第五章数理统计的基础知识
在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。
但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。
例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。
2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1）
分布，但其中的参数p未知。
对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。
数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。
数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类：
一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。
二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。
第一节数理统计的基本概念
一、总体与总体的分布
在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系.
在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。
例如：研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。
但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X表示该批灯泡的寿命）。则X就是我们研究的总体（所有灯泡寿命的集合），每一个灯泡的寿命就是一个个体。
再如：考查某一群体的身高和体重，则全体人员的（身高、体重）是总体，每个人的身高和体重是个体。
由此给出定义：
总体：对所研究对象的某些指标进行试验，将试验的全部可能的观测值称为总体记为X。
个体：每一个可能的观测值称为个体。
对不同的个体，X的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个个体就会得到X的一种数值，但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以X是一个随机变量或随机向量，而X的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。
为方便起见，以后我们将X的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称随机变量X为总体，X的分布也就是总体的分布。
例如：正态总体：是指表示总体某个数量指标的随机变量服从正态分布。
【注1】总体的分布一般情况下是未知的，这就需要利用总体中部分个体的数据资料来
对总体服从的分布进行检验—这是分布拟合检验（非参数检验）问题；有时即使知道总体所服从的分布，但分布中的参数未知，这也需利用利用总体中部分个体的数据资料来对总体服从的分布中的未知参数进行统计推断（参数估计）。而这就需要从总体中抽取若干个体进行观察，从中获得研究总体的一些观察数据，然后通过这些数据的统计分析，对总体的分布进行判断或对总体的参数做出合理的估计。而一般的方法是按照一定的原则从总体中抽取若干个体进行观察，这个过程称为随机抽样。 二、样本与样本的分布
由于每个个体的观察结果具有随机性，因此可以将第i 次抽取的个体记为i X ，则为随机变量，为此引入以下概念。
1、样本：从一个总体X 中，随机的抽出n 个个体12,,,n X X X ，
通常记为),,,(21n X X X 这样取得的12,,
,n X X X 称为总体X 的一个样本。样本所含的个体数目称为样本容量.
【注2】：（1）由于每个i X 都是从总体X 中随机抽出的，因此是一个随机变量，而样本),,,(21n X X X 就是n 维的随机向量。 （2）在依次取n 个个体12,,
,n X X X 观测完毕后，得到n 个具体的数据),,,(21n x x x ，
称为样本),,,(21n X X X 的观测值—样本值。
因此样本本身是随机向量，而一经抽取就是一组确定的数值，这就是所谓的样本两重性。 2、简单随机样本
我们的目的是根据从总体中抽取的一个样本值),,,(21n x x x 对总体X 的分布或某些特征进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本),,,(21n X X X 满足：
（1）具有代表性。即样本的每个分量X i 与总体X 有相同的分布； （2）具有独立性。即12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，也就是说，n 次观察值之
间是互相独立的；
满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单随机样本。
在实际问题中，抽取简单随机样本的方法很简单：
（1）放回抽样；
（2）不放回抽样：有限总体，当样本容量远小于总体容量时，不放回近似代替放回； 无限总体，总是用不放回抽样.
综合上述，给出明确的数学概念：
定义一：一个随机变量X 或其相应的分布函数（分布律、密度函数）称为一个总体。
定义二：若随机向量12,,,n X X X 是相互独立的随机变量且每个分量X i 与总体X 有相同的
分布，则称12,,
,n X X X 是来自总体的容量为n 的简单随机样本。
简单随机样本的分布有如下性质：
设总体X 的分布函数为()F x (称为总体分布函数)，或密度函数()f x 或分布律（称为总体概率密度），则来自总体的样本),,,(21n X X X 的 联合分布函数：121(,...)()n
n i
i F x x x F x ==
∏，称为样本分布函数
联合密度函数：121
(,...)()n
n i
i f x x x f x ==
∏，称为连续样本密度函数
联合分布律：1211221
(,,)(,...)()n
n n n i i p x x x P X x X x X x P X x =======∏，称为离散
样本密度
【例1】 总体X 服从参数为p 的（0-1）分布，{1},{0}1P X p P X p ====-,求
),,,(21n X X X 的分布。
【解】由题意X 的分布律为1{}(1),(0,1)x
x
P X x p p x -==-=，
设12(,,
,)n x x x 为来自X 的简单随机样本值，则),,,(21n X X X 的联合概率分布为
1
1
11211221(,,
)(,...)(1)
(1)
n
n
i
i
i
i
i i n
x n x x x n n n i p x x x P X x X x X x p p p
p ==-
-=∑
∑=====-=-∏
【例2】总体X 服从2
(,)N μσ，求样本),,,(21n X X X 的联合密度函数. 【解】设12(,,,)n x x x 为来自X 的简单随机样本值，则),,,(21n X X X 的联合概率
分布为
2212211
11(,,
,)()]exp{()}
22n
n
n i n i i i x f x x x x μμσσ==-=-=--∑三、统计推断问题简述
总体和样本是数理统计中的两个基本概念. 样本来自总体，自然带有总体的信息，从而可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）. 另一方面，由样本研究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）. 我们称通过总体X 的一个样本n X X X ,,,21 对总体X 的分布进行推断的问题为统计推断问题.
总体、样本、样本值的关系:
总体
↙ ↖推断
（个体）样本 → 样本值
抽样
在实际应用中, 总体的分布一般是未知的, 或虽然知道总体分布所属的类型, 但其中包含着未知参数. 统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断.
通过观察或试验得到的样本值，一般是杂乱无章的，例如： 例1样本的一些例子与观察值的表示方法:
(1) 某食品厂用自动装罐机生产净重为345克的午餐肉罐头, 由于随机性, 每个罐头的净重都有差别. 现在从生产线上随机抽取10个罐头, 秤其净重, 得如下结果:
344 336 345 342 340 338 344 343 344 343
这是一个容量为10的样本的观察值, 它是来自该生产线罐头净重这一总体的一个样本的观察值.
(2) 对363个零售商店调查周售额(单位:元)的结果如下:
15
42
110
135
61
]30000,20000(]20000,10000(]10000,5000(]5000,1000(1000商店数
零售额≤
这是一个容量为363的样本的观察值, 对应的总体是所有零售店的周零售额. 不过这里没有给出每一个样本的具体的观察值, 而是给出了样本观察值所在的区间, 称为分组样本的观察值.这样一来当然会损失一些信息, 但是在样本量较大时, 这种经过整理的数据更能使人们对总体有一个大致的印象.
通过该例可以看出，以上的两种样本值的表示方法，虽然能够反应出总体的一些大致的信息，但不够直观，判断不出总体服从什么分布。为了对总体的分布有一个大致的判断，就需要对所获得的样本值进行整理，而分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法.
