04_三角函数及三角恒等变换(共46页)

第四编 三角函数及三角恒等变换§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.A ={小于90°的角}，B ={第一象限的角}，则A ∩B = （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③{第一象限的角}④以上都不对答案 ④2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 . 答案3π3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 . 答案 1或44.已知角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin α= . 答案 -cos25. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且cos α=x 42,则sin α= . 答案 410例1 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,2α的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角，∴k ²360°+90°＜α＜k ²360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ²360°+180°＜2α＜2k ²360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ²180°+45°＜2α＜k ²180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ²360°+45°＜2α＜n ²360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ²360°+225°＜2α＜n ²360°+270°. 基础自测∴2α是第一或第三象限的角. （3）∵k ²120°+30°＜3α＜k ²120°+60°（k ∈Z ）， 当k =3n （n ∈Z ）时， n ²360°+30°＜3α＜n ²360°+60°； 当k =3n +1（n ∈Z ）时， n ²360°+150°＜3α＜n ²360°+180°； 当k =3n +2（n ∈Z ）时， n ²360°+270°＜3α＜n ²360°+300°. ∴3α是第一或第二或第四象限的角. 例2 （1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r +r θ. 依题意，得2r +r θ=πr , ∴θ=π-2=(π-2)³︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈1.142³57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S =21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20, 即l =20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S =21lr ，将①代入，得 S =21(20-2r )r =-r 2+10r =-(r -5)2+25, 所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时 l =20-2³5=10,α=rl=2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例3 （14分）已知角α的终边在直线3x +4y =0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x +4y =0上，∴在角α的终边上任取一点P （4t ,-3t ） (t ≠0),2分则x =4t ,y =-3t ,r =t t t y x 5)3()4(2222=-+=+,4分当t ＞0时，r =5t , sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ;8分当t ＜0时，r =-5t ,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y .12分综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-;t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.14分例4 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解 （1）作直线y =23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x =21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为α|2k π+32π≤α≤2k π+34π，k ∈Z .1.已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ 解 ∵α是第三象限角，∴180°+k ²360°＜α＜270°+k ²360°（k ∈Z ）， 60°+k ²120°＜3α＜90°+k ²120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得60°+m ²360°＜3α＜90°+m ²360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ²360°＜3α＜210°+m ²360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ²360°＜3α＜330°+m ²360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB 的面积. 解 （1）∵α=120°=32πrad ，r =6， ∴ 的弧长为l =32π³6=4π. (2)∵S 扇形OAB =21lr =21³4π³6=12π， S △ABO =21r 2²sin 32π=21³62³23=93，∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △ABO =12π-93.3.已知角α的终边在y 轴上，求sin α、cos α、tan α的值. 解 ∵角α的终边在y 轴上，∴可在α的终边上任取一点（0,t )(t ≠0),即x =0，y =t . ∴r =22y x +=220t +=|t |. 当t ＞0时，r =t , sin α=r y =t t =1,cos α=r x =t 0=0,tan α=xy 不存在；当t ＜0时，r =-t ，sin α=r y =tt-=-1, cos α=r x =t -0=0,tan α=xy 不存在. 综上可知：sin α=±1,cos α=0,tan α不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y =1cos 2-x ；（2）y =lg(3-4sin 2x ）.解 （1）∵2cos x -1≥0，∴cos x ≥21. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sin x ＜23. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).一、填空题1.已知cos θ²tan θ＜0,那么角θ是第 象限角. 答案 三或四2.若0＜x ＜2π，则sin x 24πx 2（用“＞”,“＜”或“=”填空）. 答案 ＞3.与610°角终边相同的角表示为 . 答案 k ²360°+250°(k ∈Z )4.已知（21）sin2θ＜1,则θ所在象限为第 象限. 答案 一或三5.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二6.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）. ①-3②3或31 ③-31 ④-3或-31 答案 ③7.已知角α的终边落在直线y =-3x (x ＜0)上，则=-ααααcos cos sin sin .答案 28.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin60t π二、解答题 9.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，求实数a 的值. 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1, ∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a , 解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91. 10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l . （1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴θR +2R =40，S =21lR =21θR 2=41θR ²2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ.