2332高等数学基础习题
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1.函数2
e e x
x y -=-的图形关于（A ）对称．
(A) 坐标原点 (B) x 轴(C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1
sin
∞→x x
x (B) )0(1sin →x x
(C) )0()
1ln(→+x x (D) )(e
1∞→x x
3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（C ）
． (A) )(0x f ' (B) )(20x f '(C) )(0x f '- (D) )(20x f '-
4.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(ln 1
（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x
F +)1
(
5.下列积分计算正确的是（D ）． (A)
0d sin 1
1
=?
-x x x (B)
1d e 0
=?
∞
--x x
(C)
πd 2sin 0
=?
∞
-x x (D)
0d cos 1
1
=?
-x x x
6.函数2
22x
x y +=-的图形关于（B ）对称．
(A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y = 7.在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． (A) )0(1
sin →x x
x (B) )(1sin
∞→x x
x
(C) )0(ln →x x
(D) )(e ∞→x x
8.下列等式中正确的是（B ）． (A) x x x
d ln )1
(d =(B) x x x d )(ln d =
(C) x x
x d 3)3(d =(D) x x x d )(d = 9.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(1（C ）．
(A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 10.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A)
?
+∞
1
d 1
x x (B) ?+∞0d e x x (C) ?+∞1d 1x x
(D) ?+∞12d 1x x
11.函数2
e e x
x y -=-的图形关于（A ）对称．
(A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 12.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1
sin
∞→x x
x (B) )0(1sin →x x
(C) )0()
1ln(→+x x (D) )(e
1∞→x x
13.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（C ）
． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '-
14.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(ln 1
（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x
F +)1
(
15.下列积分计算正确的是（D ）． (A)
0d sin 1
1
=?
-x x x (B) 1d e 0=?∞
--x x (C) πd 2sin 0=?∞
-x x (D) 0d cos 1
1
=?-x x x
16下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
(A) 2
)()(x x f =，x x g =)( (B) 2)(x x f =
，x x g =)(
(C) 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= (D) 4
ln )(x x f =，x x g ln 4)(=
17设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A) x y = (B) y 轴 (C) x 轴 (D) 坐标原点 18当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
(A) x 1 (B) x
x sin (C) 1e -x
(D) 32x x
19设)(x f 在点1=x 处可导，则=--→h
f h f h )
1()21(lim
（D ）．
(A) )1(f ' (B) )1(f '- (C) )1(2f ' (D) )1(2f '- 20函数322
-+=x x y 在区间)4,2(内满足（B ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升(D) 单调下降 21若x x f cos )(=，则
='?x x f d )(（B ）
． (A) c x +sin (B) c x +cos (C) c x +-sin (D) c x +-cos
22
=+-?
-x x x x d )22cos (2π2
π7（D ）
． (A) 0 (B) π (C)
2
π
(D) 2π 23若)(x f 的一个原函数是x 1
，则=')(x f （B ）．
(A) x ln (B) 32x (C) x 1 (D) 21
x
-
24下列无穷积分收敛的是（B ）． (A)
?
∞
+0
d cos x x (B) ?
∞
+-0
3d e x x (C) ?
∞
+1
d 1x x
(D) ?
∞
+1
d 1
x x
25.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 26.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
(A)
x 1 (B) x x sin (C) 1e -x
(D) 2x
x 27.设x
x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim 0（B ）
． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 2
1
28.=?x x xf x
d )(d d 2
（A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(2
1 (C) )(21x f (D) x x xf d )(2
29.下列无穷限积分收敛的是（B ）． (A)
?
+∞
d e x x (B) ?+∞
-0
d e x x (C) ?
