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简单的三角恒等变换xx年xx月xx日•三角函数基本概念•三角恒等变换的基本法则•三角恒等变换的应用目录•常见三角恒等变换技巧•三角恒等变换的注意事项•练习题与解答01三角函数基本概念$\sin x = \frac{y}{r}$正弦函数$\cos x = \frac{x}{r}$余弦函数$\tan x = \frac{y}{x}$正切函数三角函数的定义周期性$2k\pi, k\in Z$振幅$|\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1$相位$\sin(x+2k\pi) = \sin x$；$\cos(x+2k\pi) = \cos x$；$\tan(x+k\pi) = \tan x$正弦函数$y=|\sin x|$，波动曲线余弦函数$y=|\cos x|$，波动曲线正切函数$y=\tan x$，曲线不连续，无界01020302三角恒等变换的基本法则和差角公式公式二$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$应用用于解决角度和的问题，如求两角和的正弦、余弦等。
公式一$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$\sin x\cosy=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))$积化和差公式公式一$\cos x\siny=\frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin(x-y))$公式二用于将两角和的正弦与余弦变换成和差角的形式，方便后续计算。
应用公式一$\sin\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\s qrt{2}}(\cos x+1)^{1/2}$公式二$\cos\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-1)^{1/2}$应用用于计算半角的角度，适用于解三角形等问题。
半角公式03三角恒等变换的应用利用三角函数解直角三角形，得到直角三角形的三个边长。
三角函数恒等变换三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角2k π+α(k ∈Z)π+α-α图示与α角终边的关系相同 关于原点对称关于x 轴对称角 π-α2π-α 2π+α图示与α角终边的关系 关于y 轴对称关于直线y=x 对称2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角2k π+απ+α-απ-α2π-α2π+α(k∈Z)正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα- cosαcosα- cosαsinα-sinα正切tanαtanα- tanα- tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。
记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。
其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。
二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sinα=22tan21tan2αα+, cosα=221tan21tan2αα-+3、形如asinα+bcosα的化简asinα+bcosα=22a b+α+β).其中cos β22a b+,sinβ22a b+三、简单的三角恒等变换1、用cosα表示sin22α,cos22α,tan22αsin22α=1cos2α-;cos22α=1cos2α+;tan 22α=1cos 1cos αα-+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。
2、用cos α表示sin 2α,cos 2α,tan 2αsin 2α=cos 2α=tan 2α= 3、用sin α,cos α表示tan 2α tan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 四、常用数据: 30456090、、、的三角函数值 6sin15cos 75-==,42615cos 75sin +==3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos,sin 2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。
新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ， 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。
三角函数的恒等变换及图像基本内容：1•角的概念的推广，弧度制，任意角三角函数值； 2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式；3. 三角函数的恒等变换（两角和差公式，倍角公式，半角公式）;4. 三角函数的图像和性质.（平移伸缩变换）• 2 2 1sin Q + COS ~ a - l l +tan 2 6Z = sec 2 a l + cot 2 or = esc 2 a2、两角和与差、二倍角公式 （一）主要公式：I •两角和与差的三角函数sin （a + 0） = sin a cos 0 + cos a sin 0cos( a+Q =cos<7cos 0-sinasin 0cos(a - 0) = cos a cos 0 + sin a sin 02. 二倍角公式：sin la = 2 sin a cos a2 2 2 2cos2a = cosp-sin 6Z = l-2sin a = 2cos a-\ 宀 2 tan atan 2a = ------- - l-tarr a“々％八 a . 2 1-COS 2Q 降次公式：sirra = -------------------2辅助角公式： asinQ+bcosd =sin （ CX（二）重要结论：l. sin a 土 cos a = y/2 sin (G ± —).42. tan a ± tan /3 = tan(cr± 0)(1 + tan a tan 0) =士")5.斜三角形解法（正眩定理.余眩定理）.知识点梳理：I 、同角三角函数的关系与诱导公式I sin a = ----- esc asin a tan a - -----cos a 倒数关系: i 筍数关系: 1 1 coso = ---------- tana = -------------sec a cot a cosa cot a = ------ sin a 平方关系:sin (a - 0) = sin a cos 0 - cos a sin 卩 2 l + cos 2a cos a ---------+0)= J,』cos ( a —(p } )COSQCOS 0, sin a cos a 03 • tan Q +cot Q =----------- 1 ------- = 2cos a sin a sin 2a4. (sinQ ±cosQ)2=l±sin2Q・^^ = tan(^±a).1 + tan 6T 4（一） .描点法：五点作图法（正、余弦曲线）（二） .利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和平移变换等，重点掌握函数y=Asin （3 x+（p） +b（A>0, 3>0）的作法.（1）振幅变换：由丫=小你的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原來的A倍，得到y=Asinx的图象.I —|（2）周期变换：由『=彳小的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐变为原来的％I倍，得到y=sin<ox的图象.（3）平移变换：由y=sinx的图象上所有的点向左（当（p>0）或向右（当（p<0）平行移动丨<p I个单位，得到y=sin （x+（p）的图象.（4）上下平移：由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动丨b I个单位，得到y=sinx+b的图象.注意：rfl y=sinx的图象利用图彖变换作函数y=Asin （ cox+（p） +b （A>0, s >0）（x eR）的图象，要特別注意：当周期变换和平移变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