当且仅当θR =2R ,即R =10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100.11.设θ为第三象限角，试判断2cos2sinθθ的符号. 解 ∵θ为第三象限角， ∴2k π+π＜θ＜2k π+23π(k ∈Z ), k π+4322ππθπ+<<k (k ∈Z ). 当k =2n (n ∈Z )时，2n π+ππθπ43222+<<n , 此时2θ在第二象限. ∴sin2θ＞0,cos 2θ＜0. 因此2cos2sin θθ＜0.当k =2n +1(n ∈Z )时，(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ),即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限.∴sin 2θ＜0,cos 2θ＞0,因此2cos 2sinθθ＜0, 综上可知：2cos2sinθθ＜0. 12.角α终边上的点P 与A （a ，2a ）关于x 轴对称（a ≠0），角β终边上的点Q 与A 关于直线y =x 对称，求sin α²cos α+sin β²cos β+tan α²tan β的值. 解 由题意得，点P 的坐标为（a ,-2a )， 点Q 的坐标为（2a ，a ）. sin α=22252)2(2a a a a a -=-+-, cos α=2225)2(aa a a a =-+,tan α=22-=-aa, sin β=2225)2(a a a a a =+, cos β=22252)2(2aa aa a =+,tan β=212=a a , 故有sin α²cos α+sin β²cos β+tan α²tan β =21)2(5255522222⨯-+∙+∙-a a a a a a a a =-1.§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.（2008²常州模拟）sin 2(π+α)-cos(π+α)²cos(-α)+1的值为 . 答案 22.sin210°= . 答案 21-3.已知tan α=21,且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ，则sin α的值是 . 答案 55- 4.若θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)²sin⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= . 答案103 5.已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 . 答案 53-基础自测例1 已知f (α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;(1)化简f (α);(2)若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f (α)的值.解 （1）f （α）=αααααsin tan )tan (cos sin -∙∙=-cos α.(2)∵cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23πα=-sin α,∴sin α=-51,cos α=-65251522-=-, ∴f (α)=652. 例2 （14分）已知-2π＜x ＜0,sin x +cos x =51. (1)求sin x -cos x 的值； （2）求xx 22sin cos 1-的值.解 （1）方法一 联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+　x x x x 1cos sin 51cos sin 22 ②①2分由①得sin x =51-cos x ,将其代入②，整理得 25cos 2x -5cos x -12=0.4分 ∵-2π＜x ＜0, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,所以sin x -cos x =-57.7分方法二 ∵sin x +cos x =51, ∴(sin x +cos x )2=251⎪⎭⎫⎝⎛,即1+2sin x cos x =251, ∴2sin x cos x =-2524.2分∵(sin x -cos x )2=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x =1-2sin x cos x =1+2524=2549 ①4分 又∵-2π＜x ＜0,∴sin x ＜0,cos x ＞0, ∴sin x -cos x ＜0② 由①②可知：sin x -cos x =-57.7分(2)由已知条件及（1）可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+57cos sin 51cos sin x x x x ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x ,9分 ∴tan x =-43.11分 又∵xx x x xx 222222sin cos cos sin sin cos 1-+=-=xxx x xx 222222cos sin cos cos cos sin -+ =x x 22tan 11tan -+13分=72543114322=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-.14分例3 已知tan α=2,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;(2)αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;(3)4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.解 （1）原式=19243229tan 43tan 2-=-⨯-⨯=--αα.（2）759243229tan 43tan 2cos 9sin 4cos 3sin 222222222=-⨯-⨯=--=--αααααα. (3)∵sin 2α+cos 2α=1,∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =αααααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 4+--=114523441tan 5tan 3tan 422=+-⨯-⨯=+--ααα.1.化简)sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ----⎪⎭⎫ ⎝⎛+---.解 原式=[][])sin()cos(2sin )(cos )tan (απαπαππαππα+-∙+⎪⎭⎫⎝⎛-+∙-+∙-=[]αααπαπαsin )cos (2sin )cos()tan (∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙--∙-=αααααsin cos )cos (cos tan ∙--∙∙-=αααsin cos tan ∙-=ααsin cos cos sin a a ∙-=-1. 2.已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π).求值：（1）tan θ;(2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ. 解 方法一 ∵sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π), ∴(sin θ+cos θ)2=251=1+2sin θcos θ， ∴sin θcos θ=-2512＜0. 由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2-51x -2512=0的两根，解方程得x 1=54,x 2=-53.∵sin θ＞0,cos θ＞0,∴sin θ=54,cos θ=-53.∴(1)tan θ=-34. (2)sin θ-cos θ=57. (3)sin 3θ+cos 3θ=12537. 方法二 （1）同方法一.（2）（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ²cos θ=1-2³⎪⎭⎫ ⎝⎛-2512=2549.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=57. (3)sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =51³⎪⎭⎫ ⎝⎛+25121=12537. 3.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:(1)θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;(2)41sin 2θ+52cos 2θ. 解 由已知得cos(θ+k π)≠0, ∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ.(2) 41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++ =2571tan 52tan 4122=++θθ.一、填空题1.