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解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）

（例1图）（例2图）

例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、

BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．

【部分题目解答】

例1、(难度相当于高考压轴题)

；

，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+

决定：

的坐标有下面的方程组、；则，、，C B )()(4433y x E y x D ,

- ;12,0-2-)1,{)-(22

2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx

y 由韦达定理知：得：（消去

- ;1222

243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得：

),-(---23

22x x x x y y y y CD =

方程为：直线 ,--Q 3

223Q y y y x y x x =

点横坐标：由此得

--P 1

41441P y y y x y x x =

点横坐标：同理得

· G

A O D B

E C Q P N

M D ·

A O D B

Q P N

D X

A N F E C

D M B

,------1

41441323223P Q y y y

x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明

即证明：）

（）（）（）（321441143223-----y y y x y x y y y x y x ?=? 将上式整理得：31442331242143212143)()(y y x y y x y y x y y x x x y y x x y y +++=+++ ，代入整理得：

注意到：44332211 , ;,nx y nx y mx y mx y ==== )]()([),()(214343212143243212x x x x x x x x mn x x x x n x x x x m +++=+++=右边左边

)

1)(1(n)

)(m -(2)121-121-()

1)(1(n))(m -(2121-121-2222222222222222222

2222222

+++=

+?+++?+=+++=+?+?++?+?=n m r a am n m am n r a n an m r a m n n m r a am n m am n r a n n an m r a m 右边左边代入得：

把上述韦达定理的结论可见：左边=右边，故P Q -x x =，即AQ AP =. 证毕！

【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】

例2、 .标系分析：如右图，建立坐

的斜率，、、坐标后，求出直线、、、总体思路：设点BC MN AD D C B A .的正切值相等即可切值，证明这两个角度从而求出两个角度的正问题的关键是：如何设点C 、D 的坐标更方便？由已知条件AD=BC ，

而C 、D 两点是相互独立运动的，故把点C 、D 看作是圆周上的动点.

设AD=BC= r ，则C 点可以看作是以B 为圆心，r 为半径的圆周上的动点，类似看待D 点，故，设

),sin cos D()sin cos C(??,r r -a θθ,r r a ++、

sin sin ,2cos cos N(

?++θθ从而得

;

tan cos cos sin sin ,tan ,tan MN AD BC ?θ???θ+=++=

==θθk k k 参数方程的美妙之处】【此处充分展现了圆的易得：

F E

M B X

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图