4.7 《相似三角形的性质》教案
教学目标：
1、知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
2、能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.
3、情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.
教学重点：相似三角形的性质。
教学难点：相似三角形的性质定理的推理过程。
教学方法：合作交流、启发诱导法
教学过程：
一、揭示课题指明方向
在由定义得出相似三角形具有“对应角相等,对应边成比例”的性质后，本节课要进一步学习相似三角形的其它性质。
二、合作交流探索新知
1、复习导课
提问：①什么叫相似比？
②当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？
③全等三角形除了它们的对应角相等、对应边相等外，三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？
④那么相似比不为1的相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线又有哪些性质呢？
2、动手操作，猜想推理：
引导学生依次完成以下的实验步骤：分别作出两对相似三角形对应边上的高，用刻度尺量出所作出的对应高的长，并计算它们的比值，用所得的比值与相似三角形的对应边的比相比较，发现有什么特殊关系？并将所得的结论用命题的形式表述出来。
然后，让学生依次作出对应中线、对应角平分线，并且完成与以上相同的实验步骤，最终引导学生猜想归纳出三个命题：
命题1：相似三角形对应高的比等于相似比。
命题2：相似三角形对应中线的比等于相似比。
命题3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
3、活动探究，推理证明
（1）探究活动一：（投影片）
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱。
（1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？
（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
学生合作交流，教师引导探究完成上面几个问题，让学生进行证明推理，最后归纳总结得出：
相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.
（2）探究活动二：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A /E /呢？
要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论.
学生小组合作，同类比的方法进行推理证明，最后得出：
相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比.
（3）、探究活动三：（投影片）
过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、
中线A B C A / / C /
D /
E /
变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：
（3）你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.
3、学以致用（见课本P107例1，相似三角形的性质的应用）
鼓励学生先独立思考后，小组合作交流，寻求解题思路后进行交流，教师引导分析并口述解答过程，最后学生独立作答，对照检查更正。
三、巩固反馈练习
1、（口答填空）：已知：两个相似三角形一对对应中线长分别是2cm和5cm，那么它们的相似比是；对应高的比是；如果一对对应角平分线中，较短的为
3cm，则较长的为。
2、随堂练习(见课本P107)
四、课堂小结
①相似三角形性质定理的推导及定理中内含的对应高、对应中线、对应角平分线三者之间的相互关系。
②性质定理的推导中所用到的数学思维方法。（包括：启发、诱导、观察、类比、实验、猜想、分析和归纳等）
③证明线段成比例通常所采用的方法。
五、作业布置：习题4.11 3、4 题
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''（k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
数学教学设计 6.5 相似三角形的性质（1） 教学目标 1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题． 2．发展学生合情推理和有条理的表达能力． 教学重点 理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题． 教学难点 能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理． 教学过程（教师） 学生活动 设计思路 旧知回顾 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，你能得到什么？ 积极思考，回答问题——大多数学生会运用所学知识发表自己的观点： ∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'， ． 即：对应角相等、对应边成比例． 引导学生回忆相似三角形的相关内容，为学习新知识铺垫． 探索发现 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点， （1）△DEF 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？ （3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？ 观察、思考，运用三角形相似的判定方法得 出△DEF 与△ABC 相似，并运用对应边的关系得出△DEF 与△ABC 相似比为1 2 ，△DEF 的周 长与△ABC 的面积比为1 4．用类似的方法可以解 决变式后的问题． 通过特殊问题的研 究，发现两个相似三角形的周长比与面积比的规律，得出猜想． 继续取△DEF 的各边中点M 、N 、P ，得到下图． （1）△MNP 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？ （3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？ 通过建模，培养学生的归纳能力． 推理猜测 根据刚才的探究，你有什么猜想？ 1．相似三角形周长的比等于相似比． 观察、思考、感悟得出相似三角形的周长比与面积比的规律． 经历探究——感悟——猜想的过程． A′ B′ C′ AB BC CA A B B C C A == ''''''C A B F D E C A B E D F M N P B C A
