直线和圆的方程高三数学第七章第四节.

同步检测训练

一、选择题

1 .方程x

2 + y 2= 1(xy<0)的曲线形状是(

)

答案：C

解析：方程x2+y2=1表示以原点为圆心，半径为 1的单位圆，而约束条件 xy<0则表明 单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分?故选 C.

2 .已知两定点 A(-2,0), B(1,0)，如果动点P 满足|PA|= 2|PB|,则点P 的轨迹所包围的 图形的面积等于( ) A . n B . 4 n

C . 8 n

D . 9 n 答案：B

解析：设 P(x , y)，由题知有：(x + 2)2 + y 2= 4[(x — 1)2+ y 2]，整理得 x 2- 4x + y 2= 0，配方 得(x — 2)2 + /= 4.可知圆的面积为4 n 故选B.

3. 长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC = 2CB ，则点C 的轨迹 是() A ?线段 B ?圆 C ?椭圆 D ?双曲线 答案：C

解析：设 C(x , y), A(a,0), B(0, b)，则 a 2+ b 2 = 9① 又AC = 2CB ，所以(x — a , y) = 2( — x , b — y), j a = 3x 即 3

，②

b = 3y

2

代入①式整理可得 1.故选C.

4

4.

平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1), B(— 1,3),若点C 满

足0C = N OA + &0B(0为

原点)，其中入，亦R ,且入+ ；2= 1，则点C 的轨迹是(

)

A ?直线

B .椭圆

C .圆

D .双曲线 答案：A

解析：设 C(x , y),由已知得(x , y)=入(3,1) + N (— 1,3),

x = 3 ,

，又 入+ N= 1.消去 入,h 得，x + 2y = 5.故选A.

y = h + 3 h

5. (2008成都质检)F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向△ F 1MF 2 顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为 P ,贝U P 点的轨迹为( )

A ?圆

C ?双曲线 答案：A 解析：

B ?椭圆 D .抛物线

如右图所示，延长 F 2P 到N 使|NP|=|F 2P|,

贝y |MF 2|=|MN|..?. |NF i |=2a ，即 |PO|=a.故选 A.

6. (2008潍坊模拟)一圆形纸片的圆心为 O ,点Q 是圆内异于 O 的一个定点，点 A 是圆 周上一动点，把纸片折叠使点 A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕 CD 与OA 交于点P ,当 点A 运动时，点P 的轨迹为( )

A ?椭圆

B ?双曲线

C .抛物线

D .圆 答案：A.

解析：?/折痕所在的直线是 AQ 的垂直平分线， ??? |FA|= |PQ|,又 T |PA|+ |OP|= r , ??? |PQ|+ |OP|= r>|OQ|,

由椭圆的定义知点 P 的轨迹是椭圆.故选 A.

7. (2009郑州市二测)设向量i 、j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向 量a = (x + 1)i + y j , b = (x — 1)i + y j ，且|a |—|b |= 1，则满足上述条件的点 P(x , y)的轨迹方程是 2 2

B.7 —号=1(x > 0) 4 4

2 2

D.^ —育=1(x > 0) 4 4

b = (x — 1, y)，又 |a |— |b |= 1，所以 (x + 1)2+ y 2 —

选择B.

1 2

8.

(2009江西联

考)过点P(1,1)作一直线与抛物线 y = ?x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点 分别作抛物线 y =扩 的切线，设两切线的交点为

M ，则点M 的轨迹方程为( )

A . y = x 2

B . x 2 + y 2= 1

C . x 2— y 2= 1

D . x — y — 1 = 0

答案：D

解析：设过点P(1,1)的直线方程为y = k(x — 1) + 1，代入抛物线方程 y =$2并整理得，x 2 —2kx + 2k — 2 = 0,设 A(X 1, y”，B(x 2,涌,由根与系数的关系得 * + 2k , XD (2= 2k — 2; 又y ' = x ,所以过A 、B 两点的切线斜率分别为 k 1 = x 1, k 2 = x 2,过A 、B 两点的切线方程分 别为y = x 1 (x — x 1) + y 1, y = x 2(x — x 2) + y 2,设 M 的坐标为(x , y),所以点 M 的坐标满足

