《二次函数的图象与性质》教学设计
一、教材分析
函数的知识贯穿于整个初等数学体系之中，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为以后学习一元二次不等式等奠定基础。在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数关系式的求法、二次函数的实际应用。在复习二次函数的基础知识时，要注重待定系数法、函数思想、数形结合思想的应用。
二、学情分析
1、初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。
2、学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。
3、初三学生具有一定的自主探究和合作学习的能力。
4、学生能力差异较大，两极分化明显。
三、教学目标
（一）知识与技能：复习巩固二次函数的图象及其性质
（二）过程与方法：提高学生应用能力和知识迁移能力
（三）情感态度价值观：使学生进一步认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。
四、教学重难点
重点：把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。难点：理解数形结合的思想解二次函数
五、教学过程
（一）创设情境，导入新课：让知道学生这节课的主要形式是竞赛活动，以提高学生参与
课堂的兴趣。
（二）知识梳理：知识梳理的目的是让学生对前段时间所学内容的一个简单整理，让学生明白这一章中应该掌握的最基础的内容有哪些，同时也是为本节课的内容做好准备。
本环节是学生的第一个分组活动。各小组共同完成知识网路表格，然后小组间相互交换进行评阅，并给出评分。
（三）例题导析
通过前一环节对知识的回顾使复习的内容条理清晰地呈现在学生面前，完成“由厚到薄”的学习过程。此时就应该让学生学会怎样将这些知识运用到解题中去：
例：已知二次函数y=x２-x+c。
（1）求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）c取何值时，顶点在x轴上？
（3）若此函数的图象过原点，求此函数的解析式。
（4）如果c=-2,画出此时的抛物线的图像，并判断x取何值时y 随x的增大而减小。并直接写出x为何值时，y>0?x为何值时，y<0?
这个例题中包括了二次函数的图像及其性质知识的许多运用。
（1）：抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴
（2）：抛物线与x轴的交点
（3）：抛物线与y 轴的交点
（4）：抛物线的画法、增减性、自变量的取值范围
（四）知识运用：本环节是第二个小组活动，由学生抢答完成。 1、下列函数中，二次函数是( )
2、二次函数 y=-x 2-8x+12图象的开口向 ,对称轴是 ，顶点坐标为 。
3、二次函数 的图象可以由函数 的图象 （平移）得到，当x= 时 函数有最 值为 。当x 时，y 随x 的增大而增大。
4、抛物线
的函数值恒为正的条件是a 0,Δ 0;恒为负的条件是a 0,Δ 0。 （五）能力提升：
已知函数y=(k-3)x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且 （安徽芜湖）二次函数 的图象如图所示，则
反比例函数
与一次函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ）。
1
8
).(;8).(;18).(;18).(22+==+=+=x y D x y C x y B x y A a
y x
=
y bx c =+2y ax bx c =++5
)1(32+--=x y 2
3x y -=c bx ax y ++=2
4 ≤k 3≠k 4 x y -1 1 O 1 如图所示的二次函数 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac>0；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误的有：（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 变式：2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买I 型、II 型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. I 型 II 型 投资金额x （万元） x 5 x 2 4 补贴金额y （万元） y 1=kx(k ≠0) 2 y 2=ax 2+bx(a ≠0) 2.4 3.2 （1）分别求y 1和y 2的函数解析式； （2）有一农户同时对I 型、II 型两种设备共投资10万元购买， 2y ax bx c =++ 请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. （六）课堂小结： 1、全班共同完成表格《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c与图象的关系》。这是通过本节课的学习后的一个提升。 2、通过本节课的学习，你又学到了什么？这是学生的一种自我反思过程。 3、将三次小组活动的成绩进行汇总，评出优胜小组，并给予奖励。奖励的内容是本节课用到的两张表格，答案已经填好。这样既激励了学生，又可以让他们学会这种归纳、总结的方法。 （七）课外作业 有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数;且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部条件特点的一个二次函数的解析式 _______________ 《二次函数的图象与性质》学情分析 1、初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。 2、学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。 3、初三学生具有一定的自主探究和合作学习的能力。 4、学生能力差异较大，两极分化明显。 《二次函数的图象及其性质》效果分析 青岛西海岸新区辛安初级中学崔森 吕文爽老师在上《二次函数的图象及其性质》这一节课时，并没有给学生现成的结论，而是以人为本，以学生发展为本，从问题入手，引导学生进行思维探究，得出结论以后灵活的运用分析。层层递进的加深学科难度，把一节琐碎的知识点串联成一个前后联系的知识结构，方便学生记忆，也符合数学的逻辑思维。 这节课的设计注重从学生的已有知识和熟悉的生活现象出发，符合学生认知规律和心理特点。体现了新《课标》的教学理念和课程目标，又兼顾了对学生基础知识和基本技能的培养。老师不再是单纯的知识传授者了，而是学生学习活动的组织者和引导者，体现出重过程和方法教育。很好的达成三维目标。 《二次函数的图象与性质》教材分析 在日常生活，参加生产和进一步学习的需要看，有关函数的知识是非常重要的。例如在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数 学的思想方法，函数的内容在其中有相当的地位，二次函数更是重中 之重。而在本节课之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数y=a2x、y＝a2x＋bx＋c 的图象和性质。