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北京市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——数列

北京市2009年高三4月各地模拟试题分类汇编

数列

一、选择题:

（7）(2009年4月北京海淀区高三一模文)若实数,,a b c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立．．．的是（ B ）（A ）12b a c b

- （B ）2

ab bc ca a

b c ++?+

（C ）ac b

≥2

（D ）b a c b -?

（8）(2009年4月北京海淀区高三一模文)对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n N ∈，n a 与

1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是( D )

（A ）.若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M （B ）若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + （C ）若{}n a M ，则2

{}n a M

（D ）若{}n a M ，则{21}21n a M ++

3．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)已知数列}{n a 的前n 项和3

n S n =，则65a a +的值为(B)

(6) (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列}{n a 中，若

2110(,2)n n n a a a n n *

-+--=∈≥N ，则2009S 等于（ D ）

A ．0

B ．2

C ．2009

D ．4018

7．(北京市朝阳区2009年4月高三一模文)在等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，已知23

a a =

，则

S S 等于（ A ）

815

40121

1625

3. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（ A ）

A. 公差为2的等差数列

B. 公差为lg 2的等差数列 A ．91

B ．152

C ．218

D ．279

C. 公比为2的等比数列

D. 公比为lg 2的等比数列

3. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则数列{2}n a

是（ A ）A . 公比为4的等比数列 B. 公比为2的等比数列 C. 公比为

的等比数列 D. 公比为

的等比数列 8．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，

()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x

y =

+成立．若数列{}n a 满足

1(0)a f =，且11()(2)

n n f a f a +=--(n ∈N*)，则2009a 的值为( B )

A ． 4016

B ．4017

C ．4018

D ．4019

4．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)设{n a }是公差为-2的等差数列，如果,50741=++a a a 则=++1296a a a ( C )

A ． 40

B ．30

C ．20

D ． 10

8. (北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)设函数()f x 在定义域D 上满足

112f ??

=- ???，()0f x ≠，且当,x y D ∈时，()()1x y f x f y f xy ??++= ?+??

. 若数列{}n x 中，

112

21, 21n n n

x x x x +==+（n x D ∈，+

∈N n ）．则数列{})(n x f 的通项公式为（ B ）

A. f (x n )= 2 n -1

B. f (x n )= -2 n -1

C. f (x n )= -3 n +1

D. f (x n )= 3 n 二、填空题:

14．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)对于集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集，定义一

个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N 中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和2S =1+2+(2–1)=4，则当3n =时，3S = ______________ ；根据2S 、3S 、4S ，猜想集合N ={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和n S =__________. 12 , 1

n n -

10．(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且

931,,a a a 成等比数列，则

42931a a a a a a ++++的值为．

1316

10. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4

1,241==a a ，

则n n S ∞

→lim = 4 。

11. (北京市丰台

区2009

年3月高三统一检测文)设

=∈++++=+S N n S n 则),(3931*

。

答案:2

-+n

三解答题:

（17）(2009年4月北京海淀区高三一模文)（本小题共13分）

已知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足()1123n n S na n =-=，，， .

（Ⅰ）求1a 、2a 的值；（Ⅱ）求n a . (17) 解: （I ）

当1n =时， 111a a =- . ………………………………1分

\112

a =

. ………………………………2分

当2n =时， 12212a a a +=- ………………………………3分

\216

a =

………………………………5分

（Ⅱ）1n n S na =-

\当2n 3时111(1)n n S n a --=--

1(1)n n n a n a na -=-- ………………………………7分

\111n n n a a n --=

+ ………………………………9分

(1)n a a n n =

+ ………………………………10分

(1)

n n + ………………………………11分

当1n =时112

a =

符合上式 ………………………………12分

\()

11n a n n =

+ ()1

23n ，，，= ………………………………13分

18．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)（本题满分13分）已知等差数列}{n a 中，11-=a ，前12项和18612=S ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足n

a n

b )

(=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式m T n <

对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 18．（本题满分13分）

解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，

∵ 11-=a ,18612=S ， ∴ d a S 2

111212112?+

=，即 d 6612186+-=.