二、填空题

9 .已知△ ABC 的顶点B(0,0), C(5,0), AB 边上的中线长|CD|= 3,则顶点A 的轨迹方程 为 . 答案：(x — 10)2 + /= 36(y z 0)

解法一：直接法，设A(x , y), y z 0,贝U D(|,》，

???|CD |= j (2- 5)2+y4=3,

化简得：(x — 10)2+ y 2= 36,由于A 、B 、C 三点构成三角形，

x

A 〒- y3 = 1(y > 0) 4 4

2

2

— C. 1 :=1(y > 0) 4 4

答

案： B 解析：

依题意，向量 ,(x — 1)2+ y 2= 1,整理得 a = (x + 1, y),

2 2 x ■-計 1(x >0),

4

，消去参数k 得x — y — 1 = 0,选择D. ()2

2

X 1 + X 2

2

迪=k — 1

所以A不能落在x轴上, 即沪0.

解法

定义法.如右图所示，设A(x, y), D为AB的中点，过A作AE //CD交x轴于E,

??? |CD|=3,??? |AE|=6，贝U E(10,0)

??? A到E的距离为常数6,

? A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，

即(x-10) +y =36，又A、B、C不共线，故A点纵坐标沪0,

故A点轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y z 0).

10. 平面上有三点A(-2, y), B(0, 2), C(x, y)，若AB丄BC，则动点C的轨迹方程为

答案：y2= 8x

解析：AB= (2, - 2), BC = (x,》.

???A B丄BC, ? A B BC = 0，得2 x—畀=0, 得y2= 8x.

11. 已知△ ABC的边AB长为6,点C到A、B两点的距离之比为2 : 1，则点C的轨迹

方程为_________ .

答案：(x—5)2+ y2= 16(y z 0)

解析：

以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，则A(-3,0) , B(3,0).设

C(x, y),

由题意留=2

即卫妄匸HZ工Z = 2,化简得3代一

30工+ 3y + 27 - 0,即｛才一5严+ y = 护0).

三、解答题

12.

如右图所示，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA 垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.

解法一：(参数法)：设M的坐标为(x, y).

若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为(1,1).

若直线CA 不与x 轴垂直，设直线 CA 的斜率为k ,则直线CB 的斜率为--，故直线CA

k 方程为：y = k(x — 2)+ 2, 令y = 0得x = 2 — 2,则A 点坐标为(2 — 2, 0).

k k

1 2

CB 的方程为：y =— ^(x — 2) + 2,令 x = 0，得 y = 2 + -,

2 门 2—7+0 彳

x

= 1 — 1

X —

2 ' k

2

2

+;+0 1 y = ——=1 + - y 2 k

消去参数k 得到x + y — 2= 0(X M 1),

点 M(1,1)在直线 x + y — 2 = 0 上,

综上所述，所求轨迹方程为 x + y — 2= 0.

解法二：(直接法)设M(x , y),依题意A 点坐标为(2x,0), B 点坐标为(0,2y).

?/ |MA|= |MC|,

?- (x — 2x)2 + y 2= (x — 2)2+ (y — 2)2, 化简得x + y — 2 = 0.

解法三：(定义法)依题意|MA|= |MC|= |MO|,

即：|MC|=|MO|,所以动点 M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到： x + y — 2 = 0.

13.

如右图所示，线段 AB 与CD 互相垂直平分于点 O , |AB|=2a(a>0), |CD|=2b(b>0)，动点P 满足|FA| ? |PB|=|PC| ? |PD|.求动点P 的轨迹方程.

解：以O 为坐标原点，直线 AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，

7（ .r — + y

- V* +（ 51 + h ）' ?

+（』一*

化简得~ y =

江

；".

故动点P 的轨迹青程为j-

2

- / - a ~ - h ~

14.已知两条直线11： 2x — 3y + 2 = 0和I ?: 3x — 2y + 3 = 0,有一动圆(圆心和半径都动) 与11、12都相交，且11、12被圆截得的弦长分别是定值 26和24,求圆心的轨迹方程.

解：设动圆的圆心为 M(x , y)，半径为r ，点M 到直线l 1, l 2的距离分别为d 1和d 2.

