量子力学

Chapter 1

1.Find the de Broglie wavelength for each of the following cases:

(a)a 70kg man traveling at 60 km/h;

Solution:

λ===0.568m;

(b)a 1kg stone traveling at 10 m/s;

Solution:

λ==m=6.63m;

(c)a g particle of dust moving at 1 m/s;

Solution:

λ==m=6.63m;

(d)an electron with 3 eV energy;

Solution:

===m=0.709m

(e)a helium with kinetic energy of E=KT(K is the Boltzmann constant) at T=1.0K.

Solution:

===m=m=

1.265m;

2.A pare of positron and electron can be produced by two photons under certain conditions .If the two photons have the same energy ,please find out the maximum wavelength of the photons in order to produce a pare of positron and electron?

Solution:

When both positron and electron are stationary ,the wavelength of photons is maximum

So 2h2

h

h

λ==2.43nm

=2.43nm

3.A particle with mass m moves in the field V(x).Please verify the

probability conservation law of +=0. Here and are probability density and current density ,respectively.

Solution:

If Ψ(,t) is the wave function of the particle

So the probability of the particle

=

=+ (1)

from the Schr?dinger equation we get

+U(r) (2)

and

U(r) (3)

Substituting equation(2) and (3) into equation (1) we get

=()=().

where =() is the probability flux.

4.what kinetic energy (in electron volts) should neutrons and electrons have if they are to be diffracted from crystals?(Takingλ=10),Note: Appreciable diffraction will

occur if the de Brogile wavelength of the particle is if the same order of magnitude as the intet-atomic distance.

Solution:

A：neutron

λ=;

that is E =8.2

B ：electron λ=;

that is E =

Chapter 2

1. An electron is confined in the ground state in a one-dimensional box of width 10-10 m. Its energy is 38 e V . Calculate: a) The energy of the electron in its first excited state.

b) The average force on the walls of the box when the electron is

in the ground state. Solution:

a ） the energy eigenvalues ofelectron is

222

2

2n n E ma π=

The energy of the electron in the ground state is

22

12

382E eV

ma π==

Then the nergy of the electron in the excited state is

22

22

41522E eV

ma π==

b) Because the electron is confined in the ground state in a

one-dimensional box of width 1010m - the ground state of electron

is 1x a

πψ= 1010a m -=

so when

0x =

or 1010x -=, 10ψ= , 210ψ=

there is not an electron at 0x =

or 1010x -=, so no force on the

walls of the box, the average force on walls is zero . 2. Suppose the wave function is in the form of

/21

)(ipx p e x πψ=for a one dimensional particle.

a) Please verify the equation )()2/?()(?2x m p x H p p

ψψ=holds for the wave function

)

(x p ψ and Hamilton operator

2

22222/??dx d m m p

H -==.

b) Please find out the specific form of ),(t x p ψ if )()0,(x x p p ψψ=. Solution: a)the

dimensional particle′s energy equation should

be :()()()p p r r E r ψψ∧

H =

()()(

)()2

222

22ipx ipx p p p p p

x x x e e x m m ψψψ∧

∧

H ====

2

()()2p p p E r r m

ψψ=

()()()p p x x E x ψψ∧

∴H = So it has proved the question .

b) the specific form of (),p x t ψ is ()2

2

22,

i p ipx ip t

ipx

t m m p x t e ψ--=

?=

then we can verify ()(),0

ipx

p p x x ψψ=

is

tight.

3. A particle is confined in a 1-D box with walls of infinite height at x =-a and x = +a . Suppose the particle is in the first excited state and its wave function is ψ(x) = Asin(πx/a) for |x | ≤a , ψ(x) = 0 otherwise.

(a) Find the value of A such that the wave function is correctly normalized.

(b) If a measurement of the position of the particle is made, at

what value of x is it most likely to be found?

(c) What is the probability of finding the particle between x = 0 and x = a /2 ?

(d) What would be the average value of x if many measurements

were made on the particles all in this same state? What is the probability density of finding the particle at this particular value of x ? (note: the average value of x at the state of ψ(x ) is defined as dx x x

x x b

a ?=)(?)(*ψψ). Solution:

a)()

2

1a

a

x dx ψ-=? then ,

22sin 1a

a

x A dx a π-??= ????

so A =

b) (

)x x a πψ??= ??? then , (

)'

0x x a πψ??== ???

so, we can kown

2

x

k a

ππ

π

=+ k z ∈,

a x a -≤≤ 2

a

x ∴=± c) ()

2

2

2

200

11sin 4a a x x dx dx a a πψ??== ?

