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积、商的变化规律
同学们好，在上一讲我们研究了和、差的变化规律，今天这一讲我们来研究，积、商的变化规律。请同学们填出下表，说出什么发生了变化，积、商有没有发生变化，如果有变化是怎样变的，你能从中得出什么结论吗？
规律：两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数不变，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数不变，乘数乘以（或除以）一个不为0的数，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数同时除以（或乘以）同一个数，积不变。
规律：在除法里被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数不变，商也乘以（或除
以）同一个数。
被除数不变，除数乘以（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘以）同一个数。 被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数同时乘以（或除以）相同的一个数，商不变。
例1. 2584?
=??÷=?=()()
25484410021
2100
分析与解答：根据积的变化规律，一个因数扩大多少倍，另一个因数反而缩小相同的倍数，积不变的规律，使25×4，使84÷4，转化为100×21，这就很快计算出结果是2100。
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
第16周周练积的变化规律 一、填空题。 1.写得数并发现规律。 16×17= 32×17= 16×34= 48×17= 16×51= 64×17= 我发现了：一个因数相同，另一个因数（），积也（）。请在上面的横线上举一个例子验证你的发现。 20×18= 20×18= 10×18= 20×9= 5×18= 20×3 = 我发现了：一个因数相同，另一个因数（），积也（）。请在上面的横线上举一个例子验证你的发现。 2.根据以上的发现填空。 （1）42×56=2352 42×112=（）21×56=（） 42×28=（）7×56=（） （2）5×14=70 5×28=（）5×42=（） 5×56=（）5×70=（） 3.一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也（）。 4.两个因数的积是360，如果一个因数除以3，另一个因数不变，积变为（）。 5.两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。 6.两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。 7.两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。 8.已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。 9.两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积( )。 10.两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积( )。 11.两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。 12.两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。 13.两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。 14.芳芳在计算乘法时，把一个因数末尾多写了1个0，结果得到800，正确的积是应该是（）。 二、判断题。（把错的地方圈出来） 1.一个因数变小，另一个因数变大，积不变。（） 2.一个数乘6再除以6，结果还是这个数。（） 3.一个因数乘8，要想使积不变，另一个因数也要乘8. （） 三、实际应用 一块长方形草坪宽是8米，面积是200m2。如果长方形的长不变，宽增加到24米，扩大后的绿地面积是多少？
奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗 根据这个问题，你能得出什么结论 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的为什么
（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对 （五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例 1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等
和、差、积、商的变化规律（一） 知识点拨 和、差的规律见下表（m≠0） 精讲精练 【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？ 【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。 【练习1】 1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？ 2.两个数相加，一个数加 3.另一个数也加3.和起什么变化？ 3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2. 和起什么变化？ 【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？ 【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
【练习2】 1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？ 2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？ 3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？ 【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？ 【思路】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。 【练习3】 1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？ 2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？ 3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？ 【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？ 【思路】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。 【练习4】 1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
因数与积的变化规律 一、填空 1、一个因数不变，另一个因数乘6，则积（） 2、一个因数不变，另一个因数除以8，则积（） 3、两个数相乘的积是25，一个因数不变，另一个因数乘,9，则积是（） 4、两个数相乘的积是65，其中一个因数不变，另一个因数除以5，则积是（） 5、两个数相乘，其中一个因数乘2，另一个因数乘,3，则积（） 6、两个数相乘，其中一个因数乘3，另一个因数除以,3，则积（） 7、两个因数的积是360，如果一个因数除以3，另一个因数不变，积变为（）。 8、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。 9、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。 10、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。 11、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。 12、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。 13、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。 14、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。
15、两数相除的商是15，如果被除数、除数同时扩大10倍，商是（）。如果被除数不变，只把除数扩大5倍，商是（）。 16、150÷30，如果被除数增加300，要使商不变，除数应该（）。 17、两数相除，如果被除数扩大5倍，要使商不变，除数应该（）。 18、1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应该（）。 19、被除数不变，除数乘3，商应当（）。 20、两个数的商是6，如果被除数与除数都除以2，商是（）。 21、两数相除，商是80，如果去掉除数个位上的0，商是（）。 22、两个数的商是12，如果被除数除以3，除数不变，则商是（）。 23、被除数和除数同时乘6，商（）。 24、在一个除法算式里，除数除以5，要使商不变，被除数应该（）。 25、在一道除法算式里，如果被除数除以20，除数（），商不变。 26、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积( )。 27、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积( )。 28、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数扩大4倍，商( )。 29、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商( )。 30、两数相除，如果被除数缩小2倍，除数扩大4倍，商( )。 31、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商（）。 32、小科在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是（）。
第二十一讲等积变换 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面 积。 直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）× 2 ÷ 2=17（厘米2）。 答：阴影部分的面积是17厘米2。 例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米 2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10× 8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.
