互相关函数求相位差
法一、利用互相关函数的性质：对于单频信号而言，时移相当于相移，相关系数从初始值变成最大值的时候，说明相位差也从初始相位差变为零。
法二、利用互相关函数的两同频正弦信号的互相关函数零时刻值与其相位差的余弦值成正比的原理获得相位差。
比较两种方法可知：第二种方法的计算精度较高。可见如果只是简单的求取互相关函数，用
第一种方法即可（直接调用xcorr），但是如果要求取延迟时间，则可以按照互相关的具体公式编写函数！
具体程序如下：
n=512;%设定每周期数据采集点数
T=5;%采样周期数
fen=60;%将度转化为分:1度=60分
hs=360/(2*pi);%弧度转化为度数
t=0:2*pi/(n-1):2*T*pi;%采样数
N=length(t);%采样长度
y1=4*sin(t);%信号1
y2=4*sin(t+pi/(180*6));%信号2
Cc=xcorr(y1);%求互相关函数
%用互相关函数数学表达式求相位差:rm(n)=Rxy(n)/sqrt(Rxx(0)*Ryy(0))
C0=sum(y1.*y2);%y1和y2互相关
A0=sum(y1.*y1);%y1自相关
B0=sum(y2.*y2);%y2自相关
a=sqrt(A0);
b=sqrt(B0);
zhunquezhi=(pi/(180*6))*hs*fen
jiaocha=acos(C0/(a*b))*hs*fen%相位差计算公式
jdwucha=jiaocha-zhunquezhi%绝对误差
xdwucha=((jiaocha-zhunquezhi)/zhunquezhi)*100%相对误差
%用有效值计算比值差
youxiaoy1=sqrt((1/(N-1))*sum(y1.^2)) %计算y1有效值
youxiaoy2=sqrt((1/(N-1))*sum(y2.^2)) %计算y2有效值
bizhicha=abs((youxiaoy1-youxiaoy2)/youxiaoy1)*100 %计算比值差
%作图
m=(-N+1):(N-1);
subplot(311);
plot(t,y1);
grid;
subplot(312);
plot(t,y2);
grid;
subplot(313);
plot(m,Cc);
grid;
课题锐角三角函数——正弦 一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 二、教学重点、难点 重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 三、教学过程 （一）复习引入 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测 算出旗杆的大致高度； 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度。 这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析： 问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ?
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基
三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数
名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
第28章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA=sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c =a ·tanA D ．c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 5．已知△ABC 中，∠C=90°，设sinA=m ，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜12 B ．0＜m ＜22 C ．0＜m ＜33 D ．0＜m ＜32 6．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ． 3 米 C ．2 3 米 D ．23 3 米 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ． 32 3 C ．10 D ．12 8．sin 2θ＋sin 2 (90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ） A 0 B 1 C 2 D 2sin 2 θ 9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC= 35 ，则BC 的长是（ ） A 、4 cm B 、6 cm C 、8 cm D 、10 cm 10．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一 点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α) （附加）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．（7+3）米 D ．（14+23）米 二、填空题：（每题3分，共30分） 1．已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A ＝ . 2．已知α为锐角，且sin α =cos500 ，则α ＝ . 3．已知3tan A -3=0，则∠A ＝ . （第9题） （附加题）
三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看先象限 图形 简记结合图形，7组公式可用口诀概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 说明①公式的推导思路：前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出（后面3组通过角的变换，进而借助前面的有关公式转化得到）②各组诱导公式都可用含角度的形式
③在应用诱导公式解题时，基本思路是：“负化正，大化小，化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值，根据问题做到准确应用，正确求解。
人教版九年级下册数学第二学期单元质量检测 九年级数学·28章·锐角三角函数 九（ ）班 号 姓名 成绩 本试卷共100分。考试时间100分钟。 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝ 34，则sin A 等于( )． A.43 B.34 C.53 D.35 2310)1α+?=，则锐角a 的度数是( )． A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 3．如图所示，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取∠ABD ＝145°，BD ＝500 m ，∠D ＝55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是( )． A ．500sin 55°m B ．500cos 55°m C ．500tan 55°m D.500cos55? m 4．小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m ，则他升高了( )． A ．2005 B ．500 m C ．3 D ．1 000 m 5．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )． A ．0＜n ＜22 B ．0＜n ＜ 12 C ．0＜n ＜3 D ．0＜n 36．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是13背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为( )． A ．90° B ．75° C ．60° D ．105° 7．计算6tan45°－2cos60°的结果是( ) A ．4 3 B ．4 C ．5 D ．5 3 8．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3 km ，第二小组向南偏东30°方向前进了3 km ，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为( )． A ．南偏西15°，32 B ．北偏东15°，32 C ．南偏西15°，3 km D ．南偏西45°，329．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ＝2 3，AB ＝4 2，则tan ∠BCD 的值为( ) A. 2 B.153 C.155 D.33 10．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m ，3≈1.73)． A ．3.5 m B ．3.6 m C ．4.3 m D ．5.1 m
三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-） 公式五： sin( 2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π +α) =- sin α． 公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32 π +α) = sin α． 公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函 数名，偶数就不变