相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计
相似三角形的性质（1）导学案 态度就是竞争力，积极的学习态度就是你脱颖而出的砝码 【学习目标】： 1.掌握相似三角形的性质的对应高，对应中线，对应角平分线的比存在的等量关系。 2.进一步巩固三角形相似的判定定理，并能进行相应性质的推导。 3.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算。 4.经历讨论与交流，猜想与验证，发展说理习惯，在观察、操作、推理、归纳等探索 过程中，提高学习数学的兴趣和自信心。 【学习重点】：相似三角形的性质 【难点】：探究相似三角形的性质 【学习方法】：小组合作学习探究 【学习过程】： 模块一预习反馈 一、旧知链接 1.相似三角形的定义 三角对应，三边对应的两个三角形。叫做相似比。 2.相似三角形的判定方法 ①的两个三角形相似；②的两个三角形相似； ③的两个三角形相似。 3.当两个相似三角形相似比为1时，两个三角形 4.全等三角形性质:全等三角形的对应边对应角；对应高、对应中线、对应角平分线分别_______。 5.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的性质三角________，三边___________ 两个三角形相似除了上述性质，我们还可以得到哪些结论呢？这就是我们这节课所要学 习的相似三角形的性质。 二、自学探究 实验、猜想、证明：相似三角形对应高的比等于相似比 1.在方格纸中画出一对相似三角形△ABC∽△A1B1C1, AD,A1D1,分别为BC, B1C1,边上的高。
（1）△ABC与△A1B1C1的相似比为_________； （2）； （3）你发现了什么特殊关系？ __________________ (4) 若△ABC与△A1B1C1相似比为k,那么 。 （5）猜想： 如图，已知它们的相似比为k，分别为边上的高。求证：. 2.类比探究相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 变式1:如果把对应的高改为对应角的角平分线呢？猜想: 已知: 求证： 结论:_________________________ ___________________________________ 变式2: 如果把对应的高改为对应边上的中线呢？猜想: 已知: 求证：
相似三角形的性质定理（2、3） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 先学后教，达标导学 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］ 让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习． （2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周 长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm， 且AB=15cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难． 例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．∽∽且，．
k ，则对应边上 相似三角形的性质 一、 复习引入 1 ?相似三角形的判别法的哪些？ 2?你还知道相似三角形的性质有什么吗？ 3.什么是相似比？ 本节课我们将研究相似三角形的其他性质? 二、 新课讲解 1. 探究活动一探究相似三角形对应高的比 右图△ A B C,AD 为BC 边上的高。 则：(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△ A 'B 'C '并作 出B 'C '边上的高A 'D '。 求：△ A B C 与厶A 'B 'C '的相似比为多少？ AD 与A 'D '比是多少？ (2)如右图两个相似三角形相似比为 的高有什么关系呢？ ______________ 说说你判断的理由是什么？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于 ________________ 2. 探究活动二类比探究相似三角形对应角平分线的比 如右图△ A B C , AF 为/ A 的角平分线。 则：(1)把三角形扩大2倍后得△ A 'B 'C ', A 'F '为 / A '的角平 分线，△ A B C 与厶A 'B 'C '的相似比 为多少？ AF 与A 'F '比是多少？
k,则对应角的 (2)如右图两个相似三角形相似比为 角平分线比是多少？ 说说你判断的理由是什么？ 归纳：相似三角形对应边上的角平分线之比等于 3. 探究活动二类比探究相似三角形对应中线的比 如右图△ A B C , AE 为BC 边上的中线。 则:⑴把三角形扩大2倍后得△ A 'B 'C ', A 'E '为B 'C '边上的中线。 △ ABC 与厶A 'B 'C '的相似比为多 少？ AE 与A 'E '比是多少？ (2)如右图两个相似三角形相似比为k ，则对应边上的中线的比是多少 呢? A 说说你判断的理由是什么？ 归纳：相似三角形对应边上的中线之比等于 三角形的性质定理 1: __________________ 三、基础训练 1、 两个相似三角形对应边比为3:5,那么相似比 ____________ 对应边上的高之比为 , 对应边上的中线比为 ___________ 对应角的角平分线比为 ________________ 。 2、 两个相似三角形对应角的角平分线比为 1:4,可直接得到对应边上的高之比为 , 对应边上的中线比为 ______________ 。 3、 已知△ ABCA 'B 'C ',△ ABC 的三边分别为3、 4、5,^ A 'B 'C '的三边长分 别为 12、16、R,则 R= ____________________________ 。 4?两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是 2cm 和5cm ,则这两个三角形的相似 比是 在这两O o E f <7