∴ 3=d . ………………3分所以数列}{n a 的通项公式433)1(1-=?-+-=n n a n . ………………5分（Ⅱ）∵ n

a n

b )

(=，43-=n a n ,

∴ 4

-=n n b . ………………7分

∵ 当n ≥2时，

)21(31

==-n n b b ,

∴ 数列}{n b 是等比数列，首项2)

21(

1==-b ，公比8

q ． ………………9分

∴ ])81(1[7168

11]

1(1[2n n

n T -?=-

． ………………11分 ∵ *)(7

16])81(1[716N n n ∈<-?，又不等式*N n m T n ∈<对恒成立，

而n

1(1-单调递增，且当∞→n 时，1)

1(1→-n

，

∴ m ≥

16. ………………13分

(20) (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且

11()2

n n n

S a n a +=

∈N ，其中11,0n a a =≠．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)(2

1)1n

b n a --=，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：

22log (21)n n T a n >+∈N ，；

（Ⅲ）是否存在正整数,m d ，使得2(1)8

1111

lim[()

()()()]3

333m

m d m d m n d n a +++-→∞

++++=

成立？若存在，请求出m 和d 的值；若不存在，请说明理由．

(20) 解：（Ⅰ）已知式即112

n n n S a a +=

，故11121112

n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=

-．

因为0n a ≠，当然10n a +≠，所以22n n a a +-=*

()n ∈N ．由于111212

a S a a ==

，且11a =，故22a =．

于是 2112(1)21m a m m -=+-=-，222(1)2m a m m =+-=，

所以 n a n =*

()n ∈N ． ………………4分（Ⅱ）由(21)(21)1n

b n a --=，得(21)(2

1)1,n

b n --=22

b n n =

-，

故2

2log 21

n n b n =-．

从而 122246

2log 13521n n n T b b b n ??=+++=????

?-??

． 2246222log 13521n n T n ??=???? ?-?? 2

2246

2log 13521n n ??=???? ?-??

因此22log (21)n n T a -+2

2246

2log 13521n n ??=???? ?-??

2log (21)n -+

2224621log log 1352121n n n ??=????+ ?-+?? 2

2246

21log []1352121n n n ??=????? ?

-+?? ．设2246

21()135

2121n f n n n ??=????? ?

-+?? ，则2

246

2221(1)135

212123n n f n n n n +??+=?????? ?

-++?? ，故2

(1)

2122(22)

()2321(23)(21)

f n n n n f n n n n n ++++??=?= ?++++??2

4841483n n n n ++=>++，注意到()0f n >，所以(1)()f n f n +>．

特别地4()(1)13

f n f ≥=

>，从而222log (21)log ()0n n T a f n -+=>．

所以*

22log (21)n n T a n >+∈N ，． ………………9分（Ⅲ）易得1

1()

()3

a n

=．

注意到88a =，则有2(1)1()

11113lim[()

()()()]13

381()

m d m d m n d n d +++-→∞

++++==- ，

即1

1()

[1()]3

d =

-，整理得 338m m d

--=． ① 当m d ≥时，由① 得3

(31)8m d

--=．

因为*

,m d ∈N ，所以2m d ==．当m d <时，由① 得3183

d m

--=?． ②

因为m d <，故②式右边必是3的倍数，而左边不是3的倍数，所以②式不成立，即当m d <时，不存在*

,m d ∈N ，使得①式成立．综上所述，存在正整数2m d ==，使得

2(1)8

11111

lim[()()()()]3333m m d m d m n d n a +++-→∞++++=

成立．………………14分 20. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理)（本小题满分14分）

设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为

{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创

新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.

考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；

(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和. 20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{}n c 有两个，即：

（1）数列3，4，1，5，2； ---------------2分（2）数列3，4，2，5，1. --------------------------3分

注：写出一个得2分，两个写全得3分.

