M
N
A
N M A
N M
九年级思维拓展：圆·综合探究
1. （2018·自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°．
（1） 作出经过点 B ，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O ；（要求尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法和证明）
（2） 设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交异于点 B 的另外一点 D ，若⊙O 的直径为 5，BC =4，求
DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
C C
A
B
A
B
2. （2020·中考说明 P81）如图，已知直线 l 的解析式是 y = 4
x - 4 ，并且与 x 轴、y 轴分别交于
3
A 、
B 两点．一个半径为 1.5 的⊙
C ，圆心 C 从点（0，1.5）开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y
轴向下运动，当⊙C 与直线 l 相切时，则该圆运动的时间为
．
A C
Q
B
第 2 题
第 3 题
3. 如图，射线 QN 与等边三角形 ABC 的两边 AB ，BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥QN ，AM =BM = 2 cm ，QM =4 cm ．动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以 1 cm/s 的速度向右移动，经过 t s ，以点 P 为 圆心， cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），则 t 的值或取值范围是
． 4. （2017·绍兴）如图，∠AOB =45°，点 M ，N 在边 OA 上，OM =x ，ON =x +4，点 P 是边 OB 上的
点．若使 P ，M ，N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值或取值范围是
．
O
B
O
B
3 y
C l O
A
x
B
2 5. （2018·河北）如图，点 A 在数轴上对应的数为 26，以原点 O 为圆心，
OA 为半径作优弧 AB ，使点 B 在 O 右下方，且tan ∠AOB = 4
．在优弧 AB 上任取一点 P ，且能过 P
3
作直线 l ∥OB 交数轴于点 Q ，设 Q 在数轴上对应的数为 x ，连接 OP ．
（1） 若优弧 AB 上一段 AB 的长为 13π，求∠AOP 的度数及 x 的值；
（2） 求 x 的最小值，并指出此时直线 l 与 AB 所在圆的位置关系； （3） 若线段 PQ 的长为 12.5，直．接．
写出这时 x 的值．
A
A O
26
O
26
B B 6. （2020·中考说明 P73）如图所示，直线 l 1⊥l 2，垂足为点 O ，A ，B 是直线 l 1 上的两点，且 OB
＝2，AB ＝ ．直线 l 1 绕点 O 按逆时针方向旋转，旋转角度为 α（0°＜α＜180°）．
（1） 当α＝60°时，在直线 l 2 上找点P ，使得△BP A 是以∠B 为顶角的等腰三角形，此时OP ＝
．
（2）
当 α 在什么范围内变化时，直线 l 2 上存在点 P ，使得△BPA 是以∠B 为顶角的等腰三角形，请用不等式表示 α 的取值范围：
．
7. （2020·中考说明 P81；2018·咸宁）如图，已知∠MON =120°，点 A ，B 分别在 OM ，ON 上，
且 OA =OB =a ，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM ′，旋转角为 α（0°＜α＜120°且 α≠60°），作点 A 关于直线 OM′的对称点 C ，画直线 BC 交 OM′于点 D ，连接 AC ，AD ，有下列结论： ①AD =CD ；②∠ACD 的大小随着 α 的变化而变化；③当 α=30°时，四边形 OADC 为菱形； ④△ACD 面积的最大值为 3a 2 ．其中正确的是
（把你认为正确结论的序号都填上）．
N
M′
C
B
D
α M
N
M′
C
B
D
α M l 2
l 1
α O A
B
l 2
l 1
α
O A
B
P
O
A Q 26
B
l
E
8.（2018·石家庄二模）如图1，四边形ABCD 是正方形，且AB=8，
点O 与B 重合，以O 为圆心，作半径长为5 的半圆O，交BC 于E，交AB 于F，交AB 延长线于G 点，M 是半圆O 上任意一点．
发现：AM 的最大值为．S
阴影
= ．
D C D C
A B (O) G F
图2
B (O) G
如图2，将半圆O 绕点F 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜
180°）．思考：（1）若点C 落在半圆O 的直径GF 上，求圆心O 到AB 的
距离；
（2）若α=90°，求半圆O 落在正方形内部的弧长．探究：在旋转过程中，若半圆O 与正方形的边相切，求点A 到切点距离．【注：sin37°=
3
，sin53°=
4
，tan37°=
3
】
5 5 4
9.（2015·河北）平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图1 摆放，分别延长DA 和QP 交
于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P直线AB 上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B．
（2）在OQ 旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P 恰好落在BC 边上时，求α及S 阴影．
拓展：如图3，当线段OQ 与CB 边交于点M，与BA 边交于点N 时，设BM=x（x＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．
探究：当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．
Q
A
O
图1 图2 图3 备用图
3
10. （2017·邯郸一模）如图 1，已知以 AE 为直径的半圆圆心为 O ，半径为
5，矩形 ABCD 的顶点 B 在直径 AE 上，顶点 C 在半圆上，AB =8，点 P 为半圆上一点．
（1） 矩形 ABCD 的边 BC 的长为
；
（2） 将矩形沿直线 AP 折叠，点 B 落在点 B ′，①点 B ′到直线 AE 的最大距离是
；
②当点 P 与点 C 重合时，如图 2 所示，AB ′交 DC 于点 M ，求证：四边形 AOCM 是菱形，并通过证明判断 CB ′与半圆的位置关系； ③当 EB ′∥BD 时，直接写出 EB ′的长．
图1
图2
