相交线
1.（2017甘肃庆阳）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（ ） A ．115° B ．120°
C ．135°
D ．145°
2. （2017贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．20°
D ．15°
3.（2017江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．
4. （2017郴州第8题）小明把一副的直角三角板如图摆放，其中
，则等于 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三角形的概念
1. （2017甘肃庆阳第8题） 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ） A ．2a+2b-2c B ．2a+2b
C ．2c
D ．0
13.（2017浙江嘉兴第2题）长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
2. （2017河池第9题）三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分是（） A ．中线 B ．角平分线 C.高 D ．中位线
3.(2017天津第9题)如图，将ABC ?绕点B 顺时针旋转0
60得DBE ?，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（ ）
A ．E ABD ∠=∠
B ．
C CBE ∠=∠ C. BC A
D // D ．BC AD =
4.（2017四川泸州第16题）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB
上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．
45,3000090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=αβ∠+∠0
1800
21003600
270
5.（2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC ； ②AC 与BD 相互平分；
③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角； ④四边形ABCD 的面积S=
1
2
AC?BD． 正确的是 （填写所有正确结论的序号）
6. （2017湖北咸宁第16题）如图，在中，，斜边的两个端点分别在
相互垂直的射线上滑动，下列结论： ①若两点关于对称，则； ②两点距离的最大值为； ③若平分，则； ④斜边的中点运动路径的长为. 其中正确的是 ．
7．（2017山东省枣庄市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 全等三角形
1.（2017湖北武汉第15题）如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE 的长为 ．
2. （2017湖北咸宁第18题） 如图，点在一条直线上，
⑴求证：；
ACB Rt ?
30,2=∠=BAC BC AB ON OM ,O C 、AB 32=OA O C 、4AB CO CO AB ⊥AB D 2
π
1
2
F C E B ,,,FC BE DE AC DF AB ===,,DFE ABC ??
?
⑵连接，求证：四边形是平行四边形.
3.（2017湖北武汉第18题）如图，点,,,C F E B 在一条直线上，
CFD BEA ∠=∠，,CE BF DF AE ==．写出CD 与AB 之间的关系，并
证明你的结论．
4.（2017重庆A 卷）在△ABC 中，∠ABM=45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ． （1）如图1，若
BC=5，求AC 的长；
（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是△ABC 外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF=∠CEF ．
5. (2017山东滨州第11题)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠
MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：
（1）PM ＝PN 恒成立，（2）OM ＋ON 的值不变，（3）四边形PMON 的面积不变，（4）
MN 的长不变，其中正确的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．（2017四川省绵阳市）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点
O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC =
AEO =120°，则FC
的长度为（
）
A ．1
B ．2 C
D 7．（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG
边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE =DG ；②BE ⊥DG ；③
，其中正确结论是 （填序号）
BD AF ,ABDF 222222DE BG a b +=+P
A O
N
B
M
直角三角形
1. (2017江苏宿迁第12题)如图，在C ?AB 中，C 90∠A B =，点D 、E 、F 分别是AB 、
C B 、C A 的中点．若C
D 2=，则线段F
E 的长是 ．
2.（2017广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠= ，将ABC ?绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ?是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若
230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是 （ ）
A ．4
B ．3 C.2 D ．1 3.（2017江苏无锡第10题）如图，△AB
C 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点
D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连C
E ，则线段CE 的长等于（ ） A ．2
B ．
C ．
D ． 4.（2017甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．
5.（2017贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．
6．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于
BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
54537
5
1
2
A ．0.7米
B ．1.5米
C ．2.2米
D ．2.4米
8．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9. （2017辽宁大连第8题）如图，在中，
，，垂足为，点是的中点，，则的长为（ ） A ． B ． C. D ．
●10. （2017黑龙江绥化第20题）在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为 ．
11．（2017年贵州省毕节地区第15题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE+EF 的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．6
等腰三角形
1.（2017湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=，以ABC ?的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ?的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A ．4
B ．5
C ． 6
D ．7
2. （2017年湖北省荆州市第6题）如图，在△ABC 中，AB=AC , ∠A =30°，AB
的垂直平分
()2
21a b +=ABC ?090=∠ACB AB CD ⊥D E AB a DE CD ==AB a 2a 22a 3a 3
3
4ABC ?AD BC ⊥BC D 1
2
AD BC =
ABC ?40315
4
24
5
线交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为（ ）
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
3.(2017山东滨州第8题)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为（ ）
A ．40°
B ．36°
C ．80°
D ．25°
4.(2017北京第19题)如图，在ABC ?中，0
,36AB AC A =∠=，
BD 平分ABC ∠交AC 于点D .