因此本课的教学是在学生学过二次函数知识的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=a2x的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a()2 -+k(h≠0，k≠ x h 0)的图象。从特殊到一般，最终得到二次函数y=a2x+bx+c的图象。这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。 函数的知识贯穿于整个初等数学体系之中，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为以后学习一元二次不等式等奠定基础。在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数关系式的求法、二次函数的实际应用。在复习二次函数的基础知识时，要注 重待定系数法、函数思想、数形结合思想的应用。 在同一直角坐标系中，一次函数 抛物线y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) ．k≥－7 B ．k≥－7 且k≠0 《二次函数的图象与性质》课后反思 二次函数是初中阶段所学的一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。在课堂 教学中，教学重难点为二次函数的图象性质及应用，反思备课过程和讲课效果，感受颇深，有收获，也有不足。本节课的教学教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。二次函数上下左右的平移主要是借助多媒体，动态的展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题: 1、某些记忆性的知识没记住。 2、学生的识图能力、读题能力与分析问题、解决问题的能力较弱。 3、解题过程写得不全面，补规范的现象严重。 4、题目综合，不会准确提炼信息。学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。 针对上述问题，需要采取的措施与方法是： 1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。 2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。 3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及 时的辅导与矫正。 4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分 析问题，解决问题的方法。 5、充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题解决 问题 的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。 6、在数学教学中不但要善于设疑置难，而且要理论联系实际， 只有 这样，才会吸引学生对数学学科的热爱。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。 《二次函数的图象与性质》课标分析 （一）知识与技能： 复习巩固本章的基础知识，形成知识网络，建立二次函数表达式与图象之间的联系。 （二）过程与方法： 1、体会并运用配方、归纳、分类、数形结合、函数与方程等思 想方法。 2、能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说 出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题。 3、提高学生对知识的整合能力和分析能力。 （三）情感态度与价值观： 1、提高学生的逻辑思维能力、增强学生独立分析问题和解决问题的能力。 2、通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识。 教学重点、难点： 重点：复习巩固本章的有关知识。 难点：正确地描述二次函数的图象，运用图象性质解决问题。 第13课时二次函数的图像与性质（二） 【复习目标】 1．能根据图象确定a、b、c的符号． 2．会用待定系数法求二次函数的解析式． 3．理解二次函数与一元二次方程的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围． 【知识梳理】 1．二次函数解析式的求法： (1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)． (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h． (3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标． 2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______． 3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点． 4．当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点． 5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴_______交点． 【考点例析】 考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系 例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是( ) A．①③B．③④C．②③D．①④ 22.1 二次函数（6） 教学目标： 1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。 重点难点： 重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点：理解二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a )是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系? (函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质? (当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1) 4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐标吗? 5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图 象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表； x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 － 212 －4 － 612 … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 二次函数的图像与性质的教案（3） 【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质； 【难点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质； 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？ 