+∞
1
d 1
x x (D) ?+∞1d 1x x
30． 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。 A ．x ln B ． cos x x C ．sin x x D ． x
a 规律：（1）1．奇偶函数定义：
()()()()()(),;f x f x f x f x f x f x -=--=是奇函数，是偶函数；
（2）．常见的偶函数：224
3
,,...,,cos ,,x x x x x 常数
常见的奇函数：(
135
3
11,,,...,,sin ,ln ,ln
,ln 11x x
x x x x x x x x
+-+-+ 常见的非奇非偶函数：,,,,ln x
x
x
x
a e a e x --；
（3）．奇偶函数运算性质：
奇±奇=奇；奇±偶=非；偶±偶=偶；奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶×偶=偶；
（4）．奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称。 解：A ．非奇非偶； B ．奇×偶=奇（原点）； C ．奇×奇=偶（y 轴）； D ．非奇非偶 31．下列函数中（ B ）不是奇函数。
A ．x
x
e e --； B ．sin(1)x +； C ．x x cos sin ； D ．
(
ln x
解：A ．奇函数（定义）； B ．非奇非偶（定义）；C ．奇函数（奇×偶）；D ．奇函数（定义） 32．下列函数中，其图像关于y 轴对称的是（ A ）。
A ．2
sin(1)x - B ．cos x
e x C ． x
x
+-11ln
D ．cos(1)x - 解：A ．偶函数（y 轴）； B ．非奇非偶（定义）；C ．奇函数（常见）；D ．非奇非偶（定义） 33．下列极限正确的是（ B ）。
A ．01
lim 0x x e x
→-= B ． 33
11lim 313x x x →∞-=+ C. sin lim
1x x x →∞= D ． 01
lim(1)x x e x
→+=
解：A 错。∵0x →，1x
e -～x ∴01lim x x e x
→-=0lim 1x x x →=；
B 正确。分子分母最高次幂前的系数之比；
C 错。∵x →∞，
10x →即1x 是无穷小，sin 1x ≤即sin x 是有界变量，∴sin lim 0x x
x
→∞=；
D 错。第二个重要极限应为1lim(1)x x e x
→∞+=或1
0lim(1)x x x e →+=，其类型为1∞
。
34．当1x →-时，（ D ）为无穷小量。 A ．
2
11x x +- B ．1
sin 1
x + C ．cos(1)x + D ． ln(2)x + 解：A ． 211lim 1x x x →-+-0
011lim 2x x →-＝1
02
-≠； B ．1x →-，10x +→，
11x →∞+， 11
lim sin 1
x x →-+不存在；
C ．1x →-，cos(1)cos01x +→=；
D ．1x →-，ln(2)ln10x +→=。 35. 下列等式中，成立的是（ B ）。 A ．222x
x e
dx de --=- B ． 331
3
x x e dx de --=-
C
= D ． 1
ln 33dx d x x =
解：A ．错，正确的应为222x
x e
dx de ---= B 。 正确，333x x e dx de ---=即331
3
x x e dx de --=-
C
dx =．错，正确的应为
1
3ln 33d x d x x
= 36．设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（ C ）。 A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点 ； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点；
解：驻点定义：设()f x 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则0x x =是()f x 的驻点。驻点为可能的极值点。
37．函数()ln f x x =，则 3()(3)
lim 3
x f x f x →-=-（ D ）
。 A ． 3 ； B ．ln 3 ； C ． 1x
； D ．1
3
解一：3
()(3)
lim
3
x f x f x →-=-()()()333
1'3'l 1
n 3
'x x x f f x x x ======
=
解二： 3()(3)lim 3x f x f x →-=-3ln ln 3lim
3x x x →--0
0311
13
lim x x →= 38．设()sin f x x =，则0()
lim
x f x x
→=（ B ）
。 A ． 0 ； B ． 1 ； C ．2 ； D ． 不存在
()0
0sin :lim
lim 1x x f x x
x x →→==解一 ()()()
0sin 0:lim
lim sin cos 10
x x x x f x x x x x x ==→→-'====-解二
39．曲线3
2
391y x x x =--+在区间(1,3)内是（ A ）。
A ．下降且凹
B ．上升且凹
C ．下降且凸
D ． 上升且凸
解：
()()()22369323331,13,06613,0y x x x x x x x y y x x y '=--=--=-+'<<<''=''<<>在任取一点x 带入可知，曲线下降
－，
在中任取一点x 带入可知，曲线是凹的
40．曲线x
y e x =-在(0,)+∞内是（ B ）。
A ． 下降且凹；
B ．上升且凹；
C ．下降且凸；
D ．上升且凸 解：
()''10'0''0''0x x x
y e x e x y y e
x y =-=->>=>>曲线当时上升，，当时，，曲线是凹的
41
．曲线y =(1,2)M 处的法线方程为（ B ）。 A.2(1)y x -=-；B.2(1)y x -=--；C ．22(1)y x -=-- D.1
1(2)2
y x -=- 规律：曲线()y f x =在x=0x 处的法线方程为()()
()0001
y f x x x f x -=-
-'
解：(
)y f x ==(
)(
''f x ==
(
)1
'11f ===
故法线方程为B ．2(1)y x -=--；
42．下列结论中正确的是（ C ）。
A ．函数的驻点一定是极值点
B ．函数的极值点一定是驻点
C ．函数一阶导数为0的点一定是驻点
D ．函数的极值点处导数必为0
解：驻点定义：设()f x 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则0x x =是()f x 的驻点。驻点为可能的极值点。 43
．设函数()f x ==)(x df （ A ）。
A
； B
； C
．； D
解：(
()'si 'df x d d x dx ===-= 44．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是（ B ）。
A.)())((x f dx x f ='?
