 是实信号，其在一个周期 [-1/2，3/2]的表达式为 华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 1.一线性时不变系统在相同的初始条件下，当激励为f(t)[t<0时，f(t)=0]时，其全响应为y 1(t)=2e -t +cos2t,t>0时；当激励为2f(t)时，其全响应为y 2(t)=e -t +2cos2t,t>0;试求在同样的初始条件下，当激励为4f(t)时系统全响应。 解：设系统的零输入响应为x y )(t ,激励为f(t)时的零状态响应为)(t y f ,则有 y 1(t) = x y )(t +)(t y f =2e -t +cos2t y 2(t)= x y )(t +)(t y f = e -t +2cos2t 联解得 )(t y f = -e -t +cos2t x y )(t = 3e -t 故得当输入激励为4f(t)时的全响应为 y(t)= x y )(t +4)(t y f =3e -t +4[-e -t +cos2t]= -e -t +4cos2t t>0 2.如图2.1（a ）所示电路，激励f(t)的波形如图2.1(b)所示。试求零状态响应)(t u c ，并画出波形。 解 该电路的微分方程为 )(22 t f u dt u d c c =+ 即 ()1(2t f u p c =+ 转移算子为 1 1)(2 +=p p H 故得单位冲激响应为 )(sin )(t tU t h = 故得 ?∞ -'==t c d U t f t h t f t u τττ)(sin *)()(*)()( =?--t d t t 0 sin *)]6()([ττπδδ =t t t 0]cos [*)]6()([τπδδ--- =)(]cos 1[*)]6()([t U t t t ---πδδ 第23专题训练 恒成立问题——数形结合法 一、基础知识: 1、函数的不等关系与图像特征: (1)若x D ?∈,均有()()()f x g x f x ?的图像始终在()g x 的上方 2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等 4、作图时可“先静再动”,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数的不同取值而发生变化) 5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点: (1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 (2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义 (3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题: 例1:已知不等式()2 1log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是_________ 思路:本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出()2 1y x =-的图像,观察图像可得: 若要使不等式成立,则log a y x =的图像应在() 2 1y x =- 的上方,所以应为单增的对数函数,即1a >,另一方面,观察图像可得:若要保证在()1,2x ∈时不等式成立,只需保证在 2x =时, () 2 1log a x x -<即可,代入2x =可 得:1log 22a a ≤?≤,综上可得:12a <≤ 答案:12a <≤ 小专题训练有话说:(1)通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性,进而缩小了参数讨论的取值范围。 (2)学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的2x =) 试题一 一． 选择题（共10题，20分） 1、n j n j e e n x )3 4( )3 2(][ππ+=，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期3=N C.周期8/3=N D. 周期24=N 2、一连续时间系统y(t)= x(sint)，该系统是 。 A.因果时不变 B.因果时变 C.非因果时不变 D.非因果时变 3、一连续时间LTI 系统的单位冲激响应)2() (4-=-t u e t h t ，该 系统是 。 A.因果稳定 B.因果不稳定 C.非因果稳定 D. 非因果不稳定 4、若周期信号x[n]是实信号和奇信号，则其傅立叶级数系数a k 是 。 A.实且偶 B.实且为奇 C.纯虚且偶 D. 纯虚且奇 5、一信号x(t)的傅立叶变换?? ?><=2||02||1)(ωωω， ， j X ，则x(t)为 。 A. t t 22sin B. t t π2sin C. t t 44sin D. t t π4sin 6、一周期信号∑∞ -∞ =-= n n t t x )5()(δ，其傅立叶变换 ) (ωj X 为 。 A. ∑∞-∞ =- k k ) 5 2(5 2πωδπ B. ∑∞ -∞ =- k k )5 2(25 πωδπ C. ∑∞ -∞ =-k k )10(10πωδπ D. ∑∞ -∞ =-k k )10(101 πωδπ 7、一实信号x[n]的傅立叶变换为)(ω j e X ，则x[n]奇部的傅立叶变 换为 。 A. )}(Re{ωj e X j B. )}(Re{ωj e X C. )}(Im{ωj e X j D. )}(Im{ωj e X 8、一信号x(t)的最高频率为500Hz ，则利用冲激串采样得到的采样信号x(nT)能唯一表示出原信号的最大采样周期为 。 A. 500 B. 1000 C. 0.05 D. 0.001 9、一信号x(t)的有理拉普拉斯共有两个极点s=－3和s=－5，若 ) ()(4t x e t g t =，其傅立叶变换 ) (ωj G 收敛，则x(t) 是 。 A. 左边 B. 右边 C. 双边 D. 不确定 10、一系统函数1}Re{1 )(->+=s s e s H s ，，该系统是 。 A. 因果稳定 B. 因果不稳定 C. 非因果稳定 D. 非因果不稳定 二． 简答题（共6题，40分） 1、 （10分）下列系统是否是（1）无记忆；（2）时不变；（3）线性； （4）因果；（5）稳定，并说明理由。 （1） y(t)=x(t)sin(2t)； （2）y(n)= ) (n x e 2、 （8分）求以下两个信号的卷积。 ?? ?<<=值 其余t T t t x 0 01)(， ?? ?<<=值 其余t T t t t h 0 20)( 3、 (共12分，每小题4分)已知)()(ωj X t x ?，求下列信号的傅里叶变换。 （1）tx(2t) （2） (1-t)x(1-t) （3）dt t dx t ) ( 4. 求 2 2)(22++=-s s e s s F s 的拉氏逆变换（5分） 5、已知信号sin 4(),t f t t t ππ=-∞<<∞，当对该信号取样时，试求 能恢复原信号的最大抽样周期T max 。（5分） ，求系统的响应。 ）若（应；）求系统的单位冲激响（下列微分方程表征： 系统的输入和输出，由分）一因果三、（共)()(21) (2)(15) (8)(LTI 1042 2t u e t x t x t y dt t dy dt t dy t -==++ 四、（10分）求周期矩形脉冲信号的傅立叶级数（指数形式），并大概画出其频谱图。 不是因果的。 ）系统既不是稳定的又（）系统是因果的； （系统是稳定的；系统的单位冲激响应）求下列每一种情况下（的零极点图；，并画出）求该系统的系统函数（下列微分方程表征：系统的输入和输出，由分）一连续时间五、（共c b a t h s H s H t x t y dt t dy dt t dy )() (2)()(1)()(2) ()(LTI 202 2=-- 试题二 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案， 其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 A ）f 1(k)*f 2(k) Bf 1(k)*f 2(k-8) C ）f 1(k)*f 2(k+8) D)f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分dt t t ?