沈阳铁路实验中学2015-2016学年度上学期月考考试
高一数学
时间：120分钟 分数：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．集合
，集合Q=，则P 与Q 的关系是（ ） A.P=Q B ．P Q C ．
D ．
2．已知集合1
{|
1}1
x M x x +=≥-，集合{|230}N x x =+>，则()R C M N ?=( ) A ．3(,1)2- B ．3(,1]2- C ．3[,1)2- D ．3[,1]2
-
3．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ） A.（0，
11a ） B. （0，1
2
a ） C. （0，
31a ） D. （0，3
2
a ） 4．设()()()[]()
??
?<+≥-=10,610,3x x f f x x x f 则()5f 的值为（ ）
A.8
B.9
C.10
D.11
5．若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点)4,0(A 和点)2,3(-B ，则当不等式
3|1)(|<-+t x f 的解集为)2,1(-时，t 的值为（ ）
A ． 0
B ．－1
C ． 1
D ． 2
6．如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为“同族函数”，那么函数{}2
,1,2y x x =∈的“同族函数”有（ ）
A ．3个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
7．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2
＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2)
8．若函数()x b
f x x a
-=
-在区间(,4)-∞上是增函数，则有（ ） A.4a b >≥ B.4a b ≥> C.4a b ≤< D.4a b ≤<
9．设()2,
11,
11
x x x f x x x ?≤-≥=?
-<
()x g 的值域是（ ）
A ．(][)+∞-∞-,11,
B ．(][)+∞-∞-,01,
C ．[)+∞,0
D ． [)+∞,1
10．已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数， 则（ ）
A.f(6)>f(7)
B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9)
D.f(7)>f(10)
11．对于任意实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数，如[1.1]1,[ 2.1]3=-=-.定义在R 上的
函数()[2][4][8]f x x x x =++，若{}(),01A y y f x x ==≤≤，则A 中所有元素的和为
（ ）
A ．65
B ．63
C ．58
D ．55
12．已知定义域在(1,1)-上的奇函数)(x f 是减函数,且0)9()3(2<-+-a f a f ,则a 的取值范围是( )
A ．(22,3)
B ．(3,10)
C ．(22,4)
D ．(－2,3)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，
1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，
()f x = 。
14．已知2
3()34,4
f x x x =
-+若()f x 的定义域和值域都是[],a b ，则a b += ． 15．已知y ＝f(x)＋x 2
是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 16．如果函数y=b 与函数34132
----=x x x y 的图象恰好有三个交点，则b= ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分10分）
已知条件{}
2
:230,p x A x x x x R ∈=--≤∈，
条件{}
22
:240,,q x B x x mx m x R m R ∈=-+-≤∈∈，
（1）若[0,3]A B ?=，求实数m 的值; (2)若R A C B ?,求实数m 的取值范围．
18．（本题满分12分）根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .
（2）已知1)f x =+()f x （3）若()f x 满足1
()2(),f x f ax x
+=求()f x ．
19．（本题满分12分）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x > 时,
2
()3f x x =-． （1）当0 20．（本题满分12分）对于函数()f x 若存在0x R ∈，00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知2()(1)1(0)f x a x b x b a =+++-≠ （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点； （2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 21．（本题满分12分）二次函数()f x 的图像顶点为(1,16)A ，且图象在x 轴上截得线段长为8． （1）求函数()f x 的解析式； （2）令()(22)()g x a x f x =-- ①若函数()g x 在[0,2]x ∈上是单调增函数，求实数a 的取值范围； ②求函数()g x 在[0,2]x ∈的最小值． 22．（本题满分12分）已知函数2 ()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）， () 0,()() 0.f x x F x f x x >?=?