第四编 三角函数及三角恒等变换§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.A ={小于90°的角}，B ={第一象限的角}，则A ∩B = （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③{第一象限的角}④以上都不对答案 ④2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 . 答案3π3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 . 答案 1或44.已知角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin α= . 答案 -cos25. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且cos α=x 42,则sin α= . 答案 410例1 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,2α的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角，∴k ²360°+90°＜α＜k ²360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ²360°+180°＜2α＜2k ²360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ²180°+45°＜2α＜k ²180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ²360°+45°＜2α＜n ²360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ²360°+225°＜2α＜n ²360°+270°. 基础自测∴2α是第一或第三象限的角. （3）∵k ²120°+30°＜3α＜k ²120°+60°（k ∈Z ）， 当k =3n （n ∈Z ）时， n ²360°+30°＜3α＜n ²360°+60°； 当k =3n +1（n ∈Z ）时， n ²360°+150°＜3α＜n ²360°+180°； 当k =3n +2（n ∈Z ）时， n ²360°+270°＜3α＜n ²360°+300°. ∴3α是第一或第二或第四象限的角. 例2 （1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r +r θ. 依题意，得2r +r θ=πr , ∴θ=π-2=(π-2)³︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈1.142³57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S =21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20, 即l =20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S =21lr ，将①代入，得 S =21(20-2r )r =-r 2+10r =-(r -5)2+25, 所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时 l =20-2³5=10,α=rl=2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例3 （14分）已知角α的终边在直线3x +4y =0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x +4y =0上，∴在角α的终边上任取一点P （4t ,-3t ） (t ≠0),2分则x =4t ,y =-3t ,r =t t t y x 5)3()4(2222=-+=+,4分当t ＞0时，r =5t , sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ;8分当t ＜0时，r =-5t ,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y .12分综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-;t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.14分例4 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解 （1）作直线y =23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x =21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为α|2k π+32π≤α≤2k π+34π，k ∈Z .1.已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ 解 ∵α是第三象限角，∴180°+k ²360°＜α＜270°+k ²360°（k ∈Z ）， 60°+k ²120°＜3α＜90°+k ²120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得60°+m ²360°＜3α＜90°+m ²360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ²360°＜3α＜210°+m ²360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ²360°＜3α＜330°+m ²360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB 的面积. 解 （1）∵α=120°=32πrad ，r =6， ∴ 的弧长为l =32π³6=4π. (2)∵S 扇形OAB =21lr =21³4π³6=12π， S △ABO =21r 2²sin 32π=21³62³23=93，∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △ABO =12π-93.3.已知角α的终边在y 轴上，求sin α、cos α、tan α的值. 解 ∵角α的终边在y 轴上，∴可在α的终边上任取一点（0,t )(t ≠0),即x =0，y =t . ∴r =22y x +=220t +=|t |. 当t ＞0时，r =t , sin α=r y =t t =1,cos α=r x =t 0=0,tan α=xy 不存在；当t ＜0时，r =-t ，sin α=r y =tt-=-1, cos α=r x =t -0=0,tan α=xy 不存在. 综上可知：sin α=±1,cos α=0,tan α不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y =1cos 2-x ；（2）y =lg(3-4sin 2x ）.解 （1）∵2cos x -1≥0，∴cos x ≥21. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sin x ＜23. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).一、填空题1.已知cos θ²tan θ＜0,那么角θ是第 象限角. 答案 三或四2.若0＜x ＜2π，则sin x 24πx 2（用“＞”,“＜”或“=”填空）. 答案 ＞3.与610°角终边相同的角表示为 . 答案 k ²360°+250°(k ∈Z )4.已知（21）sin2θ＜1,则θ所在象限为第 象限. 答案 一或三5.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二6.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）. ①-3②3或31 ③-31 ④-3或-31 答案 ③7.已知角α的终边落在直线y =-3x (x ＜0)上，则=-ααααcos cos sin sin .答案 28.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin60t π二、解答题 9.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，求实数a 的值. 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1, ∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a , 解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91. 10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l . （1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴θR +2R =40，S =21lR =21θR 2=41θR ²2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ.当且仅当θR =2R ,即R =10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100.11.设θ为第三象限角，试判断2cos2sinθθ的符号. 解 ∵θ为第三象限角， ∴2k π+π＜θ＜2k π+23π(k ∈Z ), k π+4322ππθπ+<<k (k ∈Z ). 