11. 简单的重叠数计算
学习目标:
1．学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语
言表述。
2．学生感知韦恩图的产生过程，初步培养学生的建模意识和能力，渗透多种方
法解决问题的意识。
3、培养学生初步养成善于观察、善于思考的学习习惯。
教学重点：
学生借助韦恩图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语言进行描述。
教学难点：
理解韦恩图各部分的意义，会解决简单重叠问题。
教学过程：
一、情境体验
展示ppt，脑筋急转弯游戏，猜对有奖。有2个爸爸，2个儿子在家看电视，
可是家里只有3个人，这是怎么回事呢？列式讲解。这就是我们今天要学习的
内容——简单的重叠数计算（板书课题）。
二、思维探索
展示例1
例1：两根同样长度的木条，像下图那样钉在一起，回答下列问题：
（1）如果两根木条各长100厘米，中间钉在一起的部分是10厘米，那么整根
钉在一起的木条长度是多少厘米？
师：两根木条各自一端对接在一起有多长？
生：100＋100＝200（厘米）。
师：两根如图钉在一起，跟刚才的两端对接在一起有什么不同？
生：变短了，中间有重叠的部分。
师：也就是说中间的重叠部分重复计算了一次，那钉在一起的木条长度是多少厘
米呢？（实物演示，让学生更好地理解）。
生：用总长度减去重叠的10厘米，200－10＝190（厘米）。
小结：总体＝各部分之和－重复的部分。
（2）如果钉起来的这根木条长165厘米，钉在一起的地方长15厘米，那么每根木条的长度又是多少厘米？
师：根据题意，钉起来的两根木条长度相同吗？
生：相同
师追问：那这两根木条长度之和是多少呢？
生：165+15=180（厘米）
师：能说说为什么吗？
生：因为钉在一起的部分就是重叠部分，两根之和比钉起来后的这根木条多了重叠部分。
师：理解非常透彻！那每根木条的长度是多少厘米呢？
生：180÷2=90（厘米）
小结：各部分之和＝总体+重复的部分。
（3）如果两根木条各长80厘米，钉成一根155厘米长的木条，钉在一起的地方长度是多少？
点生读题
师：两块木板长度相同吗？长多少？
生：一样长，都是80厘米。
师：两个木板如果只是靠在一起应该有多长？（用道具或者画图演示）
生：80+80=160（厘米）。
师：可是为什么按题目中这样钉只有155厘米，短了呢？
生：因为中间有钉在一起的部分。
师：没错，就是因为中间钉一起了，那么如何计算这部分的长度呢？（演示左边木板包含不重叠和重叠两个部分，右边木板也包含这两个部分，当两个木板加起来是总长度吗？引导学生理解两根木板长度相加，重叠部分多算了一次）
生：应该用160减去重叠部分得到总长度。
师：总长度是多少？
生：155。
师：160减去重叠部分得到155，那么重叠部分多长，现在会做了吗？
生：160－155＝5（厘米）。
小结：重复的部分=各部分之和－总体
三、思维拓展
例2：同学们去春游，每人都带了食品，其中带饮料的有78人，带水果的有73人，既带水果又带饮料的有40人。
（1）参加春游的同学一共有多少人？
（2）只带饮料的有多少人？只带水果的有多少人？
师：如果用一个圈表示带饮料的人数，另一个圈表示带水果的人数，那既带水果又带饮料的人数怎么表示呢？
生：就是两个圈重叠的部分
师：真棒！刚才我们画的这种图称为韦恩图(也叫文氏图)，是由英国数学家叫韦恩发明创造的，韦恩图常用来研究表示数学中的“集合问题”。你能根据韦恩图的表示，算一算参加春游的同学一共是78+73=151（人）吗？
生：不是，既带水果又带饮料的人重复计算了一次，所以参加春游的同学一共有151-40=111（人）。
师：对，仔细观察韦恩图，算一算只带饮料的有多少人？
生：从带饮料的人中减去既带水果又带饮料的人数，就是只带饮料的人数：78-40=38（人）。
师追问：对，那只带饮料的人数是韦恩图中的哪一部分呢？
生：带饮料圈中去掉重叠部分就是只带饮料的人数所表示的部分。
（老师在图中标示）
师：只带水果的人数是多少呢？请同学们自主完成，并在图中指出哪部分表示只带水果的人数。
生：只带水果的人数：73-40=33（人）
展示例3
例3：“六一”儿童节当天，全班40人到东湖去玩，有33人划了船，20人爬
了山，每人至少玩了一样。问：既划了船也爬了山的同学有多少？
师：每人至少玩了一样是什么意思？
生：有人只玩了一样，有人玩了两样。
师：40个人都参加了吗？
生：都参加了
师：对，划船和爬山的一共有多少人？
生：33+20=53（人）
师：可是全班也只有40人呀！
生：因为有的人玩了两样。
师：很好！我们一起根据题意画出韦恩图来分析
（老师引导学生画出韦恩图，并点学生说出各部分的意义）
师：根据韦恩图想一想，玩了两样的人数计算了几次？
生：2次
师：很好！也就是说人数达到53人，是因为重复计算了一次两样都玩的人，现在会列式解决了吗？
生：33+20-40=13（人）。
拓展延伸：你会计算只划船和只爬山的人数吗？
四、融会贯通
展示例4
例4：35个学生参加体育活动，其中打乒乓球的有20人，跳长绳和打乒乓球都参加的有6人。
（1）只打乒乓球的有多少人？
（2）只跳长绳的有多少人？
（3）跳长绳的有多少人？
师：你们能根据题意，画出韦恩图吗？
（学生自己尝试画，点人板书画图，老师巡视）
师：谁能说说图中每一部分的意义?