四、分组数据统计表和频率直方图
1. 分组数据表：若样本值较多时，可将其分成若干组，分组的区间长度一般取成相等, 称区间的长度为组距. 分组的组数应与样本容量相适应. 分组太少，则难以反映出分布的特征，若分组太多，则由于样本取值的随机性而使分布显得杂乱. 因此，分组时，确定分组数（或组距）应以突出分布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则. 区间所含的样本值个数称为该区间的组频数. 组频数与总的样本容量之比称为组频率.
2. 频数直方图：
设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，又设总体具有概率密度f ，如何用样本来推断f ？注意到现在的样本是一组实数，因此，一个直观的办法是将实轴划分为若干小区间，记下诸观察值i X 落在每个小区间中的个数，根据大数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体在每一小区间上的密度。具体做法如下：
设n x x x ,,,21 是样本的n 个观察值.
(i) 求出n x x x ,,,21 中的最小者)1(x 和最大者)(n x ；
(ii) 选取常数a （略小于)1(x ）和b （略大于)(n x ），并将区间],[b a 等分成m 个小区间（一般取m 使
n
m
在101左右）： m
a
b t m i t t t i i -=
?=?+,,,2,1),,[ , 一般情况下，小区间不包括右端点.
(iii) 求出组频数i n ，组频率i i f n
n ?
=，以及
),,2,1(,n i t
f
h i i =?=
(iv) 在),[t t t i i ?+上以i h 为高，t ?为宽作小矩形，其面积恰为i f ，所有小矩形合在一起就构成了频率直方图
频率直方图能够大体刻画总体的分布情况。 实际上，我们就是用直方图对应的分段函数
1(),(,],1,2,
,j n j j i
f x x t t j m t -Φ=
∈=?
来近似总体的密度函数)(x f ．这样做为什么合理？我们引进“随机变量”，对每个小区间
],(1j j t t -，定义
则i Y 是独立同分布于两点分布：
1{}(1),01x x i P Y x p p x -==-=或
其中1{(,)}i j j p P X t t -=∈，由大数定律，我们有
1
11
1{(,]}()()j
j t n
j
j i i j j j t n f X EX p P X t t f x dx n n n --===→==∈=→∞∑?
以概率为１成立，于是当n 充分大时，就可用j f 来近似代替上式右边以)(x f (∈x ],(1j j t t -)为曲边的曲边梯形的面积，而且若m 充分大，j t ?较小时，我们就可用小矩形的高度j j n t f x ?=Φ/)(来近似取代],(),(1j j t t x x f -∈.
课本例4 ：
根据频率直方图可见，该零件的质量服从正态分布，其数学期望大约为209，这可通过第七章的分布拟合进行检验。
【注2】样本的频率直方图可以形象地描述总体的概率密度的大致形态。 五、经验分布函数
对于总体X 的分布函数F （未知），设有它的样本n X X X ,,,21 ，我们同样可以从样本出发，找到一个已知量来近似它，这就是经验分布函数)(x F n .
定义 设总体X 的一个容量为n 的样本的样本值n x x x ,,,21 可按大小次序排列成
.)()2()1(n x x x ≤≤≤
,)1()(+<≤k k x x x 若则不大于x 的样本值的频率为.n
k
因而函数
111,(,],1,2,
,0,(,]i j j i i j j X t t Y i n
X t t --∈??==????
若若
???
????≥<≤<=+.,1,,,,0)()()1()()1(n k k n x x x x x n
k
x x x F 若若若
与事件}{x X ≤在n 次独立重复试验中的频率是相同的，我们称)(x F n 为经验分布函数。
【注3】)(x F n 是一个阶梯状的函数，在)(k X x =，n k ,,2,1 =处有跃度为n
1的间
断点，若有l 个观察值相同，则)(x F n 在此观察值处的跃度为l n
．对于固定的x ，)
(x F n 即表示事件｛x X <｝在n 次试验中出现的频率，即n
x F n 1
)(=
{落在),(x -∞中i X 的个数}。用与直方图分析相同的方法可以论证)(x F n →)(x F ，∞→n ，以概率为１成立。
经验分布函数的图形如图．
对于经验分布函数)(x F n , 格里汶科(Glivenko)在1933年证明了以下的结果: 对于任一实数x , 当∞→n 时)(x F n 以概率1一致收敛于分布函数)(x F , 即
.1}0|)()(|sup lim {==-∞
<<∞-∞→x F x F P n x n
因此, 对于任一实数x 当n 充分大时, 经验分布函数的任一个观察值)(x F n 与总体分布函数)(x F 只有微小的差别, 从而在实际中可当作)(x F 来使用.
课本例5
【注4】由图可以看出，经验分布函数是一个阶梯状的曲线，我们可以想象，当样本容量增大时，相邻两阶梯的跃度将降低，阶梯的宽度将变窄，这样阶梯状的折线几乎能变成一条曲线，则经验分布函数非常接近总体的分布函数。这就是由样本推断总体其可行性的最基本的理论依据.分布拟合检验的理论依据.
六 统计量
样本是总体的代表和反映，但在抽取样本后，由于样本只是呈现为一堆“杂乱无章”的数据，虽然通过频率直方图或经验分布函数能够大致了解总体的分布曲线，但无从知道总体到底服从什么分布，因此需要对样本的观测值进行加工和提炼.
课本例6
试对该该工厂的工人周工资的水平和收入悬殊程度做个大致分析。显然,如果不进行加工，面对这大堆大小参差不齐的数据，你很难得出什么印象。但是只要对这些数据稍事加工，便能作出大致分析：如记各工人的周工资数为1230,,
,X X X ，则考虑
30
1
1153.530i i x x ===∑
它反映了该厂工人周工资的一般水平；
收入的差别程度可以考虑
13.5s == 这说明收入的差别不大，当然这需要一定的参照资料。由此可见对样本的加工是十分必要的。
对样本加工，主要就是构造统计量。
定义：设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，),(21n X X X T T =为一个n 元连续函数，若12
(,)n T X X X 中不含任何未知参数，则称12
(,)n T X X X 为一个统计量。
例：设总体X 服从正态分布N （μ，2
σ），其中μ，2
σ未知。n X X X ,,,21 是从正态总体X 中抽取的一个样本，则
∑=n i i X n 11，∑=n
i i X 1
2
,均是样本的统计量，
而μ-∑=n i i x n 11， ∑=n
i i
x
1
2
2
1σ
，都不是统计量.
【注4】：统计量常用大写字母表示，若样本取得一组具体的数字，统计量用小写字母表示。 七、常用的统计量—样本矩-样本的数字特征 复习：随机变量矩的定义
设X 与Y 是随机变量。若),2,1)(( =k X E k
存在，则称它为X 的k 阶原点矩.