当k =2n (n ∈Z )时，2n π+ππθπ43222+<<n , 此时2θ在第二象限. ∴sin2θ＞0,cos 2θ＜0. 因此2cos2sin θθ＜0.当k =2n +1(n ∈Z )时，(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ),即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限.∴sin 2θ＜0,cos 2θ＞0,因此2cos 2sinθθ＜0, 综上可知：2cos2sinθθ＜0. 12.角α终边上的点P 与A （a ，2a ）关于x 轴对称（a ≠0），角β终边上的点Q 与A 关于直线y =x 对称，求sin α²cos α+sin β²cos β+tan α²tan β的值. 解 由题意得，点P 的坐标为（a ,-2a )， 点Q 的坐标为（2a ，a ）. sin α=22252)2(2a a a a a -=-+-, cos α=2225)2(aa a a a =-+,tan α=22-=-aa, sin β=2225)2(a a a a a =+, cos β=22252)2(2aa aa a =+,tan β=212=a a , 故有sin α²cos α+sin β²cos β+tan α²tan β =21)2(5255522222⨯-+∙+∙-a a a a a a a a =-1.§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.（2008²常州模拟）sin 2(π+α)-cos(π+α)²cos(-α)+1的值为 . 答案 22.sin210°= . 答案 21-3.已知tan α=21,且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ，则sin α的值是 . 答案 55- 4.若θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)²sin⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= . 答案103 5.已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 . 答案 53-基础自测例1 已知f (α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;(1)化简f (α);(2)若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f (α)的值.解 （1）f （α）=αααααsin tan )tan (cos sin -∙∙=-cos α.(2)∵cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23πα=-sin α,∴sin α=-51,cos α=-65251522-=-, ∴f (α)=652. 例2 （14分）已知-2π＜x ＜0,sin x +cos x =51. (1)求sin x -cos x 的值； （2）求xx 22sin cos 1-的值.解 （1）方法一 联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ x x x x 1cos sin 51cos sin 22 ②①2分由①得sin x =51-cos x ,将其代入②，整理得 25cos 2x -5cos x -12=0.4分 ∵-2π＜x ＜0, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,所以sin x -cos x =-57.7分方法二 ∵sin x +cos x =51, ∴(sin x +cos x )2=251⎪⎭⎫⎝⎛,即1+2sin x cos x =251, ∴2sin x cos x =-2524.2分∵(sin x -cos x )2=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x =1-2sin x cos x =1+2524=2549 ①4分 又∵-2π＜x ＜0,∴sin x ＜0,cos x ＞0, ∴sin x -cos x ＜0② 由①②可知：sin x -cos x =-57.7分(2)由已知条件及（1）可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+57cos sin 51cos sin x x x x ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,9分 ∴tan x =-43.11分 又∵xx x x xx 222222sin cos cos sin sin cos 1-+=-=xxx x xx 222222cos sin cos cos cos sin -+ =x x 22tan 11tan -+13分=72543114322=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-.14分例3 已知tan α=2,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;(2)αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;(3)4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.解 （1）原式=19243229tan 43tan 2-=-⨯-⨯=--αα.（2）759243229tan 43tan 2cos 9sin 4cos 3sin 222222222=-⨯-⨯=--=--αααααα. (3)∵sin 2α+cos 2α=1,∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =αααααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 4+--=114523441tan 5tan 3tan 422=+-⨯-⨯=+--ααα.1.化简)sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ----⎪⎭⎫ ⎝⎛+---.解 原式=[][])sin()cos(2sin )(cos )tan (απαπαππαππα+-∙+⎪⎭⎫⎝⎛-+∙-+∙-=[]αααπαπαsin )cos (2sin )cos()tan (∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙--∙-=αααααsin cos )cos (cos tan ∙--∙∙-=αααsin cos tan ∙-=ααsin cos cos sin a a ∙-=-1. 2.已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π).求值：（1）tan θ;(2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ. 解 方法一 ∵sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π), ∴(sin θ+cos θ)2=251=1+2sin θcos θ， ∴sin θcos θ=-2512＜0. 由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2-51x -2512=0的两根，解方程得x 1=54,x 2=-53.∵sin θ＞0,cos θ＞0,∴sin θ=54,cos θ=-53.∴(1)tan θ=-34. (2)sin θ-cos θ=57. (3)sin 3θ+cos 3θ=12537. 方法二 （1）同方法一.（2）（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ²cos θ=1-2³⎪⎭⎫ ⎝⎛-2512=2549.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=57. (3)sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =51³⎪⎭⎫ ⎝⎛+25121=12537. 3.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:(1)θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;(2)41sin 2θ+52cos 2θ. 解 由已知得cos(θ+k π)≠0, ∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ.(2) 41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++ =2571tan 52tan 4122=++θθ.一、填空题1.α是第四象限角，tan α=125-，则sin α= . 答案 135-2.（2008²浙江理）若cos α+2sin α=-5,则tan α= . 答案 23.