§2.5.2 分数指数幂教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.分数指数幂的概念.
2.有理指数幂的运算性质. ( 二)能力训练要求
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化. (三)德育渗透目标
培养学生用联系观点看问题. ●教学重点
1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质. ●教学难点
对分数指数幂概念的理解. ●教学方法 发现教学法
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
●教具准备 投影片二张
第一张：回顾性质(记作§２.５.２ Ａ) 第二张：变形举例(记作§２.５.２ Ｂ) ●教学过程 Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运
算性质.
(给出投影片§２.５.１ Ａ)
整数指数幂运算性质
(1)a m ·a n =a m +n
(m ,n ∈Z ) 根式运算性质 (2)(a m )n
=a
m ·n
(m ,n ∈Z ) ???=为偶数
为奇数
n a n a a n
n
,,
(3)(a ·b )n
=a n
·b n
(n ∈Z )
［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a ＞0，m ,n 是分数时也成立.
(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a ＞0，m ,n 是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)
［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数a n 的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性.
接下来，我们来看几个例子.
(打出投影片§２.５.２ Ｂ)(说明：对于例子可设计为填空题，让学生参与得出.)
例子：当a ＞0时
①5
102
552510
)(a a a a === ②3
124
334312)(a a a a
===
③3
23
3
323
2
)(a a a == ④2
1221)(a a a ==
［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
Ⅱ.讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义
n m n
m a a
= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)
［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定(板书)
(1)n
m n
m a
a
1
=
- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. ［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质(板书) (1)a r ·a s =a r +s (a ＞0,r ,s ∈Q ) (2)(a r )s =a r ·s (a ＞0,r ,s ∈Q )
(3)(a ·b )r =a r ·b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q )
［师］说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则a P 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.
4.例题讲解 ［例2］求值：
4
3
32
13
2)81
16(,)41(,100
,8---. 分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质. 解：422
)2(823
233
2
33
2====?
8
27)32()32()8116(6422)2()4
1
(10
11010
)
10(100
3)43
(4436)3()2(3231)
2
1(22
12
2
1========
===--?--?------?-
-
［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：
a a a a a a ,,3232?? (式中a ＞0) 解：2
52
122
12
2
a a
a a a a ==?=?+
4
32
12
32
12
1
3113
233
23
3
2
3
)()(a
a a a a a a
a
a a a a ==?===?=?+
［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.
Ⅲ.课堂练习 课本P 14练习
1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０) 3
25
34
35
1,,,--a a a a
解：55
1a a =
3
2
323
25
3
5353434
31
1
a a a
a a a a a =
====--
--
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1)32x （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） （３）32)(n m - （４）4)(n m -（ｍ＞ｎ）
(5)56q p ?（ｐ＞０） (6)
m
m 3
解：(1) 3
232
x x = (2) 4
343
)()(b a b a +=+ (3) 3
232
)()(n m n m -=-
(4) 2
14
)()(n m n m -=-＝（ｍ－ｎ）２ (5) 2
532
52
62
15656)()0(q p q p q p p q p ?==?=? (6)
2
52
133m m
m m
m =?=-
3.求下列各式的值：
(1)2
325 （２）3
227
（３）2
3
)49
36( （4）23
)425(-
（5）4
23
981? （6）63125.132?? 解：(1) 12555)5(2532
322
32
2
3====?
(2) 933
)3(2723
233
23
3
2====?
（３）343216
76)76()76(])76[()4936(33323
223
223=====?
(4) 1258
5
2)25()25()25(])25[()425(3333)23
(223
223
======--?--
(5) 4
3
244
2
123244
2
132244
23
333
3])3[(39
81?=?=?=???
66
1
4
13
24
14
4
13
24
3333)3()3()33(=?=?=?=
(6) 61
2313
16
3
)23()2
3
(32125.132????=??
6
323
2
)
333()22
2(2323326
131213
13116
13121313
13
1613
13
121=?=?=?????=?????=+++--
-
要求：学生板演练习，做完后老师讲评. Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本P 75习题2.5
2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)43a a ? （２）a a a （３）32)(b a - （４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）4233)(b a + 解：（１）12
74
1314
13
14
3
a a
a a a a ==?=?+
(2) 8
78
141218
14
12
12
1212
1
])([a a a a a a a a a a a ==??=??=++
(3) 3
232
)()(b a b a -=- （４）4
343
)()(b a b a +=+ （５）3
12
2
3
2
2
)(b a ab b a ab +=+
（６）2
133
4
233
42
33
)()()(b a b a b a +=+=+ 3.求下列各式的值：
(1)2
12 （2）2
1)
49
64(
-
（３）4
310000
- （4）3
2
)27
125(- 解：（１）1111
)11(22
122
12
2
1
===?
（２）87)78()78()7
8()4964(1)21
(221
2221
===--?-- (3) 001.01010
)
10(10000
3)
4
3(44
34
4
3
====--?-
-
(4) 259
)35()35(])35[()3
5()27125(2)32
(3323323332=====--?--- 4.用计算器求值(保留4位有效数字) (1)315 （２）3
2321 （３）2
173
- （４）5
467
(5)2
138? （６）２５·4
38- 解：（１）3
15＝１.７１０ (2) 3
2321＝４６.８８ （３）21
73
-＝０.１１７０
（4） 5
467＝２８.９０ （５）2
138?＝２.８８１
（６）２５·4
38-
＝０.０８７３５
（二）1.预习内容：课本P 73 2.预习提纲：
(1)根式的运算如何进行?
(2)利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧? ●板书设计
§2.5.2 分数指数幂
1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质
n m n
m a a
=（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N *，ｎ＞１） （１）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ
（２）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ
（ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ） （３）（ａ·ｂ）ｒ＝ａ
ｒ
·ａｒ
（ａ＞０，ｂ＞０，ｒ
∈Ｑ）
2.规定 ４.例题 (1)n
m n
m a
a
1
=
- ［例1］
（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N *，ｎ＞１）， ［例2］