求证：AD BC =.
5. （2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，
长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．
B ． C. D ．
6．（2017浙江省绍兴市）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF =∠AFC ，∠FAE =∠FEA ．若∠ACB =21°，则∠ECD 的度数是（ ）
A ．7°
B ．21°
C ．23°
D ．24°
7. （2017海南第13题）已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画
一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
8. (2017福建第19题)如图，中，，垂足
为．求作的平分线，分别交于，两点；并证明
．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
9．（2017山东省枣庄市）在矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，
l ,ABC AB AC =B BC AC E AE EC =AE BE =EBC BAC ∠=∠EBC ABE ∠=∠ABC ?90,BAC AD BC ∠=⊥o
D ABC ∠,AD AD P Q AP AQ
= A
B C
D
∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，若AB =9，DF =2FC ，则BC = ．（结果保留根号）
10. （2017江苏苏州第24题）（本题满分8分）如图，∠A =∠B ，AE =BE ，点D 在C A 边上，12∠=∠，
AE 和D B 相交于点O ．
（1）求证：C ?AE ≌D ?BE ； （2）若142∠=，求D ∠B E 的度数．
11．（2017四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、
F ．
（1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；
（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．
12．（2017浙江省绍兴市）已知△ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD =AE ，设∠BAD =α，∠CDE =β．
（1）如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上．
①如果∠ABC =60°，∠ADE =70°， 那么α=_______，β=_______． ②求α、β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由．
13. （2017贵州遵义第12题）如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AD 交AC 于F ．若AB=11，AC=15，则FC 的长为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
等边三角形
1. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，
ABC ?12D AB D AC DE ⊥E
过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（） A ． B ． C. D ．
2.（2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC ?的内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，则sin 'PAP ∠的值为 ．
3.（2017江苏徐州第25题）如图，已知，垂足为
，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线
段，连接. （1）线段 ； （2）求线段的长度.
4. （2017湖南常德第14题）如图，已知Rt △ABE 中∠A =90°，∠B =60°，BE =10，
D 是线段A
E 上的一动点，过D 作CD 交BE 于C ，并使得∠CDE =30°，则CD 长度的
取值范围是 ．
5. （2017年山东省威海市第18题）如图，为等边三角形，，若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 .
6.（2017山东烟台第23题）【操作发现】
（1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角
边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连
接，. ①求的度数；
②与相等吗？请说明理由； 【类比探究】
（2）如图2，为等腰直角三角形，
，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针
E BC E
F ⊥F F AB F
G ⊥G G D AD 3489AC BC
⊥,4,C AC BC ==AC A 60AD ,DC DB DC =DB ABC ?2=AB P ABC ?ACP PAB ∠=∠PB ABC ?0
60ACB ∠C 0
0030AB D F CD CF =AB E 0
30=∠DCE AF EF EAF ∠DE EF ABC ?090=∠ACB 090ACB ∠
C
方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上
取一点，使，线段上取点，使，连接，.请直接写出探究结果：
①的度数；
②线段之间的数量关系.
等腰直角三角形
1. （2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．
2. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三
角形的直角边在
轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
3. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为 ．
4. （2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
●5. (2017北京第28题)在等腰直角ABC ?中，0
90ACB ∠=，P
000
45AB D F CD CF =AB E 0
45=∠DCE AF EF EAF ∠DB ED AE ,,1OB =OB 1A BO 1OA 21A AO n OA 12OA A 1OA y 1121OA A A ==2OA 23OA A 3OA 20172018OA A 2017A
n
是线段BC 上一动点（与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作
QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M .
（1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.
6. （2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF ． ①求证：△DAE ≌△DCF ； ②求证：△ABG ∽△CFG ．
7. （2017黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在中，于，
，，，分别是，的中点．
（1）求证：，； （2）连接，若，求的长． 相似三角形
1.（2017四川自贡第14题）在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为 ．
12．（2017年浙江省杭州市第3题）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.（2017山东临沂第16题）已知AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O .若
2
3
BO OC =，10AD =，则AO = ．
ABC ?AD BC ⊥D BD AD =DG DC =E F BG AC DE DF =DE DF ⊥EF 10AC =EF 12AD AB =12AE EC =1
2AD EC =1
2
DE BC
=
4. （2017哈尔滨第9题）如图，在中，分别为边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是( ) A. B.
C.
D.
5.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ） A ．2
B ．
C ．
D ．
6.（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，位似中心点是O ，35OE OA =，则FG
BC
= .