（2008²四川理）设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ 4. α是第四象限角，cos α=1312，则sin α= . 5.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 . 答案 26.若sin α+cos α=tan α ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα，则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ7.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα= . 答案562 8.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--∙+∙+--∙+∙+= .答案 1 二、解答题 9.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α); (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++ (n ∈Z ).解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21, 又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-∙++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(∙+-++=αααπαcos sin )sin(sin ∙---=αααcos sin sin 2∙-=αcos 2-=-4.10.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----.解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+∙αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-解 方法一 当k 为偶数时，设k =2m (m ∈Z ),则方法二 由(k π+α)+(k π-α)=2k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2k π, 得sin(k π-α)=-sin(k π+α), cos ［(k -1)π-α］=cos ［(k +1)π+α］ =-cos(k π+α),sin ［(k +1) π+α］=-sin(k π+α).12.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α;1. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）. 答案 y =-sin x2.（2009²东海高级中学高三调研）将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx3.设函数y =a cos x +b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么a cos x +b sin x 的最大值是 . 答案 54.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 ⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ5.（2008²全国Ⅱ理）若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 答案 2例1 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1,∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ.（2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ.方法二 利用三角函数线， 如图MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM ， 则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ≥0，将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4π≤π+2k π, 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ.例2 求下列函数的值域： （1）y =xx x cos 1sin 2sin -;(2)y =sin x +cos x +sin x cos x ;(3)y =2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ3+2cos x .解 （1）y =x x x x cos 1sin cos sin 2-=x x x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x +2cos x =2221cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21.于是当且仅当cos x =1时取得y max =4,但cos x ≠1, ∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cos x =-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21.（2）令t =sin x +cos x ,则有t 2=1+2sin x cos x , 即sin x cos x =212-t . 有y =f (t )=t +212-t =1)1(212-+t .又t =sin x +cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ，∴-2≤t ≤2. 故y =f (t )=1)1(212-+t (-2≤t ≤2), 从而知：f (-1)≤y ≤f (2),即-1≤y ≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y =2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+x 3π+2cos x=2cos3πcos x -2sin 3πsin x +2cos x =3cos x -3sin x=23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx .∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πx ≤1∴该函数值域为［-23，23］.例3 （14分）求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调区间.解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ), 4分∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ), 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ), 8分2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z ), 即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).12分∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).14分 方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.2分又∵u =x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ), -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ).即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ), 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.12分综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.14分1.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域. 解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0;当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.2.