联立方程估计与模拟

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KleinⅠ模型框图
政府工资 WG 政府支出 G
消费
CS
收入
Y
投资
I
私人工资
WP
企业利润
P
资本存量
K
间接税收 T
注：方框内是行为方程内生变量，椭圆内是恒等方程内生变量，
粗体是外生变量。
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前3个方程称为行为方程，后面的3个方程称为恒等方程。
这是一个简单描述宏观经济的联立方程模型。式（12.1.2） 中的前3个行为方程构成联立方程系统：
生变量的已知方程组称为“模型”(model) ，给定了联立方程 模型中外生变量的信息就可以使用联立方程模型对内生变量进
行模拟、评价和预测。
一般的联立方程系统形式是
f yt , z t , Δ ut
t =1, 2, , T (12.1.1)
其中：yt 是内生变量向量，zt 是外生变量向量，ut 是一个可能 存在序列相关的扰动项向量，T 表示样本容量。估计的任务是
（均衡需求）
（企业利润）
（资本存量） （12.1.2） 此模型包含3个行为方程，1个定义方程，2个会计方程。式中变量： 6个内生变量： 4个外生变量： Y：收入（GDP中除去净出口）； G：政府非工资支出； CS：消费； Wg ：政府工资； I：私人国内总投资； T：间接税收； Wp ：私人工资； Trend：时间趋势； P：企业利润； K：资本存量
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式(12.2.1)可以简单地表示为
Y XΔ u
其中：设 m k i ， δ1 Δ
i 1 k
(12.2.2)
δk 是m维向量。 δ2
联立方程系统残差的分块协方差矩阵的 kT×kT 方阵 V 大体有如下 4 种形式。本章的估计方法都是在这些情形的基 础上进行讨论的。
寻找未知参数向量 的估计量。
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例1
克莱因联立方程系统
克莱因（Lawrence Robert Klein ）于1950年建立的、 旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观 计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的 发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型
大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。以至
于萨缪尔森认为，“美国的许多模型，剥到当中，发现都 有一个小的Klein模型”。所以，对该模型 的了解与分析 对于了解西方宏观计量经济模型是重要的。 Klein模型是以美国两次世界大战之间的1920～1941
年的年度数据为样本建立的。
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KleinⅠ模型：
CSt 0 1Pt 2 Pt 1 3 (Wt p Wt g ) u1t
联立方程模型的估计与模拟
本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括 最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归 法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘
法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法
FIML和广义矩法GMM等估计方法。 在估计了联立方程组的参数后就可以利用不同的解释 变量值对被解释变量进行模拟和预测。
此时，EViews自动地把表达式等于隐含的误差项。
规则5
应该确信系统中所有扰动项之间没有衡等的联系，即应该
避免联立方程系统中某些方程的线性组合可能构成与某个方程 相同的形式。例如，方程组中每个方程只描述总体的一部分，
方程组的和就是一个恒等式，所有扰动项的和将恒等于零。这
种情况下则应放弃其中一个方程以避免这种问题发生。
y1 X 1 y2 0 y 0 k 0 X2 0 0 δ1 u1 0 δ2 u2 X k δk uk
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1. 在古典线性回归的标准假设下，系统残差的分块协方 差矩阵是 kT×kT 的方阵 V
2 I k I T V Euu
积， 2 是系统残差的方差。
(12.2.3)
其中：算子表示克罗内克积(kronecker product)，简称叉
[注] 设A = (aij)nm , B = (bij)pq ，定义A与B的克罗内克积(简称叉积) 为
Obef/Coeffient Vector。
在说明方程时有一些规则：
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规则1
方程组中，变量和系数可以是非线性的。可以通过在不 同方程组中使用相同的系数对系数进行约束。例如： y=c(1)+c(2)*x z=c(3)+c(2)*x+c(4)*y
t =1, 2, , T （12.1.3）
待估计出未知参数后，与式（12.1.2）中的后3个恒等方
程一起组成联立方程模型。
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在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量 仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系 统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变 量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，
(12.2.1)
其中：yi 表示第 i 个方程的 T 维因变量向量，T 是样本观测值个 数，Xi 表示第 i 个方程的 Tki 阶解释变量矩阵，如果含有常数 项，则 Xi 的第一列全为1，ki 表示第 i 个方程的解释变量个数(包 含常数项)，i 表示第 i 个方程的 ki 维系数向量，i=1, 2, … , k。
变量、条件变量、政策变量、虚拟变量。滞后内生变量
是联立方程模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以 反映经济系统的动态性与连续性。在例12.1中，CS, I,
Wp , Y, P, K 为内生变量，外生变量 G, Wg , T , Trend 和滞
后内生变量一起构成前定变量。
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§2 联立方程系统的估计方法
CS t 0 1 Pt 2 Pt 1 3 (Wt p Wt g ) u1t (消费) (投资) I t 0 1 Pt 2 Pt 1 3 K t 1 u2t p (私人工资) Wt 0 1Yt 2Yt 1 3Trend t u3t
中外生变量的信息就可以使用模型对内生变量求值。
系统和模型经常十分紧密地一起使用，估计了方 程组系统中的参数后可以创建一个模型，然后对系统 中的内生变量进行模拟和预测。
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建立和说明联立方程系统
为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对 象并说明方程系统。单击Object/New Object/system或者在 命令窗口输入system，系统对象窗口就会出现，如果是第
述， 的第i行第j列的元素ij =E(ui uj)。如果残差是同期不
形式为
12 I T 0 IT 0 0
2 2 IT
2 V diag 12 , 2 ,, k2


0
0 0 (12.2.4) k2 I T
其中diag ( )代表对角矩阵。
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3. k个方程间的残差不但是异方差的，而且是同期相关 的情形，可以通过定义一个k×k的同期相关矩阵 进行描
当然也可以说明附加约束，例如有如下方程：
y=c(1)*x1+c(2)*x2+c(3)*x3 若希望使c(1)+c(2)+c(3)=1，则可以这样描述方程： y=c(1)*x1+c(2)*x2+(1-c(1)-c(2))*x3
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规则2
系统方程可以包含自回归误差项（注意不能有MA、
SAR或SMA误差项），每一个AR项必须伴随系数说明（用 方括号，等号，系数，逗号），例如：
EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是单
方程估计方法，使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方 程分别进行估计。第二类方法是系统估计方法，同时估计系 统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数 进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。
虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方
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经济系统并没有严格的空间概念。国民经济是一个系
统，一个地区的经济也是一个系统，甚至某一项经济活动也 是一个系统。例如我们进行商品购买决策，由于存在收入或 预算的制约，在决定是否购买某一种商品时，必须考虑到对 其他商品的需求与其他商品的价格，这样，不同商品的需求
量之间是互相影响、互为因果的。那么，商品购买决策就是
一次建立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输
入方程，当然也包含了工具变量和参数初值。 使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统 中的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。 例12.1含有三个行为方程的系统是这样的：
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这里使用了EViews缺省系数如c(10)、c(20)等等，当然可 以使用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单上
I t 0 1Pt 2 Pt 1 3 Kt 1 u2t
（消费） （投资） （私人工资）
Wt p 0 1Yt 2Yt 1 3Trend t u3t Yt Ct I t Gt
Pt Yt Wt p Tt
Kt Kt 1 I t
一个经济系统。 联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一 些多元方法可以对系统进行估计，这些方法考虑到了方程之 间的相互依存关系。
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1 联立方程系统概述
本章将包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关 系的联立方程组称为“系统”(systems) ，可以利用12.2节介绍
的多种估计方法求解未知参数。本章的12.3节中将一组描述内
法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定 了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如
果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但