相似三角形的性质 知识精要 相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k 表示。 如△ABC ∽△A'B'C'，则k A C CA C B BC B A AB ' ''''',注意：相似比具有方向性，若写作△A'B'C'∽△ABC ，则相似比为k 1 。 根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”，记△ABC 和△A'B'C'的周长分别为ABC C 和'''C B A C ，则k C C C B A ABC ''':. 类型一相似比与周长比 在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方 法。 例题精解 例1如图，已知等边三角形ABC 的边长为6，过重心G 作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P 在BC 上，若△BDP 与△CEP 相似，求BP 的长。 点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相等的角（∠B=∠C ）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。 【举一反三】
1、如图，△ABC中，CD是角平分线，E在AC上，CD2=CB·CE. （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的长。 点评：先根据判定定理2得到△BCD∽△DCE，再根据判定定理1得到△ADE∽△ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。 2、如图，△ABC中,DE//BE,分别交AB于D，交AC于E。已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE与四边形BCED的周长相等，求DE的长。
4．7 相似三角形的性质（一） 一、教学目标： 1、熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方。 2、并能用来解决简单的问题。 二、教学过程： 1、知识点：相似三角形的性质 （1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2） 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长比等于相似比； （4） 相似三角形面积比等于相似比的平方。 2、例题讲解： 例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高. （1） B A AB '', C B BC '',C A AC ' '各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图1中再找出一对相似三角形. （4） D C CD ' '等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图1 解：（1） B A AB ''= C B BC ''=C A AC ' '=_________. （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵_______=_______=_______ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( )，且相似比为___________.
（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（或△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____° ∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )（同理△ADC ∽△A ′D ′ C ′） （4）∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴ D C CD ' '= ________=________. 小结1： 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的__________，那么D C CD ''=C B BC ''=k . 3．知识拓展： 求证1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么 D C CD ''= C A AC ' '=k . 图2 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠________, ∠ACB =∠A ′C ′B ′ ∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠__________=∠__________ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴ D C CD ''= C A AC ' '=k . 求证2：如图3中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则 D C CD ''= C A AC ' '=k . 图3 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
《相似三角形的性质》教学设计 【设计说明】： 本节课是论证几何中“相似形”的重点内容之一，是在学会相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形的拓展，也是解决有关实际问题的重要工具。 本节课的引入，是通过对课本例题进行“再创造”，以上海的中环线建设为背景，提出数学问题。这样的设计，既可以调动学生的学习热情与积极性，又可以使学生认识到，现实生活中处处有数学，提高学生应用数学的意识。 整个探究活动部分，主要是对网格图上的格点三角形进行研究，选择网格图上的格点三角形进行研究，主要考虑网格有支架作用，便于学生进行边长、周长、面积的计算。另外对于网格图学生在相似三角形的判定中已有接触，比较熟悉。这个部分注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。 在得出定理后，及时进行思维训练。通过探索、论证，到运用解决实际问题，一方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法，另一方面又感受到了数学来源于生活又服务于生活。对引例的变式是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式。 小结部分，拟让学生小结反思与自主评价。这样做，有利于学生巩固刚获得的知识和技能，有利于学生提高归纳能力和语言表达能力，有利于学生逐步养成对已学知识的反思习惯，有利于学生逐步树立敢于提出自己独到见解的求真精神，有利于学生逐步形成正确的数学价值观。当然，教师也将根据学生小结、自主评价的实际情况作适当的点评，以体现师生互动，发挥教师的主导作用。 【教学目标】 1、初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。