已知函数f (x )=x x x 2cos 1cos 3cos 224+-,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π， 解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f (x ）的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,.Z Z R又f （x )= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x -1=-sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z . ∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.3.（1）求函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π的单调递减区间；（2）求y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期及单调区间.解 （1）方法一 令u =⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π,y =sin u ，利用复合函数单调性，由2k π-2π≤-2x +3π≤2k π+2π(k ∈Z ),得 2k π-65π≤-2x ≤2k π+6π（k ∈Z ), -k π-12π≤x ≤-k π+125π (k ∈Z ),即k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ). ∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z ). 方法二 由已知函数y =-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ,欲求函数的单调递减区间，只需求y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的单调递增区间.由2k π-2π≤2x -3π≤2k π+2π（k ∈Z ), 解得k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ). ∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （k ∈Z ）.（2）y =3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π =-3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx ,∴T =ωπ=4π,∴y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期为4π. 由k π-2π＜64π-x ＜k π+2π， 得4k π-34π＜x ＜4k π+38π(k ∈Z ),y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx 的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ） ∴y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ).一、填空题1.已知函数y =tan ωx 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内是减函数,则ω的范围是 .答案 -1≤ω＜02.（2009²徐州模拟）函数f (x )=sin x -3cos x (x ∈［-π，0］)的单调递增区间是 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π3.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 0 4.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ5.函数f (x )=lg(sin2x +3cos2x -1)的定义域是 .答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ6.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23; ③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形.其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④7.（2008²江苏，1）f (x )=cos(ωx -6π)最小正周期为5π，其中ω＞0，则ω= . 答案 108.（2009²东海高级中学高三调研）定义在R 上的函数f (x ):当sin x ≤cos x 时，f (x )=cos x ;当sin x ＞cos x 时，f (x )=sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数 ②f (x )的最小值为-1③当且仅当x =2k π (k ∈Z )时，f (x )取最大值 ④当且仅当2k π-2π＜x ＜(2k +1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0 ⑤f (x )的图象上相邻最低点的距离是2π.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 答案 ①④⑤二、解答题9.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，试求参数m 的取值范围.解 由m cos x -1=cos x +m 得cos x =11-+m m ,作出函数y =cos x 的图象（如图所示）， 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 10.设a =⎪⎭⎫⎝⎛++x x x sin cos ,42sin 2π,b =(4sin x ,cos x -sin x ),f (x )=a ²b .（1）求函数f (x )的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y =f (ωx )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤ππ326x x ，B ={x ||f (x )-m |＜2},若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解 （1）f (x )=sin 242x +π²4sin x +(cos x +sin x )²(cos x -sin x ) =4sin x ²22cos 1⎪⎭⎫⎝⎛+-x π+cos2x=2sin x (1+sin x )+1-2sin 2x =2sin x +1, ∴f (x )=2sin x +1.（2）∵f (ωx )=2sin ωx +1,ω＞0. 由2k π-2π≤ωx ≤2k π+2π, 得f (ωx )的增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ωπωπωπωπ22,22k k ,k ∈Z . ∵f （ωx ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2. ∴-2π≥ωπ2-且32π≤ωπ2,∴ω∈ ⎝⎛⎥⎦⎤43,0. （3）由|f (x )-m |＜2,得-2＜f (x )-m ＜2, 即f (x )-2＜m ＜f (x )+2. ∵A ⊆B ，∴当6π≤x ≤π32时， 不等式f (x )-2＜m ＜f (x )+2恒成立. ∴f （x ）max -2＜m ＜f (x )min +2, ∵f (x )max =f (2π)=3,f (x )min =f (6π)=2,∴m ∈（1，4）. 11.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f （x ）=sin x .（1）求当x ∈［-π，0］时，f (x )的解析式； （2）画出函数f (x )在［-π，π］上的函数简图； （3）求当f (x )≥21时，x 的取值范围. 解 （1）∵f (x )是偶函数，∴f （-x ）=f （x ）.而当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f (x )=sin x .∴当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π时，f (x )=f (-x )=sin(-x )=-sin x .又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,ππ时，x +π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∵f （x ）的周期为π，∴f （x ）=f (π+x )=sin(π+x )=-sin x . ∴当x ∈［-π,0］时，f (x )=-sin x . （2）如图：（3）由于f (x ）的最小正周期为π, 因此先在［-π，0］上来研究f (x )≥21, 即-sin x ≥21,∴sin x ≤-21, ∴-65π≤x ≤-6π.由周期性知，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππππk k ,k ∈Z 时，f (x )≥21.12.