- （Ⅰ）若(1)0f -=， 且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是 否大于0？ 参考答案 【解析】因为P 中x 1≥,Q 中y 0≥,那么可知P 与Q 的关系是P Q ?,选C 2．B 【解析】 试题分析：因为 121011x x x +≥?≥--，1x ∴>，()1,M ∴=+∞，而3,2N ?? =-+∞ ??? ，(]33(),1,,122R C M N ???? ∴=-∞-+∞=- ? ????? ，故选B. 考点：1.分式不等式；2.一次不等式；3.集合的运算. 【答案】Ｂ 【解析】由()2 11i a x -<，得：22121i i a x a x -+<，即() 2 20i i x a x a -<，解之得 ()200i i x a a << >，由于1230a a a >>>，故1 2 0x a <<；选Ｂ. 4．A 【解析】 试题分析：由题意易知，(5)[(11)](8)[(14)](11)8f f f f f f f =====. 故选A. 考点：函数的求值. 5．C 【解析】 试题分析：由3|1)(|<-+t x f 得3()13f x t -<+-<，即2()4f x t -<+<根据图像过点)4,0(A 和点)2,3(-B ，所以(3)()(0) f f x t f <+<，即03x t <+<，因为12x -<<，013x <+<，所以1t =. 考点：1.函数的单调性；2.绝对值不等式的解法. 6．D 【解析】 试题分析：1的原象是1±；2 的原象是值域为{1，2}，定义域分别为{1 ， {-1}， -1}， {，1}， {-1，1}， -1，1}， { -1}， { 1}， { 1，-1}，共9个.故答案为：9． 考点：函数的概念及构成要素. 点评：1的原象是正负1；2 {1，2}，由此来判断解析式为y=x 2 ， 值域为{1，2}的“同族函数”的个数． 【解析】原不等式等价于2(2)(24)40m x m x -+--<,当m=2时，-4<0,不等式的解集为R ；由2 20 (24)16(2)0m m m - ? ?=-+- 8．C 【解析】 试题分析：()1x b x a a b a b f x x a x a x a --+--= ==+--- ，如果a b >，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上也单调递减；如果a b <，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上也单调递增。因为()f x 在区间(,4)-∞上是增函数，所以a b <，且(),4-∞为(),a -∞的一个子区间，所以4a ≥，所以4a b ≤<. 考点：本题主要考查已知函数的单调区间求参数的取值范围. 点评：对于这类问题，学生应该首先分析已知函数的单调性，如此题()f x 应该先化为 ()1a b f x x a -=+ -，借助于函数()k f x x =的单调性求出要考查函数的单调性，然后在解题过程中还要注意已知区间与要求区间之间的关系，更要注意端点出的值能不能取到. 9．C 【解析】 试题分析：如图，为()f x 的图象，由图象知()f x 的值域为（-1，+∞）， 若(())f g x 的值域是[0，+∞），只需()(,1][0,)g x ∈-∞-+∞ 而()g x 是二次函数，故()[0, )g x ∈+∞． 故选C 考点：1.函数的图像；2.函数的值域. 10．D 【解析】y=f(x+8)为偶函数，(8)(8).f x f x ?+=-+即()y f x =关于直线8x =对称。 又f(x)在),8(+∞上为减函数，故在(,8)-∞上为增函数， 检验知选D 。 11．C 【解析】 试 题 分 析 ： 当 1[0,) 8 x ∈时： 11 02,04,081 42 x x x ≤<≤<≤<， ()[2][4][8]0000f x x x x =++=++= 当12 [,)88x ∈时：111 2,41,182,()[2][4][8]0011422 x x x f x x x x ≤<≤<≤<=++=++=， 同理可得： 23[,)88x ∈时：()0123f x =++=；34 [,)88x ∈时：()0134f x =++=； 45[,)88x ∈时：()1247f x =++=；56 [,)88x ∈时：()1258f x =++=； 67[,)88x ∈时：()13610f x =++=；7 [,1)8 x ∈时：()13711f x =++=； 1x =时：(1)14f =，所以A 中所有元素的和为01347810111458++++++++=. 考点：1.取整函数；2.函数的值域. 12．A 【解析】 试题分析：由0)9()3(2<-+-a f a f ，得)9()3(2a f a f --<-；又奇函数满足 )()(x f x f -=-，得)9()3(2-<-a f a f ；因为)(x f 是（-1,1）上的减函数，所以 ?? ???->-<-<-<-<-9319113122 a a a a ，解得322< 1x x -++ 【解析】 试题分析：任取x<0,则-x>0,2 2 ()()11f x x x x x ∴-=-+--=--=,又()()f x f x -=- ， 2()1f x x x ∴=-++ 考点：本题考查分段函数的知识点，函数的性质奇偶性结合绝对值的运算. 14．5 【解析】 试题分析：该二次函数开口向上，对称轴为2=x ,最小值为1)(min =x f ,所以可分3种情况: (1)当对称轴2=x 在区间[],a b 的左侧时，函数在区间[],a b 上单调递增，所以此时 （舍）或即??? ??==??? ????==≥34 44,)()(2 b a b b f a a f b a a ； (2) 当对称轴2=x 在区间[],a b 的右侧时，函数在区间[],a b 上单调递减，所以此时 （舍）即??? ????==?????? ?==≤34 34,)()(2b a a b f b a f b a b ； (3) 当对称轴2=x 在区间[],a b 内时，函数在区间[]2,a 上单调递减，在区间(]b ,2上单调递增，所以此时b a 2,函数在区间[],a b 内的最小1值为1,也是值域的最小值a ,所以1=a ,同时可知函数值域的最大值一定大于2.