7. （2017黑龙江绥化第6题）如图， 是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. （2017浙江湖州第6题）如图，已知在中，，，，点是的重心，则点到所在直线的距离等于（ ）
A ． B
C. D ．
9
．
（2017
四川省绵阳市）如图，直角△ABC 中，∠B =30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连
ABC △,D E ,AB AC DE BC ∥F BC AF DE E AD AE
AB EC
=AC AE
GF BD
=BD CE
AD AE
=AG AC
AF EC
=545375
A B C '''?ABC ?O A B C '''?ABC ?4:9:OB OB '2:33:24:54:9Rt C ?AB C 90∠=C C A =B 6AB =P Rt C ?AB P AB 13
2
2
接AF 交CE 于点M ，则
的值为（ ） A ．
B
C ．
D 10. （2017年山东省泰安市第14题）如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A ．18
B ．
C. D ． 11. （2017年山东省潍坊市第15题）如图，在中，，分别为边、AC 上的点，，,点为
边上一点，添加一
个条件
:
，可以使得与相似.（只需写出一个）
12．（2017年浙江省杭州市第15题）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 ．
13．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为 ．
15. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三
MO
MF
1223ABCD M BC ME AM ⊥ME AD E 12AB =5BM =DE 109596525
3
ABC ?AC AB ≠E D 、AB AD AC 3=AE AB 3=F BC FDB ?ADE ?
角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为 ．
16. (2017江苏宿迁第24题)（本题满分8分）
如图，在C ?AB 中，C AB =A ，点E 在边C B 上移动（点E 不与点B 、C 重合），满足D F ∠E =∠B ，且点D 、F 分别在边AB 、C A 上． （1）求证：D C F ?B E ?E ∽；
（2）当点E 移动到C B 的中点时，求证：F E 平分DFC ∠．
●17．（2017重庆市B 卷）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点E 是AC 上一点，连接BE ．
（1）如图1，若AB =，BE =5，求AE 的长；
（2）如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF ，当AF =DF 时，求证：
DC =BC ．
18. （2017湖南株洲第10题）如图示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point ）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A ．L ．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ） A ．5
B ．4
C ．
．
●
19.
（2017湖南常德第26题）如图，直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF ⊥AD 分别交AD 于E ，AC 于F ．
（1）如图1，若BD =BA ，求证：△ABE ≌△DBE ；
CD ABC ?ACD ?CBD ?ABC ?46A ∠=?ACB ∠
（2）如图2，若BD =4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM =2MC ；②AG 2
=AF ?AC ．
20．（2017年山东省东营市第24题）如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
21. （2017年山东省泰安市第27题）如图，四边形中， ，
平分，点是延长线上一点，且
．
（1）证明：；
（2）若与相交于点，，
，求
的长.
22．（2017年浙江省杭州市第19题）如图，在锐
角三角形ABC 中，
点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC ． （1）求证：△ADE ∽△ABC ； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 综合探究
1.（2017浙江衢州第23题）问题背景
如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。 类比研究
如图2，在正△ABC 的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点（D ，E ，F 三点不重合）。
（1）△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； （2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由；
ABCD AB AC AD ==AC BAD ∠P AC PD AD ⊥BDC PDC ∠=∠AC BD E 1AB =:23CE CP =：AE AF
AG
（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，
，满足的等量关系。
2. （2017郴州第26题）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长； 若不存在，请说明理由.
（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
3. (2017河南第22题)如图1，在R t A B C ?中，90A ∠=?，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，
AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.
a BD =
b AD =
c AB =a b
c ABC ?4cm AB OM 6OA cm =D O OM 1/cm s D A ACD ?C 0
60BCE ?