若),2,1()]([ =-k X E X E k
存在，则称它为X 的k 阶中心矩.
常见的统计量
设n X X X ,,,21 为总体X 的样本，则下列各量均是统计量，它们今后要经常被用到。
（1）∑==n
i i X n X 1
1,X 称为样本均值-- 一阶样本原点矩。（反映总体均值的信息）
（2）22
22
11
11()()11n n
i i i i S X X X nX n n ===-=---∑∑,2S 称为样本方差。 （反映总体方差的信息） （3）2S S =
,S 称为样本标准差。
（4）∑==n i k
i k X n A 1
1,k A 称为样本k 阶原点矩)。（反映总体k 阶矩的信息）
（5）∑=-=n
i k i k X X n B 1
)(1,k B 称为样本k 阶中心矩。（反映总体k 阶中心矩的信息）
如果取得样本),,,(21n X X X 的观测值),,,(21n x x x ，则由上述的公式可得到相应的样本矩的观测值，分别被称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k 阶矩、样本k 阶中心矩。
（6）顺序统计量 将样本中的各分量按由小到大的次序排列成
,)()2()1(n X X X ≤≤≤ 则称)()2()1(,,,n X X X 为样本的一组顺序统计量, )(i X 称为样本的第i 个顺序统计量.
特别地,
称(1)12min{,,,}n X X X X =称为最小顺序统计量，也称为样本极小值； 称()12max{,,
,}n n X X X X =称为最大顺序统计量，也称为样本极大值,
称)1()(X X n -为样本的极差.
称?????
+=++
},{2
1,)12()2()
21(*
为偶数为奇数n X X n X M n n n 为样本中位数
注意，对于简单随机样本()n X X X ,,,21 ，各个观测值n X X X ,,,21 是独立并且与总体X 同分布的随机变量，然而)()2()1(,,,n X X X 既不独立也不同分布．
实际上，最小顺序统计量(1)X 的分布就是最小分布，最小顺序统计量()n X 的分布就是最大分布.
【例7】 设电子元件的寿命X 服从参数0.0015λ=的指数分布，今独立测试6n =个元件，记录它们的失效时间。求
（1）没有元件在800小时之间失效的概率；（2）没有元件最后超过3000小时的概率。
【解】由题意，0.00151,0()0,
x e x F x other -?->=??
设126,,
,X X X 分别表示6个元件的寿命，则126,,,X X X 独立同分布于X ，
由题意知，“没有元件在800小时之间失效”等价于(1)126min{,,,}800X X X X =>；
“没有元件最后超过3000小时”等价于()126max{,,,}3000n X X X X =<。所以
（1）(1)126{min{,,
,}800}P X X X X =>
6
67.21
{800}[1{800}]i i P X P X e -==>=-≤=∏
（2）()126{max{,,
,}3000}n P X X X X =<
6
6 4.561
{3000}[(3000)][1]i i P X F e -==<==-∏
我们关心的问题是如何用以上统计量的观测值去推断总体的分布，即总体的数字特征。 一、 相关的理论依据
1、 样本的k 阶原点矩依概率收敛于总体的k 阶原点矩
定理：如果总体X 的k 阶原点矩k
k EX u =存在，则有1
1lim {||}1n k
k n k P X u n ε→∞=-<=∑
证明：12....n X X X X 因为相互独立且与同分布，所以
121.......k k k k k k
k n n k X X X X EX EX EX u ====因而相互独立且与同分布，所以
从而由辛钦大数定律有1
1lim {||}1n k k n k P X u n ε→∞=-<=∑， 即：p k k A u ??→
2、 样本矩的函数以概率收敛于总体矩的函数
11(,...,)(,...,)p k k g A A g u u ??→
以上两条是：下一章矩估计法的理论依据。，即可用样本观测值的k 阶原点矩去估计总
体的k 阶原点矩（特别的，可用样本（观测值）的均值去估计总体的均值（数学期望）；参数估计的理论依据。
3、 当n 充分大时，可用样本观测值的经验分布函数来近似代替总体分布函数。
第二节 常用统计分布
统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础。在使用统计量进行推断时必须要知道它的分布。在数理统计中，统计量的分布称为抽样分布，因而确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一。下面我们介绍三类重要的分布.
一 分位数
设随机变量X 的分布函数为)(x F , 对给定的实数),10(<<αα 若实数αF 满足不等式
αα=>}{F X P ,
则称αF 为随机变量X 的分布的水平α的上侧分位数.
若实数αT 满足不等式
αα=>}|{|T X P ,
则称αT 为随机变量X 的分布的水平α的双侧分位数.
例1设05.0=α, 求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数. 复习正态分布
1、 定义：12,,...n X X X 来自总体2
~(,),X N u σ 则随机变量
1122...n n U C X C X C X =+++服从正态分布221
1
~(,),n n
i i i i U N C u C σ==∑∑
2
~(,
)X N n
σμ
~(0,1)X N
特别地若：12,,...n X X X 来自总体~(0,1),X N 则1~(0,)X N n
~(0,1)N 2、 密度函数 3、图形 4、性质 5、上α分位数：双侧分位数
（二）χ2分布
1、定义：设n X X X ,,,21 相互独立同分布于标准正态分布,即,,,2,1),1,0(~n i N X i =则随机变量∑==+++=n
i i n
X X
X X 1
2222
21
2
χ服从自由度为n 的χ 2分布，
记22~()n χχ。 这里自由度n 是指独立变量的个数。特别的2
2
~(1)X χ
2、χ2分布的密度函数
????
???<>Γ=--0,00,)
2(21
)(2122y y e y n y f y n n 其中)2
(n Γ为Γ函数，其定义为dx e x x
-+∞-?=Γ01)(αα 3、图形：给出n =1，4，10，20时的χ 2分布的密度函数的曲线。 4、性质
（1）数学期望和方差：22(()),(())2E n n D n n χχ== 证明：
因为2244
2
~(0,1),0,1,3x i i i i
i
X N EX DX EX EX x e
dx +∞
-
-∞
====所以
所以2
2222121
(())( (1)
n
i
i E n E X X X EX
χ==+++=
=∑
而2
4
22
()312i i i DX EX EX =-=-= 所以2
22224221
2
1
1
(())(...)[()]2n
n
n
i
i i i i D n D X X X DX
EX EX n χ===+++==-=∑∑
（2）可加性
若22112212~(),~(),X n X n X X χχ且与相互独立，则
y
图6-1 分布
-2χ
21212~()
X X n n χ++ 该结论可推广到n 个独立服从卡方分布随机变量
3、 上侧分位数 定义：统计量)(~
22n χχ，则称{}2
22
()
()()n P n f x dx ααχχχα+∞
>==?