动手操作、探究： 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以 得到什么结论？ 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？ 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移 而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论： （1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不 同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2 二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质 年级：九年级 执教老师：田老师 【教学目标】 1. 知识与技能 会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法 让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观 培养学生积极探索、合作交流的意识。 【教学重点】 理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-） 【教学难点】 用配方法确定对称轴、顶点坐标。 【教学过程】 一、温故知新 1. 耐心填一填 2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标为 。 当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大； 当x 时，函数y 有最 值 。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ） 提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是 ， 顶点坐标是（ ） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。 第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽 然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－1 3时，x 的值． 4.2二次函数的性质 一、教材的地位与作用 初中学习了一元二次函数2(0) =++≠图象、开口方向、对称轴 y ax bx c a 最大、最小值，有了初步的感性认识。在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。 二、教学目标 1、知识与技能：掌握研究二次函数的一般方法——配方法，进而研究其性质。 2、过程与方法：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、 分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方 法。 3、情感态度与价值观：通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，和谐 的数学美。 三、教学重难点 教学重点：掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法，能够较快求出二次函数的开口方向对称轴，单调区间、最值及顶点坐标。 教学难点：运用配方法研究二次函数的性质。 四、教法学法和教具 教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识。 教具：多媒体 五、教学过程 一、问题提出 1.画出函数2243y x x =--的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 2.画出函数245y x x =-++的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 3.讨论函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 22(1)5y x =-- 2(2)9y x =--+ 222432(1)5y x x x =--=--，∴开口向上，对称轴1x =，顶点坐标 -15（，）， ∞（-,1)递减，∞(1,+)递增，min ()5f x =- 2245(2)9y x x x =-++=--+∴开口向下，对称轴2x =，顶点坐标 （2,9）， ∞（-,2)递增，∞(2,+)递减，max ()9f x = 设计意图：从具体到抽象，从简单到复杂的认知，概括2(0)y ax bx c a =++≠的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。 探究：函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、 5、4二次函数的图像与性质(1) 教材分析: 本节内容就是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质,以及二次函数的有关概念的基础上进行的,它既就是前面所学知识的应用、拓展,又就是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华,还就是今后学习的基础,在教材中起着非常重要的作用. 教学设计: 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤与方法,然后根据表中的各对对应值,在直角坐标系中描出相应的各点,用光滑的曲线连接,画出图象.通过画出图象,让学生分析、归纳二次函数的图象与性质、 教学目标: 知识与技能:1、掌握二次函数的图象的作法及其性质,会根据图象用数学语言表达图象的性质. 2、能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点. 过程与方法:通过对二次函数图象与性质的发现,提高分析、归纳等能力,体验数学中的数形结 合思想的应用、 情感态度与价值观:引导学生养成全面瞧问题,分类讨论的学习习惯,通过直观多媒体演示与学 生动手作图、分析,激发学生学习数学的积极性. 教学重难点: 重点:能在直角坐标系中,正确画出二次函数的图象,并能说出二次函数的图象的性质、 难点:作二次函数图象时要选取适当的点,选取适当数目的点、 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排:4课时 教学过程: 知识回顾: 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数: (k ≠0)图象:双曲线 问:1.如何画出函数图象呢? 2.如何得到相应的性质呢? 【设计意图】: 通过对一次函数与反比例函数解析式、图象的回顾,一方面巩固学生的旧知,另一方面对本节课的学习起到类比作用、 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图: k y x 二次函数y=ax2的图象和性质教学反思 反思一：二次函数y=ax2的图象和性质教学反思 这节课是人教版九年级数学下册的一节探究课。 