∞ ∞--+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25 （B ）2.5 （C ）3 （D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 αω ωδα+=+==-s e L s s t L t L t 1 ][)][cos(1)]([2 2；；t t t Sa j F t u e t f t sin )(1 )()()(= +=?=-； 注：ωαωα 数学知识点总结 七年级上 第二章 有理数 1．相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a 的相反数是—a 。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加 一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－4 《信号与系统》练习题 1、线性性质包含两个内容： 和 。（可加性、齐次性） 2、线性时不变（LTI ）连续系统的数学模型是线性常系数 方程。（微分） 线性时不变（LTI ）离散系统的数学模型是线性常系数 方程。（差分） 3、线性时不变系统具有 、 和 。（微分特性、积分特性、频率保持性。） 4、连续系统的基本分析方法有： 分析法， 分析法和 分析法。（时域、频域、复频域或s 域） 系统依处理的信号形式，可以分为三大类：连续系统、离散系统和混合系统。 5、周期信号频谱的特点是 、 、 。（离散性、谐波性、收敛性） 6、（1）LTI 连续系统稳定的充要条件是 。（ ∞ 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)( a （a ≥0）；（2 ；（3） ?? ? ??<=>==)0___()0___() 0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?=≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项 系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根 的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=， 当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有22 2)(2b x b bx x ±=+±． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 高中数学专题练习-存在与恒成立问题 [题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究. 常考题型精析 题型一恒成立问题 例1(·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a). (1)求g(a)； (2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4. 点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值. 变式训练1(·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围. 题型二存在性问题 例2(·辽宁)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－8 3(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)·ln(3－2x π). 证明：(1)存在唯一x0∈(0，π 2)，使f(x0)＝0； (2)存在唯一x1∈(π 2，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π. 点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题. 变式训练2(·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R). (1)当b＝a2 4＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式； (2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围. 华师大版初中数学知 识点总结 华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。 高中数学不等式的恒成立问题 不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结 合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式： 一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取 值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解 决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构 造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构 造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量 的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目 更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例 1已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相 的似，于是我们可以设则不等式对满足 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式） 能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的 最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数 . 都有在上恒成立，求实数的（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数 取值范围 . 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧 看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 3已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是. 七年级数学下期期末复习提纲 第六章 一元一次方程 一、基本概念 （一）方程的变形法则 法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。 例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。 在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x ，得到新方程：8x=-6。 移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意 移项要变号。 例如：(1)将方程x －5＝7移项得：x ＝7+5即 x ＝12 (2)将方程4x ＝3x －4移项得：4x －3x ＝－4即 x ＝－4 法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。 