例1、求值（1）29cos( )6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16 sin()3 π-= __________． 的值。 求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值． 提示：先化简，再将1sin 3 θ=代入化简式即可．
三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：
对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦
人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 章末复习 一、选择题 1. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 2. （2020·杭州）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分 别为a ，b ，c ，则（ ） A ．c ＝b sin B B ．b ＝c sin B C ．a ＝b tan B D ．b ＝c tan B 3. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A . 斜坡A B 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10° C . AC ＝1.2tan 10° 米 D . AB ＝ 1.2 cos 10° 米 4. (2019?山东威海)如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是 A ． B ． C ． D ． 5. (2019?江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖 直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是
A ．55.5m B ．54m C ．19.5m D ．18m 6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ， B ， C ， D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx 8. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶 上弦杆AB 的长为 C
三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基
本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量
单元分析 一、单元名称：第28章锐角三角函数 二、教学内容及教材分析： 1、本章的主要内容有测量、直角三角形的性质、锐角三角函数和解直角三角形的概念；有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用． 2、锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一． 三、重难点与关键 1、教学重点：锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。 2、教学难点：锐角三角函数的概念。 3、教学关键：锐角三角函数的概念。 四、教学目标： 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切、余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角。 3.理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。
4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用。 五、教学方法与策略： 1、注意创设学生熟悉的问题情境．如引入锐角三角函数时，使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系． 2、注意引导学生进行合作交流．如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关；当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数． 3、注意引导学生灵活运用所学知识解决现实生活中的实际问题和数学本身的问题． 六、课时安排 28.1锐角三角函4课时28.2解直角三角形及其应用5课时 小结与复习1课时 单元测试2课时
第二十八章《锐角三角函数》水平测试（一） 班级 姓名 座号 一、选择题：（每题4共30分） 1．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 3 3 C. 1 D. 3 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 3．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1cos 21 sin ==B A ，，则（ ）. A ．?=∠=∠60B A B ．?=∠=∠30B A C ．?=∠?=∠3060B A ， D ．?=∠?=∠6030B A ， 4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，5 3 sin = A ，则= B tan （ ）． A.5 3 B.5 4 C.43 D.34 5．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，若?=∠30A ，则三边的比c b a ：：等于 （ ）A ．1：2：3 B ．1：3：2 C ．1：1：3 D ．1：2：2 6．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=（ ） Ａ． 55 Ｂ．25 5 Ｃ．12 Ｄ．2 7．cos 2 45°＋tan60°?cos30°等于（ ）． A 、1 B 、2 C 、2 D 、3 30 ° A B O
8．如图，设，，βα=∠=∠BOC AOC P 为射线OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则PE PD 等于（ ） A ． βα sin sin B ． βαcos cos C ．βαtan tan D ．α β tan tan 9、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’，那么锐角A 、A ’的余弦值的关系为（ ）． A 、cosA ＝cosA ’ B 、cosA ＝3cosA ’ C 、3cosA ＝cosA ’ D 、不能确定 10、化简2 (tan 301)- ＝（ ）。 A 、313- B 、31- C 、313 - D 、31- 二、填空题：（每题4分，共32分） 11．?ABC 中，4590==?=∠BC AB C ，，，则._____tan =A 12．在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为30度，船离海岸线 ____________米. 13．若∠A 是锐角，且sinA=cosA,则∠A 的度数是____________度 14．等腰三角形的两边分别为6和8，则底角α的正切为._____ 15．菱形中较长的对角线与边长之比为1:3，那么菱形的两邻角分别是 ._____ 16．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_________。（取3 1.73=，结果精确到0.1m ） 17．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 18．在等腰梯形ABCD 中，腰BC 为2，梯形对角线AC 垂直BC 于点C ，梯形 的高为 3，则CAB ∠为._____ 度 O
三角函数公式 1． 同角三角函数基本关系式 sin 2 α＋cos 2 α=1 sin α cos α =tan α tan αcot α=1 2． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos α cos(π2 －α)＝sin α cos(π 2 +α)＝- sin α tan(π2 －α)＝cot α tan(π 2 +α)＝-cot α sin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π 2 +α)＝-cos α cos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π 2 +α)＝sin α tan(3π2 －α)＝cot α tan(3π 2 +α)＝-cot α sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 3． 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1－tan αtan β tan(α－β)= tan α－tan β 1＋tan αtan β 4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α 1－tan 2α
常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”.
§2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令