（Ⅱ）答：存在数列{}n c ，它的创新数列为等差数列.

解：设数列{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ，因为m e 为12,,,m c c c L 中的最大值.

所以m e m =.

由题意知：k e 为12,,,k c c c L 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +L 中最大值，所以1k k e e +￡，且{1,2,,}k e m ?L .

若{}n e 为等差数列，设其公差为d ，则10k k d e e +=- ，且d ?N ，-----------5分当d =0时，{}n e 为常数列，又m e m =，

所以数列{}n e 为,,,m m m L ，此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列；当d =1时，因为m e m =，

所以数列{}n e 为1,2,3,,m L ，此时数列{}n c 是1,2,3,,m L ； --------------------7分

当2d 3时，因为111(1)(1)2

22m e e m d e m m e =+-?-?-+，

又13,0m e >>，所以m e m >，

这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为2d 3的等差数列.

综上，当数列{}n c 为：（1）首项为m 的任意符合条件的数列；（2）数列1,2,3,,m L 时，它的创新数列为等差数列. -----------------9分注：此问仅写出结论（1）（2）者得2分.

（Ⅲ）解：设{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ，由(Ⅱ)知，m e m =，由题意，得11e c =，

所以当数列{}n c 的创新阶数为2时，{}n e 必然为111,,,,,,,c c c m m m L L （其中1c m <），-----------10分

由排列组合知识，得创新数列为,,,,,,,()

k k k m m m k m <

L L 的符合条件的{}n c 的个数为1

11(1)!m k

m k k m k

k m m k k m k C A A A A m m k

m k

--------

---

鬃=

?---， ----------------12分

所以，在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，它们的首项的和为

(1)!(1)!m m k k m k k m m k

m k

--==-?

--邋. ---------------------------14分

18. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)（本小题满分14分）

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12

n n n S na a c =+-（c 是常数，n ?N *）

，26a =. （Ⅰ）求c 的值及{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：

11118

n n a a a a a a ++

L .

18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为12

n n n S na a c =

+-，

所以当1n =时，11112

S a a c =

+-，解得12a c =， ---------------------2分

当2n =时，222S a a c =+-，即1222a a a c +=-，解得23a c =，所以36c =，解得2c =； -----------------------5分

则14a =，数列{}n a 的公差212d a a =-=，

所以1(1)22n a a n d n =+-=+. -------------------------8分

（Ⅱ）因为

12231

111n n a a a a a a ++

111

(22)(24)

n n =+++

创++L --------------------------9分

111111()()()24626822224n n =-+

-++-++L -----------------------12分

1111111[()()()]246682224n n =-+-++-++L 111()2424

n =

1184(2)

n =

-+.

因为*

N n ?，所以

11118

n n a a a a a a ++

L . -----------------------14分

注：为降低难度，此题故意给出多余条件，有多种解法，请相应评分. 20. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试理) (本小题满分13分)

已知函数()41,()2,f x x g x x x =+=∈R ，数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足条件：11,a = 1()()n n n a f b g b +==（n ∈N *）

，]

3)(][2

1)(21[1

=n g n f c n ．

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）求数列}{n c 的前n 项和n T ，并求使得150

m T n >

对任意n ∈N *都成立的最大正整数m ；

（Ⅲ）求证：

122

n n a a a n a a a ++

+???+

．

20.(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由题意1112,14+++=+=n n n n b a b a ，

∴121+=+n n a a ， --------2分

∴)1(211+=++n n a a ， ∵11=a ，

∴数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列． ---------4分 ∴．1

221-?=+n n a

∴12

-=n

n a ． ---------5分

（Ⅱ）∵)3

211

(

)

32)(12(1

++=

n n n n c n ， ---------7分

∴)3

12171515131(21+-++???+-+-=

n n T n 9

6)32(3)32131(21+=

+?=+-=

n n

n n n ． ----------8分 ∵

115691569615

6122

1>+++=+?++=+n

n n n n

n n n T T n

n ，

∴1,n n T T n +<∈N *

．

∴当1=n 时，n T 取得最小值15

1． -----------10分

由题意得

150

1m >

，得10

∵m ∈Z ，

∴由题意得9=m ． --------------------11分

（Ⅲ）证明：

∵n

k a a k

k k k

k k

,,3,2,1,

2231

(212

121

???=?