已知a ＞0，函数f (x )=-2a sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx +2a +b ,当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，-5≤f (x )≤1.（1）求常数a ,b 的值；(2)设g (x )=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx 且lg g (x )＞0,求g (x )的单调区间.解 （1）∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∴2x +6π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ67,6.∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21，∴-2a sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈［-2a ,a ］.∴f (x )∈［b ,3a +b ］,又∵-5≤f (x )≤1,因此可得b =-5,3a +b =1, 因此a =2,b =-5.（2）由（1）知a =2,b =-5,∴f （x ）=-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1,g (x )=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx =-4sin ⎪⎭⎫⎝⎛+672πx -1 =4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1.又由lg g (x )＞0得g (x )＞1,∴4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1＞1,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＞21,∴2k π+6π＜2x +6π＜2k π+65π,k ∈Z .由2k π+6π＜2x +6π≤2k π+2π(k ∈Z ),得g (x )的单调增区间为：⎥⎦⎤ ⎝⎛+6,πππk k （k ∈Z ）由2k π+2π≤2x +6π＜2k π+65π, 得g (x )的单调减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡++3,6ππππk k （k ∈Z ）.§4.4 函数y =A sin(ωx +ϕ)的图象及三角函数模型的简单应用1.（2008²天津理，3）设函数f （x ）=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22πx ，x ∈R ，则f （x ）是 （填序号）.①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为2π的奇函数 ④最小正周期为2π的偶函数 答案 ②2.（2008² 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛+232πx (x ∈[0,2π])的图象和直线y=21的交点个数是 个. 答案 23.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 4.下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ⑤函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 . 答案 ①④5.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案23例1 已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π，初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X . 列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.例2 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点，则A =-3，T =2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π，∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π³2+ϕ=0，∴ϕ=3π，所求解析式为y =-3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx .①方法二 由图象知A =3，以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为第一个零点，P ⎪⎭⎫⎝⎛0,65π为第二个零点.列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∙=+∙πϕπωϕπω6503解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω.∴所求解析式为y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-322πx . ②例3 （14分）已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ), 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0, ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0, ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.4分∴f (x )=22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x . ∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.6分ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z.又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.8分 (2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π. ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.12分又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4³502,∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4³502=2 008.14分1.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y =sin x 的图象上所有点向右平移4π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的图象；再把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin21x 的图象；再把y =sin21x 图象上所有的点向右平移2π个单位，得到y =sin21(x -2π)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.（3）周期T =ωπ2=212π=4π，振幅A =3，初相是-4π. (4)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ), 得x =2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x -4π=k π (k ∈Z )得x =2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,22ππk (k ∈Z ).2.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达 式为 .答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx3.已知函数f (x )=A sin ωx +B cos ωx (其中A 、B 、ω是实常数，且ω＞0)的最小正周期为2,并当x =31时,f (x )取得最大值2. （1）函数f (x )的表达式；（2）在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡423,421上是否存在f (x )的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.解 （1）f (x )=A sin ωx +B cos ωx =)sin(22ϕω++x B A 由T =ωπ2=2知ω=π，又因为f （x ）最大值为2，所以f （x ）=2sin （πx +ϕ）. 由x =31时f （x ）max =2，得sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ3=1， ∴ϕ=6π.