通过计算可知24 7 )3()1()( ===f f a f ,所以可知函数在b x =时取得最大值b ,即b b f =)(.所以4=b . 通过验证可知,函数2 3()34,4 f x x x = -+在区间[]41，内的值域为[]4,1. 综上可知:5=+b a . 考点：二次函数对称轴与区间的位置关系. 15．－1 【解析】∵y ＝f(x)＋x 2 是奇函数，且f(1)＝1， ∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12 ]，∴f(－1)＝－3. 因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 16．4 25-6或- 【解析】 试题分析：当x ≥1时，函数34132 ----=x x x y x x 72 -= 图象的一个端点为)6,1(-，顶点坐标为)4 49,27(- ， 当x ＜1时，函数34132 ----=x x x y 62 --=x x 顶点坐标为)425,2 1(- ， ∴当6-=b 或4 25 -=b 时，两图象恰有三个交点． 考点：二次函数的性质 点评：本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二 次函数是解题的关键． 17．（I ）{} 31A B x x ?=-<<-. （II ）()1,3. 【解析】 试题分析：（I ）当1a =时，{} 35A x x =-<<. {} 15B x x x =<->或 {}31A B x x ∴?=-<<-. 5分 （II ）{} 44A x a x a =-<<+ . {} 15B x x x =<->或. 且A B R ?=∴41 45 a a -<-?? +>? ∴13a <<. ∴实数a 的取值范围是()1,3. 考点：本题主要考查集合的运算，一元二次不等式的解法。 点评：中档题，进行集合的运算，必须明确集合中的元素是什么，因此，解答此类题，首先应化简集合，而后根据条件要求，进一步解题。 18．（1）()f x ＝ 211 22 x x + （2）()f x ＝2 1x - （1x ≥） （3）()f x ＝ 233 a ax x - 【解析】 【错解分析】抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件（如：定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图象特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是与大学的一个衔接点。因无具体解析式，理解研究起来往往很困难。但利用函数模型往往能帮我们理清题意，寻找解题思路，从而方便快捷的解决问题。 【正解】（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解 设()f x ＝2 (0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+， 又由(1)()1f x f x x +=++， ∴2 2 (1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++ 即 2 2 (2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++ 21 1021 a b b a a b a b +=+?? ∴≠∴==??+=? ，()f x ＝21122x x + (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设 1(0),1(1) u x u u =≥-≥ 22()(1)2(1)1 (1)f u u u u u ∴=-+-=-≥ ∴()f x ＝2 1x - （1x ≥） （3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解 用 1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x +=与 1 ()2()f x f ax x += 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233 a ax x -. 【点评】求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()] f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 19．（1）2 ()3f x x =-+ （2）223,0, ()0,0,3,0.x x f x x x x ?->? ==??- （3）0x =，或3x =，或3x =- 【解析】 试题分析：（1）本题考察的是求函数的解析式，已知0x >的解析式，要求0x <时的解析式，所以0x ->，满足要求，写出()2 1f x x -=+又因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x =--， 即可所求解析式． （2）由（1）和已知的0x >的解析式以及奇函数()00f =即可写出在R 上解析式． （3）本题是解分段函数的方程，根据分段函数分段求，所在定义域不同，所对的解析式就不一样，解集就不同．本题中分三段，根据相关的解析式逐个解方程，再结合定义域求交集即可求出答案． 试题解析：（1）设0x <,则0x ->, 2222()()33, ()()()()3()3;f x x x f x f x f x f x x f x x -=--=-∴-=-∴-=-∴=-+ 是奇函数 （2）223,0, ()0,0,3,0.x x f x x x x ?->? ==??- （3） 当0x =时，方程()2f x x =即20x =，解之得0x =； 当0x >时，方程()2f x x =即2 32x x -=，解之得3x =（1x =-舍去）； 当0x <时，方程()2f x x =即2 32x x -=，解之得3x =-（1x =舍去）． 综上所述，方程()2f x x =的解为0x =，或3x =，或3x =-． 考点：（1）函数奇偶性（2）分段函数