知识点一： 二次根式的概念
二次根式复习
形如 （
）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以
为负数没有平方根，所以
是 为二次根式的前提条件，如 ，
，
等 反过来应用：若
，则
，如：
，
.
是二次根式，而 ，
等都不是二次根式。
知识点五：二次根式的性质
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
有意义，是二次根式，
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a﹤0 时， 没有意义。
注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，
知识点三：二次根式 （
）的非负性
即
；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即
；
2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；
（
）表示 a 的算术平方根，也就是说， （
）是一个非负数，即
0（
）。
注：因为二次根式 （
）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方
3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
根是 0，所以非负数（
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是非负 知识点六：
与 的异同点 1、不同点：
与 表示的意义是不同的，
表示一个正
数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
， 数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在
中
，而 中
则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0。
a 可以是正实数，0，负实数。但
与 都是非负数，即
，
。因而它的运算
知识点四：二次根式（ ） 的性质
的结果是有差别的，
，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即
时， = ； 时， 无意义，而
.
知识点七：同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点八:二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作
积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab = a · b （a≥0，b≥0）；
b b a a （b≥0，a>0）．
（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的
乘法公式，都适用于二次根式的运算．
练习题
1.下列各式计算正确的是（ A. C. 2.下列运算正确的是（ ）
（做出正确选择 并写出题目的知识点）
） B. D.
A. 5 3 2
B. 4 1 2 1
2
C. 8 2 2 D. 2 5 2 5
93
7.直角三角形的两条直角边长分别为
、
，则这个直 角三角形的斜边长为________ ，
面积为________ .
8.若实数 x, y 满足 x 2 ( y 3)2 0 ,则 xy 的值为
.
9. 已知实数 x，y 满足|x-4|+
=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是
．
10. 要使式子
有意 义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＞0
B．x≥-2
C．x≥2
D．x≤2
11.若 (2a 1)2 1 2a ，则（
）
A． ＜ 1 2
B. ≤ 1 2
C. ＞ 1 2
D. ≥ 1 2
12.下列二次根式,不能与 12 合并的是(
)
A. 48
13.已知
A． 15
B. 18 B．15
C. 11 3
, 则 2xy 的值为（ C． 15 2
D. 75
）
D. 15 2
14.计算：
（1） 27 12 1 ； 3
（2） ( 48 75) 11 ； 3
3.化简: 2
； 18x2 y3 (x 0, y 0) =
.
3
4. 比较大小: 10
3； 2 2 ______ .
5．已知：一个正数的两个平方 根分别是 2a 2 和 a 4 ，则 a 的值是
．
6. 计 算 ：
________ ； 52 122
． 9=
12 3 =
；
；（4）
（3） 5 2 8 =
（4）
；
八年级（上）第二章实数复习题
一、选择题： 1、 25 的平方根是（
A、 5
）
B、 5
C、 5
D、 5
2. 9 的值等于
（）
A．3
B． 3
C． 3
D． 3
3、下列说法错误的是 (
)
A、无理数的相反数还是无理数 B、无限小数都是无理数 C、正数、负数统称有理数 D、实数与数轴
上的点一一对应
4、下列各组数中互为相反数的是（
）
A、 2与 (2)2 B、 2与3 8 C、 2与( 2 )2 D、 2 与 2
5. 下列计算正确的是（ ）
A、 20 = 2 10 B、 2 3 6 C、 4 2 2 D、 (3)2 3
17、如图，在网格图中的小正方形边长为 1，则图中的 ABC 的面积等于
。
三、解答题：
18、化简： 12 3 5
19、 6 3 2
20、化简： ( 5 7 )( 5 7 ) 2
21、化简： 1452 242
22、化简： ( 5 2 )2 5
23、化简： 32 50 4 1 8
6、一个长方形的长与宽分别时 6cm、3cm，它的对角线的长可能是(
A、整数
B、分数
C、有理数
) D、无理数
24、求 x 值： 4x 2 25
25、求 x 值： ( x 0.7)3 0.027
7、满足 3 x 5 的整数 x 是（
）
A、 2,1,0,1,2,3 B、 1,0,1,2,3 C、 2,1,0,1,2,3 D、 1,0,1,2
8、当 4a 1 的值为最小值时， a 的取值为（
）
A、－1
B、0
C、 1
D、1
4
9、如下图，线段 AB 2 、 CD 5 ，那么，线段 EF 的长度为（
）
A、 7
B、 11
C、 13
D、 15
10、 ( 9 )2 的平方根是 x ， 64 的立方根是 y ，则 x y 的值为（
）
A、3 二、填空题：
B、7
C、3 或 7
D、1 或 7
11、平方根等于本身的实数是
。12、化简： (3 )2
26、已知， a 、 b 互为倒数， c 、 d 互为相反数，求 3 ab c d 1 的值。 27、请在同一个数轴上用尺规作出 2 和 5 的对应的点。
。
13、 4 的平方根是
；125 的立方根是
。
9
14、一个正方形的边长变为原来的 m 倍，则面积变为原来的
倍；一个立方体的体积变为原
来的 n 倍，则棱长变为原来的
倍。
15、估计 60 的大小约等于
或
（误差小于 1）。
16、若 x 1 ( y 2)2 z 3 0，则 x y z ＝
。
28．y= x 3 3 x 8 ，求 3 x +2 y 的算术平方根.