B.
)()(x f dx x f dx d b
a
=? C. c x f dx x f +='?)()( D. )()()(a f b f x f d b a
-=? 解：
A. 成立，(())()f x dx f x '=?
为不定积分的性质； B. 不成立，()b
a
f x dx =?
常数，而常数的导数为零；
C. 成立，()()f x dx f x c '=+?为不定积分的性质；
D. 成立，
()()()b a
d f x f b f a =-?
为牛顿－莱布尼兹公式。
45．设函数)(x f 的原函数为()F x ，则
211
()f dx x x =?（ A ）
。 A ． 1()F C x -+； B ．()F x C +； C ．1()F C x +； D ．1
()f C x
+
解：函数()f x 的原函数为()F x ?()()f u du F u C =+?，211
dx d x x
-=
211()f dx x x =?2111()11f dx f d x x x x F C x ??
??--=-= ? ????
-+ ???
??
??? 46．下列无穷积分为收敛的是（ B ）。 A.
sin xdx +∞?
B. 0
2x e dx -∞
? C.0
12x e dx --∞?
D.1
+∞? 规律：⑴
1,1(0)1,a
dx x αααα+∞≤>>?
发散收敛 ⑵00,,0,px
p e dx p --∞
≤>?收敛发散
⑶
sin a
xdx +∞?、cos a
xdx +∞?
发散 ⑷0
0,,N
0,n px p x e dx n p +∞
-≤∈>?
发散收敛
解：A.
sin xdx +∞?
；B.20p =-<，收敛； C.10p =>，发散； D. 1
12
α=
≤，发散 47．下列无穷积分为收敛的是（ C ）。 A.
2
1
x dx +∞?
B.1
+∞?
C. 2
1x dx +∞-? D. 21x
e dx +∞?
解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散；
48.函数2
22x
x y +=-的图形关于（B ）对称．
(A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y =
49.在下列指定的变化过程中，（ A ）是无穷小量． (A) )0(1
sin →x x
x (B) )(1sin
∞→x x
x
(C) )0(ln →x x
(D) )(e ∞→x x
50.下列等式中正确的是（B ）．
(A) x x x d ln )1
(d = (B) x
x x d )(ln d = (C) x x
x
d 3)3(d = (D) x
x x d )(d =
51.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(1（C ）．
(A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 52.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A)
?+∞
1d 1
x x
(B) ?+∞0d e x x
(C)
?
+∞
1
d 1x x
(D) ?
+∞
1
2d 1
x x
53.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点
54.当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量． (A)
x 1 (B) x
x sin (C) x
2 (D) 1)ln(+x
3.下列等式中正确的是（B ）． (A) (B)
(C)
(D)
55.下列等式成立的是（ A ）． (A)
)(d )(d d
x f x x f x
=? (B) )(d )(x f x x f ='? (C) )(d )(d x f x x f =? (D) )()(d x f x f =?
56.下列无穷限积分收敛的是（ C ）． (A)
x x d 11
?∞
+ (B) x x
d 1
1
?
∞
+ (C)
x x
d 1
1
3
4
?
∞
+ (D) x x d sin 1
?
+∞
1.函数2
e e x
x y -=
-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y =
57.在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量． (A) )(1
sin
∞→x x
x (B) )0(1sin →x x
(C) )0()
1ln(→+x x (D) )(e
1∞→x x
58.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（ C ）．
(A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 59.若
?+=c x F x x f )(d )(，则?
=x x f x
d )(ln 1
（B ）
． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C)
c x F x +)(ln 1 (D) c x
F +)1
( 60.下列积分计算正确的是（ D ）． (A) 0d sin 1
1=?-x x x (B) 1d e 0
=?∞--x x
(C)
πd 2sin 0
=?