在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现”主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是前置性作业，前置作业是前T发给学生的，主要涉及如何作图、一次函数和反比例函数的性质等问题。我的设计目的就上让学生在复习这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质的。应该说这样设计既让初三同学复习了旧知又使他们体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究能力。第二部分是学习探究，探求活动前先让一名同学读了学习目标，让大家带着目标去探究。探究活动一是让学生在坐标纸上画出二次函数y=ax A2的图象。 画图的过程包括列表、描点、连线。列表过程是我引导学生取点的，其间我引导大家要明确取点注意的事项，比如代表性、易操作性。这样学生在下一个环节就能游刃有余。学生在我的引导下顺利地画出了函数的图象。紧接着我让学生按照学案的要求自主探讨当a>0时函数y=ax2的性质。探究活动二是独立画出函数y=-2x A2 的图象,然后是自主探讨当a<0时函数y=y=ax2的性质。探讨函数的性质主要从开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标和最值方面入手，让学生从特殊函数来归纳忌结一般函数的性质。应该说探究活动二在活动一得基础上让学生锻炼了自我学习 的能力，学生们完成的很好。探索活动三是小组合作活动。观察自己画出的两个图象，它们代表函数y=ax人2的两种情况，找出a的符号不同时他们的相同点、不同点和联系点。这个环节能充分发挥小组合作的优势，让学生在谈论中体会分类思想。小组讨论完毕后我让学生展示他们的成果，大部分学生跃跃欲试，他们讨论的很全面,出乎我的预料。这里面还有个知识点我是用几何画板演示的，就是通过改变a 的值让学生们观察图象的开口方向和开口宽度。几何画板在此起到了突破难点的作用，让我真正体会到了掌握几何画板对自己的教学是多么的有利。第三部分是课堂检测。最后五分钟时我让学生们独立完成课堂检测部分题目。 课堂检测共出了U个小题（基础题）一个应用题（选做题），下课铃声响了，大部 分的同学还没有完成选做题，所以我就让同桌交换试卷，公布前U个基础题的答案。我的优点主要包括： 1、教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。 2、能运用现代化的教学手段教学，尤其是能用几何画板等软件突破重难点。 我的不足之处表现在： 2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大 而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 - 二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念, 会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ? 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的 函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴 是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 ? 二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示. ? (1).每个图象与x 轴有几个交点？ ? (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有 根吗 a 2 b x -=a 4a c 4b 2-a 4ac 4b 2 - 5.4二次函数的图像和性质(1) 教材分析： 本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计： 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质. 教学目标： 知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性 质． 2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数 形结合思想的应用. 情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示 和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性． 教学重难点： 重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢? 2．如何得到相应的性质呢? 【设计意图】： 通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用. 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图： k y x 一元二次函数的图象和性质（说课稿） 一、教学内容分析 1教材的地位和作用 从二次函数本身来讲.学生对于y=ax2 的学习，是在初中学习函数图象的基础上对函数的开口方向.对称轴.最大.最小值有了初步的感性认识；在高一阶段将进一步从数和形两个方面研究一般二次函数的图象和性质 从整个函数角度来讲.函数一个重要的数学思想，特别是二次函数是我们用来建摸的常用工具，是高中函数知识的重点和难点，有着举足轻重的地位，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。通过运用图象变化的观点来深入研究其它函数的图象变换培养学生自主学习、深专细研、探求发现、归纳总结的能力 从学科角度来讲.二次函数作为初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材. 2教学的重点和难点 根据学生的认知水平和教材的热点，结合学习，我制定了以下重、难点： 重点：掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法，能够较快求出二次函数的开口方向，对称轴，及顶点坐标。 难点：运用配方法研究二次函数的性质 二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的要求以及学生的认知水平，我从三个面确定了以下教学目标 1.知识目标： （１）使学生掌握二次项系数a决定函数图象的开口方向、开口大小和单调性； （２）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法；进而研究其性质 2.能力目标：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、分析、归纳概括能 力；进一步向学生渗透数形结合的数学思想方法。 3.情感目标：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；通过本节课的教学，渗透 二次函数图象的对称美，和谐的数学美。 三教学方法的选择 1.教师启发讲授为辅，学生探究学习为主 本节课是二次函数的起始课，根据教学内容、教学目标，主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力. 2．