DE CDE ?610t < t （1）观察猜想 图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明 把ADE ?绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ?的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把ADE ?绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ?面积的最大值. 4. （2017山东临沂第25题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，若ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=?，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得 ABE ADC ≌V V ，从而容易证明ACE V 是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+. 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC V 绕着点A 逆时针旋转60?，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF V 是等比三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+. 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=?”改为“ACB ACD ∠=∠= 45ABD ADB ∠=∠=?”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖 提出的问题，请你写出结论，并给出证明. （2）小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=?”改为“ACB ACD ∠=∠= ABD ADB α∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提 出的问题，请你写出结论，不用证明. 三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( ) A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF. 2018年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ???-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用 基础知识反馈卡·3.1 时间：15分钟 满分：50分 一、选择题(每小题4分，共20分) 1．点M (－2,1)关于y 轴对称的点的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 2．在平面直角坐标系中，点M (2，－3)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如果点P (a,2)在第二象限，那么点Q (－3，a )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．点M (－3,2)到y 轴的距离是( ) A ．3 B ．2 C ．3或2 D ．－3 5．将点A (2,1)向左．． 平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是( ) A ．(2,3) B ．(2，－1) C ．(4,1) D ．(0,1) 二、填空题(每小题4分，共16分) 6．已知函数y ＝2x ，当x ＝2时，y 的值是________． 7．如果点P (2，y )在第四象限，那么y 的取值范围是________． 8．小明用50元钱去购买单价为5元的某种商品，他剩余的钱y (单位：元)与购买这种商品的件数x (单位：件)之间的关系式为__________________． 9．如图J3－1－1，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标 原点重合，若A点的坐标为(－1,0)，则点E的坐标为________． 图J3－1－1 答题卡 8．________________ 9.________________ 三、解答题(共14分) 10．在图J3－1－2的平面直角坐标系中，描出点A(0,3)，B(1，－3)，C(3，－5)，D(－3，－5)，E(3,2)，并回答下列问题： (1)点A到原点O的距离是多少？ (2)将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与哪个点重合？ (3)点B分别到x、y轴的距离是多少？ (4)连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？ 图J3－1－2 《等腰三角形》经典题型拓展与提高专训 1. 如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数. 2. 如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC. 3.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF 4. 如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AB=AC,E,F分别为AC,BC的中点,连接EF,ED,FD. (1)求证:ED=EF. (2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=6,求DF的长. 5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点,点E在AB上,∠AED=70°,若点P 是等腰三角形ABC的腰上的一点,则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时,求∠EDP的度数. 6. 如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD, DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE的中点. 7. 如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD， 求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD. 7. 8.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB. 9.如图1,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以AC,AB为边分别向形外作等边三角形ACD,ABF,连接CF,BD. (1)求证:CF=BD; (2)如图2,若∠BAC=30°,点H为AC的中点,连接FH,BH,DH,请直接写出与△ABC全等的所有三角形. 中考复习回归课本 数学基本知识点 一、实数 考点一、实数的概念及分类 1、 实数的分类：实数包括有理数和 ____________ . 2、 无理数 归纳起来有三类： ；3 - （1） 开方开不尽的数，如-.7， -，3 9等； 2 （2） 有特定意义的数，如圆周率 n, n 等； - （3） 有特定结构的数，如 0.1010010001…等； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为 _________ ，零的相反数是 _，从数轴上看，互为相反数 的两个数所对应的点关于 _______ 对称，如果a 与b 互为相反数，则有a - b = 0 ,a = — b , 反之亦成立. 2、 绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的 __________ ,为.零的绝对值是它本身，也可 看成它的相反数，若=a ，则&为；若=—a ，则a _________ 0.正数大于零，负数小于零，正 数大于一切，两个负数，绝对值大的反而 . -、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有 _______ = 1,反之亦成立. 倒数等于本身的数是 ______ 和 _____ , ______ 没有倒数. 