一、第七章万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】ABC
【解析】
【分析】
【详解】
本题考查人造地球卫星的变轨问题以及圆周运动各量随半径的变化关
系．
2
2
v Mm
m G
r r
=，得
GM
v
r
=
的距离减小而增大，所以远地点的线速度比近地点的线速度小，v A v AⅡ 2 2 2Mm mr G T r π ?? = ? ?? ，得 23 4r T GM π = 心距离越大，周期越大，因此TⅡ 2．在太阳系外发现的某恒星a的质量为太阳系质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（） A．行星b的第一宇宙速度与地球相同 B．行星b绕恒星a运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度 C．如果将物体从地球搬到行星b上，其重力是在地球上重力的16 9 D．行星b与恒星a 2 73 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由 22Mm v G m R R = 得 v = M 是行星的质量，R 是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为 v v 行地：= 故A 错误； B ．行星b 绕恒星a 运行的周期小于地球绕太阳运行的周期；根据2T π ω= 可知，行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，选项B 正确； C ．由2 GM g R = ，则 2 216 9 M R g g M R =?=行地行地地行： 则如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的16 9 ，则C 正确； D ．由万有引力提供向心力： 2 224Mm G m R R T π= 得： R = 则 ab R R 日地则D 错误； 故选BC 。 3．如图所示为科学家模拟水星探测器进入水星表面绕行轨道的过程示意图，假设水星的半径为R ，探测器在距离水星表面高度为3R 的圆形轨道I 上做匀速圆周运动，运行的周期为T ，在到达轨道的P 点时变轨进入椭圆轨道II ，到达轨道II 的“近水星点”Q 时，再次变轨 进入近水星轨道Ⅲ绕水星做匀速圆周运动，从而实施对水星探测的任务，则下列说法正确的是（ ） A ．水星探测器在P 、Q 两点变轨的过程中速度均减小 B ．水星探测器在轨道II 上运行的周期小于T C ．水星探测器在轨道I 和轨道II 上稳定运行经过P 时加速度大小不相等 D ．若水星探测器在轨道II 上经过P 点时的速度大小为v P ，在轨道Ⅲ上做圆周运动的速度大小为v 3，则有v 3>v P 【答案】ABD 【解析】 【分析】 【详解】 AD ．在轨道I 上运行时 2 12 mv GMm r r = 而变轨后在轨道II 上通过P 点后，将做近心运动，因此 22P mv GMm r r > 则有 1P v v > 从轨道I 变轨到轨道II 应减速运动；而在轨道II 上通过Q 点后将做离心运动，因此 22Q mv GMm r r < '' 而在轨道III 上做匀速圆周运动，则有 23 2 =mv GMm r r '' 则有 3Q v v < 从轨道II 变轨到轨道III 同样也减速，A 正确； B ．根据开普勒第三定律 2T 由于轨道II 的半长轴小于轨道I 的半径，因此在轨道II 上的运动周期小于在轨道I 上运动的周期T ，B 正确； C ．根据牛顿第二定律 2 GMm ma r = 同一位置受力相同，因此加速度相同，C 错误； D ．根据 2 2mv GMm r r = 解得 v = 可知轨道半径越大运动速度越小，因此 31v v > 又 1P v v > 因此 3P v v > D 正确。 故选ABD 。 4．2020年5月24日，中国航天科技集团发文表示，我国正按计划推进火星探测工程，瞄准今年7月将火星探测器发射升空。假设探测器贴近火星地面做匀速圆周运动时，绕行周期为T ，已知火星半径为R ，万有引力常量为G ，由此可以估算（ ） A ．火星质量 B ．探测器质量 C ．火星第一宇宙速度 D ．火星平均密度 【答案】ACD 【解析】 【分析】 本题考查万有引力与航天，根据万有引力提供向心力进行分析。 【详解】 A ．由万有引力提供向心力 2 224Mm G m R R T π= 可求出火星的质量 2 GT 故A 正确； B ．只能求出中心天体的质量，不能求出探测器的质量，故B 错误； C ．由万有引力提供向心力，贴着火星表面运行的环绕速度即火星的第一宇宙速度，即有 22Mm v G m R R = 求得 2R v T π= = 故C 正确； D ．火星的平均密度为 23 2234343 R M GT V GT R ππρπ=== 故D 正确。 故选ACD 。 5．宇宙中有两颗孤立的中子星，它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L ，质量分别为1m 和2m ，引力常量为G ，则（ ） A ．双星中1m 的轨道半径2 112 m r L m m =+ B ．双星的运行周期) 22L T π = C ．1m 的线速度大小1v m = D ．若周期为T ，则总质量23 122 4L m m GT π+= 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】 A ．