材料力学公式汇总完全版
1 截面的几何参数
序号公式名称公式符号说明
ydAzdAZ为水平方向 ,,AA(1.1) 截面形心位置， yz,,ccY为竖直方向 AA yAzA,,iiii， zy,,(1.2) 截面形心位置 ccAA,,ii
， S,ydAS,zdAZy,,(1.3) 面积矩 AA
， S,AyS,Az(1.4) 面积矩 ,,ziiyii
SSyz(1.5) 截面形心位置 z， y,,ccAA
， S,AzS,Ay(1.6) 面积矩 yczc
22， I,ydAI,zdAzy,,(1.7) 轴惯性矩 AA
2 I,,dA,,(1.8) 极惯必矩 A
I,I，I(1.9) 极惯必矩 ,zy
I,zydAzy,(1.10) 惯性积 A
22，I,iA I,iA(1.11) 轴惯性矩 yyzz
I惯性半径 Iyz(1.12) ， i,i,zy(回转半径) AA
， S,SS,S面积矩 ,,zziyyi
轴惯性矩
， I,II,I(1.13) 极惯性矩 ,,zziyyi
惯性积
， I,II,I ,,,,izyzyi
2 I,I，aAzzc
2I,I，bA (1.14) 平行移轴公式 yyc
I,I，abAzyzcyc
1
2 应力和应变
序号公式名称公式符号说明
N轴心拉压杆横 ,,(2.1) 截面上的应力 A
N危险截面上危 ,,(2.2) max险点上的应力 A
,l轴心拉压杆的 ,,(2.3a) 纵向线应变 l
轴心拉压杆的 ,l,l,l,,.l(2.3b) 1纵向绝对应变
,,E,(2.4a) , ,, 胡克定律 E(2.4b)
N.l ,l,(2.5) 胡克定律 EA
Nlii ll,,,,(2.6) 胡克定律 ,,iiEAi
,bb,b'1,, ,(2.7) 横向线应变 bb
',, ,泊松比(横向 ,(2.8) 变形系数)
' ,,,,,
剪力双生互等 ,,,(2.9) xy定理
,,G, (2.10) 剪切虎克定理实心圆截面扭 T,, ,,(2.11) 转轴横截面上 I,的应力
TR实心圆截面扭 , ,maxI(2.12) 转轴横截面的 ,
圆周上的应力
I抗扭截面模量 ,(2.13) W ,T(扭转抵抗矩) R
2
实心圆截面扭 T ,,(2.14) 转轴横截面的 maxWT圆周上的应力
T.l圆截面扭转轴的 ,,(2.15) GI变形 ,
Tli圆截面扭转轴的 i ,,,,(2.16) ,,iGI变形 ,i
T,单位长度的扭转， ,,,,(2.17) lGI角 ,
是矩形截WT矩形截面扭转轴 TT面 , ,,(2.18) 长边中点上的剪 max3W,bT的扭转抵W应力 T
抗矩矩形截面扭转轴
,,,,(2.19) 短边中点上的剪 1max
应力
是矩形截IT矩形截面扭转轴 TT面的 , ,,(2.20) 单位长度的扭转 4GIG,bT 相当极惯I角 T
性矩
与截,,,,,矩形截面扭转轴 T.l,, ,,.l(2.21) 全轴的扭转面高宽 4,Gb角比有关h/b
的参数
y平面弯曲梁上任 , ,(2.22) 一点上的线应变 ,
Ey平面弯曲梁上任 , ,(2.23) 一点上的线应力 ,
M1平面弯曲梁的曲 ,(2.24) ,EI率 z
纯弯曲梁横截面 My, ,(2.25) 上任一点的正应 Iz力
3
离中性轴最远的 My.max ,,(2.26) 截面边缘各点上 maxIz的最大正应力
抗弯截面模量 I W,(2.27) (截面对弯曲 zymax的抵抗矩)
离中性轴最远的 M ,,(2.28) 截面边缘各点上 maxWz的最大正应力
*被切割面Sz*VS横力弯曲梁横截 z ,,(2.29) 积对中性轴面上的剪应力 Ibz 的
面积矩。
*VS中性轴各点的剪 zmax ,,(2.30) max应力 Ibz