例题 3：在右图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18厘米 2 。求 ED 的长。 解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘 米 2 三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2。 梯形 ABCD 面积 =（8+4）× 6÷2=36（厘米 2）， 三角形 ECB 面积 =36-18=18（厘米 2 ）， EC=18÷6×2=6（厘 米）， ED=6-4=2（厘米）。 答： ED 的长 2 厘米。 例 4：下页上图中， ABCD 是 7× 4 的长方 形， 长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的 面积之差。 解法一 ：连结 B ，E （见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 加上三角形 BEO ，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 ：连结 C ，F （见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 CFO ，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形 ECF 所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3. 解法二 加上三角形 的面积之
一、积的变化规律 1、一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。 2、两个数相乘，一个因数乘或除以几（0除外），另一个因数除以或乘相同的数，则它们的乘积不变。 （1）42×5= （2）48×16=768 42×15= （48×4）×（16÷4）= 420×15= （48÷8）×（16×8）= 840×15= （48×5）×（16○□）=768 （3）7本作业本摞起来高25毫米，全班56本作业本摞起来有多高？ （4）一个宽为9米的长方形菜地，面积是252平方米，如果把这块长方形菜地的宽增加到36米，长不变，扩建后的面积是多少？ 二、商的变化规律 1、除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商也乘几或除以几。 2、被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商反而除以几或乘几。 3、被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 （1）80÷16=（80○□）÷（16÷4） 200÷40=（200÷20）÷（40○□） 180÷15=（180×3）÷（15○□） （2）1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应当（）。 被除数不变，除数乘3，商应当（）。 两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，商就变成（）。 一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，除数也要（）。 两个数相除的商是6，如果被除数和除数都除以12，商是（）。 一个除法算式的被除数、除数都除以3后，商是20，那么原来的商是（）。
《除数是两位数的除法》 1、商店里卖衣服，29元/件，49元/2件，王阿姨有185元，最多可以买多少件？还剩多少元？ 2、小李家距离学校520米，小李每分钟走65米，小红每分钟走60米，从家到学校小红比小李多走5分钟，小红家离学校多少米？ 3、每条裤子75元，商店推出优惠活动，买4条送一条，900元钱最多可以买几条这样的裤子？ 4、12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜，林叔叔家养了8箱这样蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 5、学校组织四年级的540名学生去植树，要分成9个植树点，每个植树点分成4个小组，平均每个小组有多少人？ 6、从山顶到山脚共998米，王林爬了14分钟，距山顶还有260米，他平均每分钟爬多少米？
嗨!同学们经过上一讲的学习对火星教育沙龙数学讲义的形式有所了解，认识了新朋友或新同学，体验不同风格的老师的教学理念，在新环境上课。似乎一切都在悄悄的改变，而我们也在慢慢的适应，为新五年级做准备，更为小升初打基础，我们要赢在起跑线上! 大家都有这样的认知，在乘法计算中只要一个因数变化积就发生变化，在除法中被除数除数变化一个商就发生变化。想知道具体怎么变化的请看下面的例题。 【典型例题】 例1、两个因数相乘，积是126．如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么这时的两数之积是多少？ 例2、两个数相除，商是84．如果被除数扩大2倍，除数缩小3倍，那么这时的商是多少？ 例3、小明在计算除法时，把除数540末尾的“0 例4、一个学生做两个整数相乘的乘法时，把其中一个因数个位上的4误写为1，得出的乘积是525；另一个学生也做这道乘法，他把这个因数个位上的4误写为8，得出的乘积是700．这道乘法计算的正确结果应该是多少？ 例5、计算两个两位数相乘的积，小马把其中一个因数个位上的2看成了7，而小虎把这个数十位上的5看成了3，结果小马算出的得数比小虎多475．正确的得数应该是多少？
例6、某同学在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，但余数正好相同．求原来的商和余数各是多少？ 【考点讲解】 在近几年的小升初考试中像上面例题这样的没有出过，但有涉及有余数的除法的有关被除数、除数、商和余数的和差倍问题。在这里主要让同学们熟悉a ÷b ＝c ……d ，a ＝bc ＋d ，a －d=bc 有余数除法的关系式。 【方法小结】 在乘法运算中，因数的变化引起积的变化有如下规律： 1、如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数． 2、如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变． 在除法运算中，被除数、除数的变化引起商的变化有如下规律： 1、如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数． 2、如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或扩大）同样的倍数． 3、如果被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，那么它们的商不变． 4、在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，那么它们的商不变，但余数扩大（或缩小）了同样的倍数． 【练习题】 1
五年级上积商的变化规律 一、积的变化规律 1、两个因数，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）相同的倍数。（0除外）。 2、两个因数同时扩大（或缩小）几倍（0除外）积就扩大（或缩小）它们的乘积倍。 3、两个因数，一个扩大几倍，另一个缩小相同的倍数，（0除外）积不变。 4、两个因数，一个扩大，另一个缩小，（倍数不相同，0除外），积扩大（或缩小它们的商倍） 例1：给出乘法算式：1.3×4.8=6.24 根据算式写出得数 方法：1 0.13 × 4.8 = 0.642 缩小10倍不变缩小10倍 方法：2 根据预算定律 1.3×4.8=6.24可知13×48=624；所以0.13×4.8的积里面应有3位小数，因此是0.624 二、商的变化规律 1、被除数不变，除数扩大（或缩小几倍），商就缩小（或扩大）几倍。（注意商和除数的变化是相反的。）（0除外） 2、除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商就扩大（或缩小）相同的倍数）（注意商和被除数的变化是相同的。）（0除外） 3、被除数和除数同时扩大扩缩小相同的倍数（0除外）商不变。 4、被除数扩大，除数缩小，商就扩大乘积倍。 5、被除数缩小，除数扩大，商就缩小乘积倍。 6、被除数、除数同时扩大或缩小不相同的倍数（0除外），商就变化它们的商倍 注意：4---6的规律不用硬背，只是前两个规律的分步应用。 例2：给出除法算式：6.24÷4.8=1.3 根据算式写出得数 方法：1 624 ÷0.48 = 1300 扩大100倍缩小10倍 商扩大100倍商扩大10倍扩大100×10倍 方法2： 可利用除法算式， 1300 0 . 48 ）624 48）62400 移动小数点变成将商的最高位写上，其余数字同上面的商相同， 数位不足的用0占位。 相应的练习 1、根据35×49=1715，在下面的（）填上合适的数。 17.15=（）×（）=（）×（）