27.2.2相似三角形的性质 一、教学目标 1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2．能用三角形的性质解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：相似三角形的性质与运用． 2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的 平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 3．难点的突破方法 （1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比 等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高 的比等于相似比） （2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件， 不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是2 ，它们的面积之比不一定是 4 ，3 9 因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似必要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．如：如果两个相似三角形面积的比为 3∶5 ，那么它们的相似比为 ________，周长的比为 ________．（4）讲完性质后，可先安排一组简单的题目让学生巩固，然后再讲例 题．三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例 1 是补充的一个例题，它紧扣性质，是性质的 简单运用，但要注意它是逆用性质“相似三角形周长的比等于相似比”来进行运 算的．例 2 是教材 P38 的例 3 ，它是通过求相似的过程中，求出相似比，再综合运用两条性质求出其高与面积．难度略高于例 1．其目的是想让学生能够综合、灵活 的运用相似三角形的性质解决问题． 如果学生程度好一些，可以补充“相似三角形对应中线的比等于相似比”的题目．
4.7 相似三角形的性质 第1课时相似三角形的性质定理（一） 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. 阅读教材P106-107，自学“想一想”、“议一议”与“例1”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比等于相似比. 自学反馈学生独立完成后集体订正 如图，△ABC∽△A′B′C′相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′. ①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？ ②相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于. 活动1 小组讨论
相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9，则它们的相似比为（ ） A. 8∶9 B.9∶8 C.64∶81 D.22∶3 2.已知△ABC ∽△D EF ，且相似比为2：3，则△ABC 与△DEF 的对应高之比为（ ） A ．2：3 B ．3：2 C ．4：9 D ．9：4 3.如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD AB CD ，∥，2m AB =，5m CD =，点P 到CD 的距离是3m ，则点P 到AB 的距离是（ ） A ．56m B ．6m 7 C ．6m 5 D ．10m 3 A B F C D G E 第3题图 第4题图 4.如图，DE ∥BC ，则△_______∽△_______.若AD ＝3，BD ＝2，AF ⊥BC ，交DE 于点G ，则AG ∶AF ＝_______∶_______，△AGE ∽△AFC ，且它们的相似比为________. 5.若C B A ABC '''??∽，且cm AB 2=，cm B A 3 1 1=''，则对应角平分线的比为_______. 6.已知C B A ABC '''??∽,对应角平分线的比为22∶，且BC 边上的中线是25，则C B ''边上的中线是_______. 7.若△ABC ∽△A ′B ′C ′.AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′的高，AD ∶A ′D ′＝3∶4，△A ′B ′C ′的一条中线B ′E ′＝16cm ，则△ABC 的中线BE ＝______ cm. 活动3 课堂小结 本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比 . 教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分 . 【预习导学】 自学反馈 ①△ABD ∽△A ′B ′D ′△ADC ∽△A ′D ′C ′
相似三角形的性质同步课堂检测学 考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为，继续往前走到达处时，测得影子的长为，他的身高是，那么路灯的高度 A. B. C. D. 2.如图，在中，若，，若的面积等于，则的面积等于（） A. B. C. D. 3.如图，中，，如果，，那么的值为（） A. B. C. D. 4.如图，在中，，是边上的高，，，则
A. B. C. D. 5.如图，是斜边上的高，，，则的长为（） A. B. C. D. 6.两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（） A. B. C. D. 7.一个三角形的三边分别为，，，另一个与它相似的三角形中有一条边长为，则这个三角形的周长不可能是（） A. B. C. D. 8.一个的面积被平行于它的一边的两条线段三等分，如果，则这两条线段中较长的一条是（） A. B. C. D.