???? d)()()21sin 0a

a

a

a

x x x x x dx x dx a

a πψψ-

*--??

=== ???

??

x x a πψ--

??

??

?∴== ? ???

??

∴the probability density of

finding the particle at this particular value of

x

-

is

2

0x ψ-??

= ???

. 4. The lowest energy eigenfunction of the time-independent Schr?dinger equation for a simple harmonic oscillator is

2

/2

)(y

Ae y -=ψ

where x m y 2/10)/( ω=, x is the displacement of the oscillator from equilibrium, m is the mass, ω0 is the angular frequency of the oscillator, and A is a constant.

(a) Write the wave function in terms of x and verify, by explicit

substitution in the time-independent Schr?dinger equation that the associated energy is

2/ω =E .

(b) Find a value of the constant A which normalizes the wave

function. Write out the probability density as a function of x . (c) Find out the average value of x 2 in this state, and then

calculate the average potential energy.

(d) Consider a carbon-hydrogen bond in a molecule. The

stretching frequency of the bond is ν = 1.0×1014 Hz. The mass is roughly considered as that of the hydrogen atom since the carbon atom remains nearly fixed. For the lowest vibrational energy eigenstate, find (i) the associated zero-point energy, and (ii) the average value of x 2 of the hydrogen atom from equilibrium.

(?+∞

∞--=a dx e

a x π2

2/,

2/3/22

2

?+∞∞

--=a dx e

x a x π)

Solution: a) ()2

2

y y Ae

ψ-= and

1

2

m y x ω??= ???

()2

2m x x Ae

ωψ-

∴=

Accoding to ()()x x ψψ∧

H =E Then , ()()()2

2222122

d x m x x x m dx ψωψψ-+=E

()()()()22222

2

122m m x x m x x x m ωωψψωψψ??∴--++=E ???

1

2

ω∴E =

b) ()

2

1x dx ψ+∞

-∞

=?

2

21m x A e

dx ω+∞

-

-∞

∴=?

then

,1A = so,

14

m A ωπ??= ?

??

we get the ()x ψ is ()2

14

2m x m x e

ω

ωψπ-??= ???

c)

()()1

2

2

2

2

22m x m x x x x dx x e

dx m ωωψψπω+∞

+∞

---

*

-∞-∞??===

??

???

so

the

average

potential

energy :()()22112

4

V x m x x dx ψωψω+∞

-

*-?∞

==?

d) (i) we can take the hydrogen atom as the linear harmonic oscillator .

the energy eigenvalues of the harmonic oscillator is

12n n ω?

?E =+ ??

?

0,1,2,3n =

If 0n =,then the associated zero-point energy

Is

21011

5.271022

v J

ω-E ===?

(ii) according to (C),

2

223.151022x m m mv

ω-

-=

==?

5. A particle moves in an infinite potential well

?

?

?><∞≤≤=a x x a

x x V ,000)(. Suppose it is at the ground state (n=1) with energy 22212/ma E π=. At the time t =0, the width of the well expands to 2a suddenly, so

fast that the wave function could not change, i.e.,

a

x a x x πψψsin 2)()0,(1=

= to the expanded well

??

?><∞≤≤=a

x x a

x x V 2,0200)(. If the wave function )0,(x ψ is still the energy eigenstate, what is the probability to obtain the value of E 1 when the energy is measured?

(Hint: the energy eigenvalue and eigenstate are 22228/ma n n πε= and a

x n a

x n 2sin 1)(π?=, respectively. 12E =ε. Expand the wave

function )0,(x ψ with )(x n ?: )()0,(x C x n n

n ?ψ∑=, and then find

2

n

C )

Solution:

Before the well expands to 2a

suddenly, the ground state with

energy

22

12

2ma

πE =

and the wave function is

()()1,0x

x x a

πψψ==

When the well expands to

2a ,

the energy eigenvalue

and eigenstate are

222

2

8n n ma πε=

and ()2n n x

x a

π?=

Because the well expands so fast that the wave function

could not change, then , 1n ε=E , we get the value of n ,

2n =

Expand the wave function (),0x ψ with ()n x ? :

()(),0n n n

x c x ψ?=∑ and 2n =.

So ()(

)2220

2

a a

x c x x dx dx a π?ψ*===?

The probability to obtain the value of 1E is

2

212

c =

. Chapter 3

1. Show that if two operators A and B commute and ψ is an eigenvector of A, then B ψ is also an eigenvector of A with the same eigenvalue.