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于 a ,那么这个数就叫做a 的 ____________ （或二次方跟）. 一个正数有两个平方根，他们互为 _________ ;零的平方根是 —； __________ 没有平方根.正 数a 的平方根记做“ _、a ” . 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的 ____________ ，记作“ a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零 -、立方根 如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的 ___________ （或a 的三次方根） 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零 . 护TXT 爲）；注意皿双重非负性: Ya 工0 a _0 分式、选择题（每题3分，共30 分） 2 1?分式有意义，则x的取值范围是（ x 1 A. x 丰 1 B. x=1 C. x -1 D. x=- 1 【答案】A 2.下列各式: A. 1个 B. 2个【答案】C 3.如果把分式 A.不变 B. 【答案】B y中，是分式的共有（ C. 3个 D. 4个 3n2 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值 m n 扩大3倍C.缩小3倍 D.扩大9倍 4.下列算式中，你认为正确的是（ b A. abba b a B. 1 * .- a b C. 3a 1- 3a D.—— a 【答 案】 D 5.化简： 3a-41 (a+(1- ) a-3a-2 a-2 A. a - 2 B. a+2 C. a-3【答 案】 B 6.下列计算正确的是, ( ) 2 b3b53b A.2 B. 2a2a2a D. 2 【答案】C 的结果等于 a-3 a-2 9b2 4a2 C. 2y 3x 8y3 27x D. 3x 9x2 ~2 2 x a x 7.分式- x m中，当m时，下列说法正确的是 A.分式的值为零 B. 分式无意义 C.若m 1时，分式的值为零 D.若m 1时, 分式的值为零【答案】C &分式 g的值为零，贝y x的值为（ x+1 A. - 1 B. 0 C. ± D. 1 【答案】D 9 ?若xy=x - y 工0则分式丄丄=( ) y x 1 A. B. y - x C. 1 D. - 1 xy 【答案】C 10. 下列式子 x (1) h x y 2 y 1 x (2)b a a b ( 3)1 a c b a a b 1 ( 4): y X y 中正确的是（ x y ） y c a A. 1 个 B 2个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 二、填空题（每题3分，共30分） 1 11.当x _____ 时，分式 ------- 有意义? x 5 【答案】 5 a 4 的值为零，那么 2a 4 【答案】-2 【答案】 14 .分式—,，丄 的最简公分母是 ______________________ xy 4x 6xyz 【答案】12x 3yz 15.化简: 【答案】x+y 16.计算: 2ab a b a a b a b 【答案】a. .2x 1 17 .式子 --------- 有意义的x 的取值范围是 ____________ x 1 12.分式 a 的值为 13.分式 m 2 2m 1 1 m 2 约分的结果是 2016年中考数学相似三角形专题复习（一） 一、填空题 1．下面图形中，相似的一组是___________. (1) (2) （1） （2） (3) (4) 2．若x ∶（x+1）=6∶9，则x= . 3．已知线段a 、b 、c 、d 成比例，且a=6，b=9， c=12，则d= 4．在比例尺为1：10000的地图上，量得两 点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际 距离是________米 5．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7．△ABC 的三边长分别为 2、10、3，△ C B A ''的两边长分别为1和5，若△ABC ∽△C B A ''， 则△C B A ''的第三条边长为 . 8．如图，△ABC ∽△CDB ，且AC ＝4，BC ＝3， 则BD ＝_________. 9．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，?则等腰三角形顶角为________度． 10．△ABC 的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ，周长是 . 二、选择题 11．已知4x －5y=0，则(x+y)∶(x －y)的值为（ ） A. 1∶9 B. －9 C. 9：1 D. －1∶9 12.已知，线段AB 上有三点C 、D 、E ，AB=8，AD=7，CD=4，AE=1，则比值不为1/2的线段比为（ ） A.AE ：EC B.EC ：CD C.CD ：AB D.CE ：CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图 、选择题 A. 13 C. 13 或 5 2. 三角形的角平分线、中线和高（ 克，CF 的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ 4. 到厶ABC 的三条边距离相等的点是厶 ABC 的是（ 5. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是 6. 如图，△ ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC 若/ DAB=20，/ DAC=30，则/ BDC 的大小是（ 三角形 1.若一个直角三角形的两边长为 12和 5,则第三边为 D. 15 A. 都是射线 B. 都是直线 C.都是线段 D. 都在三角形内 3. 小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知/ B=Z E , AB=DE BF=EC 其中框架厶ABC 的质量为840 A. 734 克 B. 946 克 C. 1052 克 D. 1574 克 A. 三条中线的交点， B. 三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A.两点之间线段最短 角都是直角 B.三角形的稳定性 C.两点确定一条直线 D.长方形的四个 B.13 或 A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 8. 已知在△DEF中，/ A=Z D=9C°，则下列条件中不能判定△DEF全等的是（） A. AB=DE AC=DF- B. AC=EF BC=DF - C. AB=DE BC=EF- D. / C=Z F , AC=DF 9. 若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10. 如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△ DMP 面积达到5cm2的时刻的个数是（） D C A 冠B A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 在厶ABC中，已知/ A=30°，/ B=70°,则/ C的度数是______________ 12. 将一副三角板如图叠放，则图中/ a的度数为________ ? 鲁教版2018中考数学专题复习 二次根式 1. 4 的平方根是（ ）A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 2.设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 3.实数a 化简后为 A ． 7 B ． －7 C ． 2a －15 D ． 无法确定 4.若0)3(12=++-+y y x ，则y x - 的值为 （ ）A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7 5. (-2)2 的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 6.下列运算正确的是（ ）A.25=±5 B.43-27=1 C.18÷2=9 D.24·3 2 =6 7.在实数0 、 2-中，最小的是（ ）A ．2- B ． C ．0 D 8. 