9.如图，中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论①； ②；③；④，其中结论正确的个数有（） A.个 B.个 C.个 D.个 10.如图，、分别是边、上的点，，若，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11.相似三角形的判定方法 若（型（图）和型（图））则________． 射影定理：若为斜边上的高（双直角图形）图则
23.3相似三角形的性质（1） 课题相似三角形 的性质 主备人副备人 副备人意 见 教学内容分析 本节课是相似三角形性质的第一课时，引导学生探索相似三角形的对应角、对应边及对应角平分线、中线、高分别具有的数量关系特征。 教学目标1、掌握“相似三角形性质定理1”； 2、经历相似三角形性质定理1的探索过程，体会类比思想，发展合情推理水平． 教学重难点重点：相似三角形的性质定理1及其应用.[来源：学科网]难点：相似三角形的性质定理1的发现与证明. 教具 准备 课件、多媒体投影 教学过程 一、温故知新 1、回顾： （1）相似三角形的定义． 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形； （2）已学过的相似三角形的判定定理有几条？它们的具体内容又是怎样？已学过的判定定理有4条，它们是预备定理和判定定理1、
教学过程 2、3以及一条直角三角形相似的判定定理． 2思考：相似三角形可看作是一个三角形放大（或缩小）所得到的，那么三角形中重要的三线＂高、中线、角平分线＂是否会随三角形的放大（或缩小）而一起放大（或缩小）．即如果相似三角形的相似比为k，那么相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和k之间有何关系呢？ 3．探索：学生动手操作，得出测量结果． 4．猜想：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 5．证明猜想：如何利用已学的知识来证明猜想的结论？6．证明：师生共同完成“相似三角形的对应角平分线的比等于相似比”，其他的由学生独立完成． 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 引导学生用图形语言和数学符号语言表示出相似三角形性质定理1 ABC∽ 1 1 1 C B A，AD、 1 1 D A分别是ABC、 1 1 1 C B A的角平分 线 1 1 1 1 1 1 1 1 C B BC C A AC B A AB D A AD 或 同理可得相似三角形对应高、对应中线的相关数学符号语言的表示. （二）简单应用 例题1 ：已知 1 1 1 C B A ABC和中，
基本内容 相似三角形的性质1 知识精要 一、相似三角形的性质 1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比。 4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 热身练习 1、 如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形对应中线的比为( B ) (A)4:5 (B)5:4 (C)25:16 (D)16:25 2、 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB,AC 上，DE//BC ，AD:DB=1:2,下列结论正确的是( B ) (A) 12DE BC = (B) 13DE BC = (C) 1 4 ADE ABC S S = (D) 13ADE DBCE S S =四边形 3、 两个等边三角形的面积比是9:1，周长之差为12厘米，则较小等边三角形的周长1 为( A ) (A) 6厘米 (B)15厘米 (C)18厘米 (D) 3 2 厘米 4、 如果梯形两底分别为12和20，高是1，那么两腰延长线的交点到较大边的距离是( A ) (A) 52 (B) 32 (C) 85 (D) 35 5、 在梯形ABCD 中，AD//BC,AC 与BD 相交于点O ，如果AD:BC=1:3,那么下列结论正确的是( C ) (A)9COD AOD S S = (B) 9ABC ACD S S = (C) 9BOC AOD S S = (D) 9DBC AOD S S = 6、 在△ABC 中，D,E 分别在AB,AC 上，DE//BC,AD:DB=2:3,则:ADE DECB S S 四边形为 4:21 . 7、 两个相似三角形的面积比为4:49，它们的两条对应的角平分线和为45，那么这两条角平分线分别为_10_、 _35_. 8、 如图，DE 是△ABC 的中位线，CE 、AD 相交于点G ，那么:ACG EDG S S = 4:1 . 精解名题
4.7 《相似三角形的性质》教案 教学目标： 1、知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题. 2、能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质. 3、情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性. 教学重点：相似三角形的性质。 教学难点：相似三角形的性质定理的推理过程。 教学方法：合作交流、启发诱导法 教学过程： 一、揭示课题指明方向 在由定义得出相似三角形具有“对应角相等,对应边成比例”的性质后，本节课要进一步学习相似三角形的其它性质。 二、合作交流探索新知 1、复习导课 提问：①什么叫相似比？ ②当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？ ③全等三角形除了它们的对应角相等、对应边相等外，三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？ ④那么相似比不为1的相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线又有哪些性质呢？ 2、动手操作，猜想推理： 引导学生依次完成以下的实验步骤：分别作出两对相似三角形对应边上的高，用刻度尺量出所作出的对应高的长，并计算它们的比值，用所得的比值与相似三角形的对应边的比相比较，发现有什么特殊关系？并将所得的结论用命题的形式表述出来。 然后，让学生依次作出对应中线、对应角平分线，并且完成与以上相同的实验步骤，最终引导学生猜想归纳出三个命题：
命题1：相似三角形对应高的比等于相似比。 命题2：相似三角形对应中线的比等于相似比。 命题3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3、活动探究，推理证明 （1）探究活动一：（投影片） 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱。 （1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系。 （2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 （3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？ （4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？ 学生合作交流，教师引导探究完成上面几个问题，让学生进行证明推理，最后归纳总结得出： 相似三角形的性质：对应高的比等于相似比. （2）探究活动二：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A /E /呢？ 要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论. 学生小组合作，同类比的方法进行推理证明，最后得出： 相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比. （3）、探究活动三：（投影片） 过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、 中线A B C A / / C / D / E /