3V矩形截面中性 ,,(2.31) max轴各点的剪应力 2bh
工字形和T形截 *** S,Ay(2.32) ,zici面的面积矩
平面弯曲梁的挠 V向下为正 "(2.33) 曲线近似微分方 EIv,,M(x)zX向右为正程
平面弯曲梁的挠曲
线上任一截面 'EIv,EI,,,M(x)dx，C (2.34) zz,的转角方程
平面弯曲梁的挠曲
EIv,,M(x)dxdx，Cx，D (2.35) 线上任一点挠度方 z,,
程
双向弯曲梁的合成22M,M，M(2.36) zy弯矩
是集中z,y2拉(压)弯组合矩形ppiyaz ,,,(2.37a) 截面的中性轴在Z轴z0力作用点的zp上的截距标拉(压)弯组合矩形2izay ,,,(2.37b) 截面的中性轴在Y y0yp轴上的截距
4
3 应力状态分析
序号公式名称公式符号说明
单元体上任,,,,，,xyxy(3.1) 意截面上的 ,,，cos2,,,sin2,,x22正应力
单元体上任,,,xy(3.2) 意截面上的 ,,sin2,，,cos2,,x2剪应力
,,2x主平面方位,tan2, () ,与,反号0x0(3.3) ,,,角 xy
2,,,,，,大主应力的,,2xyxy(3.4) ,, ,,，，,xmax,,计算公式 22,,
2,,,,，,主应力的计,,2xyxy(3.5) ,, ,,,，,xmax,,算公式 22,,
,,,单元体中的13 ,,(3.6) max最大剪应力 2主单元体的
1222 ，，，，，，,,,,,，,,,，,,,(3.7) 八面体面上 1213233的剪应力,,,,,，,面上的线,xyxyxy(3.8) ,,，cos2,，sin2,,应变 222
面与,
o ,,,(,,,)sin2,，,cos2,(3.9) +面之,90xyxyxy间的角应变
,xy主应变方向, ,tan2(3.10) 0,,,xy公式
22，,,,,,,,,xyxyxy(3.11) 最大主应变 ,, ,，，,max,,224,,
22，,,,,,,,,xyxyxy(3.12) 最小主应变 ,, ,,，,max,,224,,的替代
公,xy,,2,,,,, 0(3.13) xyxy45
式
5
,,,,,20xy主应变方向45, ,tan2(3.14) 0,,,公式 xy
22,,，,,,,,,,,,,00xyxy4545(3.15) 最大主应变 ,,,, ,，，,max,,,,222,,,, 22,,，,,,,,,,,,,00xyxy4545(3.16) 最小主应变 ,,,, ,,，,max,,,,222,,,, 简单应力状,,,xxx，， ,,,,,,,,,,(3.17) 态下的虎克 xyzEEE定理
1，， ,,,,,,,,，,xxyzE空间应和状1 ,,，，,,,,,,，,(3.18) 态下的虎克yyzxE定理 1，， ,,,,,,,,，,zzxyE
1 ,,(,,,,)xxy平面应力状E
1态下的虎克 ,,(,,,,)(3.19) yyx定理(应变形E
,式) ,,,(,，,)zxyE
E ,,(,，,,)xxy2平面应力状1,,
E态下的虎克 ,,(,，,,)(3.20) yyx2定理(应力形1,,
式) ,,0z
1 ,,，，,,,,,,，,1123按主应力、主E
1应变形式写 ,,，，,,,,,,，,(3.21) 2231出广义虎克E
1定理 ,,，，,,,,,,，,3312E
1 ,,(,,,,)112E二向应力状1 ,,(,,,,)(3.22) 态的广义虎 221E克定
理 , ,,,(,，,)312E
6
E ,,(,，,,)11221,,
E二向应力状 ,,(,，,,)1122(3.23) 态的广义虎 1,,
E克定理 ,,(,，,,)22121,,
,,03
,,,G,xyxy剪切虎克定 ,,,G,(3.24) yzyz理