由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

2

则B 点坐标为(0,2 + k)，由中点坐标公式得

M 点的坐标为

2 r 2— d 1= 26, 2 r

2

—

d 2

= 24, 消

去r 得动点M 满足的几何关系为d 22— d 2= 25, 2 2

即(3x — 2y + 3) — (2x — 3y + 2)=

13 13

.

化简得(x + 1)2— y 2= 65.

此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程.

15.已知双曲线x 2 — y 2= 2的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于 A 、B 两点，

点C 的坐标是(1,0).

(I )证明：cA CB 为常数；

(n )若动点M 满足CM = CA + CB + CO(其中o 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程. 解：由条件知F(2,0)，设AX , y”，B(x 2,为.

(I )当AB 与x 轴垂直时，可设点A 、B 的坐标分别为(2, ,2)、(2, — .2),此时CA CB =

(1 , .2)(1 , — 2) =— 1.

当AB 不与x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是y = k(x — 2)(k ^ ±1). 代入 x 2— y 2= 2 有(1 — k 2)x 2 + 4k 2x — (4k 2 + 2)= 0.

贝y x 1 > x 2是上述方程的两个实根，所以 x 1 + X 2= ?k , x 1x 2 = 4k 2 2.

1 1 k 2— 1 k 2— 1 =(—4k 2— 2)+ 4k

2 + 1 = — 1. 综上所述，CA CB 为常数—1. (n )解法一：设 M (X , y),则CM =

(x

—

1

, y )

, c^A =

(x 1

—

1

, yj , CB =

(x 2

—

1, y 2), CO =

当AB 与x 轴垂直时，X 1 = X 2= 2,求得M(2,0)，也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是x 2— y 2= 4.

解法二：

X 1 + X 2= x + 2

同解法一得

.①

+一 4k 2 —

当AB 不与x 轴垂直时，由(I )有X 1 + X 2=^J;,② k — 1

2

y 1

+

y 2

=

k(x 1

+ x 2

—

4)

= k( 4k 一 4) = 2^..③

k — 1 k — 1

d 2= 169, 即工谯144,

于是 CA CB = g — 1)(X 2 — 1) + y 1y 2 =(X 1 — 1)(X 2— 1) + k ?(x 1 — 2)(x 2— 2) =(k 2 + 1)x 1x 2 — (2k 2 + 1)(X 1 + X 2)+ 4k 2+ 1 (k 2+ 1)(4k 2+ 2) = k 2— 1 4k 2(2k 2+ 1) k 2— 1 2 + 4k 2 + 1 (—1,0).由 CM = CA + C B + CO 得:

x + 2

是AB 的中点坐标为(―^, j x — 1 = X 1 + X 2 — 3 y = y 1

+

y 2

2).

y

2

X 1 + X 2= x + 2 ，即＜

I y 1

+

y 2

=y

即 y 1— y 2= x —2(X 1

—

x 2

).

当AB 不与x 轴垂直时，y1—2

,

X 1 — X 2 x + 2 x — 2

—

2

又因为A 、B 两点在双曲线上，所以

泊一 y 2= 2, x ；— y 2= 2,两式相减得

(X 1 — X 2)(x 1 + X 2) = (y 1 — y 2)(y 1 + y 2)，即(X 1 — X 2)(x + 2) = (y 1 — y 2)y.

将力―y 2=X —2(X 1 — X 2)代入上式，化简得 x 2— y 2= 4.

x + 2

4 X ----------

当k z 0时，y z 0，由④、⑤得，泄2 = k ,将其代入 ⑤有y =

—=

y

(x +22)_ 1

y 理得 x 2-

y 2 = 4.

当k = 0时，点M 的坐标为(一2,0)，满足上述方程.

当AB 与x 轴垂直时，x 1 = x 2= 2,求得M(2,0)，也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是x 2-y 2 = 4.

由①、②、③得x + 2 =

4k 2

4y(x + 2)

2 2

(x + 2)— y

直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

高二数学直线和圆的方程综合测试题

高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x

8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0

高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得

直线和圆的方程知识与典型例题

直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零

直线和圆的方程

简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.