11. （2014·葫芦岛）图 1 和图 2，半圆 O 的直径 AB =2，点 P （不与点 A ，B 重合）为半圆上一
点，将图形沿 BP 折叠，分别得到点 A ，O 的对称点 A ′，O ′，设∠ABP =α．
（1） 当 α=15°时，过点 A ′作 A ′C ∥AB ，如图 1，判断 A ′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理由． （2） 如图 2，当 α=
°时，BA ′与半圆 O 相切．当 α=
°时，点 O ′落在弧 PB 上．
（3） 当线段 BO ′与半圆 O 只有一个公共点 B 时，求 α 的取值范围．
图2
备用图
E
12. （2018·泰州）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A = 5
13
，AC =12，
将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A′B′C ，P 为线段 A′B′上的动点，以点 P 为圆心，PA′长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为
．
13. （2019·中考说明 P67；2017·兰州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，□ABCO 的顶点 A ，B
的坐标分别是 A (3，0)，B (0，2)．动点 P 在直线 y 3
x 上运动，以点 P 为圆心，PB 长为半径的
2
⊙P 随点 P 运动，当⊙P 与□ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 ．
14. （2020·中考说明 P63）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点 D 在 AB 边上，
点 E 是 BC 边上一点（不与点 B 、C 重合），且 DA =DE ，则 AD 的取值范围是
．
C
D E
C
A
D B
F
第 14 题
第 15 题
15. （2018·嘉兴）如图，在矩形 ABCD 中，AB =4，AD =2，点 E 在 CD 上，DE=1，点 F 是边 AB
上一动点，以 EF 为斜边作 Rt △EFP ．若点 P 在矩形 ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则 AF 的值或取值范围是
．
16. （2020·中考说明 P75；2018·镇江）如图 1，平行四边形 ABCD 中， AB ⊥AC ，AB =6，
AD =10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与对角线 AC 交于 A ，E 两点．
（1） 如图 2，当⊙P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；
（2） 不难发现，当⊙P 与边 CD 相切时，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的
变化，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相应的 AP 的值或取值范围
．
17. （2020·中考说明 P33；2019·河北）如图 1 和 2，□ABCD 中，AB =3，
BC =15，tan ∠DAB = 4
，点 P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作⊙O 切 CP 与点 P ，设 BP =x ．
3
（1） 如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时⊙O 交 AD 于点 E ，直．接．
指出 PE 与 BC 的位置关系：
（2） 当 x =4 时，如图 2，⊙O 与 AC 交于 Q ，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦 AP 与劣弧 PQ 长
度的大小；
（3） 当⊙O 与线．段．AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围．
A
P 图1
图2
图3
18.（2019·中考说明P81）如图，直线l 经过⊙O 的圆心O，且与⊙O 交于
A、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC＝30
°，点
P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重
合），直线CP 与⊙O 相交于点Q．问：是否存在点P，使得QP＝QO；（用“存在”或“不存在”填空）．若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由．
19.（2019·南京）如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．求作菱形DEFG，使点D 在
边AC 上，点E，F 在边AB 上，点G 在边BC 上．
（1）证明小明所作的四边形DEFG 是菱形；
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D 的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD 的长的取值范围．
2 2 21 5 5 【参考答案】 1.（1）略；（2） 5 ； 2.6 或 16；
3.t =2，t =8 或 3≤t ≤7；
4. x =0，x = 4 -4 或 4 5.（1）90°； 39 ；（2） - 65 ；（3） - 33 ， 63 或- 63 ； 2 2 2 2 2 6. 45°≤α≤135°且 α≠90°； 7.①③④； 8.（1）发现：13；64；思考： 40 89 ；（2） 37π ；探究： ， 或 3. 89 36 9.（1）在；15°（2）60°；1；（3）30°； 3 + 1 π ；拓展：BN = x （0 探究： 4 3 - 3 ， 6 2 -1 或 3 16 24 x +1 10 10 2 10.（1）4；（2）①8；②略，相切；③ 4 ± 2 11.（1）相切；（2）45°；30°；（3）0°<α<30°或 45°≤α<90° 12. 156 或102 ； 25 13 13.（ 2 ，1），（0，0）或（ 3 - ， 9 - 3 5 ）； 3 2 14.2≤AD ≤3； 15.0，4 或 1 ； 3 16.（1） 40 ；（2） 40 或 AP =5； 9 9 5 17.（1）9；PE ⊥BC ；（2）45°；弦 AP 的长＞劣弧 PQ 的长；（3）x ≥18. 18.存在；20°，40°或 100°； 19.（1）略； （2）0≤CD < 36 37 CD = 36 37 36 1 个； 2 个； 37 8 9 3 2 11
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