的点)(2
n α
χ为)(2n χ分布的上侧α分位数。(0<α<1)
用法是：已知α和n ，求出)(2
n αχ；
已知2k χ>中的k 和n 。查表求α.
查表求上α分位点
443页表中给出了不同的自由度和确定的概率值α对应的上α分位点)(2n αχ的值。
如：查22
0.9950.05(10),(20)χχ等等。
几点说明：
（1）{}2
2
2
()
()()n P
n f x dx ααχχ
χα+∞
>==?
中上α分位点)(2
n α
χ的意义是：我们需要求的)(2n αχ是当随机变量在[)(2
n αχ，+∞]取值时，其概率为给定的α.
（2）表中只列出自由度为1-45的分布值。当自由度n>45时，用以下近似计算公式：
2
21
()(2
n z ααχ≈
其中z α为标准正态分布的上α分位点
例2设61,,X X 是来自总体)1,0(N 的样本, 又设
22123456()()Y X X X C X X X =+++++
试求常数C , 使CY 服从2χ分布.
（三）t 分布（学生分布）
1、定义：设)(~
),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 相互独立，则称随机变量
t =
服从自由度为n 的t 分布，记为~()t t n 。
如：2
20.0251
(61)(83.9808,( 1.96,61)2
z z n ααχ≈
+≈==其中查表得
2、密度函数
：1
221
(
)2()(1),2n n t f t t n n +-+Γ=+-∞<<+∞?Γ ?
3、密度函数图形特点：
（1）()f t 是偶函数，图形关于纵轴对称.
（2）2
2
lim ()x n f x -→∞=，因此当n 充分大时，其图形近似为标准正态分布的密
度函数图形。随着n 的增大,)(n t 的密度曲线与)1,0(N 的密度曲线越来越接近，一般若
45n >,就可认为它基本与)1,0(N 相差无几了。
4、α分位数
（1）上侧分位数定义：统计量~()t t n ，则称{}()
()()t n P t t n h t dt ααα+∞
>=
=?
的点()t n α为
()t n 分布的上侧α分位数。(0<α<1)， 显然有1()()t n t n αα-=-查表求.
（2）双侧分位数/2/2()
/2()
{||()}()()t n t n P T t n f x dx f x dx αααα-∞
-∞
>=
+=?
?
由密度函数的对称性有/2/2{()}/2;{()}/2P T t n P T t n αααα>=<-= 例；课本132页 ~(8),0.05t t α=，
则查表可知，0.050.025(8) 1.8595,(8) 2.3060t t ==
所以有{ 1.8595}{ 1.8595}{|| 2.3060}0.05P T P T P T >=<-=>=
【注】（1）当n>45时可用正态近似()t n u αα≈， /2/2()t n u αα≈，查正态分布表可得； （2）()t n α为()t n 分布的上侧α分位数，则
{()}1;{()};{||()}2P T t n P T t n P T t n αααααα<=-<-=>=.
【例3】 （四）F 分布
1、定义：设Y X ,相互独立,分别服从自由度为12,n n 的2
χ分布,则随机变量
1212
X n n X F Y Y n n ==?
服从自由度为12(,)n n 的F 分布，记为()12,F n n
2、密度函数1
1
12
2
1
121222
122220
()1220
n n n n n n n y n y y n n n y n y ψ-+???+???Γ ????????
>?=?
???????ΓΓ+ ? ???????????≤?
3、图形
4、性质：如果12~(,).F F n n （1）
211
~(,).F n n F
（2）如果~()X t n ，则2
~(1,)X F n ： 5、上α分位数
（1）定义：满足
{}α
αα==>?+∞
)
,()(),(m n F
dy y f m n F F P 的点
)
,(m n F α为
),(m n F 分布的上侧α分数
（2）性质：.)
,(1
),(1n m F m n F αα=
-
证明：事实上，设),(~m n F F ，则1
~(,),F m n F
且
{}11(,)(,)P F F n m P F F n m ααα??=≥=≤????
111(,)P F F n m α??=-≥???? 于是
αα-=?
?????≥1),(1
1m n F F P , 由α分位点的定义，显然
)
,(1
),(1m n F n m F αα=
-成立。
（3）查表：例如:课本133 课本例4
α图6-7 F 分布的上
分α
第三节 抽样分布
抽样分布，实际上就是随机变量函数的分布，只是强调这一分布是由统计量所产生的。 统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础。在使用统计量进行推断时必须要知道它的分布。当总体的分布已知时，统计量的分布是确定的，能够求出来，如前面所讲的样本矩，但是要精确求出统计量的分布，一般来说是比较困难的。
在数理统计中，统计量的分布称为抽样分布，因而确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一。
本节我们重点讨论正态总体的抽样分布，即由从正态总体中抽取的样本构造成的统计量服从何种分布，这是属于小样本统计范畴。
下面我们介绍来自正态总体的四类重要的分布。 一、来自单个正态总体的抽样分布
定理1：设212~(,),,,...n X N u X X X σ是来自总体X 的容量为n 的样本,X 为样本均值，
2
S 为样本方差，则有以下结论 （1）样本均值: 2
(,
)X
N u n
σ
或 (0,1)X u
U N σ
-=
。板书证明
（2）样本方差:
2
2
222
1
(1)(
)(1)n
i i X X
n S n χχσ
σ
=--=
=-∑
其中22
2211
11()[]11n n i i i i s X X X nX n n ===
-=---∑∑ 记住结论，不用证明，注意与（4）比较
（3）样本均值X 和样本方差2
s 独立 （4）2
2
2222
1
1
1
()()~()n n
i i i i X X n μ
χμχσ
σ==-=
-=∑
∑
板书证明，记住结论，注意与（2）比较 （5
）~(1)X T t n =
- 板书证明
例题讲解
课本例1、设1225,....,X X X 为来自总体~(21,4)X N 的样本，求： （1）样本均值的数学期望与方差；（2）{|21|0.24}P X -≤ 例2、（课后习题1）已知离散型总体X 的分布律为
取容量为n=54的样本，求
（1）样本均值X 落在4.1到4.4之间的概率；（2）样本均值X 超过4.5的概率 解：由题意4,8/3EX DX ==
，4
4,2/981
DX EX DX n ==== （1）
4.144 4.44
{4.1 4.4}{
}(1.8)(0.45)0.96450.67360.29052/92/92/9
X P X P ---<≤=<≤≈Φ-Φ=-= （2）4 4.54
{ 4.5}1{ 4.5}1{}1(2.25)0.01222/92/9
X P X P X P -->=-≤=-≤≈-Φ=
例3、 例4.