第九章 第二节 第1课时 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节圆与方程 [考纲要求] 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程． 3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆的方程 1．圆的定义及方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F＞0) 圆心：???? － D 2，－ E 2 半径：r＝ D2＋E2－4F 2 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点在圆内 [提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． [谨记常用结论]

若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点. (2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上. (3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切. [小题练通] 1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________． 答案：(x －2)2＋y 2＝10 2.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1 3.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝2 4.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________． 答案：????－ 233 ，233 5．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2) 6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离 相切 相交 图形 量 化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d ＞r d ＝r d ＜r

高中数学直线与圆的方程知识点总结49648

高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

全国版2022高考数学一轮复习第9章直线和圆的方程第1讲直线方程与两直线的位置关系试题2理含解析

第九章直线和圆的方程 第一讲直线方程与两直线的位置关系 1.[改编题]下列说法正确的是() A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2 -1=0互相平行,则a=-1 C.过(x1,y1),(x2,y2 )两点的所有直线的方程为y-y1 y2-y1=x-x1 x2-x1 D.经过点(1,1) 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 2.[2021湖北宜昌模拟]如图9-1-1,已知A(4,0)、B(0,4), 从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是() 图9-1-1 A.2√5 B.3√3 C.6 D.2√10 3.[2021天津模拟]已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1), 过点C的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是() A. [-2,3] B. [-2,0)∪(0,3] C. (-∞,-2]∪[3,+∞) D.以上都不对 4.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 5.[2020甘肃模拟]已知直线l 1:x sin α+y -1=0,直线l 2:x -3y cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=( ) A.3 5 B.-3 5 C.2 3 D.-2 3 6.已知直线l 1:ax+by+1=0与直线l 2:2x+y -1=0互相垂直,且l 1经过点(-1,0),则b = . 7.[2020福建宁德诊断]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,即圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2+y 2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是( ) A .x+(√2-1)y -√2=0 B .(1-√2)x -y+√2=0 C .x -(√2+1)y+√2=0 D .(√2-1)x -y+√2=0 8.[2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O 作直线l :(2m+n )x+(m -n )y -2m+2n =0的垂线,垂足为P ,则点P 到直线 x -y+3=0的距离的最大值为( ) A.√2+1 B.√2+2 C.2√2+1 D.2√2+2 9.[2020安徽十校高三摸底考试]已知直线l 过点(3√3,0)且不与x 轴垂直,圆C :x 2+y 2-2y =0,若直线l 上存在一点M ,使OM 交圆C 于点N ,且OM ?????? =32 NM ??????? ,其中O 为坐标原点,则直线l 的斜率的最小值为( ) A.-1 B .-√3 C.-√6 D.-√3 3 10.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A ,B 为曲线C :y =x 24 上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率; (2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程.

高中数学讲义 第八章 直线和圆的方程(超级详细)

高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程

【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.

【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??

(完整word版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案

第8章直线和圆的方程 练习8.4.1 圆的标准方程 1.圆心在原点，半径为3的圆的标准方程为 2.圆22(3)(2)13x y -++=的周长是 3.以C(-1,2)为圆心，半径为5的圆的标准方程是 练习8.4.2 圆的一般方程 1.圆224240x y x y +-+-=的圆心坐标是 2.求下列圆的圆心坐标和半径： （1）2210150x y y +-+= （2）22241x x y y -++=- 练习8.4.3 确定圆的条件 1． 求以点(4,1)-为圆心，半径为1的圆的方程． 2． 求经过直线370x y ++=与32120x y --=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的方程． 3． 求经过三点(0,0)O ，(1,0)M ，(0,2)N 的圆的方程． 练习8.4.4 直线与圆的位置关系 1．判断下列直线与圆的位置关系： （1）直线2x y +=与圆222x y +=； （2）直线 y =与圆22(4)4x y -+=； （3）直线51280x y +-=与圆22(1)(3)8x y -++=．

2．求以(2,1)C -为圆心，且与直线250x y +=相切的圆的方程． 练习8.4.5 直线方程与圆的方程应用举例 1． 光线从点M （?2，3）射到点P （1，0），然后被x 轴反射，求反射光线所在直线的方程 2． 赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标系求出其拱圆 的方程． 3．某地要建造一座跨度为8米，拱高为2米的圆拱桥，每隔1米需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度(精确到0.01m)．