≥

-+?-

--=

+++ ----12分

∴

11(312)212121(312

1n n n n n n a a a a a a --=+???++-

≥

???++

+ 312->n ．

∴

122

n a a a n a a a +++???+

（n ∈N *）． ---------------14分

20. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试文) (本小题满分13分) 已知函数()41,()

2,f x x g x x x =

+=∈R ，数列}{n a ，}{n b 满足条件：11a =，

1()1(n n a g a n +=+∈N *），]

3)(][2

1)(21[1

n g n f b n ．

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）求数列}{n b 的前n 项和n T ，并求使得150

m T n >

对任意n ∈N *都成立的最大正整数m ；（Ⅲ）

求证：

122

n n a a a n n a a a ++

+???+

∈N *）

． 20.(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由题意121+=+n n a a ， --------2分

∴)1(211+=++n n a a ． ∵11=a ，

∴数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列． ---------3分 ∴1

221-?=+n n a ，

∴12

-=n

n a ． ---------4分

（Ⅱ）∵)3

211

(

)

32)(12(1

++=

n n n n b n ， ---------5分

∴)3

12171515131(21+-++???+-+-=

n n T n

6)32(3)32131(21+=

+?=+-=

n n

n n n ． ----------7分 ∵

115691569615

612

1>+++=

++=+n

n n n n

n n n T T n

n ，

∴1,n n T T n +<∈N *

．

∴当1=n 时，n T 取得最小值15

1． -----------------8分

由题意得

150

1m >

，∴10

∵Z m ∈ ， ∴9=m ． ------------10分（Ⅲ）证明：∵

n k a a k

k k

k k ,,3,2,1,2

12(2121

121

???=<-

--=

++ ，

∴

1n a a a a a a n n <

???++

+． ----------------13分

20．(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)（本小题满分14分）已知数列

.5,4,3,2,1),}({54321≥=====∈*

n a a a a a N n a n 当满足时，

121211)}({.1n n n n n n a a a a a a b N n b a a a a ----=∈-=*

+ 满足若数列.

（Ⅰ）求5b ；

（Ⅱ）求证：1,51-=-≥+n n b b n 时当；

（Ⅲ）求证：仅存在两个正整数m ，使得2

222121m m a a a a a a +++= . 20．（本小题满分14分）

（I ）解：b 5=1×2×3×4×5－12－22－32－42－52=65.…………………………4分

（II ）证明：2

1222211211+++-----=n n n n n a a a a a a a a b

21222212121)1()1(-------n n n n a a a a a a a a a a a a

=)5(112222121≥-=-----n b a a a a a a n n n

)5(11≥-=-∴+n b b n n .…………………………………………9分（III ）解：易算出b 1=0，b 2≠0,b 3≠0, b 4≠0,…………………………………………11分

当n ≥5时，b n+1=b n －1，这表明{b n }从第5项开始，构成一个以b 5=65为首项，公差为－1的等差

数列.