12a -，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 9．下列各式中，正确的是（ ）A ． 3- B ．3- C 3± D 3± 10.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为A.9 B.±3 C.3 D. 5 11.计算75147-＋27之值为何（ ）A ．53 B ．33 C ．311 D ． 911 12.．计算 63125412 9? ÷之值为何（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．433 13. 8的立方根是（ ）A ．2 B ．-2 C ．3 D ．4 14.下列各式计算正确的是A ．2 ． 15.下面计算正确的是（ ） A.3 32 35 = D.2- 16.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞3 17． ）A ．3 B ．－3 C ．±3 D ． 18.计算221－63 1＋8的结果是（ ）A ．32－23 B ．5－ 2 C ．5－3 D ．22 19.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． ． 20. 已知y 2xy 的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 21.下列计算正确的是（ ） 4 22.已知a 、b 为两个连续的整数，且a b ，则a b += 23.计算：28-= 24. 当x =2 211x x x ---=____________．25. x 的取值范围是 ． 26. 实数x ，y 满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011 -y 2011 = ．27. 计算的结果是 ． 第2题图 2018年中考数学第一轮复习专题训练(九) （立体图形的认识及角、相交线与平行线） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） 1、32.43°＝＿＿＿度＿＿＿分＿＿＿秒。 ２、若∠1＝30°，则∠A 的补角是＿＿＿＿度。 ３、如图，∠1和∠2是直线AB 、AC 被BC 所截而成的＿＿＿＿角。 ４、如图，射线OA 表示的方向是＿＿＿＿＿＿＿。 ５、锯木头时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两 点弹出一条墨线，这种做法的理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿。 ６、如图，AC ⊥l 1，AB ⊥l 2，则点A 到直线 l 2 的距离是指线段＿＿＿＿＿＿＿＿的长度。 ７、如图，已知：AB ∥CD ，∠1＝∠2，若∠1＝50°，则∠3＝＿＿＿＿度。 ８、如图，将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD ＝127°，则∠BOC ＝＿＿＿＿。 ９、下面是一些相同的小正方体构成的几何体的三视 图。 则至少要＿＿＿＿个正方体搭成。 主视图 左视图 俯视图 10、如图，要得到AB ∥CD 的结论，则需要角相等的条件是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（写出一个即可） 11、直线 a ∥b ，则∠ACB ＝＿＿＿＿。 12、平面内有若干条直线，当下列情形时，可将平面最多分成几部分。 ① 有一条直线时，最多分成两部分。 ② 有两条直线时，最多分成 2＋2＝4 部分。 ③ 有三条直线时，最多分成＿＿＿＿部分。 二、选择题。（每题 4 分，共 24 分） 1、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ） A 、正方体 B 、三棱柱 C 、长方体 D 、圆锥 ２、两条直线被第三条直线所截，则（ ） A 、同位角相等 B 、同错角相等 C 、同旁内角互补 D 、无法确定 ３、在修建泉厦高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据（ ） A 、直线公理 B 、直线公理或线段最短公理 C 、线段最短公理 D 、平行公理 …………………………密……………………封……………………装……………………订………………学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿ A B C G D E F （第10题） A O D B C （第8题） A D E C ） ） ） 1 2 3 （第7题） ┘ ┘ A B C l 1 l 2 （第6题） ） ） 1 2 A B C （第3题） 东 南 西 A 北 ） 30° O （第4题） （第11题） a b A B 28° 50° C 中考数学专题复习 三角形 20XX 年10月22日伊智教育 例1、角平分线的性质 如图,将直角边AC=6cm,BC=8cm 的直角△ABC 纸片折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE, 则CD 等于( ) (A) 425 (B) 322 (C) 4 7 (D) 35 例2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。求证：MN ⊥DE C 堂上练习 1、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。 2、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF A(B) C D E F C B 3、过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点，若∠AOG ＝30o 求证：3OG=DC A 4、如图所示；过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接FC 、FD 。 求证：∠FDA=∠ FCB A 例3、三角形（梯形）中位线 (a)如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。(PM ＝6) (b)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。求证：MD ⊥MC 。 堂上练习 1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。 2、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。 3、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ） A 、4 cm B 、24cm C 、8cm D 、28cm 4、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、 20031 B 、20041 C 、200321 D 、20042 1 中考数学专题复习——探索规律 一、选择题 1.（2018年浙江省衢州市）32，3 3和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，3 6也能按此规律进行“分裂”，则3 6“分裂”出的奇数中最大的是( ) A 、41 B 、39 C 、31 D 、29 2．（2018湖南益阳）有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 A. 60n 厘米 B. 50n 厘米 C. (50n+10)厘米 D. (60n-10)厘米 3.(2018江苏宿迁)用边长为1的正方形覆盖33 的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( ) Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 4.（2018 四川 泸州）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm ，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（ ） A ．2 158cm B ．2 176cm C ．2 164cm D ．2 188cm 5.(2018 湖南 益阳)如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6.