教学手段 教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识． 四、教学过程的设计 根据新课标规定，结合学生特点。为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：复习反馈创设问题；归纳探索，形成概念；练习反馈巩固提高；归纳小结，提高认识.具体过程如下： 1复习反馈创设问题 2动手操作探究问题 3. 练习反馈巩固提高 4. 归纳小结、提高认识 数学个性化教学教案 授课时间：年月日备课时间年月日 年级九学科数学课时 2 h 学生姓名 授课主题22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质授课教师 教学目标 1、会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图像，并通过图像认识函数的性质. 2、能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 教学重点 1、确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2、理解函数y=a(x－h)2＋k的性质. 教学难点1、正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系. 教学过程 一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 知识点1二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质 1.二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与抛物线y=ax2有什么关系？ [归纳概括]二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同，可由抛物线y=ax2平移得到. 把抛物线y=ax2先向(h>0)或向(h<0)平移h个单位，然后向(k>0)或向(k<0)平移k个单位，就得到y=a(x－h)2＋k的图像. 2.画出二次函数y=a(x－h)2＋k的图像并观察，你能得出它的性质吗？ [归纳概括]二次函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质如下表： 三、【典型例题剖析】 例1 已知k h x a y+ - =2) (是由抛物线2 2 1 x y- =向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线. (1)求a、h、k的值； (2)在同一直角坐标系中画出k h x a y+ - =2) (和2 2 1 x y- =的图像； (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 学习札记 二次函数的图像和性质 教学目标 （1）知识与技能 掌握二次函数图像的画法，理解二次函数的性质； （2）过程与方法 通过画图像培养学生动手作图能力，由图像总结性质，培养同学们数形结合的能力； （3）情感、态度、价值观 通过数形结合的能力的培养，提高同学们的数学素养，培养同学们团队协作精神。 重点：二次函数的图像和性质。 难点：数形结合思想的应用。 教学方法：观察、归纳、启发、探究、数形结合归纳总结。 教学过程： 复习引入： （1） 函数单调性的图像特征? （2） 函数奇偶性的图像特征? 讲授新课： 一、定义 形如 的函数叫二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 解析式： 图像 抛物线 “数” “型” 性质？ 二、探究 问题1：我们怎样得到它的最值和顶点的 生：配方： 因为对任意实数x ，都有()042 12 ≥+x 所以()2-≥x f 当且仅当4-=x 时取等号。 顶点：()2,4-- 问题2：只有最值和顶点，是否就能方便地画出此二次函数对应的抛物线？ 生：列表、描点并画图 )0(2 ≠++=a c bx ax y 642 1)(2 ++=x x x f 6 )8(2 1)(2++=x x x f 6]16-)4[(2 12++=x 2-)4(2 1 2+= x 列表描点： 问题3：此函数图象具有对称性吗? 对称轴是：直线4-=x 理解 “形”—— 抛物线若沿着直线4-=x 对折后，完全重合。 问题4：此函数的单调性如何？什么起决定作用？ 在区间 (]4,-∞-单调递减，在区间[)+∞-,4 单调递增。 练习 画出二次函数 的图象，并叙述按照下列提示叙述其性质 ⑴配方： ⑵定义域： ⑶值域： ⑷最值： ⑸对称轴： ⑺单调区间： 生：画图像并回答。 三、由以上两题总结二次含数的性质 配方： 性质：学生结和图像回答 ⑴二次函数的图象是一条抛物线，顶点坐标（h , k )，对称轴是直线x=h 34)(2+--=x x x f ) 0(2≠++=a c bx ax y c x a b x a y ++=)(2 c a b a b x a ++=]4-)2[(22 2a b a c a b x a 4-4)2(2 2+ +=a b h 2-=a b a c k 4-42 = 令： k h x a +=2 )-( 《二次函数的性质》教案 教学目标 1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式. 2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性. 3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质. 教学重、难点 教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质 教学难点：利用图像观察性质 教学设计 一、复习 1、抛物线5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x _____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x _____0时, y 随着x 的增大而减小；当x = 时，函数y 最 值是____. 2、抛物线6)3(22 +-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x _____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x _____0时, y 随着x 的增大而减小；当x = 时，函数y 最 值是____. 二、例题讲解 例、根据下列条件求二次函数的解析式： （1）函数图像经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-2） （2） 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1） （3）函数图像的对称轴是直线x =3,且图像经过点（1，0）和（5，0） 说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件.一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x 轴的两个交点坐标，则用分解式 较为快捷. 