Solution:

Because A

?and B ? commute,therefore []

0?????,?=-=A B B A B A

(1) Bacause ψ is an eigenvector of A

?,we have λψψ=A ? (2) Then

ψλλψψB B A B

????== (3) (1)(3)? ψλψψB A B B A

?????== (4)

Then ψB is also an eigenvector of A

? with the same eigenvalue λ. 2. Show that 22))((B A B A B A +=-+ only of A and B commute.

题目中应为“Show that 22??)??)(??(B A B A B A

-=-+ only of A ?and B ? commute,” 而不是“Show that 22??)??)(??(B A B A B A

+=-+ only of A ?and B ? commute,” Proof : )??()??)(??(22B A B A B A

---+ )??(??????2222B A B A B B A A

---+-=

]?,?[????B A A B B A

-=+-= Only of A

?and B ? commute,we have 0)??()??)(??(22=---+B A B A B A . So 22??)??)(??(B A B A B A

-=-+ only of A ?and B ? commute, 3. Show that if A and B are both Hermitian matrices, AB+BA and i(AB-BA) are also Hermitian. Note that Hermitian matrices are defined such that *ji ij A A = where * denotes complex conjugation

Proof :Because A

?and B ? are both Hermitian matrices,we have +=A A

??and +=B B ??. Then A B B A B A A B B A A B A B B A

????????????)????(+=+=+=++++++ )????()????()????()]????([A B B A i B A A B i B A A B i A B B A

i -=--=--=-+++++ So A B B A

????+ and )????(A B B A i - are also Hermitian matrices. 4. Show that the differential operator

dx

d

i p

-=? Is linear and hermitian operator in the space of all differentiable wavefunction )(x φ,say, which vanish at both ends of an interval ),(b a .

Solution:

(ⅰ))]()([)(?22112211x c x c dx

d

i c c p

ψψψψ+-=+ )()(2211x dx

d

i c x dx d i c ψψ --=

)(?)(?2211x p c x p

c ψψ+= (1) Where )(1x ψ an

d )(2x ψ ar

e two arbitrary wave functions, 1c and 2c are two numbers that

are independent of argument x .

So the differential operator dx

d

i p

-=? is linear. (ⅱ)

dx x dx

d

x i dx x p x b

a

b

a

)()()(?)(*

*

ψ?ψ???-=

])()

()()([*

*

dx x dx

d x x x i b

a

b

a

?ψψ??--= dx x x dx

d i b

a

)()(*

ψ??

= dx x x dx

d

i b

a )())((*ψ??-=

dx x x p

b

a

)())(?(*ψ??= So the differential operator dx

d

i p

-=? is also a hermitian operator. 5 . Assume F

? and G ? are two hermitian operators, Their eigenequations of them are respectively, i i i F φλφ=?, i i i G ?μ?=?. Then the representation F

is refer to the space spanned by states },,1),({n i x i =φ and the representation G ? to the space spanned by },,1),({m i x i =?. Suppose the spectrums of F

? and G ?are all discrete (or discontinuous). Please

(1) write out the representation of an arbitrary state ψ in representation F ?. (2) Write out the representation of an arbitrary quantum observable A

? in representation G

? (3) Write out the transformation from representation F

? to representation G ?. Solution :

(1)An arbitray state ψ can be expand in the subspace spanned by states

},...,2,1),({n i x i =φ

)()(1

x a x i n

i i φψ∑-= with τψφd x x a i i )()(*?=.

So the representation of an arbitray state ψ in representation F

? is

=ψ????

??

? ??n a a a ...21 with τψφd x x a i i )()(*?=

(2) The representation of an arbitray quantum A

? in representation G ? is ?

????

???????=mm m m m m a a a a a a a a a A ......

(2)

1

22221

11211

,with τ??d x a x a j i ij )(?)(*?= (3) the transformation from representation F

? to representation G ? is ??

???

??

?????=mn m m n n s s s s s s s s s S (2)

122221

112

11,with τ?φd x x s j i

ij )()(**?=

6 . A free particle of mass m moves in one dimensional space. At time 0=t the normalized wave function of the particle is

)4/exp()

2(),0,(2

24

12

2x x x x x σπσσψ-=-,

Where

>=<22

x x σ.

Let the momentum spread is defined as

22><-><=p p p σ, please prove

x

p σσ2 =

.

Proof:

Because )4exp()2(),0,(2

2

4

122

x

x x x

x σπσσψ-=-

We have

dx dx

d

i p ψψ)

( -=?* dx x x i x

x x x

x

x )4exp()2)(42())(4exp()

2(224122

22

4

12σπσσσπσ--

--=--?

0)42e x p (21)

2(2

22

2

12=-?

=?