(2018 河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） 32 3 5 33 9 11 34 13 15 17 19 7 中考复习：三角形 【知识梳理】 1、三角形三边的关系；三角形的分类 2、三角形角和及外角和定理及推论； 3、三角形的高，中线，角平分线 4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】 方程思想，分类讨论等 一、 三角形的基本性质 1、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长 是（ ）A. 11B. 13C. 11或13D. 11和13 2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．5，6，10 B ．5，6，11 C ．3，4，8 D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 3、如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（ ） A.25° B. 30° C. 35° D. 40° 4、所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相 等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．A B 中点 B ．B C 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点 二、三角形有关的线段 （一）角平分线 1．（2016?枣庄）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ） A ．15° B ．17.5° C ．20° D ．22.5° A C 2、（2014威海）（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC 的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是 （） A． ∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55° 3、（2013）4分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q， ∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（） 4、如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为 A．4B．3C．2D．1 5、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=__________． 2017-2018九下数学教学进度及复习计划（2018-2） 课后5.1 平行四边 形及多边形 四边形证明四边形证明四边形证明 圆有关的计算周测：刘文源 7 （4.9-4 .13）课 上 7.1 视图与 投影 8.1 统计8.2 概率 二轮：运动型 问题（1） 二轮：运动型 问题（双动点） 主备：赵卫 国，刘文源课 后 一模综合题练习周测：渠海霞 8 （4.16-4.20）课 上 预计一模考试 预计一模考试预计一模考试 二轮：运动型 问题（动点+动 线） 二轮：运动型 问题（动点+动 面） 主备：郑朝 龙，赵静课 后 15专题+23， 24题 16专题+23， 24题 9 （4.23-4.27）课 上 二轮：立体图 形与平面图形 的转化 二轮：特殊平 行四边形的相 关证明添加条 件型 二轮：特殊平 行四边形的相 关证明探究结 论型 二轮：实物抛 物线型问题 二轮：销售问 题 主备：渠海 霞，周茜 课 后 填空选择模块、证明模块、代数模块练习 周测：赵连江 10 （4.30-5.4）课 上 二轮：二次式 的综合应用 二轮： 16+20+22代数 模块 二轮： 16+20+22代数 模块 二轮：阅读理 解问题：几何 问题代数解 二轮：阅读理 解问题：代数 问题几何解 主备：赵卫 国，刘文源 课 后 填空选择模块、证明模块、代数模块练习 周测：赵静 11 （5.7-5 .11）课 上 选择与填空选择与填空 小综合检测1小综合检测2小综合检测3 课 后 选择与填空讲 评 选择与填空讲 评 小综合检测1 讲评及改错 小综合检测2 讲评及改错 小综合检测3 讲评及改错 12 （5.14-5.18）中考二模及中考二模讲评学生查缺补漏 13 （5.21－25）大综合2套及讲评学生查缺补漏 14 （5.28－6.1）大综合2套及讲评学生查缺补漏 15 （6.4－ 6.8） 学生自悟。大综合1套、机动 数学 2018年中考一轮复习 目录 第一部分数与代数第一章数与式 第1讲实数83 第2讲代数式84 第3讲整式与分式85 第1课时整式85 第2课时因式分解86 第3课时分式87 第4讲二次根式89 第二章方程与不等式 第1讲方程与方程组90 第1课时一元一次方程与二元一次方程组90 第2课时分式方程91 第3课时一元二次方程93 第2讲不等式与不等式组94 第三章函数 第1讲函数与平面直角坐标系97 第2讲一次函数99 第3讲反比例函数101 第4讲二次函数103 第二部分空间与图形第四章三角形与四边形 第1讲相交线和平行线106 第2讲三角形108 第1课时三角形108 第2课时等腰三角形与直角三角形110 第3讲四边形与多边形112 第1课时多边形与平行四边形112 第2课时特殊的平行四边形114 第3课时梯形116 第五章圆 第1讲圆的基本性质118 第2讲与圆有关的位置关系120 第3讲与圆有关的计算122 第六章 图形与变换 第1讲 图形的轴对称、平移与旋转124 第2讲 视图与投影126 第3讲 尺规作图127 第4讲 图形的相似130 第5讲 解直角三角形132 第三部分 统计与概率 第七章 统计与概率 第1讲 统计135 第2讲 概率137 第一部分 数与代数 第一章 数与式 第1讲 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= -b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ”。 E C B F A D 1) 若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是___________． 2) 等腰三角形的底角为75°，顶角是 °，顶角的余弦值是 。 3) 如图，EF 是△ABC 的中位线，若BC ＝2 cm ，则EF______cm 。 4) 对角线长分别为6cm 和8cm 的菱形的边长为_____________cm . 5) 已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，那么下底长为______________cm . 6) 已知∠α与∠β互余，且∠α=15°，则∠β的补角为 度. 7) 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=Rt ∠，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE ，BC 的延长线相交于点F ，若AE=10，则S △ADE +S △CEF 的值是 . 8) △ABC 中，∠A ＝∠B ＋∠C ，则∠A ＝＿＿＿＿. 9) 在Rt ⊿ABC 中，?=∠90C ，如果AB = 6，21 sin =A ，那么BC = ________. 10) 在Rt ΔABC 中，∠C=900 ，AB=3，BC=1，以AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是 ； 11) 圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是 所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应是 . 12) 当图中的∠1和∠2满足 时，能使OA ⊥OB.（只需填上一个 条件即可） 13) 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长________ 14) 圆锥的底面圆的直径是6cm ，高为4cm ，那么这个圆锥侧面展开图的面积为 cm 2。（按四舍五入法，结果保留两个有效数字，π取 3.14） 15) 如图，在坡度1：2的山坡一种树。要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米； 16) 如图2，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 ＿元。 17) 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形图形分割成两个全等图形。 