教学过程
一、课堂导入
哲学中有个命题：任何事物之间都存在着某种联系，联系是普遍存在的．比如蝴蝶效应，在南美洲亚马孙河流域的热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风．这从一个侧面说明事物的普遍联系性．既然这样，作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗？它们具有怎样的关系？这些关系又有哪些应用呢？
二、复习预习
1.弧度制角度制的关系
2.任意角的三角函数的求法、三角函数符号、三角函数线
三、知识讲解
考点1同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.
考点2诱导公式
即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π
2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
考点3 三角形中的诱导公式 在三角形ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin ? ????A 2＋B 2＝sin ? ??
??
π2－C 2＝cos C 2，
cos ? ????A 2＋B 2＝cos ? ????
π2－C 2＝sin C 2.
四、例题精析 【例题1】
【题干】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.
【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.②
由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2
α＝38，∴cos α＝±6
4.
【例题2】
【题干】(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ? ????－α－3π2cos ? ??
??
3π2－αtan 2(π－α)cos ? ????π2－αsin ? ????π2＋α＝( )
A.916B ．－9
16 C ．－34D.34
(2)设f (α)＝
2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ? ????3π2＋α－sin 2? ???
?π2＋α?
????sin α≠－12，则f ? ????
－23π6＝________.
【解析】(1)选B ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－3
5， 由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝3
4. ∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2
α＝－
916.
(2)∵f (α)＝
(－2sin α)(－cos α)＋cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，
∴f ? ????－23π6＝1
tan ? ????－23π6＝1tan ? ?
?
??－4π＋π6＝
1
tan π6＝ 3. 答案： 3
【例题3】
【题干】在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．
【解析】∵sin A ＋cos A ＝2， ∴1＋2sin A cos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角，
∴2A ＝π2，∴A ＝π
4
.
∵3cos A ＝－2cos(π－B )， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝3
2. ∵0＜B ＜π，∴B ＝π
6.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π
12. ∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.
五、课堂运用 【基础】
1．α是第一象限角，tan α＝3
4，则sin α＝( )
A.4
5
B.35
C．－4
5D．－
3
5
解析：选B tan α＝sin α
cos α＝3
4
，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝3
5.
2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝()
A．0 B.9 5
C.4
3 D.
5
3
解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x
sin2x＋cos2x
＝
2tan2x＋1
tan2x＋1
＝9
5.
3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π
2
＜α＜0，则sin α＝()
A.
3
2B．－
3
2
C.1
2D．－
1
2
解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2α
cos α
＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π
2
＜α＜0，
解得cos α＝1
2(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－3
2.
【巩固】
4．化简sin?
?
?
?
?
π
2
＋α·cos
?
?
?
?
?
π
2
－α
cosπ＋α
＋
sinπ－α·cos?
?
?
?
?
π
2
＋α
sinπ＋α
＝________.
解析：原式＝cos α·sin α
－cos α＋
sin α－sin α
－sin α
＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0
5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝
2
3?
?
?
?
?
π
2
＜α＜π.则sin α－cos α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝2
3， 得sin α＋cos α＝2
3，①
将①两边平方得1＋2sin α·cos α＝2
9， 故2sin αcos α＝－79.
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－? ????－79＝16
9.
又∵π
2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝4
3.
答案：4
3
【拔高】
6．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()
A.1
2B．2
C．－1
2D．－2
解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－25
5，cos α＝－5
5
，
∴tan α＝2.
7．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·
(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝3
2×
3
2
＋1
2×
1
2
＋1＝2.
8．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)
sin2θ
sin θ－cos θ
＋cos θ
1－tan θ
的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θ
cos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝3＋1
2， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ
1－tan θ
＝3＋12. (2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝3
2. (3)由???
??
sin θ＋cos θ＝3＋12，
sin θ·cos θ＝3
4
知???
??
sin θ＝3
2，cos θ＝1
2，
或???
??
sin θ＝1
2，cos θ＝3
2.
又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π
3.
课程小结
应用诱导公式时应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．