-x d x x i x

x

x σσ

πσ

dx

x

d d p

ψψ22

2

2

)( -=?*

dx

x

x

x

x

x x

x

x

x )4exp()2]()2(

42[))(4exp()

2(2

2

4

122

2

2

2

22

4

12σπσσσσπσ-+-

--=--? dx x x

x

x

x

x )2exp(])2(

21

[)

2(2

22

2

22

122

σσσ

πσ-+--=?-

2

2

2

4)4222(21

x x x x σσπ

σπ

σπ

=+--= So

x

x p p

p

σσσ2042

22

2

=-=

-=

7.Particles in the state

]4e x p [)21

()(22

02

1

2

ξ

πξψx x p i x -= Where ξ is a constant, show the average momentum value of the particle and calculation of uncertainty relations ?)()(22=???p x

这

样由归一化条件

12)

2()2exp()2()(2

1

2

22

2

12

2

=?=-=--?

?ξππξξ

πξψdx x

x

才成立.否则由归一化条件条件就着能得出一个特定的π

ξ21=

，而不是一任意实数，当然

这也不能说错，只是失去了题目的一般性质，且给解题带来不便。

Solution:

With )4exp()

2()(2204

12ξπξψx x p i

x -=-

We have dx x dx d i x p )())((ψψ -=?*

dx x x p i i )2exp()2(222

20ξξξπ---=?

dx x p dx x p i i ??-=--=)2exp(2)2exp()(2220220ξξ

πξξπ

0p = （1）

dx x x

d d x p

)())((22

2

2

ψψ -=?*

dx x x ip )2exp(])2(21

[21

22

2

22022

ξξξξπ--+--=? dx x x p )2exp(]4)21

[(222

4222

022

ξξξπξ-+---=? ]241

2)21

[(234

22

022

ξπξξπξπξ

+---= p

2

02

24p +=ξ

（2）

?)2(),1( 22

2

2

2

4)(ξ

=-=?p

p

p （3） 0)2exp()

2(2

2

2

12=-=?-xdx x

x ξπξ （4）

222

22

122

)2exp()

2(ξξ

πξ=-

=?-dx x x x

（5）

?)5(),4(22

22)(ξ=-=?x x x (6)

?)6(),5(

44)

()

(2

2

22

2

2

==???ξ

ξp x （the uncertainty relations ）

Chapter 4

1 (a) Staring with the commutation relations for position and momentum,

working

our

the

following

commutators:

y

i x L z =],[,

y x z p i p L =],[,z y x L i L L =],[.

(b) Evaluate the commutators ],[2r L z and ],[2p L z .where

2222z y x r ++=and 2

2

2

2z y x p p p p ++=.

(c) Show that the Hamiltonian )(22

r V m

p H += commute with all three components of angular momentum L , provided that V depends only on r .

Proof: (a) 1) []^

^z ,Z z L x x L x L -=

=??

? ??--??? ??-^

^

^^X y X x P y P x x x P y P x

=^

^2

^^x y x y P xy P x x P y x P x +--

x

P y P xy x x ^

^-=

xy P y P yx x x ^

^

-=

[]x P x y ,=

y i =

So []y i x L =,z 2) []^

^

^

^

z ,z x x z x L P P L P L -=

=??? ??--??? ??-^

^

^^^^x y x y x y P y P x P P P y P x

=??

? ??

+-+??? ??-^^^^^^^^x x x x y x y x P y P P P y P x P P P x

=^^

^y x

x P x P P x ??

? ??- ^

y P i = So []=x P L ,z ^

y P i 3) []^

^

^

^

x ,x y y x y L L L L L L -=

=??

? ??-??? ??--??? ??-??? ??-^

^

^^^^^^y z z x z x y z P z P y P x P z P x P z P z P y =

^

^

^

^

^

^

^

^

^

z ^

^

^

^

^

^

^

y y z z z y x z x y x y z z x z P z P x P y P x P z P z P y P z P x P z P z P z P x P y P z P -++-+--

=^

y ^^^^^^^z P zx P P y P z P x P z P zy P z x z y z x --+

=^

^^^^

^y z z x z z P x z P P z P y P z z P ??

? ??-+??? ??- =??