α是第四象限角，tan α=125-，则sin α= . 答案 135-2.（2008²浙江理）若cos α+2sin α=-5,则tan α= . 答案 23.（2008²四川理）设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ 4. α是第四象限角，cos α=1312，则sin α= . 5.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 . 答案 26.若sin α+cos α=tan α ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα，则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ7.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα= . 答案562 8.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--∙+∙+--∙+∙+= .答案 1 二、解答题 9.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α); (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++ (n ∈Z ).解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21, 又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -∙++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-∙++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(∙+-++=αααπαcos sin )sin(sin ∙---=αααcos sin sin 2∙-=αcos 2-=-4.10.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----.解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+∙αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-解 方法一 当k 为偶数时，设k =2m (m ∈Z ),则方法二 由(k π+α)+(k π-α)=2k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2k π, 得sin(k π-α)=-sin(k π+α), cos ［(k -1)π-α］=cos ［(k +1)π+α］ =-cos(k π+α),sin ［(k +1) π+α］=-sin(k π+α).12.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α;1. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）. 答案 y =-sin x2.（2009²东海高级中学高三调研）将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx3.设函数y =a cos x +b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么a cos x +b sin x 的最大值是 . 答案 54.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 ⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ5.（2008²全国Ⅱ理）若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 答案 2例1 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1,∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ.（2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ.方法二 利用三角函数线， 如图MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM ， 则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ≥0，将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4π≤π+2k π, 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ.例2 求下列函数的值域： （1）y =xx x cos 1sin 2sin -;(2)y =sin x +cos x +sin x cos x ;(3)y =2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ3+2cos x .解 （1）y =x x x x cos 1sin cos sin 2-=x x x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x +2cos x =2221cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21.于是当且仅当cos x =1时取得y max =4,但cos x ≠1, ∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cos x =-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21.（2）令t =sin x +cos x ,则有t 2=1+2sin x cos x , 即sin x cos x =212-t . 有y =f (t )=t +212-t =1)1(212-+t .又t =sin x +cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ，∴-2≤t ≤2. 故y =f (t )=1)1(212-+t (-2≤t ≤2), 从而知：f (-1)≤y ≤f (2),即-1≤y ≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y =2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+x 3π+2cos x=2cos3πcos x -2sin 3πsin x +2cos x =3cos x -3sin x=23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx .∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πx ≤1∴该函数值域为［-23，23］.例3 （14分）求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调区间.解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ), 4分∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ), 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ), 8分2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z ), 即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).12分∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ), ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).14分 方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.2分又∵u =x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ), -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ).即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ), 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ), 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.12分综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.14分1.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域. 解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0;当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.2.