高中数学圆锥曲线知识
点总结
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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{
),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两
条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2
圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2
,2
(E D --半径是2
422F
E D -+。配方，将方程
x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2D )2+(y+2
E
)2=4
4F
-E D 22+
②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-
2D ,-2
E
); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为
(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
与半径r 的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。
【备注1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为
x y ±=，离心率2=e .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫
做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线，它们
具有共同的渐近线：
02
22
2=-
b
y a
x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2≠=-
λλb
y a
x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b
y a
x 如
果双曲线的渐近线为0=±b y
a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb
y a x .
【备注2】抛物线：
（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2
p ,0)，准线方程x=-2
p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2
p ,0)，准线方程x=2
p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2
p ，开口向上；
抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2
p ），准线方程y=2
p ，开口向下.
（2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2
0p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02
x p
MF -=
（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2
p ，顶点到准线的距离2
p ，焦点到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或
α
2
sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角)，2
21p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径). 五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是),(''y x .设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则 k
y y h x x +=+=''或
k
y y h x x -=-=''
叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
六、椭圆的常用结论：
1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、
P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
+=. 7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任
意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1
2
2tan 2
F PF S b γ
?=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11.AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2OM AB
b k k a ?=-，即0
202y a x b K AB -=。 12.若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+； 【推论】：
1、若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
+=+。椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为
1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨
迹方程是22
221x y a b
-=.
2、过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互
补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数）. 3、若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是
焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+.
4、设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）
为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5、若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为
L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6、P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内
一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7、椭圆22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
8、已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动
点，且OP OQ ⊥.（1）
2222
1111||||OP OQ a b
+=+;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22
22a b a b
+. 9、过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N
两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =. 10、已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）
,A 、B 、是椭圆上的两点，线段
AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<.
11、设P 点是椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、
F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ
?=.
12、设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的
一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心
率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ?=-.
13、已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭
圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2、PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切
线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的
两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
-=. 7、双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双
曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2t 2
F PF S b co γ
?=.
8、双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c ）
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-；当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--。
9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11、AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，
M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB
OM =?，即0
20
2y a x b K AB =。
12、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中
点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
13、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的
轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.
【推论】：
1、双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴
平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b +=.
2、过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角
互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =-（常数）.
3、若P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任
一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
c a co c a αβ
-=+（或tan t 22
c a co c a βα
-=+）. 4、设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端
点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5、若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线
为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6、P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双
曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和
2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7、双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条
件是22222A a B b C -≤.
8、已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上
两动点，且OP OQ ⊥.
（1）22
221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2
的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b b a -.
9、过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右
支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =. 10、已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段
AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a
+≥或22
0a b x a +≤-.
11、设P 点是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一
点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=-.(2)
122cot 2
PF F S b γ
?=.
12、设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线
上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距
离心率，则有(1)22222|cos |
|||s |
ab PA a c co αγ=-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ?=+. 13、已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过
双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且
BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
八、抛物线的常用结论：
①x c by ay =++2
顶点)244(2a
b
a b ac --.
②)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
④px y 22
=（或py x 22
=）的参数方程为??
?==pt
y pt x 222
（或??
?==2
22pt
y pt
x ）（t 为参数）.
圆锥曲线的性质对比