? ??-??? ??-^^

^^x y z z P y P x z P P z =^

z L i

So []=y L L ,x ^

z L i

(b) Solution: 1) [][]2222z ,,z y x L r L z ++= =[][][]222,,,z L y L x L z z z ++

=

[][][][][][]z z L z L z y y L y L y x x L x L x z z z z z z ,,,,,,+++++

According to (a), we have known that

[]y i x L z =, []x i y L z -=, []0,=z L z

Then []0,2=-?-+?=xy i x i y yx i y i x r L z So []=2,r L z 0

2) [][]2222,,z y x z z P P P L P L ++= =[][][]222,,,z z y z x z P L P L P L ++

=[][][][][][]z z z z z z y y z y z y x x z x z x P P L P L P P P L P L P P P L P L P ,,,,,,+++++ According to (a), we have known that

[]y x z P i P L =, []x y z P i P L -=, []0,=z z P L

Then []()()0,2=-+-?++?=y x x y x y y x z P P i P i P P P i P i P P L So []0,2=P L z

(c) Proof: []()()[]r V L m P L r V m P L H L z z z z ,2,2,,22+???

??

?=??????+=

According to (b), we have known 02,2=??

?

???m P L z

For z z L i L ，?

??

-=

has no relation with r in spherical coordinates system.

So []()()[]0,2,2,,22=+??

?

???=??????+=r V L m P L r V m P L H L z z z z

As the same reason, y x L L ,also has no relation with r in spherical coordinates system. []=H L z ,[]=H L x ,[]0,=H L y

Namely the Hamiltonian ()r V m

P H +=22

commute with all three components of angular L .

2.The state >lm Y | is spherical harmonic function, 2222????x y z L L L =++L is the square of momentum operator, for the state calculate ?|?|>=<ψψx L and ?|?|2>=

x lm Y L Y . Solution:

3. Find ??r and ??2r for an electron in the ground state

of hydrogen . Express your answers in terms of the Bohr radius a.

Solution: The normalizated wave function for an electron

in the ground state of hydrogen is

30

00101001

a r e

a

Y R -

=

=ψπ.

So dr r r 100*

100

ψψ=??? =rdr e a a r

?∞

-023001

π

=?∞

--0

2030)()2(1

0a r

e rd a a π

=???

????

?--??∞-

∞-dr e

re

a a a r a r 0

20

2030

0)2(1

π =∞

-?-0

202

0221

a r

e a a π

=

41a π dr r r 1002*

1002ψψ=???

=dr r e a a r

2023001

?∞

-

π

=)()2(1

0220

030a r

e d r a a -∞

?-π

=???

??????--??∞-

∞

-0

20

22030

2)2(1

0rdr e

e

r a a a r a r π

=?∞

-

?0

22

00221

dr re a a r

π =4

12

20a a ?π

量子力学的概率解释

引言：黑体辐射等实验的研究以及光谱实验的诞生，促使了人们对微观世界的不断认识。经典力学的局限性也日益显著，所面临的一些棘手的问题也越来越多。因此迫使我们不得不抛弃经典力学，而重新建立一个全新的力学体系——量子力学。该力学体系描绘了微观世界中，微观粒子的运动行为及其力学特性。 题目：量子力学的概率解释 内容摘要：在经典力学中，我们知道物体的运动可由牛顿第二定律描述： 22(((),(),()))d r F m r x t y t z t dt ==r u r r ；方程的解即为物体的动力学方程。由此方程的解： ((),(),())r x t y t z t =r ；在给定的初始条件下我们即可以知道任意时刻物体在空间所处的位 置。而在微观领域中，微观粒子的运动并不适用于上述的方程所描述。实验证明他们在某一 时刻出现在空间的哪一点上是不确定的。应该用方程μH E ψ=ψ来描述。比如电子的衍射现象，海森堡的不确定性关系，还有薛定谔为批评哥本哈根学派对量子论的观点而提出的一 个思维实验（薛定谔猫）。本文利用概率与统计的相关概念对量子力学做出一些相关的阐明，并对一些相关的问题（衍射，薛定谔猫等）进行说明。对单电子体系薛定谔方程作出较为详细的讨论，并加以例题进行进一步说明。 关键词：量子力学、概率与统计、电子衍射现象、薛定谔猫、薛定谔方程 概率统计理论的简单介绍： 随机变量X ：X 是定义在样本空间Ω上的实值函数；对面门一样本点ω，()X ω是一个实数。X 离散取值时，为离散随机变量。X 连续取值时，为连续型随机变量。本文只介绍连续型随机变量。 概率密度函数：当X 为连续型随机变量时，例如一条直线AB 如图：A 0 1 B 假设现在有一个点落到了AB 上，我们是否能问该点恰好落在0.5x =处的概率是多少？显然这是毫无意义的问题，因为该点恰好落在任意一点上的概率均为零。（基本事件的个数为无穷） 我们只能问该店落在某一区间[,]a b 上的概率是多少？例如[,][0,0.5]a b =；此时概率 10.5/12 p == 。 因此设X 是一随机变量，如果存在非负函数()f x 使得对任意满足a b -∞≤≤+∞的,a b 有 ()()b a p a X b f x dx ≤≤=?；就称()f x 是随机变量X 的概率密度函数。 显然()f x 应该具有如下性质： （1） ()1f x dx +∞ -∞ =? ；(量子力学中波函数的归一化性质) （2）()0.p X a ==于是()()()p a X b p a X b p a X b ≤≤==≤p p p ； （3）对于数集,()()A A p X A f x dx ∈= ?；