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题

直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，范围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022

二、两直线的位置关系 1、 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' （2）点关于线的对称：设p(a 、b)

考点：直线与圆的方程综合测试(教师版)

直线与圆的方程 (时间：90分钟__分数：120分) 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2015·河南安阳期末，3)x cos α＋y sin α＋1＝0，α∈? ? ???0，π2的倾斜角为( ) A ．α B.π2＋α C ．π－α D.π 2－α 【答案】 B 设直线x cos α＋y sin α＋1＝0的倾斜角为θ， 则斜率 k ＝tan θ＝－cos αsin α＝sin ? ??? ?π2＋αcos ? ?? ?? π2＋α＝tan ? ???? π2＋α. 又α∈? ? ???0，π2，所以θ＝π2＋α. 2．(2015·山西太原二模，3)“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A 由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×2 4＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a 4＝－1，解得a ＝±2，故选A. 3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.17 5 C ．8 D ．2 【答案】 D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行， ∴63＝m 4≠－14 3，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3| 32＋42 ＝2.故选D. 4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C ：x 2＋y 2＝25，直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6和8，则圆上的点到直线l 的最大值为( ) A.245 B ．5 C ．10 D.495 【答案】 D 由题意知，直线l 的方程为4x ＋3y －24＝0，则圆心到直线的距离为d ＝ |0＋0－24| 42＋32

职高数学第八章直线和圆的方程及答案

第8章直线和圆的方程 练习 两点间的距离与线段中点的坐标 1.根据下列条件，求线段P 1P 2的长度： （1）P 1（0，-2）、P 2（3，0） （2）P 1（-3，1）、P 2（2，4） （3）P 1（4，-2）、P 2（1，2） （4）P 1（5，-2）、P 2（-1，6） 2.已知A(2,3)、B （x ，1），且|AB 求x 的值。 3.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标： （1）P 1（2，-1）、P 2（3，4） （2）P 1（0，-3）、P 2（5，0） （3）P 1（3，）、P 2（4，） （4）P 1（6，1）、P 2（3，3） 4.根据下列条件，求线段P 1P 2中点的坐标： （1）P 1（3，-1）、P 2（3，5） （2）P 1（-3，0）、P 2（5，0） （3）P 1（3，）、P 2（4，） （4）P 1（5，1）、P 2（5，3） 参考答案： 或5 3.(1) 53(,)22;(2) 53(,)22-;(3) 7(,2)2; (4) 9(,2)2 4. (1) (3,2);(2) (1,0);(3) (3.5,3); (4) (5,2) 练习8.2.1 直线的倾斜角与斜率 1．选择题 （1）没有斜率的直线一定是（ ） A.过原点的直线 B.垂直于y 轴的直线 C.垂直于x 轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线 (2)若直线l 的斜率为-1，则直线l 的倾斜角为（ ） A. 90? B. 0? C. 45? D. 135? 2已知直线的倾斜角，写出直线的斜率： （1）30,____k α=?= （2）45,____k α=?= （3）120,____k α=?= （4）150,____k α=?= 参考答案： 1.（1）C （2）D 2.（1）3;(2) 1 ;(3) ; (4) 3 - 练习8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程 写出下列直线的点斜式方程 （1）经过点A （2,5），斜率是4； （2）经过点B （2,3），倾斜角为45?； （3）经过点C （-1,1），与x 轴平行；

直线与圆的方程典型例题(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 2224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C

∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ． ∴ 所 求 圆 方 程 为 2 224)4()1022(=-+--y x ，或 2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2 2 2 7)14()2(=--+-a ，或2 2 2 1)14()2(=--+-a (无解)，故 622±=a ． ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 2 224)4()622(=++--y x ，或 2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如 2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其 圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2 2 2 7)14()2(=-+-a ，解

2019年高考数学理科真题汇编解析：第九章直线与圆的方程

第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程与两条直线的位置关系 1．（2019浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S = . 1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以61=611sin 602S 创 创=o . 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无 题型103 直线的方程——暂无 题型104 两直线位置关系的判定——暂无 题型105 有关距离的计算 第二节 圆的方程 题型106 求圆的方程——暂无 题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无 第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型108 直线与圆的位置关系 题型109 直线与圆的相交关系及其应用 题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无 题型111 直线与圆的综合 2.（2019江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ?…，则点P 的横坐标的取值范围是 ． 2.解析 不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ?∈-?． 因为PA PB AP BP =??()()000012,,6x y x y =+?-= 220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．