设行星转动的角速度为ω，周期为T ，如图： 对星球m 1，根据万有引力提供向心力可得 212 112 m m G m R L ω= 同理对星球m 2，有 2 12222 m m G m R L ω= 两式相除得 12 21 R m R m =（即轨道半径与质量成反比） 又因为 12L R R =+ 所以得 2 112m R L m m =+ 1 212 m R L m m = + 选项A 正确； B ．由上式得到 ()121G m m L L ω+= 因为2T π ω = ，所以 () 122L T L G m m π=+选项B 错误； C ．由2R v T π= 可得双星线速度为 () ()2 11211212222m L R G v m T L m m L L G m m π ππ===++ ( ) ()1 21221 1212222m L R m m G v m T L m m L L G m m π ππ+===++ 选项C 错误； D ．由前面() 122L T L G m m π=+得 23 122 4L m m GT π+= 选项D 正确。 故选AD 。 6．三颗人造卫星A 、B 、C 都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A 、C 为地球同步卫星，某时刻A 、B 相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T 1，B 的运行周期为T 2，则下列说法正确的是（ ） A ．C 加速可追上同一轨道上的A B ．经过时间 12 122() T T T T -，A 、B 相距最远 C ．A 、C 向心加速度大小相等，且小于B 的向心加速度 D ．在相同时间内，A 与地心连线扫过的面积大于B 与地心连线扫过的面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】 A ．卫星C 加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A 点，故A 错误； B ．卫星A 、B 由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得 B A t t ωωπ-= 其中 B B 2T πω= ，A A 2T π ω= 则经历的时间 12 122() TT t T T = - 故B 正确； C ．根据万有引力提供向心力，可得向心加速度 2 GM a r = 可知AC 的向心加速度大小相等，且小于B 的向心加速度，故C 正确； D ．绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间t 内扫过的面积 1 2 S vt r =? 由万有引力提供向心力，可知 2 2 GMm v m r r = 解得 122 t S vt r GMr =?= 可知，在相同时间内，A 与地心连线扫过的面积大于B 与地心连线扫过的面积，故D 正确。 故选BCD 。 7．同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为几百千米的近地圆形轨道Ⅲ上，如图所示，当卫星运动到圆形轨道Ⅲ上的B 点时，末级火箭点火工作，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的远地点恰好在地球赤道上空约36000km 处，当卫星到达远地点 A 时，再次开动发动机加速，使之进入同步轨道Ⅰ。关于同步卫星及发射过程，下列说法 正确的是（ ） A ．在 B 点火箭点火和A 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此卫星在轨道Ⅰ上运行的线速度大于在轨道Ⅲ上运行的线速度 B ．卫星在轨道Ⅱ上由A 点向B 点运行的过程中，速率不断增大 C ．所有地球同步卫星的运行轨道都相同 D ．同步卫星在圆形轨道运行时，卫星内的某一物体处于超重状态 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据变轨的原理知，在 B 点火箭点火和A 点开动发动机的目的都是使卫星加速； 当卫星做圆周运动时有 22Mm v G m r r = 解得 v = 可知卫星在轨道I 上运行的线速度小于在轨道Ⅲ上运行的线速度，故A 错误； B ．卫星在轨道Ⅱ上由A 点向B 点运行的过程中，万有引力做正功，动能增大，则速率不断增大，故B 正确； C ．所有的地球同步卫星的静止轨道都在赤道平面上，高度一定，所以运行轨道都相同，故C 正确； D ．同步卫星在圆形轨道运行时，卫星内的某一物体受到的万有引力完全提供向心力，物体处于失重状态，故D 错误。 故选BC 。 8．行星A 和行星B 是两个均匀球体，行星A 的卫星沿圆轨道运行的周期为T A ，行星B 的卫星沿圆轨道运行的周期为T B ，两卫星绕各自行星的近表面轨道运行，已知 :1:4A B T T =，行星A 、B 的半径之比为A B :1:2R R =，则（） A ．这两颗行星的质量之比A B :2:1m m = B ．这两颗行星表面的重力加速度之比:2:1A B g g = C ．这两颗行星的密度之比A B :16:1ρρ= D ．这两颗行星的同步卫星周期之比A B :T T =【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．人造地球卫星的万有引力充当向心力 2224Mm R G m R T π＝ 得 23 2 4R M GT π＝ 所以这两颗行星的质量之比为 32()116(2 811 )A A B B B A m R T m R T ??＝＝＝ 故A 正确； B ．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力 2Mm G mg R ＝ 得 2 GM g R ＝ 所以两颗行星表面的重力加速度之比为 2248 11()1 A A B B B A g m R g m R ??