常州大学量子力学名词解释

1.黑体：一个物体能全部吸收投射在他上面的辐射而无反射，就称为黑体。 2.普朗克假设（黑体辐射提出的假设）：黑体以hv为能量单位不连续的发射和吸收频率为v的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 3.三个实验说明了什么问题：黑体辐射，平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和能量只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状与组成的物质无关。光电效应，证明了光的波动性。康普顿效应，证明了光的粒子性。 4.玻尔假设：定态假设，频率假设，量子化条件。 5.态叠加原理：设是体系的可能状态，那么这些态的线性叠加，也是体系的一个可能状态。 6.波函数的三个条件：有限性，连续新，导致可测量的单值性。 7.算符：是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 8.对易：有组成完全系的共同本征态。 9.表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。 10.弹性碰撞：一个粒子与另一个粒子碰撞过程中，有动能的交换，粒子内部状态并无改变。非弹性碰撞：碰撞中粒子内部状态有所改变（原子被激发或电离）。 11.泡利不相容原理：全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于完全相同的状态。 12.玻色子：由光子（自旋为1）、处于基态的氦原子（自旋为0）、a 粒子（自旋为0）以及其他自旋为0或为h的整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色-爱因斯坦统计，被称为玻色子。费米子：由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数 是反对称的，这类粒子服从费米-狄拉克统计，被称为费米子。 13.塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。 14.全同粒子：称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物质状态的改变。 15.厄米算符的性质：本征值为实数；量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符；对于两任意函数和，如果算符满足，则称为厄米算符；如果为厄米算符。 16.薛定谔方程满足的条件：含时；线性的；不含有状态参量。

量子力学练习题

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。

量子力学讲义

量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统

(完整word版)量子力学名词解释全集

1．波粒二象性 ： 一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E =（1分），λh P =（1分），其中E 为能量，ν为 频率，P 为动量，λ为波长（1分）。 2、测不准原理 ： 微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x η≥??，2 /P y y η≥??，2/P z z η≥??（2分），式中η（或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1 分）。 3、定态波函数 ： 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r (ρψ可写成r ρ函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。 4、算符 使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。 5、隧道效应 在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。 6、宇称 宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值 ＋1和－1 （1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P ＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P ＝＋1) （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。 7、Pauli 不相容原理 自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n 、l 、ml 、ms ，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。 8、全同性原理： 全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。 9、输运过程： 扩散（1分）、热传导（1分）、导电（1分）、粘滞现象（1分）（系统内有宏观相对运动，动量从高速区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程（1分） 10、选择定则： 偶极跃迁中角量子数与磁量子数（1分）需满足的选择定则为1±=?l （2分）， 1 ,0±=?m （2分） 11、微扰理论 在量子力学中求近似解（1分）的一种方法，核心是先求解薛定谔方程（2分），再引入微小附加项来修正

量子力学总结

量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?

○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）

“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ

量子力学的基本概念

一、量子力学及其意义和作用 量子力学：是研究微观粒子运动、变化基本规律的科学。 由于宏观物质全部是由微观物质组成的，宏观世界全部建立在微观世界之上，量子力学便无处不在、普遍适用。“整个世界是量子力学的！” 物理学四大力学（理论力学、热力学与统计物理、电动力学、量子力学）之一。 自从量子理论诞生以来（1900年12月14日），它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和触发人类物质文明的大飞跃。例如，可以把所有学科名称前面冠以“量子”————quantum二字，就会发现：已经形成或将要形成一门新的理论、新的学科。 光学—量子光学化学—量子化学 电子学—量子电子学生物学—量子生物学 电动力学—量子电动力学宇宙学—量子宇宙学 统计力学—量子统计力学网络—量子网络 经典场论—量子场论信息论—量子信息论 计算机—量子计算机 就连投机家所罗斯的基金会也时髦的冠以“量子”二字：“量子基金会”一百年（1901—2002）来总共颁发Nobel Prize 96 次（其中1916,1931,1934,1940,1941,1942共6年未颁奖）单就物理奖而言：直接由量子理论得奖或与量子理论密切相关而得奖的次数有57 次（直接由量子理论得奖25次 量子力学自20世纪20年代创立以来，直到现在，已逐步成为核物理、粒子物理、凝聚态物理、超流和超导物理、半导体物理、激光物理等众多物理分支学科的共同理论基础。自20世纪80年代以来，量子力学又有很大发展：量子信息科学（量子计算、量子通信）目前，它正在向材料科学、化学、生物学、信息科学、计算机科学大规模渗透。不久的将来它将会成为整个近代科学共同的理论基础。国家中长期科学技术发展规划：量子调控计划二、历史的回顾 19世纪末，一些物理学家认为：辉煌的物理学大厦已经建成！ Kelvin勋爵：物理学的天空上漂浮着两朵乌云： 麦克尔逊—莫雷实验相对论 黑体辐射的“紫外灾难”量子力学 经典物理、近代物理 相对论：平地起高楼，伟大的头脑 量子力学：一点一滴的积累，Plank, Einstein, Bohr, Heisenberg, Born, Pauli, de Broglie, Schrodinger, Dirac 领袖：Niels Bohr, 哥本哈根学派