∞
-x x (D) 0d cos 1
1
=?-x x x
二、填空题（每小题4分，共20分）
1.函数)
1ln(92
--=x x y 的定义域是 ]3,2()2,1( ．
2.函数?
?
?≤>-=0sin 0
1x x x x y 的间断点是 0=x ．
3.曲线1)(+=
x x f 在)2,1(处的切线斜率是
2
1
． 4.函数1)1(2
++=x y 的单调减少区间是 )1,(--∞ ． 5.='?
x x d )(sin c x +sin ． 6.函数2
4)1ln(x
x y -+=
的定义域是)2,1(- ．
7.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(21
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
8.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ． 9.函数x y arctan =的单调增加区间是 ),(∞+-∞ ． 10.若
?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin - ．
11.函数2
4)1ln(x
x y -+=的定义域是)2,1(-．
12.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(21
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
13.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是3 ． 14.函数x y arctan =的单调增加区间是 ),(∞+-∞ ． 15.若
?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin - ．
16.函数)
1ln(1
-+=
x x y 的定义域是 ),2()2,1(∞+ ．
17.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(1
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
18.曲线x x f =)(在)1,1(处的切线斜率是
2
1． 19.函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间是 ),0(∞+． 20.='?
x x d )(cos c x +cos ． 21.函数x x x
y ++-=
2)
2ln(的定义域是 )2,1()1,2[ - ．
22.函数?
??≤>+=0sin 0
2x x x x y 的间断点是0=x ．
23.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(31
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
24.曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是
4
1
． 25.函数1)2(2
--=x y 的单调增加区间是),2(∞+ ． 26．若?+=c x x x f 3sin d )(，则=)(x f x 3cos 3 ．
27．
=?x x
x d e d d 2
2e x ． 28
．函数ln(1)
y x =
-的定义域为12x x >≠且。
()40410121ln 1011
x x x x x x x x +≥?≥-???->??>≠>????-≠-≠??
解：且
29
．函数y =
的定义域是12x -<<。
2
101
1222
40x x x x x +>>-????-<??解： 30
．函数y =
的定义域是23x x ≥-≠且。 202
303
x x x x +≥≥-????
?-≠≠??解： 31．设2
(2)2f x x +=-，则)(x f 2
46x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2
(2)2f x x +=-
即()2
()22f t t =--＝2
42t t -+
亦即()f x =2
42x x -+
32．若函数4
(1),
0(),
x x x f x k x ??-≠=?
?=?在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()
()41
440
04
lim lim 1lim ,lim 1(0)x
x
x x x f x x x e f k k e -?--→→→→-=-=-==∴==x 0
函数f x 在x=0连0 续x 则f f
33．曲线x
y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()0
00x y y y x x '-=-
解：()
00
1x
x x y e
-=='=-=-，00001x y e ===时，
1(0)1y x y x -=--?-=-，
34. 函数ln(3)
1
x y x +=
+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)
1x y x +=+?3010x x +>??+≠?
?3x >-且1x ≠-?()()3,1,1,---+∞
35．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
()
()
1111
ln 1,0111
x x x y x x
y x y x ===''
==
=∴-=-?=-解：
36. 设函数(ln 2)y f x =可导，则=dy
1
'(ln 2)f x dx x
。 解：'dy y dx =＝[](ln 2)'f x dx ＝()'(ln 2)ln 2'f x x dx ＝()1
'(ln 2)
2'2f x x dx x
＝()1'(ln 2)
2'2f x x dx x ＝1
'(ln 2)f x dx x
37.（判断单调性、凹凸性）曲线32
1233
y x x x =-+在区间()2,3内是 单调递减且凹 。
解：()()24331,230y x x x x x y ''=-+=--<<
20y x y ''''=?
>?－4曲线是凹的
38．设2
()1f x x =+，则'))((x f f 2
41x + 。
解：()
2
'()1'2f x x x =+=，()()2
2
(())22141f f x f x x x '==+=+，
39．
131(1cos )x x dx --=?
0 。
解：3
x 是奇函数；1cos x 和是偶函数，由于偶+偶=偶，则1cos x -是偶函数， 因为奇?偶＝奇，所以3
x
()
1cos x -是奇函数，[]1,1-是对称区间
奇函数在对称区间上的积分为零 40．
1
1
(x x dx
-=? 23
。
解：
11
(x x dx -=
?
121
(x dx --=
?
11
2
1
1
x dx ---?