＝＝＝ 故B 错误； C ．行星的体积为3 4 3 V R π＝ 故密度为 23 2234343 R M GT V GT R ππρπ＝＝＝ 所以这两颗行星的密度之比为 2)16 1 (A B B A T T ρρ＝＝ 故C 正确； D ．根据题目提供的数据无法计算同步卫星的周期之比，故D 错误。 故选AC 。 9．我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，探测器从地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q 为轨道Ⅱ上的近月点。下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是（ ） A ．在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度 B ．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度 C ．发射速度一定大于7.9 km/s D ．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】 A ．从轨道Ⅰ上的P 点进入轨道Ⅱ需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，所以 轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，故A正确； B．在两个轨道上在P点所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，在轨道Ⅱ上经过P 的加速度等于于在轨道Ⅰ上经过P的加速度，故B错误； C．地球的第一宇宙速度为7.9km/s，这是发射卫星的最小速度，发射速度如果等于 7.9km/s，卫星只能贴近地球表面飞行，要想发射到更高的轨道上，发射速度应大于 7.9km/s，故C正确； D．在轨道Ⅱ上运动过程中，只受到月球的引力，从P到Q的过程中，引力做正功，动能越来越大，速率不断增大，故D正确。 故选ACD。 10．a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6?6 10m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4?6 10m，地球表面重力加速度 g=10m/2s，π=10） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 因为c是地球同步卫星，所以应一直在a的上方，A错误；对b有： ，b的周期为 ，经24h后b转4.3圈，处于D 图位置，选项D正确． 11．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量为m的星球位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星球的距离均为L，并绕其中心O 做匀速圆周运动．忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是 () A．每颗星球做圆周运动的半径都等于L B．每颗星球做圆周运动的加速度与星球的质量无关 C．每颗星球做圆周运动的线速度 Gm v L = D．每颗星球做圆周运动的周期为2 L T L Gm π = 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A．三颗星球均绕中心做圆周运动，由几何关系可知 r＝2 cos30 L ? 3 L A错误； B．任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供，根据平行四边形定则得 F＝2 2 2 Gm L cos 30°＝ma 解得 a 3Gm B错误； CD．由 F＝2 2 2 Gm L cos 30°＝m 2 v r ＝m 2 2 4 T π r 得 v Gm L T ＝2πL 3L Gm C 正确， D 错误。 故选C 。 12．科幻影片《流浪地球》中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道I 上运行到远日点P 变轨进入圆形轨道II ，在圆形轨道II 上运行一段时间后在P 点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是( ) A ．地球在P 点通过向前喷气减速实现由轨道I 进入轨道II B ．若地球在I 、II 轨道上运行的周期分别为T 1、T 2，则T 1 C ．地球在轨道I 正常运行时(不含变轨时刻)经过P 点的加速度比地球在轨道II 正常运行(不含变轨时刻)时经过P 点的加速度大 D ．地球在轨道I 上过O 点的速率比地球在轨道II 上过P 点的速率小 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A ．地球沿轨道Ⅰ运动至P 点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，A 错误； B ．设地球在Ⅰ、Ⅱ轨道上运行的轨道半径分别为r 1（半长轴）、r 2，由开普勒第三定律 3 3r k T = 可知 T 1 B 正确； C ．因为地球只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过P 点，地球的加速度都相同，C 错误； D ．