二、来自两个正态总体的抽样分布 定理: 设n X X X ....,,21与m Y Y Y ....,,21分别为来自正态总体),(2
11σμN 和222(,)N μσ的简单随
机样本，且两样本之间相互独立，设11n i i X X n ==∑与1
1mn
i i Y Y m ==∑为样本均值，
()
2
222
12
1
1
11(),1
1n
m
i
i i i S X
X S Y Y n m ===-=---∑∑为样本方差
则 （1
）~(0,1)X Y U N =
（2）22
122212
/~(1,1);S S F F n m σσ=--
（3） 若进一步假设22212σσσ==，有
)2(~11)
(21-++
---=
m n t m
n S Y X T w μμ
其中 2
2
22
21
1
1
2()()(1)(1)22
n
m
i
i i i w X
X Y Y n S m S S n m n m ==-+--+-==
+-+-∑∑
证明 例题讲解：
例5（课后习题3）设1216,,...,X X X 与1225,,...,Y Y Y 分别来自两个独立总体(0,16)N 及
(1,9)N 的样本，以X 和Y 表示两个样本的均值，求{||1}P X Y ->。
解：因为1216,,...,X X X 独立同分布于(0,16)N ，所以~(0,1)X N 因为1225,,...,Y Y Y 独立同分布于(1,9)N ，所以9~(1,)25
Y N 所以34~(1,
)25X Y N --
~(0,1)X Y N
所以{||1}1{11}1[(0)]0.5431P X Y P X Y ->=--≤-≤=-Φ-Φ= 例6（课后习题10）分布从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个方差的两倍的概率。
解：设221220,35,8,10n m σσ====，21S 和2
2
S 分别为两个样本方差。 因为22112222/~(1,1)/S F n m S σσ--，即221122
22
/2035~(7,9)/3520S S F S S = 所以2222
21111
2
222222/20/2035{2}{2}{2}{ 3.5}/3520/35
S S S P S S P P P S S S ≥=≥=≥?=≥
因为由0.050.025(7,9) 3.29,(7,9) 4.20F F ==，所以22
120.025{2}0.05P S S <≥<
例7从正态总体),(2σμN 中抽取容量为16的样本，试求： (1) 已知252
=σ
；(2) 2σ未知，但已知样本方差8.202=S 的情况下，样本均值x 与
总体均值 μ 之差的绝对值小于2的概率。 解 (1) 由于统计量),1,0(~N n
x σ
μ
μ-=
因此在σ 2已知时，
{
}
{}2242541.6(1.6)( 1.6)2(1.6)120.945210.8904;
x x P x P P P u μμμσφφφ???
?
--??????
?-<=<=
???
??=<=--=
-=?-=
(2) 由于σ 2未知，但S 2=20.8，这时统计量
~(1)
,x T t n S μ
-=
- 因此
{
}
{}{}
21.7541 1.754P x P P P t P t μ??-<=<=<=<=-≥
查t 分布表得t 0.05(16-1)=1.753，P (t ≥1.753)=0.05。由此可得
{}
2120.050.90P
x μ
-<≈-?=
以上结论在后面将经常用到，必须记住。另外，对其它总体，虽然很难求到其精确的抽样分布，但我们可以利用中心极限定理等理论得到当n 较大时的近似分布，这就是统计问题中的大样本问题，在此我们不加讨论。 三、一般总体抽样分布的极限分布。
设总体X 的期望为μ，方差为2
σ，X 为样本均值，2
S 为样本方差，则有下列结论：
当样本容量充分大时，n X u
U σ
-=
近似服从(0,1)N
，n X u
T -=
近似服从(0,1)N ， 这属于大样本统计范畴。
《应用数理统计》复习题 第一章 概率知识 一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值， 求X 的概率分布律. 解：X 的可能取值为3、4、5， 1.010 1 }3{35 33== ==C C X P ， 3.0103 }4{352311====C C C X P ， 6.010 6 }5{35 2411== = =C C C X P ， 故X 的概率分布律为 6 .03.01.05 43k p X . 二、设连续型随机变量X 的密度函数为?? ?<≤=., 0, 10,)(其它x Ax x f （1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：? ∞+∞ -=1)(dx x f ， 有 11 =?Ax , 解得2=A . （2）t d t f x F x ?∞ -=)()( 当0≤x 时， 0)(}{)(?∞ -==≤=x dt t f x X P x F ， 当10≤
2、0cos 21 )(22 ??∞ ∞--===π πxdx x dx x xf EX ； ???∞ ∞---====22202 2 22 2 14cos cos 21)(πππ πxdx x xdx x dx x f x EX ; 14 )(2 2 2-= -=∴πEX EX DX . 四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1; (,)0, x y f x y π?+≤=??其它. . 故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞ -∞ ?-≤≤-≤≤?===????? ? 其它其它; 同理 11()0, Y y f y -≤≤=??其它 . 于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立. 五、设X 的概率密度为? ? ?≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有： 1= ?? += ∞+∞ -1 d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+, 且有12 7 =EX = ? ? += ∞+∞ -10 d )(d )(x bx a x x x xf = 3 2b a +, 联立上述两式解得: 1,5.0== b a 又= )(2X E 12 5 d )5.0(1 02= +? x x x , 于是 =DX =-22)()(EX X E 2)12 7(125-14411=. 六、1．设随机变量)3,2(~2 N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）. A . 2 B . 3 C . 9 D . 0 2. 设随机变量),(~2 σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ). (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定
第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
公安基础知识 一、总则 要学好公安基础知识，首先应清楚以下的关系： 有了国家，同时也有了警察，国家Array不能没有警察 与国体一致，国体即人民民主专政 与国家意志一致，国家意志的表现 形式即国家法律与党的政策 词义是“警之于先，察之于后” 维护统治阶级的利益 执行统治阶级的意志 是国家政权的重要组成部分 统治阶级专政的暴力工具 具有暴力性，但不是惟暴力 广大人民群众利益的维护者 其宗旨是全心全意为人民服务 根本路线是群众路线 对人民要民主 保护人民的合法财产 服务于社会，警察在社会治安综合治 理中应发挥骨干的和职能的作用。公 安机关在社会治安综合治理中的任 务是： 打击：首要环节，是落实综合治理 其他措施的前提条件 防范：是……的基本措施 教育：是……的战略性措施 管理：是……的重要手段 建设：是落实综合治理的关键 改造：是教育人、挽救人和防止重新 犯罪的特殊预防工作