?
?偶＝奇）
，故1
1
0-=?； 而2
x 是偶函数，故
1
1
122301
22233
x dx x dx x -==
=?
? 41．设()()F x f x '=，则(ln 3)
f x dx x =? ()ln3F x C + 。
解：
()()11
ln 3ln 3ln 3x dx x dx d x x x
''=∴==
()()1
(ln 3)ln 3ln 3ln 3f x dx f x d x F x C x ==+??
42．已知()()F x f x '=，则2
(1)xf x dx -=?
()21
12
F x C -+ 。 解：()()()()()2
2222
111(1)12111222
xf x dx f x xdx f x d x F x C -=
-=--=-+?
?? 43．设()F x 为()f x 的原函数，那么(sin )cos f x xdx =? ()sin F x C + 。
分析：()F x 为()f x 的原函数?()()f u du F u C =+?，cos sin xdx d x =
解：
()()(sin )cos sin sin sin f x xdx f x d x F x C ==+??
44．设()f x 的一个原函数是sin x , 则()f x '= sin x - 。
解：()f x 的一个原函数为()F x ?()f x ＝'()F x ?()f x '=()sin ''x ＝()cos 'x ＝sin x - 45．0
()cos 2x F x t t dt =?，那么()F x ' cos2x x - 。
解：
()()
()x
a
f t dt f x '
=?
()
0()cos 2cos 2x
F x t t dt x x ''?=-=-?
46．
()02t x d
t e dt dx -=?_______2x x e --__________。 解：
()02t
x
d t
e dt dx
-=?
()
20
x t d
t e dt dx
--=?
2x x e --
47．设sin 0
()x
t
F x e dt -=?，则()2
F π' 1e - 。 解：()()
sin
sin sin 120
2x t
x
F x e
dt e
F e e π
π----'
??''==?== ???
?
48．
02
cos x d t dt dx
?= 2cos x - 。 解：02cos x d t dt dx ?＝－2
cos x d t dt dx ?＝2cos x -
49.函数)
1ln(1
-+=
x x y 的定义域是),2()2,1(∞+
50.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(1
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
51.曲线x x f =)(在)1,1(处的切线斜率是
2
1． 52.函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间是),0(∞+．
53.='?
x x d )(cos c x +cos ．
54.函数2
4
)(2--=
x x x f 的定义域是),2(]2,(∞+--∞ ．
55.函数1
2
++=
x x y 的间断点是1-=x ． 56.曲线x
x f 1)(=
在)1,1(处的切线斜率是2
1
-
． 57.函数)1ln(2
x y +=的单调增加区间是),0(∞+． 58.=?
-x x d e
d 2
x x d e 2
-．1.函数2
4)1ln(x
x y -+=
的定义域是)2,1(- ．
59.若函数???
??≥+<+=0
0)
1()(21
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
60.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是3． 61.函数x y arctan =的单调增加区间是),(∞+-∞ ． 62.若
?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f x sin -．
三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1
)
1sin(lim 21-+-→x x x ．
解：21
)1)(1()1sin(lim 1
)1sin(lim
121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 2.设x
x y e cos ln +=，求'y ． 解：x x x
y e sin e 1
-=
' 3.计算不定积分
?x x x
d e
21．
解：由换元积分法得
c u x x x
u
u x x
+-=-=-=???e d e )1(d e d e 121
c x +-=1
e
4.计算定积分
?
e
1
d ln x x ．
解：由分部积分法得
??
-=e 1
e
1e
1
)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e
1
?=-=x
5.计算极限x
x
x 5sin 6sin lim
0→．
解：56
55sin lim 66sin lim
5
655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim
0000=?=?=→→→→x
x x x
x x x x x x x x x x 6.设2
2sin x x y x
+=，求y '．
解：由导数四则运算法则得
4
224222sin 22ln 2cos )2(sin 2)2(sin x
x x x x x x x x x x x y x
x x x --+=+-'+=' 3
1
2sin 22ln 2cos x x x x x x x +--+=
7.设x
y e sin 2
=，求'y ．
解：)e 2sin(e e cos e sin e 2x
x
x
x
x
y =='
8.设y y x =()是由方程y
x y e cos =确定的函数，求d y ． 解：等式两端求微分得
左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +==y x x x y d cos d sin +-= 右端y y
y
d e )e (d ==
由此得y y x x x y y
d e d cos d sin =+- 整理后得x x x
y y y
d e
cos sin d -=
9.计算不定积分?
x x x d 3cos ． 解：由分部积分法得
??-=
x x x x x x x d 3sin 313sin 31d 3cos c x x x ++=3cos 91
3sin 31 10.计算定积分?+e 1d ln 2x x
x
． 解：由换元积分法得
???