例如： (1)将方程－5x ＝2两边都除以-5得：x=-5 2 (2)将方程32 x ＝1 3 两边都乘以32得：x=9 2 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意： （1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数 为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。 （2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。 求不方程的解的过程，叫做解方程。 （二）一元一次方程的概念及其解法 1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做 一元一次方程。 例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。 而这些方程5x 2－3x+1＝0、2x+y ＝l －3y 、1x-1 ＝5就不是一元一次方程。 2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a 、b 为常数，且a ≠0） 一元一次方程的一般式为：ax=b （其中a 、b 为常数，且a ≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括 号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。 （2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分 母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母） （三）一元一次方程的应用 1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的 应用；（4）公式变形等。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面 积问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。 第七章 二元一次方程组 一、基本概念 （一）二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程的定义：都含有个未知数，并且的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元 一次方程。 一般形式为：ax+by=c （a 、b 、c 为常数，且a 、b 均不为0） 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数” 相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。 例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。 而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z 、m 2=n 等都不是二元一次方程。 2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 例如：???-=+=-8532y x y x 、???=--=+12337b a b a 、???=-=+12n m n m 、? ??-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。 第 1 页 共 3 页 高中数学存在性问题与恒成立问题 例1、若不等式 121x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 例2、设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ??--+ ???≤恒成立，则 实数m 的取值范围是 ． 例3、若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ． 18a >- C ．18a > D ．0a < 例4、已知不等式()11112log 1122123a a n n n +++>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立， 试求实数a 的取值范围. 例5、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 例6、2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 例7、若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 例8、不等式210x ax ++≥对一切102x ??∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3- 例9、不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，， B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞，， 信号与系统 考试方式：闭卷 考试题型：1、简答题（5个小题），占30分；计算题（7个大题），占70分。 一、简答题： 1．dt t df t f x e t y t ) ()()0()(+=-其中x(0)是初始状态， 为全响应，为激励，)()(t y t f 试回答该系统是否是线性的？[答案：非线性] 2．)()(sin )('t f t ty t y =+试判断该微分方程表示的系统是线性的还是非线性的，是时 变的还是非时变的？[答案：线性时变的] 3．已知有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对)3(*)2(t f t f 进行时域取样， 求最小取样频率s f =？[答案：400s f Hz =] 4．简述无失真传输的理想条件。[答案：系统的幅频特性为一常数，而相频特性为通过原点的直线] 5．求[]?∞ ∞ --+dt t t e t )()('2δδ的值。[答案：3] 6．已知)()(ωj F t f ?，求信号)52(-t f 的傅立叶变换。 [答案：521(25)()22 j f t e F j ωω --?] 7．已知)(t f 的波形图如图所示，画出)2()2(t t f --ε的波形。 [答案： ] 8．已知线性时不变系统，当输入)()()(3t e e t x t t ε--+=时，其零状态响应为 )()22()(4t e e t y t t ε--+=，求系统的频率响应。[答案：()) 4)(2(52)3(++++ωωωωj j j j ] 9．求象函数2 ) 1(3 2)(++=s s s F ,的初值)0(+f 和终值)(∞f 。 [答案：)0(+f =2，0)(=∞f ] 10．若LTI 离散系统的阶跃响应为)(k g ，求其单位序列响应。 其中：)()2 1 ()(k k g k ε=。 [答案：1111 ()()(1)()()()(1)()()(1)222 k k k h k g k g k k k k k εεδε-=--=--=--] 11．已知()1 1 , 0,1,20 , k f k else ==??? ，()2 1 , 0,1,2,3 0 , k k f k else -==??? 设()()()12f k f k f k =*，求()3?f =。[答案：3] 12．描述某离散系统的差分方程为()()()122()y k y k y k f k +---= 求该系统的单位序列响应()h k 。[答案：21()[(2)]()33 k h k k ε=-+] 13．已知函数()f t 的单边拉普拉斯变换为()1 s F s s =+，求函数()()233t y t e f t -=的单边拉普 拉斯变换。[答案：()2 5 Y s s s = ++] 14．已知()()12f t f t 、的波形如下图，求()()()12f t f t f t =*（可直接画出图形）信号与系统期末考试试题(有答案的)
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