由b m =b 5+(m －5)×(－1)=65－m+5=0，解出m=70.…………………………13分

因此，满足a 1a 2…a m =2

2221m a a a +++ 的正整数只有两个；

m=70或m=1.……………………………………………………………………14分 20. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)（本小题共14分）

函数 )(x f y = 是定义在R 上的偶函数，且]1,2[,)1()1(--∈--=+-x x f x f 当时，

)()2()2()(3

R t x t x t x f ∈+-+=，记函数)(x f y =的图像在))2

(,21

(

f 处的切线为l ，

1)2

('=f 。

(Ⅰ) 求)(x f y =在]1,0[上的解析式；

(Ⅱ) 点列)1,(,),3,(,)2,(2211+n b B b B b B n n 在l 上，

)0,(,),0,(,)0,(2211n n x A x A x A 依次为x 轴上的点，如图，当*

∈N n 时，点1,,+n n n A B A 构成以1+n n A A 为底边

的等腰三角形。若)10(1<<=a a x ，求数列{}n x 的通项公式；

(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下，是否存在实数a 使得数列{}n x 是等差数列？如果存在，写出a 的一个值；如果不存在，请说明理由。

解：(Ⅰ) 函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f --=+-

∴)1()1()1(x f x f x f +=--=+-；∴)(x f y =是周期为2的函数 …………1分 ]1,2[2,]1,0[--∈-∈x x 时当 ∴tx tx

x f x f -=-=3

)2()(

由1)2

1('=f 可知t =-4 ∴x x x f 44)(3

+-=，]1,0[∈x …………4分

(Ⅱ) 函数)(x f y =的图像在))21(,21

(

f 处的切线为l ，且1)2

('=f ， ∴切线l 过点)2

,21(

且斜率为1，∴切线l 的方程为y=x+1 …………6分 )1,(,),3,(,)2,(2211+n b B b B b B n n 在l 上，有 11+=+n b n 即n b n = 点1,,+n n n A B A 构成以1+n n A A 为底边的等腰三角形∴n b x x n n n 221==++… ①

同理2221+=+++n x x n n … ② 两式相减得 22=-+n n x x ,1a x =

a x -=22

∴??

?-+-=为偶数

为奇数n a n n a n x n ,,

1 …………11分

(Ⅲ) 假设{}n x 是等差数列，则a a +-=-1 ∴2

a …………14分

故存在实数a 使得数列{}n x 是等差数列。得分评卷人 16. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)（本小题共13分）

已知数列{}n a 中，2

11=

a ，且当2

x 时，函数x a x

a x f n n 12

1)(+-=

取得极值。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；

（Ⅱ）在数列{}n b 中，11=b ，122

1log

-+=-n n n a b b ，求21b 的值

解：（Ⅰ） 1)('+-=n n a x a x f 由题意0)2

1('=f 得 n n a a 21

1=+， …………6分

又 02

11≠=

a 所以数列{}n a 是公比为

21的等比数列所以 n

n a 2

…………8分

（Ⅱ）因为 n a b b n n n n 212

log

1221-===---+， …………10分

所以 392021-=-b b ，371920-=-b b ，351819-=-b b ，……，112-=-b b 叠加得 400121-=-b b 把11=b 代入得 21b =399- …………13分 16. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测文)（本小题共13分）已知数列{}n a 中，2

11=

a ，点（1，0）在函数x a x

a x f n n 12

1)(+-=

的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设122

log -=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：(Ⅰ)由已知 n n a a f 2

10)1(1=?=+ 又 0211≠=

a …………3分所以数列{}n a 是公比为2

1的等比数列所以 n

n a 2

…………6分

（Ⅱ）由 n a b n n 21log

122

-==- …………9分

所以 2

)21()5()3()1(n n T n -=-++-+-+-= …………13分

数列历年高考真题分类汇编

专题六数列第十八讲数列的综合应用答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=，取112a = ，所以211 ,,1022n a a == ?? ?…， 10n n a a +->，{}n a 递增，当4n … 时，11132122 n n n n a a a a +=+>+=，

所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而* 22,n a n n =-∈N ．由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2 121n n n n b S S S d ++= -．所以2* ,n b n n n =+∈N ．（2 ）*n c n = ==∈N ．我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++

2015高考数学分类汇编数列

专题六数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

2017高考试题分类汇编-数列

数列 1（2017山东文）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2（2017新课标Ⅰ文数）（12分）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 3（（2017新课标Ⅲ文数）12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4（2017浙江）（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n N *∈）．证明：当n N *∈时，