已知函数f (x )=x x x 2cos 1cos 3cos 224+-,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π， 解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f (x ）的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,.Z Z R又f （x )= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x -1=-sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z . ∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.3.（1）求函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π的单调递减区间；（2）求y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期及单调区间.解 （1）方法一 令u =⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π,y =sin u ，利用复合函数单调性，由2k π-2π≤-2x +3π≤2k π+2π(k ∈Z ),得 2k π-65π≤-2x ≤2k π+6π（k ∈Z ), -k π-12π≤x ≤-k π+125π (k ∈Z ),即k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ). ∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z ). 方法二 由已知函数y =-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ,欲求函数的单调递减区间，只需求y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的单调递增区间.由2k π-2π≤2x -3π≤2k π+2π（k ∈Z ), 解得k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ). ∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （k ∈Z ）.（2）y =3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π =-3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx ,∴T =ωπ=4π,∴y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期为4π. 由k π-2π＜64π-x ＜k π+2π， 得4k π-34π＜x ＜4k π+38π(k ∈Z ),y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx 的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ） ∴y =3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ).一、填空题1.已知函数y =tan ωx 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内是减函数,则ω的范围是 .答案 -1≤ω＜02.（2009²徐州模拟）函数f (x )=sin x -3cos x (x ∈［-π，0］)的单调递增区间是 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π3.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 0 4.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ5.函数f (x )=lg(sin2x +3cos2x -1)的定义域是 .答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ6.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23; ③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形.其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④7.（2008²江苏，1）f (x )=cos(ωx -6π)最小正周期为5π，其中ω＞0，则ω= . 答案 108.（2009²东海高级中学高三调研）定义在R 上的函数f (x ):当sin x ≤cos x 时，f (x )=cos x ;当sin x ＞cos x 时，f (x )=sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数 ②f (x )的最小值为-1③当且仅当x =2k π (k ∈Z )时，f (x )取最大值 ④当且仅当2k π-2π＜x ＜(2k +1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0 ⑤f (x )的图象上相邻最低点的距离是2π.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 答案 ①④⑤二、解答题9.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，试求参数m 的取值范围.解 由m cos x -1=cos x +m 得cos x =11-+m m ,作出函数y =cos x 的图象（如图所示）， 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 10.设a =⎪⎭⎫⎝⎛++x x x sin cos ,42sin 2π,b =(4sin x ,cos x -sin x ),f (x )=a ²b .（1）求函数f (x )的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y =f (ωx )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤ππ326x x ，B ={x ||f (x )-m |＜2},若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解 （1）f (x )=sin 242x +π²4sin x +(cos x +sin x )²(cos x -sin x ) =4sin x ²22cos 1⎪⎭⎫⎝⎛+-x π+cos2x=2sin x (1+sin x )+1-2sin 2x =2sin x +1, ∴f (x )=2sin x +1.（2）∵f (ωx )=2sin ωx +1,ω＞0. 由2k π-2π≤ωx ≤2k π+2π, 得f (ωx )的增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ωπωπωπωπ22,22k k ,k ∈Z . ∵f （ωx ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2. ∴-2π≥ωπ2-且32π≤ωπ2,∴ω∈ ⎝⎛⎥⎦⎤43,0. （3）由|f (x )-m |＜2,得-2＜f (x )-m ＜2, 即f (x )-2＜m ＜f (x )+2. ∵A ⊆B ，∴当6π≤x ≤π32时， 不等式f (x )-2＜m ＜f (x )+2恒成立. ∴f （x ）max -2＜m ＜f (x )min +2, ∵f (x )max =f (2π)=3,f (x )min =f (6π)=2,∴m ∈（1，4）. 11.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f （x ）=sin x .（1）求当x ∈［-π，0］时，f (x )的解析式； （2）画出函数f (x )在［-π，π］上的函数简图； （3）求当f (x )≥21时，x 的取值范围. 解 （1）∵f (x )是偶函数，∴f （-x ）=f （x ）.而当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f (x )=sin x .∴当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π时，f (x )=f (-x )=sin(-x )=-sin x .又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,ππ时，x +π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∵f （x ）的周期为π，∴f （x ）=f (π+x )=sin(π+x )=-sin x . ∴当x ∈［-π,0］时，f (x )=-sin x . （2）如图：（3）由于f (x ）的最小正周期为π, 因此先在［-π，0］上来研究f (x )≥21, 即-sin x ≥21,∴sin x ≤-21, ∴-65π≤x ≤-6π.