,,,G,zxzx
4 内力和内力图
序号公式名称公式符号说明
NkT ,9.55e(4.1a) n外力偶的 N换算公式 p(4.1b) T ,7.02en
dV(x) ,q(x)分布荷载集度向上 q(x)dx(4.2) 剪力、弯矩之间的关系为正dM(x) ,V(x)(4.3) dx
2dM(x)(4.4) ,q(x)2dx
7
5 强度计算
序号公式名称公式
,,(脆性材料f，ut1当时，第一强度理论:最大拉*(5.1) ,,f.(塑性材料，u1应力理论。
材料发生脆性断裂破坏。
,,,,，,(，),(脆性材料fut1231当时， *第二强度理论:最大伸,,,，,，,，,f(塑性材料，u123(5.2) 长线应变理论。材料发生脆性断裂破坏。
,,,,(塑性材料f，13y当时，第三强度理论:最大剪(5.3) ,,,,f(脆性材料，13uc应力理论。
材料发生剪切破坏。
当
1222,,,,,,,，,，,,(塑性材料,,，，，，，，f，y1213232第四强度理论:八面体(5.4) 面剪切理论。 1222,,，，，，，，,,,，,,,，,,,,f(脆性材料，
uc1213232
时，材料发生剪切破坏。
* ,,,(5.5) 第一强度理论相当应力 11
* ,,,,,，,，,，(5.6) 第二强度理论相当应力 2123
* ,,,,,(5.7) 第三强度理论相当应力 313
1222*,,，，，，，，,,,,,，,,,，,,,4121323 (5.8) 第四强度理论相当应力2
由强度理论建立的强度* ,,[,](5.9a) 条件
,,[,](5.9b) tmaxt
由直接试验建立的强度 ,,[,](5.9c) cmaxc条件
,,[,](5.9d) max
N(5.10a) ,,,[,]轴心拉压杆的强度条件 tmaxt A
8
(5.10b) N ,,,[,]cmaxcA
T* (适用于脆性材料) ,,,,,,,[,]11maxtWT
(5.11a) *=,,,,,，,，,， 2123
,,,(0,,),(1，,),,[,](5.11b) maxmaxmaxt
,T[] t, (适用于脆性材料) ,,maxW1，, T
* ，，,,,,,,,,,,,2,,[,] 313maxmaxmax(5.11c) 由强度理论建立的扭转T[], (适用于塑性材料) ,,,轴的强度条件 maxW2 T
1222*,,,,,,,,,，,，,,,，，，，，，4121323(5.11d) 2
1222,,,,,,，，，，，，,,0，0，，,, maxmaxmaxmax2
,3,,[,]max
[]T, (适用于塑性材料) ,,,maxW3T
T由扭转试验建立的强度 ,,,[,](5.11e) maxW条件 T
M ,,,[,](5.12a) tmaxtWZ 平面弯曲梁的正应力强 M度条件 ,,,[,](5.12b) cmaxcWZ
*VS平面弯曲梁的剪应力强Zmax ,,,[,](5.13) max度条件 IbZ
9
*22(5.14a) ,,,，4,,[,]3平面弯曲梁的主应力强度条件 *22(5.14b) ,,,，3,,[,]4
222*MMT，，MZy*3 ,,,,,,,313WW(5.15a)
圆截面弯扭组合变形构1222*,,，,，,,,，，，，，，,,,,,,,4121323 件的相当弯矩 2 (5.15a) 222*MMT，，0.75MZy4,,WW
4N ,,,[,](5.16) 螺栓的抗剪强度条件 2nd,
Nbb ,,,[,](5.17) 螺栓的抗挤压强度条件 ccdt,
Nw贴角焊缝的剪切强度条 ,,,[,](5.18) fhl0.7件 ,fw
6 刚度校核
序号公式名称公式符号说明
,,max, [](6.1) 构件的刚度条件 ll.