第1讲计算与规律 1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律； 2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。 一. 积的变化规律 1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。 2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。 判断对错 两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。（） 1.如果让“48052 ?”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积() A．不变B．乘以5 C．除以5 2.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积() A．不变B．扩大到原来的100倍 C．不确定D．扩大到原来的10倍 3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数() A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变 4.在1508012000 ?=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。（判断对错）
5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。（判断对错） 6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（） 7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（） 二．商的变化规律 1. 没有余数 （1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。 （2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。 简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。 2. 有余数 有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。 已知30 ÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则 A B 商是。 1. 32040 ÷的结果与算式()的结果相等。 A．(3205)(402) ?÷?B．(32010)(4040) ÷÷÷ C．(3208)(408) ?÷? ÷÷?D．(32020)(4020) 2.a÷b=8······5，如果a和b都乘100那么商是，余数是。 A.8 B. 800 C. 5 D. 500
第四讲水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米?、 【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。 解：50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =O．25+15 =15．25(分米) 答：容器中水深15．25分米。 例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘
米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。 例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。 【分析与解答】将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。 解：(9×7×3+5。)÷20 =314÷20 =15．7(厘米) 答：这个长方体的高是15．7厘米。 练习与思考 1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分 米?2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。 3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
和、差、积、商的变化规律练习题 1.口答。 （1）在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也除以5，商（）。 （2）在一道除法算式里，如果被除数乘10，要使商不变，除数应（）。 （3）在一道除法算式里，如果除数除以100，要使商不变，被除数应（）。 2、根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。 （1）18 ÷6=3 （18×2）÷（6×2）= （18×3）÷（6×3）= （2）480÷10=48 （480 ÷ 2）÷（10 ÷ 2）= （480 ÷ 5）÷（10÷ 5）= 3、在○里填运算符号，在□里填适当的数。 （1）24÷8＝（24×2）÷（8×□） （2）360÷60=（360÷10）÷（60○10） （3）96÷6＝（96○□）÷（6○□） 4、列竖式计算： 7800÷600＝540÷60＝8800÷80＝ 5．40秒竞赛。 240÷30＝80÷20＝360÷90＝4800÷400＝440÷20＝9600÷800＝120÷40＝2400÷60＝ 6.填空 1）.两个因数相乘，如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小12倍，积有什么变化？ 2）.两个因数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积有什么变化？ 3）.被除数扩大3倍，除数不变，商（） 4）.被除数缩小3倍，除数不变，商（） 5）.被减数减少15，减数减少5，差（） 6）.被减数增加15，减数减少5，差（）
7）.两个加数都扩大了8倍，则和扩大（）倍 8）.两数相减,被减数、减数都扩大了8倍，则差扩大（）倍 9）.两数相乘，如果一个因数增加3，积就增加51；如果另一个因数减少6，积就减少150，那么两个因数分别是（）（） 10）.减数和差相减为0，那么被减数是减数的（）倍 11）.被除数、除数和余数的和1600。已知除数是20，余数是10，那么商是（）12）.两数相除,被除数扩大3倍,除数缩小6倍,商( ) 13）.小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（） 14）.豪豪在计算除法时，把被除数的末尾多写了1个“0”，结果得到的商是130，正确的商是（） 15）.一个加数增加6,要使和保持不变,另一个加数应( ) 16）.两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（）余数是（） 17）.两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大13倍，商是（）余数是（） 18）.两数相乘，积是96，如果一个因数扩大2倍，另一因数缩小3倍，积是（） 19）.两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，商是（） 20）.两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数扩大4倍，商是（） 21）.两数相除，商是80，如果被除数缩小20倍，除数缩小4倍，商是（） 22）.两数相除，商是80，如果被除数缩小20倍，除数扩大4倍，商是（)