二、考点图解 第 一 章 第 二 章 第 三 章 公安机关的任务 维护国家安全 维护社会治安秩序 保护公民的人身安全和人身自由 保护公共财产和个人合法财产 预防、制止和惩治违法犯罪活动 公安机关的职责 公安机关职责的含义和特点 公安机关职责的内容 公安机关主要警种的职责 公安机关权力的概念和特点 公安机关的治安行政管理权 公安机关的刑事执法权 警械、武器使用权 紧急状态处置权 公安机关的职责 公安机关的建立与发展 警察的起源和作用 我国人民公安机关的建立与发展 公安机关的性质 公安机关是人民民主专政的重要工具 公安机关是国家的治安行政机关和刑事执法机关 公安机关具有武装性质 公安机关的基本职能 公安机关的专政职能 公安机关的民主职能 公安机关专政职能与民主职能的关系 公安机关的宗旨 公安机关的宗旨是全心全意为人民服务 公安机关的宗旨是公安机关性质的必然要求 公安工作必须坚持全心全意为人民服务的宗旨
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业 参考答案 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第五章 方差分析 课后习题参考答案 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：() 3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =??? ? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.70112 112 11=???? ??-???? ??=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7 .137=-=A T e S S S 当 H 成立时， ()() ()r n r F r n S r S F e A ----= ,1~/1/ 本题中r=3 查表得 ()()35 .327,2,195.01==---F r n r F α且F=>，在95%的置信度下，拒绝原假 设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程
组建效应检验 Dependent Variable: 存活日数a 70.429235.215 6.903 .004 137.73727 5.101 208.167 29 方差来源菌型误差总和 平方和自由度 均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289) a. 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙 39 40 43 50 50 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3) i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
第1章公安机关的性质、职能和宗旨 1.1考点精讲 第1节公安机关的建立与发展 一、警察的概念与发展 （一）警察的含义与本质 1．警察的含义 一般是指具有武装性质的维护国家安全和社会治安秩序，在警察机关中行使警察职权，履行警察职责的国家公职人员。 2．警察的本质 从本质上讲，警察是国家政权中按照统治阶级意志，依靠暴力的、强制的、特殊的手段维护国家安全与社会秩序的武装性质的行政力量。 （二）警察制度的发展历史 1．警察的起源 （1）警察的历史范畴 警察是人类社会一定历史阶段的产物，它随着国家的产生而产生，是执行国家专政职能的工具，也必将随着国家的消亡而消亡。 （2）决定警察必要性的直接因素 社会矛盾引起的犯罪、对抗冲突和社会秩序问题，决定了一个国家或政权的稳定必须要通过设置警察这一暴力机构来实现。
（3）警察产生需具备的条件 ①经济条件：生产力的发展，私有制的产生； ②阶级条件：阶级斗争和统治阶级内部的斗争； ③社会条件：维护统治秩序，惩治犯罪的需要； ④政治条件：国家机器的产生。 2．萌芽期的警察 从氏族公社向奴隶制国家过渡的过程中，氏族武装逐渐向着职业的、听命于首领或贵族的、不参加生产的独立武装力量转化，氏族武装力量被用于干预本族内部关系的功能逐渐增强，意味着警察力量的萌生和逐渐强化。 3．古代警察 古代警察经历了奴隶社会和封建社会两种不同社会形态的漫长时期。 （1）古代警察的含义 在奴隶社会和封建社会中执行警察职能的机构和官吏，称为古代警察。其职能是由军队、审判机关、行政机关的官吏分别掌管的。 （2）古代警察的三个特点 ①军警不分，警政合一； ②神权、皇帝或长官的意志对职权的行使起决定作用； ③私刑、私狱普遍存在。 （3）警察职能的发展强化与局限性 ①警察职能尚未能集中于一个统一的专门机关，而是由军队、审判机关、行政机关所行使； ②古代警察时期的警察行为在法律上是不严格的，皇帝的意志、神灵的意志、长官的意
第三章测试卷一、单选题 1. (2分)设随机变量X的分布列如下表，则常数c = （）. ? A. 0 ? B. 1 ? C. ? D. C 2. (2分) ? A. 0.9 ? B. 0.5 ? C. 0.75 ? D. 以上都不对 C 3. (2分)
? A. ? B. ? C. ? D. A 4. (2分) 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x，下列正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. B 5. (2分) ? A. 0 ? B. 1 ? C.
? D. C 6. (2分) ? A. 0.625 ? B. 0.25 ? C. 0.5 ? D. 0.0625 D 7. (2分) ? A. ? B. ? C. ? D. C 8. (2分)
? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. 4 B 9. (2分)某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）件. ? A. 0.3 ? B. 0.5 ? C. 0.2 ? D. 0.9 D 10. (2分) ? A. 0.5
? C. 1.5 ? D. 0 C 11. (2分) ? A. 9 ? B. 6 ? C. 30 ? D. 36 B 12. (2分) 设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为F(x)、f(x)，则下列选项中正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. A 13. (2分)
? B. 0.2 ? C. 0.7 ? D. 条件不足，无法计算B 14. (2分) ? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. π/2 C 15. (2分) ? A. 1 ? B. 0 ? C.
第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤=
此笔记根据公安部政治部（2013年版）《公安基础知识》整理， 第一章 第二节公安机关的性质 （1）公安机关的性质，一般是指公安机关不同于其他国家机关的（根本属性）。它是确定公安机关（职能、任务、职权）等问题的重要依据。 （2）我国的公安机关性质：是（人民民主专政的重要工具），是（具有武装性质的治安行政力量和刑事司法力量）。 一、公安机关是人民民主专政的重要工具 （1）公安机关是人民民主专政的重要工具，这是公安机关的（阶级属性），也是（根本属性）。因为，它表明了公安机关的（阶级本质），是公安机关性质的（核心内容和本质特征）。（2）公安机关的这一根本属性，表明了三点内容： 第一，公安机关具有鲜明的阶级性。一方面，必须坚持对人民实行民主，保护人民的利益；另一方面，必须对极少数危害国家安全、危害人民利益的敌对势力、敌对分子实行专政。第二，它在国家政权中占据着重要的地位。（周恩来）曾指出，国家安危，公安系于一半。第三，它是国家意志的忠实执行者。因为，它是根据广大人民群众的意志建立的，忠实地执行人民的意志、国家的意志，而且是以国家赋予的任务为工作的总根据、总目标，以国家的法律、政策为全部活动的依据。 （3）我国公安机关的根本属性与剥削阶级警察机关的区别： 第一，维护的阶级利益不同 第二，专政的对象不同 第三，专政的目的不同 第四，与人民群众的关系不同 第二章公安机关的职责任务 完整笔记联··系··扣··扣···(1`9`5`0`0`5`3`9) 第一节公安机关的任务 一、含义和分类 （1）公安机关的（性质）和（职能），决定了公安机关的任务 （1）公安机关的任务，是指在（国家法律确定的管辖范围）内，公安机关为了实现一定的（目标）而（承担的工作内容）。 （2）公安机关的任务，是一个（多形式、多层次）的系统。根据不同的部门、专业、时间和空间，可以做出不同的划分。从（时间）上分，有（目前任务和长远任务）；从（范围）上分，有（局部任务和全局任务）；从（层次）上分，有（基本任务和具体任务）等。