量子力学名词解释

一、名词解释 1．波粒二象性 ： 一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E =（1分），λh P =（1分），其中E 为能量，ν为频率，P 为动量，λ为波长（1分）。 2、测不准原理 ： 微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x η≥??，2/P y y η≥??，2/P z z η≥??（2分），式中η（或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1分）。 3、定态波函数 ： 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r (ρψ可写成r ρ 函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。 4、算符 使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。 5、隧道效应 在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。 6、宇称 宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值 ＋1和－1 （1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P ＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P ＝＋1) （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。 7、Pauli 不相容原理 自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n 、l 、ml 、ms ，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。 8、全同性原理： 全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。 9、输运过程： 扩散（1分）、热传导（1分）、导电（1分）、粘滞现象（1分）（系统内有宏观相对运动，动量从高速区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程（1分） 10、选择定则： 偶极跃迁中角量子数与磁量子数（1分）需满足的选择定则为1±=?l （2分），1 ,0±=?m （2分） 11、微扰理论 在量子力学中求近似解（1分）的一种方法，核心是先求解薛定谔方程（2分），再引入微小附加项来修正（2分）

量子力学诠释问题(一)

量子力学诠释问题（一） 作者：孙昌璞( 中国工程物理研究院研究生院北京北京计算科学研究中心) 1 引言：量子力学的二元结构和其发展的二元状态上世纪二十年代创立的量子力学奠定了 人类认识微观世界的科学基础，成功地解释和预言了各种相关物理效应。然而，关于波函数的意义，自爱因斯坦和玻尔旷世之争以来众说纷纭，并无共识。直到今天，量子力学发展还是处在这样一种二元状态。对此有人以玻尔的“互补性”或严肃或诙谐地调侃之，以“shut up and calculate”的工具主义观点处之以举重若轻。这样一个二元状态主要是由于附加在玻恩几率解释之上的“哥本哈根诠释”之独有的部分：外部经典世界存在是诠释量子力学所必需的，是它产生了不服从薛定谔方程幺正演化的波包塌缩，使得量子力学二元化了。今天，虽然波包塌缩概念广被争议，它导致的后选择“技术”却被广泛地应用于量子信息技术的各个方面，如线性光学量子计算和量子离物传态的某些实验演示。早年，薛定谔曾经写信严厉批评了当时的物理学家们，他在给玻恩的信中写到：“我确实需要给你彻底洗脑……你轻率地常常宣称哥本哈根解释实际上已经被普遍接受，毫无保留地这样宣称，甚至是在一群外行人面前——他们完全在你的掌握之中。这已经是道德底线了……你真的如此确信人类很快就

会屈从于你的愚蠢吗？”1979 年，Weinberg在《爱因斯坦的错误》一文中批评了玻尔对测量过程的不当处理：“量子经典诠释的玻尔版本有很大的瑕疵，其原因并非爱因斯坦所想象的。哥本哈根诠释试图描述观测(量子系统)所发生的状况，却经典地处理观察者与测量的过程。这种处理方法肯定不对：观察者与他们的仪器也得遵守同样的量子力学规则，正如宇宙的每一个量子系统都必须遵守量子力学规则。”“哥本哈根诠释可以解释量子系统的量子行为，但它并没有达成解释的任务，那就是应用波函数演化方程于观察者和他们的仪器。”最近温伯格又进一步强调了他对“标准”量子力学的种种不满。在量子信息领域，不少人不加甄别地使用哥本哈根诠释导致的“后选择”方案，其可靠性令人怀疑！其实，在量子力学幺正演化的框架内，多世界诠释不引入任何附加的假设，成功地描述了测量问题。由于隐变量理论在理论体系上超越了量子力学框架，本质上是比量子力学更基本的理论，所以本文对Bell 不等式不作系统讨论。自上世纪八十年代初，人们先后提出了各种形式迥异的量子力学新诠释，如退相干、自洽历史、粗粒化退相干历史和量子达尔文主义，但实际上都是多世界诠释的拓展和推广。2 哥本哈根诠释及其推论哥本哈根诠释的核心内容是“诠释量子世界，外部的经典世界必不可少”。波函数描述微观系统的状态，遵循态叠加原理，即：如果|?1>