积商的变化规律练习题 知识要点： 【积的变化规律】 （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。 练习题：
2、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。 3、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。 4、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。 5、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。 6、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。 7、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。 8、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。【商或余数的变化规律】 （1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。 （2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。 （3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。 （4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。 这一变化规律用字母表示，就是 如果a÷b=q（余r）， 那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。 例如，84÷9=9……3， 而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2）， （84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。
奖 励 卡 因积变化、商不变 规律 1 1.根据15×24=360，直接写出下面各题的得数。 15×72=（ ） 30×24=（ ） 5×24=（ ） 15×12=（ ） 15×（24× ）=3600 15×（24÷10）=（ ） 1、一个因数扩大5倍，另一个因数不变，积（ ）。 2、一个因数扩大5倍，另一个因数缩小5倍，积（ ）。 3、两数相乘，一个因数扩大2倍，另一个因数扩大3倍，那么积（ ）。 4、两个因数的积是60，这时一个因数缩小4倍，另一个因数不变，现在的积是（ ） 5、一个长方形的面积为12平方米、把长扩大到原来的3倍，宽不变，扩大后的面积是（ ） 6两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数不变，积是（ ） 7一个正方形的面积为12平方米、把边长扩大到原来的3倍，，扩大后的面积是（ ） 8、一个长方形的长扩大到原来的5倍，宽扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的（ ）倍。 9、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（ ）。 10、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（ ）。 11、两数相除的商是15，如果被除数、除数同时扩大10倍，商是（ ）。如果被除数不变，只把除数扩大5倍，商是（ ）。 12、150÷30，如果被除数增加300，要使商不变，除数应该（ ）。 13、两数相除，如果被除数扩大5倍，要使商不变，除数应该（ ）。 14、1400÷70，如果除数不变，被除数除以10，那么商应该（ ）。 15、被除数不变，除数乘3，商应当（ ）。 16、两个数的商是6，如果被除数与除数都除以2，商是（ ）。 17、两数相除，商是80，如果去掉除数个位上的0，商是（ ）。 18、两个数的商是12，如果被除数除以3，除数不变，则商是（ ）。 19、被除数和除数同时乘6，商（ ）。 20、在一个除法算式里，除数除以5，要使商不变，被除数应该（ ）。 21、在一道除法算式里，如果被除数除以20，除数（ ），商不变。 22、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积( )。 23、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积( )。 24、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数扩大4倍，商( )。 25、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商( )。 26、两数相除，如果被除数缩小2倍，除数扩大4倍，商( )。 27、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商（ ）。 28、小科在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是（ ）。
等积变换求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等. 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形Ａ １ ＢC与A 2 BC、A 3 BC的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法,常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案.不要盲目地乱动手．本讲中.的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形AＢＣ的面积为1，BＥ= 2AB，BC＝CD，求三角形BDＥ的面积? 例2、如下图，A为△CDＥ的DE边上中点,BC= 3 1 CD，若△ＡBC(阴影部分）面积为5平方厘米,求△ＡBD及△ACＥ的面积. 基本概念 例题分析
例3、２00２年在北京召开了国际数学家大会,大会会标如下图所示,它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3),问:大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和ＤEF是两个完全相同的直角边长等于９厘米的等腰直角三角形,求阴影部分的面积． 练习提高 1、如图,已知平行四边形AＢCD的面积是６０平方分米，E、Ｆ分别是AB、AＤ边上的中点,图中阴影部分的面积是多少平方分米 ? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米,AF＝BE,图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？