=++=+32e 1e
1
d )ln 2()d ln 2(d ln 2u u x x x x
x
2
5
23
2
2=
=
u 三．计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-??
?+??
2、求极限24lim 43x
x x x →∞??
?+??
解：∵
4141221414141x x x x x -+--==++++ 解：∵44333
1434343
x x x x x +--==+
+++ ()212lim
41x x x →∞--+＝1 32lim 43x x x →∞-?+3
＝-2
∴原题＝e ∴原题＝3
2
e
-
3、求极限01lim ln(1)
x x e x x x →--+解：∵0x →，()ln 1x +～x ，1x
e -～x
∴原题＝01lim
x x e x
x x
→--?()()0
2
1lim
x
x e x x →'
--'
=01
lim 2x x e x →-0lim 2x x e →＝12
4
、求极限x →解：∵0x →，sin3x ～3x
1～2x -
∴原题＝03lim
2x x x →-＝3
2
-
5、求极限20ln(13)lim sin 2x x x x
→-解：∵0x →，2ln(13)x -～2
3x -，sin 2x ～2x
∴原题＝203lim 2x x x x →-?＝3
2
-
6、求极限sin 201
lim tan 4x x e x
→-
解：∵0x →，sin 21x
e
-～sin 2x ～2x ，tan 4x ～4x
∴原题＝02lim
4x x x →＝12
7、设函数3
ln(2)y x x =-，求dy 解：()()33
''ln(2)ln 2'y x
x x
x =-+-????()23
13ln(2)2'2x x x x x
=-+?-- 3
2
3ln(2)2x x x x
=---
dy 323ln(2)2x x x dx x ??-??-?
?=-
8
、设函数(
cos x
y x e =-，求dy 。
解：3cos 2
2x
y xe
x =-
()3cos 2''2'x
y xe
x ??=- ???
()1cos cos 2'3x x e x e x =+-()1
cos cos 2cos '3x x
e xe x x =+- 1
cos cos 2
sin 3x
x
e
x xe
x =--
dy 1
cos cos 2sin 3x x
e x xe x dx ??-- ???
=
9、设函数2
1
2cos(ln 2)x
y x e e -=++，求dy 。
解：(
)
2
1
2cosln 2x
y x e
e -''=++
()()
()212cosln 2x x e e -'
''=++
()()2
12sin ln 2ln 210x x x e x -''=-+-+
()
()211
sin ln 2222x x x e x x
-'=-+? 21sin ln 2x x xe x
-=-+
21sin ln 22x x x y x d e dx -??
+ ???
=-
10、设函数32x
e y x
=-，求dy 。
()()()()()()()
()3333322
22321222x x x x x e x e x e x x e e y x x x ''''------??'=== ?---??
解： ()()332322x x e x e x -+=- ()()
332
322x x
e x d e y dx x -+-=
11、设函数sin 3cos 1
x
y x =
+，求dy 。
解：()()()()
2
sin 31cos sin 31cos sin 31cos 1cos x x x x x y x x '''+-+?
?'== ?+??+ ()()()
()
2
cos331cos sin 3sin 1cos x x x x x x '+--=
+
()()2
3cos31cos sin 3sin 1cos x x x x
x ++=
+
()()
2
3cos31cos sin 3sin 1cos d x x x x
dx x y +++=
12、计算不定积分 2
sin
2
x x dx ?
2:x 解 2x 2 0
+ — + sin
2x 2cos 2x - 4-sin 2x 8cos 2x
2
sin 2
x
x dx ?
＝2
2cos 8sin 16cos 222
x x x
x x C -+++ 13、计算不定积分 3x
xe
dx -?