应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：
目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社
第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：
i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++
第五章 1.通过原点的一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+，1,2,,i n =??? 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()2 0,N σ 。试由n 组观测值(),i i x y ，1,2,,i n =???，用最小二乘法估计 β，并用矩法估计2 σ。 解： 对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ i n = ??? 离差平方和为 ()2 1 n i i i Q y x β== -∑ 对Q 求β的偏导数，并令其为0，即 ()1 0n i i i i y x x β=-=∑ 变换得 2 1 1 1 1n n i i i i i x y x n n β=== ∑∑ 解此方程得 2 xy x β∧ = 因为 22D E σεε== i i i y x εβ=- 所以 2 2 1 1n i i i y x n σβ∧∧ =??= - ??? ∑ () () () 22212 2 22 2 2 2 222 1222 n i i i i i y x y x n y xy x xy xy x y x x ββββ∧∧=∧ ∧??= -+ ???=-+=-+ ∑ () 2 2 2 xy y x =- 其中 1 1 n i i i xy x y n == ∑ 2 2 1 1 n i i x x n == ∑ 2 2 1 1 n i i y y n == ∑
2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100m l 的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下： 从经验和理论知i Y 和i x 之间有下述关系式i i i Y x αβε=++，1,2,,9i =??? 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()2 0,N σ。试用最小二乘法估计参数,αβ ，并 用矩法估计2σ。 解： 将 26x = 90.14y = 2736.511xy = 2 451.11x m = 2 342.665 y m = 代入得 22 2 2 2 2 2736.51126 90.14 0.8706 451.11 90.140.870626 67.5088 342.665 0.8706 451.11 0.7487 x y x xy x y m y x m m βαβσ β∧ ∧ ∧ ∧ ∧--?= = ==-=- ?==-=-?= 3.为了得到一元线性回归分析的简化计算法，作变换101 ,,1,2,,, i i i i x c y c u v i n d d --= = =???且010,0d d ≠≠。若原经验回归直线方程为y x αβ∧ ∧ ∧ =+变换后经验回归直线方程为 ' ' v u αβ∧ ∧∧=+试证' ' ' 000011 1 ,d d d c c d d ββααβ∧ ∧∧ ∧∧= =+- ，并且 2 2 ''2 01 1 n n i i i i i i y x d v u αβαβ∧∧ ∧∧==?? ? ?--=-- ? ?? ??? ∑∑ 证明： ' 002 2 1 1 d d uv u v d d u u β∧-= - ()() () 01 2 1 1 n i i i n i i u u v v d d u u ==--= -∑∑
2019年公安基础知识题库 第一章公安机关的性质、职能和宗旨 第一节公安机关的建立与发展 问题一：警察的起源 1、警察的含义 （1）警察，一般是指（具有武装性质）的（维护社会秩序、惩治犯罪、保卫国家安全）的国家（行政力量）。 （2）警察，本质是（阶级统治的工具），是国家机器的重要组成部分。 细节性内容： （1）警察的最初含义是，（都市的统治方法）或（都市行政）。 （2）警察是普遍存在于各个国家和地区的，不论其大小、贫富、强弱和社会制度如何，（有的国家甚至不设军队），但（都毫无例外地建有自己的警察机构）。 2、警察的起源 （1）警察，是一个（历史范畴），是人类社会（发展到一定历史阶段的产物）。也就是说，第一，警察和警察机关（不是从来就有的，也不是永世长存的）；第二，警察是（随着国家的产生而产生，也必将随着国家的消亡而消亡）。 （2）警察的产生，需要具备四个条件： 第一，经济条件——生产力的发展，私有制的产生； 第二，阶级条件——阶级矛盾和统治阶级内部矛盾的不可调和性； 第三，政治条件——国家机器的形成； 第四，社会条件&直接原因——维护统治秩序和惩罚犯罪的客观需要 细节性内容： （1）原始公社时期，社会结构是以（血缘亲族）为基础的。在经济上，由于生产力低下，生产资料归全体成员所有，所以，人们没有剩余产品和私有财产，没有盗窃财物的犯罪行为，也就没有必要设置保护财物的警察；在政治上，氏族领袖实行的是选举制或禅让制，他们是在同自然斗争中享有威信的人们中形成的，所以没有必要设置保护统治关系的警察。 （2）警察是（随着国家的产生而产生）的。也就是说，有了国家，同时也就有了警察。正如（恩格斯）所说的，警察是和国家一样古老的。 问题二：警察的发展
4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解 5.01 解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0 提出假设：0.32:, 0.32:10≠=μμH H 由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61 .10 .320 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u 计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6 1=+++++?=x 89.061 .10 .326.310 0-=-= -= n x u σμ 因 0.89 1.96u =< 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为 0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为 32.0kg/cm 2。 5.02 解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10 提出假设：10:, 10:10>≤μμH H 即：10:, 10:10>=μμH H 由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ， km x 万1.10=，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51 .010 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251 .010 1.100 =-= -= n x u σμ 因 2.24 1.64u => 它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ 所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。 