例、已知函数y = x 2 -2x -3 , （1）把它写成k m x a y ++=2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？ （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图； (5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积； （6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y =0; ② y <0; ③ y >0. 说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化； （2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使y <0;，其对应的图像应在x 轴的下方，自变量x 就有相应的取 值范围. 例、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则： a 0; b 0; c 0;ac b 42- 0. 说明：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像与系数a 、 b 、 c 、ac b 42-的关系 ： 《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计 临高县皇桐中学周小花 一、教学内容分析 二次函数y=ax2的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十二章第一节第二课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念之后引入的新内容，也是后面研究坐标形式和一般形式的二次函数图像性质的基础。所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。 二、教学对象分析 九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数图象和性质等内容，从学习情况看，他们对函数的理解和掌握情况并不理想。通过课下的了解，学生们对二次函数有一定的恐惧心理，对学习非常的不利。所以我们在教学过程中，要想方设法的调动学生的积极性，多与前面的的函数联系，帮助他们突破难点。 三、教学目标 （一）知识与技能： 能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究y=ax2二次函数的性质。 （二）过程与方法： 经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想在数学中的应用。 （三）情感、态度与价值观： 经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。 四、教学重难点 教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索y=ax2二次函数的图像特点和性质。 教学难点：y=ax2二次函数的图像特点和性质的得出过程。 五、教学过程 活动1 创设情境 前面我们已经学过一次函数的图象和性质，所以大家对函数的图象和性质并不陌生，那么如何研究函数的图象呢？在研究一次函数时，我们先画出函数图象，然后借助图象了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图象入手．那么大家先来回忆一下如何画函数图象？（学生回答），接下来观察图象的形状和位置得到图象的性质。 我们知道，一次函数的图象是一条直线．那么，二次函数的图象是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y＝ax2的图象与性质．（板书课题：二次函数 y＝ax2的图象与性质） 活动2体验画图 画二次函数 y＝ax2的图象． （1）、列表： 二次函数 y＝x2的自变量取值范围是什么？同学们考虑清楚后在 课题 ：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（一）教学教案 一、 教学目的 1． 使学生会用描点法画出二次函数y=ax 2+k 型与y=a(x-h)2型的图象。 2． 使学生了解并会求抛物线y=ax 2+k 与y=a(x-h)2的对称轴与顶点。 二、 教学重点、难点 重点：1．用描点法画出二次函数y=ax 2+k 型与y=a(x-h)2型的图象。 2．二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的联系及如何平移。 难点：1．二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的联系及如何平移。 ２．抛物线y=ax 2+k ，y=a(x-h)2的对称轴方程的理解。 三、 教学方法 １．讲练结合 ２．引导法 ３．多媒体演示法 四、 教学过程 （一）复习提问 1． 用描点法画出函数y=x 2的图象，并根据图象回答下列问题： （1） 抛物线y=x 2的开口方向、对称轴与顶点坐标； （2） 当x=-2时，y 的值；（3）当y=9时，x 的值。 2． 用描点法画出函数y=2 1-x 2的图象。并根据图象回答下列问题： （1） 抛物线y=x 2的开口方向、对称轴与顶点坐标； （2） 当x=-3时，y 的值（精确到0.1）； （3）当y=-9时，x 的值（精确到0.1）。 （二）新课讲解 1． 用和抛物线y=x 2对比的方法讲解课本P 123的例1．（通过投影仪演示） 13-17。） （3）引导同学结合图象分析研究以下问题： 1°．抛物线()()2222 1121,121x y x y x y -=--=+-=与的相同点与不同点是什么？（答：形状相同；位置不同。） 2°．抛物线()212 1+-x 的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____；（答：向上；y 轴；（0，1）。） 3°。抛物线()212 1--x 的开口方向是_____，对称轴是______，顶点坐标是_____；（答：向上；y 轴；（0，-1）。） 2． 用和抛物线y=- x 2对比的方法讲解课本P 124的例2。 二次函数的图像及性质（二） 概述 教案一 课题：一元二次函数性质. 教学目标：1．掌握一元二次函数的图象和性质. 2．掌握研究一元二次函数性质的方法. 3．培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力、运算能力和作图能力.培养学生用配方法解题的能力.渗透数形结合的思想方法. 4．使学生掌握从特殊到一般的认识规律和认真仔细的态度，培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点、运动变化的观点和具体问题具体分析的观点处理问题. 教学重点：研究二次函数性质的方法. 教学难点：探索二次函数的性质. 教学方法：讲练结合法、演示法. 教学手段：三角板、投影仪、胶片、计算机. 课时安排：1课时. 课堂类型：授新课. 教学过程：课件1课件2 一、复习导入 1．复习提问：(学生回答，启发学生通过配方得出结论.)函数叫什么函数？图象如何？如何化为＝(＋)＋的形式？ 2．导入新课：(老师口述；板书课题.)在初中学习的基础上今天我们继续学习和研究二次函数的图象和性质. 二、讲授新知 1．引例分析： 例1(板书)求作函数的图象. 解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.) . 