由周期性知，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππππk k ,k ∈Z 时，f (x )≥21.12.已知a ＞0，函数f (x )=-2a sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx +2a +b ,当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，-5≤f (x )≤1.（1）求常数a ,b 的值；(2)设g (x )=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx 且lg g (x )＞0,求g (x )的单调区间.解 （1）∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∴2x +6π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ67,6.∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21，∴-2a sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈［-2a ,a ］.∴f (x )∈［b ,3a +b ］,又∵-5≤f (x )≤1,因此可得b =-5,3a +b =1, 因此a =2,b =-5.（2）由（1）知a =2,b =-5,∴f （x ）=-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1,g (x )=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx =-4sin ⎪⎭⎫⎝⎛+672πx -1 =4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1.又由lg g (x )＞0得g (x )＞1,∴4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1＞1,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＞21,∴2k π+6π＜2x +6π＜2k π+65π,k ∈Z .由2k π+6π＜2x +6π≤2k π+2π(k ∈Z ),得g (x )的单调增区间为：⎥⎦⎤ ⎝⎛+6,πππk k （k ∈Z ）由2k π+2π≤2x +6π＜2k π+65π, 得g (x )的单调减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡++3,6ππππk k （k ∈Z ）.§4.4 函数y =A sin(ωx +ϕ)的图象及三角函数模型的简单应用1.（2008²天津理，3）设函数f （x ）=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22πx ，x ∈R ，则f （x ）是 （填序号）.①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为2π的奇函数 ④最小正周期为2π的偶函数 答案 ②2.（2008² 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛+232πx (x ∈[0,2π])的图象和直线y=21的交点个数是 个. 答案 23.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 4.下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ⑤函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 . 答案 ①④5.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案23例1 已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π，初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X . 列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.例2 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点，则A =-3，T =2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π，∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π³2+ϕ=0，∴ϕ=3π，所求解析式为y =-3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx .①方法二 由图象知A =3，以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为第一个零点，P ⎪⎭⎫⎝⎛0,65π为第二个零点.列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∙=+∙πϕπωϕπω6503解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω.∴所求解析式为y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-322πx . ②例3 （14分）已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ), 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0, ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0, ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.4分∴f (x )=22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x . ∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.6分ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z.又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.8分 (2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π. ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.12分又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4³502,∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4³502=2 008.14分1.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y =sin x 的图象上所有点向右平移4π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的图象；再把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin21x 的图象；再把y =sin21x 图象上所有的点向右平移2π个单位，得到y =sin21(x -2π)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.（3）周期T =ωπ2=212π=4π，振幅A =3，初相是-4π. (4)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ), 得x =2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x -4π=k π (k ∈Z )得x =2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,22ππk (k ∈Z ).2.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达 式为 .答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx3.已知函数f (x )=A sin ωx +B cos ωx (其中A 、B 、ω是实常数，且ω＞0)的最小正周期为2,并当x =31时,f (x )取得最大值2. （1）函数f (x )的表达式；（2）在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡423,421上是否存在f (x )的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.解 （1）f (x )=A sin ωx +B cos ωx =)sin(22ϕω++x B A 由T =ωπ2=2知ω=π，又因为f （x ）最大值为2，所以f （x ）=2sin （πx +ϕ）. 