(学生指出）
师：只打乒乓球的有多少人？
生：20-6=14（人）
师：只跳长绳的有多少人呢？
生：35-20=15（人）
师：能说说你是怎么想的吗？
生：总共有35人参加体育运动，根据韦恩图，打乒乓球的有20人，剩下的就是只跳长绳的人。
师：对！看来你对韦恩图各部分理解很透彻，还有没有谁有其他的想法？
生2：还有一种方法：35-14-6=15（人），首先用总人数减去只打乒乓球的人数，剩下的就是跳长绳的人数，然后再减去两项都参加的人数，剩下的就是只跳长绳的人数。
师：对，真棒！第（3）问怎么解答呢？
生1：15+6=21（人）
生2: 35-14=21（人）
师:你们能说说这样列式的理由吗？
（学生回答）
师总结：借助韦恩图分析，熟练掌握韦恩图各部分表示的意义，问题就能迎刃而解。
三、综合拓展
展示例5
例5：外公买来8棵小树苗，要种在四边形花坛的四周，如果每边种3棵，这些小树苗够种吗？如果够，可以怎么种？要是外公买来16棵小树苗，行吗？如果每边要种5棵，需要多少棵树苗？
师：我们以前学过的正方形或长方形有几条边呢？
生：四条边
师：对，像这样有四条边的封闭图形我们称之为四边形，现在请同学们画一个四边形，看看每条边种3棵小树苗，8棵够不够？
（学生尝试动手画一画）
生：够。每边种3棵够，在每条边的两端都种。
师：那四条边，每条边种3棵，列式计算应该是3×4=12（棵），为什么实际只种了8棵呢？
生：因为四边形的4个顶点处都有一棵，每条边种3棵，但是每个顶点处的1棵都重复计算了一次，所以应该是3×4-4=8（棵）
师：很好！每边要种5棵，外公买来16棵小树苗，行吗？你先猜一猜，然后动手画一画进行验证。
生：如果每边种5棵，在每条边的两端都要种，需要4×5-4=16（棵）
例6：五一小学举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其它年级共展出多少画？
学生读题
师：题目中问的其它年级共展出多少画是指哪些年级画的数量之和？
生：是一、二、三、四年级画的数量之和。
师：对，既然题目中有没有具体给出哪一个年级画的数量，只能从条件一一进行分析。根据条件“其中18幅不是六年级的”，想想这18幅是哪些年级的作品呢？生：就是一、二、三、四、五年级画的作品。
师：对，也就是说18幅就是其它年级和五年级画的数量之和。那20幅不是五年级的，想想应该是哪些年级的作品呢？
生：是其它年级和六年级的作品。
师：理解能力真强！为了让数量关系更加清晰明朗，我们也可以画韦恩图来表示这些量。（见PPT）
师引导：观察韦恩图，说一说韦恩图的各部分各表示什么量？
（学生结合图分析）
师：其它年级共展出多少画呢？
生：（18+20-22）÷2=8（幅）。
五、总结
1. 解答重叠问题时，通常借助图形来分析；
2. 解答重叠问题常用数量关系：总体＝各部分之和－重复的部分。