5.03 解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240 提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:, 240:10<=μμH H 由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625 240 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.1625 240 2200 -=-= -= n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<- 公安机关的性质、职能和宗旨 1.（多选题）在警察的萌芽时期，同时伴生的有（）的萌芽。 A. 执法行为 B. 监禁行为 C. 审判行为 D. 治安行为 2.（多选题）新中国成立后17年人民公安机关取得的辉煌成就主要包括（） A. 在全国范围内建立了健全的公安组织机构，明确了工作任务 B. 清除了反动势力的残渣余孽和旧社会遗留下来的污泥浊水 C. 开展了镇压反革命运动；改造了大量战争罪犯 D. 保证了党的路线、方针、政策的贯彻执行，保卫了社会主义革命和社会主义建设的顺利进行 3.（多选题）近代警察的管理体制主要包括（） A. 地方自治制：以英国为代表的，警察受地方政府领导，中央政府只起监督作用的警察管理体制 B. 中央集权制：以法国为代表的，警察由中央政府统一领导的警察管理体制 C. 混合制警察管理体制：介于地方自治制和中央集权制之间的一种警察管理体制 D. 其他警察管理体制：除去地方自治制警察管理体制、中央集权制警察管理体制和混合制警察管理体制以外的警察管理体制 4.（多选题）建立近代警察制度较早的国家是（） A. 美国 B. 英国 C. 法国 D. 意大利 5.（多选题）下列有关近代警察的理解，观点正确的有（） A. 近代警察是适应资本主义制度需要而建立起来的专门执行警察职能的机构和官吏 B. 近代警察发端于美国，是资本主义发展的产物 C. 近代警察是社会生产力迅速发展和社会分工日益细密的必然结果 D. 近代警察首先是在欧洲资本主义较为发达的国家建立起来的 6.（多选题）古代警察的特点包括（） A. 军警不分、警政合一 B. 古代警察行使职权时，在法律上是极不严格的，神权、皇帝或长官的意志起决定作用 C. 私刑、私狱普遍存在 D. 古代警察有统一的制式服装 7.（多选题）对古代警察的理解正确的有（） A. 在奴隶社会、封建社会中，没有专门的警察机关，也没有专职的警察队伍 B. 在奴隶社会、封建社会中，警察的职能是由军队、审判机关和行政官吏分别掌管的 C. 在奴隶社会、封建社会中，私刑、私狱普遍存在；古代警察军警不分、警政合一 D. 古代警察行使职权，在法律上是极不严格的，神权、皇帝或长官的意志起决定作用 8.（多选题）关于警察和国家的联系，下列理解正确的有（） A. 警察随着国家的产生而产生 B. 警察必将随着国家的消亡而消亡 C. 警察是和国家一样古老的 D. 国家是不能没有警察的 9.（多选题）警察的产生，需要具备的条件包括（） A. 生产力的发展、私有制的产生，是警察产生的经济条件 B. 阶级矛盾和统治阶级内部矛盾的不可调和性，是警察产生的阶级条件 C. 维护统治秩序与惩罚犯罪的客观需要，是警察产生的社会条件 D. 国家机器的形成．是警察产生的政治条件 10.（多选题）下列关于警察的起源理解正确的有（） A. 警察是一个历史范畴．是人类社会一定历史阶段上的产物 B. 警察和警察机关不是从来就有的，也不是永世长存的 C. 警察是随着国家的产生而产生的，也必将随着国家的消亡而消亡 D. 原始社会没有警察 11.（单选题）1949年10月9日中央人民政府委员会任命（）为首任中华人民共和同中央人民政府公安部部长。 A. 罗瑞卿 B. 杨奇清 C. 谢富治 D. 陈毅 12.（单选题）中国共产党在中央机关设市的最早的保卫组织是（） A. 巡警部 B. 社会部 C. 国家政治保卫局 D. 中央特科 《公安基础知识》的考查形式一般为三种：单项选择、多项选择、判断题。出题形式不同，但考查的知识点是不变的，根据多年来对公安招警试卷的研究，总结了如下必考的知识点。只要大家掌握了这些知识点，万变不离其宗，不管怎么考相信都能应对自如。 《公安基础知识》共分为八章，其中四、五、六、七这四章是重点要掌握的。 第一章必考的知识点有： 警察产生的条件; 近代警察与古代警察的区别; 公安机关的武装性质; 公安机关专项职能的内容; 公安机关专项职能与民主职能的关系; 第二章必考的知识点有： 公安机关的基本任务; 公安机关的法定职责; 治安警察的职责; 外事警察的职责; 边防警察的职责; 消防警察的职责; 公安机关治安行政管理权的分类; 侦查权; 刑事强制权; 管制权; 戒严执行权; 第三章必考知识点有： 公安工作的含义; 公安指挥工作的内容; 公安专业工作的内容; 公安行政管理工作的内容; 公安工作整体上表现出的特点; 第四章必考知识点有： 坚持党对公安工作绝对领导的必要性; 决策领导; 党的领导和政府领导的关系; 党对公安工作绝对领导的途径; 公安工作的群众路线; 社会治安综合治理的任务; 第五章必考知识点有： 公安工作基本方针; 治安工作社会化; 几项基本的公安政策; 教育与处罚相结合政策的基本要求; 严禁逼供信政策的基本要求和意义; “教育多数，处罚少数”的基本要求; 第六章必考知识点有： 公安机关在刑事诉讼中的基本职权; 询问犯罪嫌疑人; 询问证人; 尸体检验; 搜查; 扣押物证、书证; 拘传、取保候审、监视居住、拘留、逮捕的概念、适用对象、条件和程序; 不适用行政拘留的四类人; 治安管理处罚的特点、原则、种类; 治安管理处罚中不同年龄人、精神病人、又聋又哑的人和盲人、醉酒人、一人实施数行为、二人以上共同实施行为、单位违反治安管理的责任; 劳动教养、收容教养、强制戒毒的法律依据、对象、期限等; 第七章必考知识点有： 公安执法监督的分类; 监督机构的职责; 监督机构的权限; 提起公安行政复议的事由; 公安赔偿的构成要件; 公安赔偿的方式和标准; 国家权力机关对公安机关及其人民警察执法监督的途径; 行政监察制度(立案监督、审查批捕、审查起诉); 第八章必考知识点有： 公安队伍正规化建设的涵义; 人民警察意识的内容; 人民警察纪律的内容; 第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7.137=-=A T e S S S 当 0H 成立时， ()()()r n r F r n S r S F e A --- -= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α 公安基础知识 第一章公安机关的性质、职能和宗旨 第一节公安机关的建立与发展 问题一：警察的起源 1、警察的含义 （1）警察，一般是指（具有武装性质）的（维护社会秩序、惩治犯罪、保卫国家安全）的国家（行政力量）。 （2）警察，本质是（阶级统治的工具），是国家机器的重要组成部分。 细节性内容： （1）警察的最初含义是，（都市的统治方法）或（都市行政）。 （2）警察是普遍存在于各个国家和地区的，不论其大小、贫富、强弱和社会制度如何，（有的国家甚至不设军队），但（都毫无例外地建有自己的警察机构）。 2、警察的起源 （1）警察，是一个（历史范畴），是人类社会（发展到一定历史阶段的产物）。也就是说，第一，警察和警察机关（不是从来就有的，也不是永世长存的）；第二，警察是（随着国家的产生而产生，也必将随着国家的消亡而消亡）。 （2）警察的产生，需要具备四个条件： 第一，经济条件——生产力的发展，私有制的产生； 第二，阶级条件——阶级矛盾和统治阶级内部矛盾的不可调和性； 第三，政治条件——国家机器的形成； 第四，社会条件&直接原因——维护统治秩序和惩罚犯罪的客观需要 细节性内容： （1）原始公社时期，社会结构是以（血缘亲族）为基础的。在经济上，由于生产力低下，生产资料归全体成员所有，所以，人们没有剩余产品和私有财产，没有盗窃财物的犯罪行为，也就没有必要设置保护财物的警察；在政治上，氏族领袖实行的是选举制或禅让制，他们是在同自然斗争中享有威信的人们中形成的，所以没有必要设置保护统治关系的警察。 （2）警察是（随着国家的产生而产生）的。也就是说，有了国家，同时也就有了警察。正如（恩格斯）所说的，警察是和国家一样古老的。 第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。概率论与数理统计第五章习题解答.dot资料
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