3.3.1 相似三角形的性质 教学目标： 1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题； 2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力 教学重点：相似三角形的性质 教学难点：有条理的表达与推理 教学过程： 一、创设情境 情境1：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。 问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1：500表示什么含义？ 问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？ 问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？ 问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？ 情境2：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。 问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？ 问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？情境3：若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？ 问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？ 问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？ 问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？ 问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？ 得出：相似三角形的周长比等于相似比 问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？” 得出：相似多边形的周长等于相似比 情境4：若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？ 问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？ 问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？ 问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？ 得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方 问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。 二、例题教学：
相似三角形的性质 【教学目标】 1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。 【教学重难点】 重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。 【教学过程】 一、设计龟免赛跑故事导入新课 4 2 1 有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？ (以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知 兔子场地 乌龟场地
1．分组猜想探究活动， 完成下列实验报告单 (学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的 C A B 相似比 周长比 面积比 111A B C ?∽ABC ? 111A B C ?∽ABC ? 从以上表中可以看出，当相似比等于K 时，周长比等于 ，面积比等于 。 由此可以猜想：相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 。 要求：①在方格纸（方格边长为1个单位）上，画出一个与已知△ABC 相似， 但相似比不为1的格点111A B C ?（每小组至少画两种情况）； ②分别计算：△ABC 与111A B C ?的相似比，周长比及面积比，然后填表； 小组分工： 目的：通过实验发现相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 《相似三角形的周长与面积》实验报告单
两水中学课时计划（备课时间年月日）总第课时 课题相似三角形的性质（一）第课时教学目标理解相似三角形的对应边、高线、中线、角平分线比等于相似比重点理解相似三角形的对应边、高线、中线、角平分线比等于相似比 难点对相似性质的实际应用 教法讲练结合教具三角板教学过程及时 间分配 教学内容师生活动 一、复习引入5分钟 二、探索新知25分钟 三、巩固练习10分钟 四、归纳小结5分钟一、创设情景导入新知 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得 到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个 相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边 上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？ 二、探索新知 1、△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为 有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么k B A AB D A AD = ' ' = ' ' 。 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比． 2、图中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边 上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有 什么关系呢？ 可以得到的结论是：相似三角形对应中线的比等于相似比． 3、同样我们还可以推出：相似三角形对应角平分线之比等于相似比。 三、巩固练习：1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应 角的角平分线的比等于多少？2．相似三角形对应边的比为0．4， 那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为 ______ 四、小结：1、相似三角形对应高的比等于相似比．2、相似三角形对 应中线的比等于相似比．3、相似三角形对应边的比等于相似比，也 就是说相似三角形的对应线段的比等于相似比 五、作业：配套练习 教师活动：引导学 生进行探索 学生活动：和老师 共同探索新知 学生活动：完成课 堂练习 教师活动：小结本 节课的内容 教后记通过本节课学习学生了解了相似三角形对应线段的比等于相似比审 批 检 查