由x =31时f （x ）max =2，得sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ3=1， ∴ϕ=6π.∴f （x ）=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6ππx . （2）令πx +6π=k π+2π（k ∈Z ）得对称轴方程为x =k +31，由对称轴满足421≤k +31≤423（k ∈Z ）即1259≤k ≤1265且k ∈Z ，∴k =5.故在⎥⎦⎤⎢⎣⎡423,421上f （x ）只有一条对称轴.x =5+31=316，即对称轴方程为x =316.一、填空题1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx2.（2008²全国Ⅰ理，8）为得到函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，只需将函数y =sin2x 的图象向 平移个单位长度. 答案 左π1253.（2008²湖南理，6）函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值是 .答案23 4.（2008²四川理，10）设f （x ）=sin （ωx +ϕ），其中ω＞0,则f (x )是偶函数的充要条件是 . 答案 f ′(0)=05.函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321πx 的周期、振幅依次是答案 4π、36.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或27.（2008²辽宁理，16）已知f (x )=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= . 答案3148.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期与最大值的和为 . 答案 2π-21二、解答题9.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由. 解 y =1-cos 2x +a cos x +85a -23=218542cos 22-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x 当0≤x ≤2π时，0≤cos x ≤1， 若2a＞1,即a ＞2,则当cos x =1时 y max =a +a 85-23=1,∴a =1320＜2(舍去). 若0≤2a ≤1，即0≤a ≤2,则当cos x =2a时, y max =218542-+a a =1,∴a =23或a =-4(舍去).若2a＜0,即a ＜0时,则当cos x =0时, y max =2185-a =1,∴a =512＞0(舍去). 综上所述,存在a =23符合题设. 10.已知函数f (x )=sin （ωx +6π）+sin （ωx -6π）-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω＞0).(1)求函数f (x )的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y =f (x ),x ∈(a ,a +π］的图象与直线y =-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y =f (x ),x ∈R 的单调增区间. 解 （1）f (x )=)1(cos cos 21sin 23cos 21sin 23+--++x x x x x ωωωωω =2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x ωωcos 21sin 23-1 =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx -1.由-1≤sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ≤1,得-3≤2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx -1≤1. 可知函数f (x )的值域为［-3，1］.（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y =f (x )的周期为π,又由ω＞0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f (x )=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx -1,再由2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π(k ∈Z )， 解得k π-6π≤x ≤k π+3π(k ∈Z ). 所以y =f (x )的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k (k ∈Z ).11.（2008²安徽理，17）已知函数f (x )=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ²sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx .(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域.解 （1）∵f （x ）=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ²sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx=21cos2x+23sin2x+（sin x -cos x ）(sin x +cos x ) =21cos2x +23sin2x +sin 2x -cos 2x =21cos2x +23sin2x -cos2x =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx . ∴周期T =22π=π. 由62π-x =k π+2π(k ∈Z ),得x =32ππ+k (k ∈Z ).∴函数图象的对称轴方程为x =32ππ+k (k ∈Z ). (2)∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ，∴62π-x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ. ∵f （x ）=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,12ππ上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，∴当x =3π时，f (x )取得最大值1, 又∵f ⎪⎭⎫⎝⎛-12π=-23＜f ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π=21, ∴当x =12π-时，f (x )取得最小值-23. ∴函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-1,23.12.（2008²湖北理，16）已知函数f (t )=t t +-11，g (x )=cos x ²f (sin x )+sin x ²f (cos x ),x ∈⎥⎦⎤⎝⎛1217,ππ. （1）将函数g (x )化简成A sin(ωx +ϕ)+B (A ＞0, ω＞０, ϕ∈［0，2π)）的形式；（2）求函数g (x )的值域. 解 (1)g (x )=cos x ²xxx x x cos 1cos 1sin sin 1sin 1+-∙++-=cos x ²()xx x xx 2222sin )cos 1(sin cos sin 1-∙+-=cos x ²x x cos sin 1-+sin x ²xxsin cos 1-.∵x ∈⎥⎦⎤⎝⎛1217,ππ，∴|cos x |=-cos x ，|sin x |=-sin x . ∴g （x ）=cos x ²x x cos sin 1--+sin x ²xxsin cos 1--=sin x +cos x -2=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx -2. （2）由π＜x ≤1217π，得45π＜x +4π≤35π.∵sin t 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,45ππ上为减函数，在⎥⎦⎤⎝⎛35,23ππ上为增函数， sin35π＜sin 45π, ∴sin23π≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ＜sin45π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1217,ππx即-1≤sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx ＜-22, ∴-2-2≤2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx -2＜-3,故g （x ）的值域为［-2-2，-3）.§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切基础自测。