所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）. 联立2250250 x y x y ?+=?-+=?，得15x =-，21x = ，如图所示，结合图形知0x ??∈-?? ．故填??-?? ． 2 评注 也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一 致． 3．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20， 的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）求证：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点()42P -， ，求直线l 与圆M 的方程． 3．解析 （1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意． 设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222 y x x my ?=?=+?，得2240y my --=， 2416m ?=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ?=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++= 24(1)2240m m m -++?+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r ，即点O 在圆M 上． （2）若圆M 过点P ，则0A P B P ?=uu u r uu r ，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即 1212(2)(2)(2)(2)0m y m y y y --+++=， 即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12 m =-或1. ①当12 m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ， 则120122y y y +==-，00192 24x y =- +=，半径||r OQ ==，

版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第2节圆与方程及直线与圆的位置关系高考AB卷理【含答案】

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第2 节 圆与方程及直线与圆的位置关系高考AB 卷 理 圆的方程 1.(2015·全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆x 216＋y 2 4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为________. 解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为? ????32，0，半径为52.故圆的标准方程为? ????x －322 ＋y 2 ＝254. 答案 ? ?? ??x －322 ＋y 2 ＝254 直线与圆，圆与圆的位置关系 2.(2016·全国Ⅱ，4)圆x 2 ＋y 2 －2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则 a ＝( ) A.－4 3 B.－34 C. 3 D.2 解析 由圆的方程x 2 ＋y 2 －2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2 ＝1，解之得a ＝－43. 答案 A 3.(2015·全国Ⅱ，7)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC → ＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2 ＋(y ＋2)2 ＝25，令x ＝0得(y ＋2)2 ＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.

基础模块下：第8章 直线和圆的方程复习

第8章 直线和圆的方程复习 知识点： 一、两点间的距离与线段中点的坐标 1、两点间的距离公式：设点111(,)P x y 、222(,)P x y ，则12||PP = ， 当这两个点都在x 轴上时，120y y ==，所以12||PP = ；当这两个点都在y 轴上时120x x ==，所以12||PP = . 2、线段的中点坐标公式：设线段AB 的两个端点分别为111(,)A x y 、22(,)B x y ，线段的中点为 00(,)M x y ，则0x = ；0y = . 二、直线的方程 1、直线的倾斜角：设直线l 与x 轴相交于点P ，A 是x 轴上位于点P 右方的一点，B 是位于上半平面的l 上的一点，则 叫做直线l 对x 轴的倾斜角；若直线l 平行于x 轴，规定其倾斜角为 .即直线的倾斜角α的范围是 . 2、直线的斜率：（1）当直线的倾斜角90α≠?时， 叫做直线的斜率，记作k ，即k = （α≠ ）.（2）设点111(,)P x y 、222(,)P x y 为直线l 上的任意两点，则直线的斜率为k = （ ）.即求直线的斜率有 种方法. 特别地，当直线的倾斜角为90?即直线与x 轴 时，直线的斜率 . 3、直线的方程：（1）点斜式方程：设直线l 的斜率为k 且经过点000(,)P x y ，则直线的点斜式方程为 . （2）斜截式方程：设直线l 的斜率为k 且经过(0,)B b ，则直线的点斜式方程为 . 其中b 叫做直线在y 轴上的截距（或纵截距） （3）截距式方程：设a 是直线在x 轴的截距（或横截距），b 是直线在y 轴上的截距（或纵截距）， 且0a ≠，且0b ≠，则直线的截距式方程为 . （4）一般式方程：方程 （其中A 、B 不全为零）叫做直线的一般式方程.特别的，当0B ≠时，该直线的斜率是k = ，纵截距是 . 三、两条直线的位置关系 1、平面内两条直线的位置关系有 种，分别是 、 、 . 2、两直线的位置关系：当直线1l 、2l 的斜率都存在时，设111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则