T ,,,[,](6.2) 扭转轴的刚度条件 maxGI,
vvmax, [](6.3) 平面弯曲梁的刚度条件 ll
10
7 压杆稳定性校核
序号公式名称公式符号说明两端铰支的、细长
2压杆 EI,(7.1) I取最小值 P,cr2的、临界力的欧拉l
公式
—计算长度。 l0
—长度系数; ,
2,EI细长压杆在不同一端固定，一端自 P,cr2支承情 (,.l)由: ,,2(7.2) 况下的临界力公
l,,.l式一端固定，一端铰0
支: ,,0.7
两端固定: ,,0.5
Ii,是截面的惯.l,A ,,(7.3) 压杆的柔度 i性半径
(回转半径)
Pcr ,,cuA
(7.4) 压杆的临界应力 2,E, ,cu2,
E欧拉公式的适用 ,,,,,(7.5) P范围 fP
E当时， ,,,,,c0.57fy
—压杆材料的屈fy
,2,, ,f[1,()](7.6) 抛物线公式服极限; cry,c—常数，一般取,
,,0.43,2,, P,A,f[1,()].Acrcry,c
11
P安全系数法校核cr P,,[P](7.7) crk压杆的稳定公式 w
—折减系数 ,
P折减系数法校核 ,,,,.[,](7.8) ,[]压杆的稳定性 crA,，小于1 ,[,]
8 动荷载
序号公式名称公式符号说明
P-荷载
N-内力
,PN,dddd-应力 ,K,,,, d(8.1) 动荷系数 PN,,,-位移 jjjj
d-动
j-静构件匀加速 a-加速度 a K,1，(8.2) 上升或下降 g-重力加速度 dg时的动荷系数构件匀加速 a K,,,,(1，),(8.3) 上升或下降 ddjjg时的动应力[,],杆件在静荷载作用下动应力强度条,,K,,[,] (8.4) dmaxdjmax件的容许应力构件受竖直方2H K,1，1，(8.5) 向冲击时的动H-下落距离 d,j荷系数构件受骤加荷
K,1，1，0,2(8.6) 载时的动荷系H=0 d
数
2构件受竖直方vK,，， 11(8.7) 向冲击时的动v-冲击时的速度 dg,jj荷系数
-疲劳极限 ,,
,,(8.8) 疲劳强度条件 ,[],,,max,-疲劳应力容许值 [,],K
K-疲劳安全系数
12
9 能量法和简单超静定问题
公式名称序号公式
外力虚功:
(9.1) W,P,，P,，M,，...,P,,e1122e33iI
内力虚功:
(9.2) W,,Md,,Vd,,,Nd,l,Td,,,,,,,,,llll
虚功原理:
(9.3) 变形体平衡的充要条件是: W，W,0e
虚功方程:
(9.4) 变形体平衡的充要条件是: W,,We
莫尔定理:
,,,,,,,,(9.5) ,,Md,，Vd,,，Nd,l，Td,,,,,,,,,llll
莫尔定理:
,,,,,,,,(9.6) MMKVVNNTT ,,dx，dx，dx，dx,,,,,,,,llllEIGAEAGI, 桁架的莫尔定理:
,,(9.7) NN ,,l,EA
变形能: (9.8) (内力功) U,,W
变形能:
(9.9) (外力功) U,We
外力功表示的变形能: (9.10) 1111... U,P,，P,，P,,P,,1122iiiI2222 内力功表示的变形能: (9.11) 2222()()()()MxKVxNxTx ,,dx，dx，dx，dx,,,,,,,,llll2222EIGAEAGI,
13
(9.12) 卡氏第二定理:
,U ,,i,Pi
卡氏第二定理计算位移公式:
,,,,MMKVVNNTT(9.13) ,,，，，
dxdxdxdx,,,,i,,,,llll,,,,EIPGAPEAPGIP,iiii
卡氏第二定理计算桁架位移公式:
,NN(9.14) ,,l,i,EAPi
卡氏第二定理计算超静定问题: M,M(9.15) ,,dx,0By,,lEI,RB 莫尔定理计算超静定问题: ,,(9.16) MM ,,dx,0,By,lEI
一次超静定结构的力法方程: (9.17) ,X，,,01111P
方向有位移,时的力法方程: X1 (9.18)
,X，,,,1111P
自由项公式:
,,(9.19) MMP1 ,,dx,P1,lEI
主系数公式:
2,,(9.20) M1 ,,dx,11,lEI
桁架的主系数与自由项公式: 2,,
Nl1 ,,,11,l(9.21) EA
,,
NNlP1 ,,,P1,lEA
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