解：x 1 0
＋ —
3x e - 313x e -- 31
9x e -
3x
xe dx -?＝313x xe --319
x e C --+ 14.计算极限4)2sin(lim 22--→x x x 解：41
2.设x
x x y e sin 2+=，求y ' 解：x
x x x x e sin cos 22+++ 3.设2
e sin x y =，求'y ． 解：2
2
e cos e
2x x x
4.设y y x =()是由方程3
e ln y x y
=+确定的函数，求d y ．解：
x y x y d )
e 3(12-
5.计算不定积分?
x x x d 1
cos
2
． 解：c x +-1sin 6.计算定积分?e 1d ln x x x ． 解：
9
4
e 923+ 15.计算极限4
58
6lim 224+-+-→x x x x x ．
16. 解：3
2
)1)(4()2)(4(lim 4586lim 42
24=----=+-+-→→x x x x x x x x x x 17.设x x x y ln cos ln 2
+=，求
．
解：由微分运算法则得
)ln (d )cos (ln d )ln cos (ln d d 2
2
x x x x x x y +=+=
)(ln d )(d ln )(cos d cos 1
22x x x x x x ++=
x x
x x x x x x x d 1
d ln 2d cos sin 2?++-=
x x x x x d )ln 2tan (++-=
18.计算不定积分
x x
x d cos ?
．
解：由换元积分法得
c x x x x x
x +==??
sin 2)d(cos 2d cos
19.计算定积分
?
e
1
d ln x x x ．
解：由分部积分法得
??
-=e 1
2
e
1
2e
1
)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x
4
14e d 212e 2e 12+=-=?x x 20.计算极限1
)
1sin(lim 21-+-→x x x ．
解：21
)1)(1()1sin(lim 1
)1sin(lim
121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 21.设x
x
y 3e cos +=，求y d ．
解：)3(d )e (cos d )3e (cos d d x
x
x
x
y +=+= x x
x
x
ln3d 3)e (d e sin +-= x x x
x
x
ln3d 3d e sin e +-= x x
x
x
ln3)d 3e sin e (+-=
22.计算不定积分
?x x x
d e
21．
解：由换元积分法得
c u x x x
u
u x x
+-=-=-=???e d e )1(d e d e 1
21
c x
+-=1
e
23.计算定积分
?
e
1
d ln x x ．
解：由分部积分法得
??
-=e
1
e
1e
1
)d(ln ln d ln x x x x x x
1d e e
1
?=-=x
24.设x
x y e cos ln +=，求．
解：x x x
y e sin e 1
-=
' 四、应用题（本题16分）
1某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为
r
V r rh r S 2π2π2π222+=+= 2
2π4r V r S -
=' 由0='S ，得唯一驻点3
π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3
π2V 与3π
4V
时，用料最省． 2 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
2
22l r h =+ 圆柱体的体积公式为 h r V 2
π= 将2
22h l r -=代入得
h h l V )(π2
2
-= 求导得
)3(π))(2(π2
2
2
2
2
h l h l h V -=-+-='
令0='V 得l h 33=
，并由此解出l r 36=．即l r 36=，高l h 3
3=时，圆柱体的体积最大．
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数
2332高等数学基础习题 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.函数2 e e x x y -=-的图形关于（A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴(C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1 sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x (C) )0() 1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x 3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （C ） ． (A) )(0x f ' (B) )(20x f '(C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若 ?+=c x F x x f )(d )(，则? =x x f x d )(ln 1 （B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x F +)1 ( 5.下列积分计算正确的是（D ）． (A) 0d sin 1 1 =? -x x x (B) 1d e 0 =? ∞ --x x (C) πd 2sin 0 =? ∞ -x x (D) 0d cos 1 1 =? -x x x 6.函数2 22x x y +=-的图形关于（B ）对称． (A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y = 7.在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． (A) )0(1 sin →x x x (B) )(1sin ∞→x x x (C) )0(ln →x x (D) )(e ∞→x x 8.下列等式中正确的是（B ）． (A) x x x d ln )1 (d =(B) x x x d )(ln d = (C) x x x d 3)3(d =(D) x x x d )(d = 9.若 ?+=c x F x x f )(d )(，则? =x x f x d )(1（C ）． (A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 10.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A) ? +∞ 1 d 1 x x (B) ?+∞0d e x x (C) ?+∞1d 1x x (D) ?+∞12d 1x x
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质
(1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）；
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A