∴f （x ）=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6ππx . （2）令πx +6π=k π+2π（k ∈Z ）得对称轴方程为x =k +31，由对称轴满足421≤k +31≤423（k ∈Z ）即1259≤k ≤1265且k ∈Z ，∴k =5.故在⎥⎦⎤⎢⎣⎡423,421上f （x ）只有一条对称轴.x =5+31=316，即对称轴方程为x =316.一、填空题1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx2.（2008²全国Ⅰ理，8）为得到函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，只需将函数y =sin2x 的图象向 平移个单位长度. 答案 左π1253.（2008²湖南理，6）函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值是 .答案23 4.（2008²四川理，10）设f （x ）=sin （ωx +ϕ），其中ω＞0,则f (x )是偶函数的充要条件是 . 答案 f ′(0)=05.函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321πx 的周期、振幅依次是答案 4π、36.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或27.（2008²辽宁理，16）已知f (x )=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= . 答案3148.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期与最大值的和为 . 答案 2π-21二、解答题9.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由. 解 y =1-cos 2x +a cos x +85a -23=218542cos 22-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x 当0≤x ≤2π时，0≤cos x ≤1， 若2a＞1,即a ＞2,则当cos x =1时 y max =a +a 85-23=1,∴a =1320＜2(舍去). 若0≤2a ≤1，即0≤a ≤2,则当cos x =2a时, y max =218542-+a a =1,∴a =23或a =-4(舍去).若2a＜0,即a ＜0时,则当cos x =0时, y max =2185-a =1,∴a =512＞0(舍去). 综上所述,存在a =23符合题设. 10.已知函数f (x )=sin （ωx +6π）+sin （ωx -6π）-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω＞0).(1)求函数f (x )的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y =f (x ),x ∈(a ,a +π］的图象与直线y =-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y =f (x ),x ∈R 的单调增区间. 解 （1）f (x )=)1(cos cos 21sin 23cos 21sin 23+--++x x x x x ωωωωω =2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x ωωcos 21sin 23-1 =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx -1.由-1≤sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ≤1,得-3≤2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx -1≤1. 可知函数f (x )的值域为［-3，1］.（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y =f (x )的周期为π,又由ω＞0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f (x )=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx -1,再由2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π(k ∈Z )， 解得k π-6π≤x ≤k π+3π(k ∈Z ). 所以y =f (x )的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k (k ∈Z ).11.（2008²安徽理，17）已知函数f (x )=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ²sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx .(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域.解 （1）∵f （x ）=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ²sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx=21cos2x+23sin2x+（sin x -cos x ）(sin x +cos x ) =21cos2x +23sin2x +sin 2x -cos 2x =21cos2x +23sin2x -cos2x =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx . ∴周期T =22π=π. 由62π-x =k π+2π(k ∈Z ),得x =32ππ+k (k ∈Z ).∴函数图象的对称轴方程为x =32ππ+k (k ∈Z ). (2)∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ，∴62π-x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ. ∵f （x ）=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,12ππ上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，∴当x =3π时，f (x )取得最大值1, 又∵f ⎪⎭⎫⎝⎛-12π=-23＜f ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π=21, ∴当x =12π-时，f (x )取得最小值-23. ∴函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-1,23.12.（2008²湖北理，16）已知函数f (t )=t t +-11，g (x )=cos x ²f (sin x )+sin x ²f (cos x ),x ∈⎥⎦⎤⎝⎛1217,ππ. （1）将函数g (x )化简成A sin(ωx +ϕ)+B (A ＞0, ω＞０, ϕ∈［0，2π)）的形式；（2）求函数g (x )的值域. 解 (1)g (x )=cos x ²xxx x x cos 1cos 1sin sin 1sin 1+-∙++-=cos x ²()xx x xx 2222sin )cos 1(sin cos sin 1-∙+-=cos x ²x x cos sin 1-+sin x ²xxsin cos 1-.∵x ∈⎥⎦⎤⎝⎛1217,ππ，∴|cos x |=-cos x ，|sin x |=-sin x . ∴g （x ）=cos x ²x x cos sin 1--+sin x ²xxsin cos 1--=sin x +cos x -2=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx -2. （2）由π＜x ≤1217π，得45π＜x +4π≤35π.∵sin t 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,45ππ上为减函数，在⎥⎦⎤⎝⎛35,23ππ上为增函数， sin35π＜sin 45π, ∴sin23π≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ＜sin45π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1217,ππx即-1≤sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx ＜-22, ∴-2-2≤2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx -2＜-3,故g （x ）的值域为［-2-2，-3）.§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切基础自测。