（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；（Ⅱ）2x n +1? x n ≤12 n n x x +；（Ⅲ）112 n -≤x n ≤212n -． 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N ． 5（2017北京理）（本小题13分）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???，其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时， n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列． 6（2017新课标Ⅱ文）（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S . 7（2017天津文）（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于 0，

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

数列历年高考真题分类汇编(3)

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 2019年 1.解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意得2 662,6124q d q d =+?? =+?解得3 .2d q =??=? 故14(1)331, 6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以，{}n a 的通项公式为(){}31, n n a n n b *=+∈N 的通项公式为() 32n n b n *=?∈N . （Ⅱ）（i ）()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以，数列(){} 221n n a c -的通项公式为()() 221941n n n a c n *-=?-∈N . （ii ） ()()22221 1 1 1 2211n n n n i i i i i i i i i i i i c a c a a c a a ====-??=+-=+??∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ ( )( )21 1 41432 52 914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N . 2010-2018年 1．【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】由数列通项可知，当125n 剟，n N +∈时，0n a …，当2650n 剟， n N +∈ 时，0n a …，因为1260a a +>，2270a a +>???∴1250,,,S S S ???都是

历年数列高考题汇编精选

历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=，所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ） 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时， 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. （Ⅱ）由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ． . 4、（辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”；（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由，得，解得．因此数列为“M—数列”. （2）解：①因为，所以．由得，则 . 由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ，所以，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

(完整版)历年数列高考题及答案

1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ，

历年高考理科数列真题汇编含答案解析

高考数列选择题部分（2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 （2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得() * ∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2 {}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ， 4a ，8a 成等比数列，则（） A.

2020年高考试题分类汇编(数列)

2020年高考试题分类汇编（数列）考法1等差数列 1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心由一块圆心石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一层多 9块，已知每层的环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 2.（2020·全国卷Ⅱ·文科）记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，若12a =-，262a a +=，则10S = . 3. （2020·山东卷）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为． 4.（2020·上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910 a a a a +++= . 5.（2020·浙江卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠， 11a d ≤．记12b S =，122n n n b S S ++=-，n N *∈，下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =? D.2428b b b =? 6.（2020·北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12n n T a a a =（1,2,n =），则数列{}n T A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项

2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)

2017年高考试题分类汇编之数列一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a

历年数列高考题(汇编)答案

历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列{}n b 的通项公式．解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、（2010新课标卷理）

2008年高考数学试题分类汇编(数列)

2008年高考数学试题分类汇编数列一．选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14）若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128

2017年高考试题分类汇编(数列)

2017年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8

2014高考数学真题分类汇编- 数列

D 单元数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1 －a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n ，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n － 1，求数列{a n }的前n 项和S n . 17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32 ＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ. (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1. 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明???? ??a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32 . 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ???a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以???? ??a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n 2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12 . (2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1 . 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3 n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1.

历年数列高考题大全答案

历年数列高考题大全答案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113 a =，公比1 3q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =++ +，求数列{}n b 的通项公式．解：（Ⅰ）因为.31)3 1 (311 n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2 ) 1(+- =n n 所以}{n b 的通项公式为.2 ) 1(+- =n n b n 2、(2011全国新课标卷理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21 9 q = 。有条件可知a>0,故13 q =。由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。（Ⅱ?）111111log log ...log n b a a a =+++ 故 1211 2()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21 n n -+ 3、（2010新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=

全国卷数列高考题汇总附答案

数列专题高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数. （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.（本小题满分12分）已知数列满足=1， . （Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明： . (2015·I)（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。 (2015·I I)（4）等比数列满足，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 (2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 (2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为 __________。 (2016·II)（17）（本题满分12分） S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记，其中表示不超过的最大整数，如 . （I ）求，，；（II ）求数列的前1 000项和. (2016·III)（12）定义“规范01数列” 如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个 (2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列的前项和，其中（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；（II ）若，求. (2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 (2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列