由于对任意实数，都有≥0，所以≥－2. 当且仅当＝－4时取等号，即(－4)＝－2，该函数在＝－4时取最小值－2，记作＝－2. 当＝0时，＝－6或＝－2，函数的图象与轴相交于两点(－6，0)、(－2，0).＝－6或＝－2也叫做这个二次函数的根. 以＝－4为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表： 在直角坐标系内描点画图(图3－8): 结论：(投影，说明)该函数的图象关于直线＝－4对称，开口向上，有最低点(－4，－2)，最小值为－2；函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数. 例2(板书)求作函数＝－－4＋3的图象. 解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)＝－－4＋3＝－(＋4－3) ＝－[(＋2)－7]＝ －(＋2)＋7 由－(＋2)≤0得，该函数对任意实数都有≤7，当且仅当＝－2时取等号，即＝7，该函数在＝－2时取最大值7，记作＝7. 以＝－2为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表： 在直角坐标系内描点画图(图3－9)： 第3课时二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质 2 1. 会画二次函数y = ax + bx+ c的图像. 2. 熟记二次函数y = ax2+ bx+ c的顶点坐标与对称轴公式. 3 .用配方法求二次函数y= ax2+ bx+ c的顶点坐标与对称轴. 一、情境导入 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h=- 5t2+ 150t + 10表示.那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y = ax2+ bx+ c的图像和性质 【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判 D如图，二次函数y= ax2+ bx+ c的图像开口向上，图像经过点(一1, 2)和(1 , 0)且与y轴交于负半轴. (1) 给出四个结论：①a> 0；②b> 0；③c>0:④a+ b+ c = 0.其中正确的结论的序号是 ______ ; (2) 给出四个结论：①abc v 0；笑2 a+ b> 0:③a+ c= 1；④a> 1.其中正确的结论的序 P.曰 号是_________. 解析：由抛物线开口向上，得a> 0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c v 0；由抛 b 物线的顶点在第四象限，得—2a>0，又a>0，所以b v0；由抛物线与x轴交点的横坐标是 1,得a+ b+ c= 0.因此，第⑴问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a>0、b v 0、 b c V 0，可得abc>0;由一—V1、a>0,可得2a+ b > ;由点（一1, 2）在抛物线上，可知a 2a —b+ c = 2,又a+ b+ c = 0,两式相加得2a+2c= 2，所以a+ c = 1 ；由a+ c= 1, c V 0,可得a> 1.因此，第（2）问中正确的结论是②③④. 方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号?开口向上，a>0;开口向下，a v0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号?顶点 b b 在第一、四象限，一> 0,由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，一V 0，由此得a、2a 2a b同号?再由①中a的符号，即可确定b的符号. 2 【类型二】二次函数y = ax + bx+ c 的性质 FJ如图，已知二次函数y = —x2+ 2x，当一1 V x V a时，y随x的增大而增大，则实 数a的取值范围是（） A. a> 1 B. —1V a wl C. a>0 D. —1 V a v 2 解析：抛物线的对称轴为直线x =—2x（1 ［）= 1,：函数图像开口向下，在对称轴 左侧，y随x的增大而增大，??? a< 1. :—1 V x V a,「. a>—1,二一1初中数学二次函数的图像与性质教案
22.1.4二次函数的图像和性质 教案
二次函数的图像与性质的教案
二次函数的图像与性质教案
九年级下二次函数图像与性质教案
二次函数的性质教案
《二次函数的图像和性质》教案
二次函数y=ax2的图像和性质教学反思.doc
二次函数的性质教案教案
二次函数的性质教案教案
《二次函数的图像和性质》教案
二次函数的性质说课稿
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质教案
二次函数的图像和性质教案(中职数学)
浙教版初中数学1.3《二次函数的性质》教案
《二次函数的图像和性质》教学设计
二次函数性质教案
2二次函数的图像及其性质(二)教案
1
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域 人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
二次函数 y ? a(x ? h)2 及 y ? a(x ? h)2 +k 的图象；二次函数的图象与系数的关系；二次
函数的平移、最值、三种形式的互化
教学目标 1. 会画出 y ? a(x ? h)2 和 y ? a(x ? h)2 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数
的性质．
2. 掌握把抛物线 y ? ax2 平移至 y ? a(x ? h)2 +k 的规律
3. 使学生掌握用描点法画出函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象。 4. 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5. 让学生经历探索二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及
性质的过程，理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的性质。
6. 会通过配方求出二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的最大或最小值
教学重点 1. 函数形如 y=a(x－h)2＋k 图象的性质。
2. 用描点法画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点 坐标。
3. 会通过配方求出二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的最大或最小值
教学难点 1. 识图能力的培养
2. 学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是 x＝－2ba、(－ b 4ac－b2 2a， 4a )
【知识导图】
2一元二次函数的性质教案
九年级数学下册二次函数的图像和性质教案
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