和差积商的变化规律 【和的变化规律】 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d； （a-d）+b=c-d。 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。 【差的变化规律】 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d， （a-d）-b=c-d。 （a＞d+b） （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d）， a-（b-d）=c+d。 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c， （a-d）-（b-d）=c。 【积的变化规律】 （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n， （a÷n）×b=c÷n。 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c， 或（a÷n）×（b×n）=c。 【商或余数的变化规律】 （1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n， （a÷n）÷b=q÷n。 （2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n， a÷（b÷n）=q×n。 （3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q， （a÷n）÷（b÷n）=q。 （4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。 这一变化规律用字母表示，就是 如果a÷b=q（余r）， 那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n）， （a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。 例如，84÷9=9……3，
和、差、积、商的变化规律 【和的变化规律】 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d； （a-d）+b=c-d。 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。 【差的变化规律】 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d， （a-d）-b=c-d。 （a＞d+b） （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d）， a-（b-d）=c+d。 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c， （a-d）-（b-d）=c。 【积的变化规律】 （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n， （a÷n）×b=c÷n。 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c， 或（a÷n）×（b×n）=c。 【商或余数的变化规律】 （1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n， （a÷n）÷b=q÷n。 （2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n， a÷（b÷n）=q×n。 （3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q， （a÷n）÷（b÷n）=q。 （4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。 这一变化规律用字母表示，就是 如果a÷b=q（余r）， 那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n）， （a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。 例如，84÷9=9……3， 而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2）， （84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。
积、商的变化规律 一、积的变化规律： 一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外）积也要乘或除以相同的数。 二、商的变化规律： 1、除数不变，被除数乘几，商也乘几，被除数除以几，商也除以几。 2、被除数不变，除数乘几（0除外），商反而要除以几。被除数不变，除数除以几（0除外），商反而要乘几。 3、被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。被除数和除数都除以一个相同的数，商也不变。 4、在有余数的除法里，如果被除数和除数同时扩大和缩小相同的倍数（0除外），商不变，余数也随着扩大和缩小相同的倍数。 入门题： 1、两个数相乘（积不为0），一个因数不变，另一个因数扩大到原来的3倍，积应该怎样变化？ 2、两个数相乘（积不为0），一个因数除以3，另一个因数不变，积应该怎样变化？ 3、两个数相乘（积不为0），一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数扩大到原来的3倍，积应该怎样变化？ 4、两个数相乘（积不为0），一个因数乘6，另一个因数除以3，积应该怎样变化？
5、两个数相除（商不为0），如果被除数扩大到原来的6倍，除数不变，商应该怎样变化？ 6、两个数相除（商不为0），如果被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商应该怎样变化？ 7、两个数相除（商不为0），如果被除数除以6，除数不变，商应该怎样变化？ 8、两个数相除（商不为0），如果被除数扩大到原来的6倍，除数扩大到原来的2倍，商应该怎样变化？ 9、两个数相除（商不为0），如果被除数扩大到原来的3倍，除数缩小到原来的3倍，商应该怎样变化？ 10、两个数相除（商不为0），如果除数扩大到原来的3倍，要使商缩小到原来的3倍。被除数应该怎样变化？ 练习题： 1、两个数相乘，积是96，如果一个因数要除以4，另一个因数要乘3。那么积是多少？ 2、两个数相乘（积不为0），一个因数要乘了6，另一个因数也乘了6，那么积应该怎样变化？ 3、两个数相除（商不为0），如果被除数乘3，除数乘15，商应该怎样变化？ 4、两个数相除，商是4，余数是10。如果被除数和除数同时扩大50倍，商是多少？余数是几？
1 第五讲 等积变形 答案 方法与技巧： （1）等底等高的两个三角形面积相等。 （2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。 【例1】如下图所示，四边形ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积。（18） 【练习1】如图所示，三角形ABO 的面积为9平方厘米，线段BO 的长度是OD 的3倍，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？（48） 【例2】如图所示，把三角形ABC 的一条边AB 延长1倍到D 点 ，把它的另一条边AC 延长2倍到点E ，得到一个较大的三角形ADE ，三角形ADE 面积是三角形ABC 面积的多少倍？（6） 【练习2】如图所示，AE=3AB ，BD=2BC ，△DEC 的面积是△ABC 面积的 倍。（4）
【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14） 【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8） 【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340） 【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）Array（A）一直变大。 （B）一直变小。 （C）先变小后变大。 （D）先变大后变小。 （E）保持不变。 2