《数列》练习题
姓名_________班级___________
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( )
A ．112
B ．12 2
C ．13 2
D ．142
2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *
)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )
A ．33个
B ．65个
C ．66个
D ．129个
4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) ,
5．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1
2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )
A ．[12，2)
B ．[12，2]
C ．[12，1)
D ．[12，1]
6．小正方形按照如图所示的规律排列：
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．①
7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －3
3a n ＋1
(n ∈N *)，则a 20＝( )
A ．0
B ．－ 3
8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ
3n }为等差数列的 【
实数λ＝( )
A ．2
B ．5
C ．－1
2
9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( ) A ．S 17 B ．S 18 C ．S 19
D ．S 20
10．将数列{3n －
1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )
A ．34 950
B ．35 000
C ．35 010
D ．35 050
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 11．设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S ＝72，则a ＋a ＋a ＝________.
12．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.
?
13．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3
2a n －3，则数列{a n }的通项公式是________． 14．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝_________________ 三、解答题(本大题共5个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（6分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，求数列{1
a n a n ＋1}的前100项和。
$
16．(本小题满分8分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
!
17．(本小题满分8分)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3} {－4，－3，－2,0，1,2,3,4}．
(1)求数列{a n}的通项公式；/
(2)当b n＝1(1)
2
n
--
a n时，求证：b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1<
16
3.
，
18．(本小题满分8分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.
"
(
19．(本小题满分10分)已知单调递增的等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中
项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝n n a log a 2
1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取
值范围．
&
~
参考答案 选择题答案
\
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^
10
答案
C
A
B
C
C
C
B
C
—
C
A
填空题答案
第11题 24
第12题 (1)
12
n n ++ 第13题 &
a n ＝2·3n
第14题
-7
【第15题】S 5＝5
a 1＋a 52
＝5
a 1＋52＝15，∴a 1
＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－1
5－1
＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴
1a n a n ＋1＝
1
n n ＋1
.设{1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n ，
则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100
101. 【第16题】(1)设{a n }的公差为d .
由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2
＝a 1(a 1＋12d )．
于是d (2a 1＋25d )＝0. %
又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n
2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 【第17题】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．
又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1
＝24＝1
2.
∴a n ＝a 1q n －
1＝82n .
(2)由已知得b n ＝12
]
)1(1[8+--n n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .
即b n ＝
?
????
0，n ＝2k ，k ∈N
*，a n ，n ＝2k －1，k ∈N *.
∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1
＝4
11]
)41(1[4--n ＝163[1－(14)n ]<163. 【第18题】（1）a n ＝(1
2)n ; (2)b n ＝3＋log 4(12)n ＝3－n 2＝6－n 2. 当n ≤6时，b n ≥0， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4
)
11(n n -； 当n >6时，b n <0，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n ) ＝6×54－ [(n －6)(－12)＋2)7)(6(--n n ·(－12)]
＝n 2－11n ＋604
. 综上，T n ＝??
???≥+-≤-)
7(,46011)6(,4)
11(2n n n n n n
【第19题】(1)n
n 2a =
(2)∵b n ＝2n ·log12 2n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①
－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋
1.② ①－②，得S n
＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋
1＝
2
1)21(2--n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋
1－2.
∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋
1－n ·2n ＋
1－2＋n ·2n ＋
1＋m ·2n ＋
1<0对任意正整数n 恒成立．
∴m ·2n ＋
1<2－2n
＋1
对任意正整数n 恒成立，即m <1
2n －1恒成立．
∵1
－1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．