数学类专业硕士入学考试大纲 考试科目代码及名称：880 数学基础综合 一、考试要求 熟练、完整掌握《高等代数》及《数学分析》的基本概念、基础 理论和重要思想方法，具备抽象思维和代数、分析问题的能力，并能 灵活运用所学知识解决各种类型的问题。 二、考试内容 高等代数部分： （1）行列式 行列式的定义、性质，行列式的计算，Cramer法则。 （2）线性方程组 高斯消元法，向量空间，线性相关（无关），极大线性无关组，向量组的秩，矩阵的秩，线性方程组解的理论。 （3）矩阵 矩阵的各种运算，矩阵逆，矩阵乘积的行列式，分块矩阵的理论，初等矩阵，矩阵在初等行（列）变换下的标准型。 （4）二次型 二次型的矩阵表示，二次型的标准形，惯性定律，正定二次型及其判定，实对称矩阵初步理论。 （5）线性空间 线性空间与子空间的概念，基、维数、坐标，基变换与坐标变换，子空间的交与直和，线性空间的同构。
（6）线性变换 线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，矩阵相似于对角矩阵，线性变换的像与核，不变子空间，特征多项式、极小多项式，Jordan标准形。 数学分析部分： （1）数列与函数极限、连续 收敛数列的性质，数列极限存在的条件，特殊极限，函数极限存在的条件，无穷大量与无穷小量，连续函数的性质。 （2）导数和微分 导数的定义、导数的几何意义，导数四则运算，反函数的导数、复合函数求导、参变量函数求导、高阶导数、微分。 （3）微分中值定理 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、不定式极限与洛必达法则，泰勒公式、函数的极值与最值。 （4）一元函数积分 换元法与分部积分法、有理函数的积分、牛顿-莱布尼茨公式、可积条件、定积分的性质、定积分应用、反常积分。 （5）级数理论 正项级数收敛性判别法、一般项级数敛散性、函数项级数的一致收敛、幂级数的收敛半径，幂级数运算、函数的幂级数展开、Fourier 级数。 （6）多元函数微分学 二元函数的连续性、多元函数的偏导数与可微性、复合函数微分法、方向导数与梯度、泰勒公式与极值问题、隐函数求导、隐函数组、多元函数的几何应用。 （7）重积分、曲线积分与曲面积分
一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .
高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订）
高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→=
《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D).
6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则=(B). 9.函数在区间(2,4)内满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.
12.当，变量(C)是无穷小量. 13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量.
18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)内满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
高高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
【高等数学基础】形考作业1参考答案 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称; 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos =
复旦大学数学类基础课程 《数学分析II》教学大纲 数学分析（I ）学分数5 周学时4+2 总学时96 （讲课64，习题课32） 数学分析（II ）学分数5 周学时4+2 总学时96 （讲课64，习题32） 数学分析（III ）学分数4 周学时3+2 总学时80 （讲课48，习题32） 课程性质与基本要求 课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。 本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I ），数学分析（II ），数学分析（III ）。 基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 教学方式与指导思想 教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。 指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。 教学内容，教学要求与学时分配
学时（含习题课）数学分析（II ） 第七章定积分（§4 —§6） 15 §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 9 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 21 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对 称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ）
1 天津大学研究生管理数学基础试题 （考试日期：2017年11月11日） 专业_________________ 姓名____________ 学号__________________ 成绩_________ 一.（15分）设矩阵A =111 1 3927111- 2 3927111- - 3 3927111- - - 43927???????????????????????? ， （1）求A 的圆盘，并作图示； （2）基于（1）说明：A 相似于对角形矩阵。 二．（15分）设(,)X 是线性赋范空间，则可由其范数定义一个泛函()=f x x 。请问该泛函f 是否线性泛函？为什么（说明原因和写出分析过程）？ 三.（18分）设[0,1]C 上的范数为01 max ()t x x t ≤≤=，定义算子:[0,1][0,1]T C C →为()()Tx t tx t =，证明([0,1],[0,1])T B C C ∈，并求T 。 四.（15分）设221, 0() , 0 ?-+≤?=?>??x x x x f x e x ，分别求次微分(0)?f 和()?f x ，并作()?f x 的图示。 五．（17分） （1）设模糊集12345 050610703+++~....=+A x x x x x ，分别求当=1λ，0.7，0.6，0.5，0.3时的截集A λ； （2）已知模糊集~B 的截集λB 如下，求~ B 。
2 12345123513513 302020505060607071λλλλλλ≤≤??<≤=<≤?<≤<≤{,,,,} 0.{,,,} ..{,,} ..{,} ..{} .x x x x x x x x x B x x x x x x ，，，，， ??????。 （注：本试卷满分为80分，平时成绩占20分。）
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为
高等数学
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。