18) 在四边形ABCD 中，若分别给出四个条件：①AB ∥CD ，②AD =BC ，③∠A =∠C ，④AB =CD ．现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是________（只填序 号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 19) 不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） 1. AB=CD AD=BC B 、AB=CD AB ∥CD C 、AB=CD AD ∥BC D 、AB ∥CD AD ∥BC 20) 如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（ ）（A ）100°（B ）80°（C ）60°（D ）40° 21) 边长为a 的正六边形的边心距为（ ） 2 1A B O E B A C D 2017年中考数学应用题专题复习 1、整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题： （1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？ （2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？ 2、由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？ （2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ （3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？ 3、为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元． （1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ （2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 4、某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%． （1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ （2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？ （3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 5、我国西南五省市的部分地区发生严重旱灾，为鼓励节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，右图反映的是每月收取水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系. （1）小明家五月份用水8吨，应交水费______元； （2）按上述分段收费标准，小明家三、四月份分 2021中考数学三角形专题汇编 三角形 一、选择题 1. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是() 2. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是() A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 3. 如图所示，若∠1＋∠2＝300°，则∠3的度数是() A．30° B．150° C．120° D．60° 4. 如图，在∠ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB 的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为() A. 40° B. 45° C. 60° D. 70° 5. 如图，小明做了一个长方形框架,发现它很容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案() 6. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为() A.118° B.119° C.120° D.121° 7. 某木材市场上木棒规格与对应单价如下表: 规格 1 m2 m3 m 4 m 5 m 6 m 单价(元/根)101520253035 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场去购买一根木棒，则小明的爷爷至少带的钱数应为() A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 8. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有() A．1种B．2种 C．3种D．4种 二、填空题 9. 如图，在∠ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC 于点D，连接BD，则∠ABD＝________度． 10. 把一副三角尺如图所示拼在一起，那么图中∠ABF＝________°. 中考数学知识点顺口溜及三角形复习 2021年中考数学复习:三角形 1、“三线八角”：两条直线被第三条直线所截而成的八个角。其中， 同位角：位置相同，及同旁和同规; 内错角：内部，两旁; 同旁内角：内部，同旁。 2、平行线的判定方法： 1同位角相等，两直线平行 2内错角相等，两直线平行 3同旁内角互补，两直线平行 3、平行线的性质： 1两直线平行，同位角相等 2两直线平行，内错角相等 3两直线平行，同旁内角互补 4、三角形的分类： 1按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2按边分：等腰三角形、不等边三角形 5、三角形的性质： 1三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边 2三角形内角和为180o 3三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和 6、三角形中的主要线段： 1三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段 中位线性质：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 2三角形的中线、高线、角平分线都是线段 7、等腰三角形的性质和判定： 1等腰三角形的两个底角相等 2等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，简称三线合一 3有两个角相等的三角形是等腰三角形 8、等边三角形的性质和判定： 1等边三角形每个角都等于60o，同样具有三线合一的性质 2三个角相等的三角形是等边三角形;三边相等的三角形是等边三角形;一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形 9、直角三角形的性质和判定： 1直角三角形两个锐角和为90o互余 2直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半 3直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半 4勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 5勾股定理的逆定理：若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则这个 三角形是直角三角形 10、全等三角形： 1对应边相等，对应角相等的三角形叫全等三角形 2全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 【观察这五种方法发现，要证三角形全等，至少要有一组相等的边，因此在应用是要 养成先找边的习惯】 3全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角、面积、周长、对应高、对应中线、对应角平分线都相等 11、分析、证明几何题的常用方法： 1综合法由因导果：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理、定理的应用，逐步向前推进，知道问题解决中考数学专题复习三角形专题训练
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