由万有引力提供向心力 2 2GMm v m r r = 可得 Gm v r = 因此在O 点绕太阳做匀速圆周运动的速度大于轨道II 上过P 的速度，而绕太阳匀速圆周运动的O 点需要加速才能进入轨道Ⅰ，因此可知地球在轨道Ⅰ上过O 点的速率比地球在轨道II 上过P 点的速率大，D 错误。 故选B 。 13．“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地－月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A 处对接。已知空间站绕月轨道半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G ，月球的半径为R ，下列说法正确的是（ ） A ．地－月转移轨道的周期小于T B ．宇宙飞船在A 处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 C ．宇宙飞船飞向A 的过程中加速度逐渐减小 D ．月球的质量为M = 22 2 4πR GT 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据开普勒第三定律可知，飞船在椭圆轨道的半长轴大于圆轨道的半径，所以地-月转移轨道的周期大于T ，选项A 错误； B ．宇宙飞船在椭圆轨道的A 点做离心运动，只有在点火减速后，才能进入圆轨道的空间站轨道，选项B 正确； C ．宇宙飞船飞向A 的过程中，根据 2 Mm G ma r = 知半径越来越小，加速度越来越大，选项C 错误； D ．对空间站，根据万有引力提供向心力有 2 224Mm G m r r T π= 解得 23 2 4r M GT π= 其中r 为空间站的轨道半径，选项D 错误。 故选B 。 14．电影《流浪地球》讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球” 计划，这首先需要使自转角速度大小为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀 地安装N台“喷气”发动机，如下图所示（N较大，图中只画出了4个）。假设每台发动 机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知描述地 球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F=ma具有相似性，为=，其中M为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR；I为地M Iβ 球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均 匀的球体，下列说法中正确的是（） =与F=ma的类比中，与质量m对应的物理量是转动惯量I，其物理意义是反A．在M Iβ 映改变地球绕地轴转动情况的难易程度 B．β的单位为rad/s C．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小 D．地球停止自转后，赤道附近比两极点附近的重力加速度大 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 A．在M=Iβ与F=ma的类比中，与转动惯量I对应的物理量是m，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，A正确； B．根据 = NFR Iβ 得 NFR β= I s-，故B错误； 代入单位运算可知其单位为2 C．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大，故C错误； D．地球停止自转后，赤道附近和两极点附近的重力加速度大小相等，故D错误。 故选A。 15．北京时间2019年4月10日，人类历史上首张黑洞“照片”（如图）被正式披露，引起世界轰动；2020年4月7日“事件视界望远镜（EHT）”项目组公布了第二张黑洞“照片”，呈现了更多有关黑洞的信息。黑洞是质量极大的天体，引力极强。一个事件刚好能被观察到的那个时空界面称为视界。例如，发生在黑洞里的事件不会被黑洞外的人所观察到，因此我们可以把黑洞的视界作为黑洞的“边界”。在黑洞视界范围内，连光也不能逃逸。由于黑洞质量极大，其周围时空严重变形。这样，即使是被黑洞挡着的恒星发出的光，有一部分光会落入黑洞中，但还有另一部分离黑洞较远的光线会绕过黑洞，通过弯曲的路径到达地球。根据上述材料，结合所学知识判断下列说法正确的是（） A．黑洞“照片”明亮部分是地球上的观测者捕捉到的黑洞自身所发出的光 B．地球观测者看到的黑洞“正后方”的几个恒星之间的距离比实际的远 C．视界是真实的物质面，只是外部观测者对它一无所知 D．黑洞的第二宇宙速度小于光速c 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A.由于黑洞是质量极大的天体，引力极强，因此其第一宇宙速度大于光速，所以黑洞自身发的光不能向外传输，黑洞“照片”明亮部分是被黑洞挡着的恒星发出的部分光，故选项A 错误； B.由于部分离黑洞较远的光线会绕过黑洞，通过弯曲的路径到达地球，所以地球观测者看到的黑洞“正后方”的几个恒星之间的距离比实际的远，故选项B正确； C.一个事件刚好能被观察到的那个时空界面称为视界，因此对于视界的内容可以通过外部观测，故选项C错误； D.因为黑洞的第一宇宙速度大于光速，所以第二宇宙速度一定大于光速，故选项D错误。
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