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=

量子力学基础简答题(经典)【精选】

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

戏剧名词解释

名词解释 1三一律——"三一律"是古典主义戏剧的艺术法则，要求戏剧创作在时间、地点和情节三者之间保持一致性，即要求一出戏所叙述的故事发生在一天（一昼夜）之内，地点在一个场景，情节服从于一个主题。莫里哀的喜剧《伪君子》就是按"三一律"写成的，全剧五幕，单线发展，情节发生在一个地点，即奥尔恭的家里；所描写的全部事件都在一昼夜之内发生；主题集中在揭露答尔丢失的伪善面目这一点上。古典主义戏剧艺术的实践表明，"三一律"在政治上符合君主专制政体的要求，在艺术上既体现了时间和空间方面高度简练、紧凑、集中等优点，但又存在人物性格单一化、类型化，戏剧结构上绝对化、程式化等弱点，最终束缚了戏剧艺术的发展，为后人所摒弃。 2 3 4 另有值 最大、 5. ???” 、“危机”， 还是“发现” 6 （1 （2 7 8 变与创造性的变有机结合起来所形成的规范。为所有演员遵循，也为观众所接受、熟悉 9梅兰芳（1894-1961）? 梅兰芳的艺术成就成为了中国戏曲艺术体系的代表和标志。他在唱、念、做、舞、化妆、服饰等方面进行创新，使中国古老戏曲在歌、舞、剧三结合形成了梅派艺术独创风格。把青衣、花旦、闺门旦、贴旦、刀马旦等旦角各行的唱腔和表演艺术全面地，有机地结合起来。创造了花旦这一新的行当，大大丰富了旦角唱腔的优美旋律，形成一个具有独特风采的艺术流派，世称梅派。他与程砚秋、尚小云、荀慧生并称“四大名旦”。 10斯坦尼斯拉夫斯基?? 1898年与聂米罗维奇-丹钦科创立莫斯科艺术剧院，他们联合执导的契诃夫名剧 《海鸥》获得轰动性成功，标志着一个新的现实主义戏剧流派的诞生。1922?～1924?年他写作了自传《我的艺术生活》，首次对自己的戏剧体系作了理论与实践相结合的研讨。1928年10月心脏病

量子力学基本原理

量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。

量子力学的隐变量解释

量子力学的隐变量解释1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen 共同发表了一篇名为「Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」.在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法：一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object reality) 以及这个理论运作的观点．客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：(1) 这个理论是否正确? (2) 理论的描述是否完备?只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题．在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性．作者们提出了一项判别完备性的条件：每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了．那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念．举例来说，在一维系统中，一个以波函数φ(x) = exp(ip0x/2πh) (其中 p0是一常数，i 表纯虚数，h 为Planck常数)描述的粒子．其动量的算符为 h d ,p = ------ ---- ,2(Pi)i dx,因此： pFI(x) = p0FI(x),所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体．反之，对位 置算符 q 而言，qFI = xFI ≠ aFI ,因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量 p0了．对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理 实体．一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面： (1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的． (2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)．因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，

量子力学基础概念题库

一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将 ψ(,)?r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0， 其中（1）∧ ) (H 0的本征值) (n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很小，称 为加在∧ ) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4η。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对

量子力学练习题

量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。

量子力学和经典力学的区别与联系

量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系

目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)

第2套量子力学自测题

量子力学自测题（２） 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ?（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明 交换算符12 ?P 是一个守恒量。 2．设U ?是一个幺正算符，求证+?=U dt U d i H ??? 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2?l 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπ?θψ?+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ?的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ?的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，?θπ i e Y ±±=sin 8311 。

五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，a x n a n πψsin 2=， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰： ???????-='),(2,2)(?x a a k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态（n=1）能量的一级近似值。 如有必要，可利用积分公式? +=y y y ydy y sin cos cos 。 六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ??????-+++= 121211n n n n n x α， ωαm = （1）求矩阵元n x m 2。 （2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。

量子力学基本概念及理解

量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。