立体几何题型总结（2015版文科）
重要定理：
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.
直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.
两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥?⊥?OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.
一：夹角问题
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.
② 直线的倾斜角、到
的角、与
的夹角的取值范围依次是
．
异面直线所成角：范围：]90,0(??
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常ab
c b a 2cos 2
22-+=θ)
用
到
余
弦
定
理
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； (3)向量法。转化为向量的夹角AC
AB AC AB ??=
θcos
(计算结果可能是其补角) 直线与平面所成的角
θαα＝时，∥或0b o
b ?
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平
面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
向量法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为?，则有sin cos l n l n
θ??==
的求法
二面角l αβ--的平面角，
（1）定义法：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
P αβθ
M A B O
θ
c
b
a
（2）三垂线法：（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。） 向量法：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212
cos n n n n θ?=
．
二、空间距离问题
两异面直线间的距离
方法一：转化为线面距离。如图，m 和n 为两条异面直线，α?n 且α//m ，则异面直m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。
方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。
点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；
向量法：点到直线距离：在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n n
PA ?=PA ?PA ?=
点到平面的距离
方法一：几何法。步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=3
1
S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 方法二：坐标法。
>?
AP n ?=
线面距、面面距均可转化为点面距
三、平行与垂直问题
证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.
证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； 方法（2）：用线面垂直实现。 方法（3）：三垂线定理及其逆定理。
m l m l ⊥??
???⊥ααPO l OA l PA l αα⊥??
⊥?⊥????
证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）
n m
α
θ
α
P O
A
n
O
A
P
α
转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
方法（1）：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。
αα⊥???
?
?
???
?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥??
??
?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。
题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法
了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。
例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
例 2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．
正视图 左视图
例3.已知一个正四面体，其三视图均为边长为2的正方形，则这个正四面体的外接球的体积为 ．
例10：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )
E
F D I
A H G B
C E
F D A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A ．
B
E
B ．
B
E
C ．
B
E
D ．
俯视图
l
β
α
m
l
β
α
A ．π12
B ．π16
C ．π32
D ．π8
例5：四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的表面积为( )
A. 23a
B.2
2a C.22
23a a +
D. 222a +
例6：三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是___________
例7：如图，斜三棱柱ABC —111C B A 中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b ，侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450
角，求此三棱柱的侧面积和体积．
例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知几何体的体积是_________
真题：
【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
A ．14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）
俯视图
左视图
主视图
A ．83cm
B ．123cm C
．
3233cm D ．403
3cm
【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足
30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+
【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
1
1
1
2
A ．822+
B ．1122+
C ．1422+
D ．15
【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）
A 、89π
B 、827π
C 、224(21)π-
D 、28(21)π-
【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3
m .
【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.
斜二测法：原斜S S 4
2
=
例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A ．2
2
21+
B ． 22+
C ．21+
D ．221+
例10：对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A ．2倍
B ．
24倍 C ．2
2
倍 D ．12倍
例11：如图，已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形A 1B 1C 1D 1，且A 1B 1＝B 1C 1＝2A 1D 1＝2， 则四边形ABCD 的面积为( )
A ．3
B ．3 2
C ．6 2
D ．6
例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
旋转体：
例13：下列几何体是旋转体的是（ ）
A B C D 例14：如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，
，
，22CD =，2AD =，
求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 真题：
【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）
223
π
（B ）
423
π（）
22π
（）
42π
题型二：定义考察类题型
例15：已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是( )
A ．若βα//，α?l ,则β//l
B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥l
C ．若α//l ，α?m ,则m l //
D ．若βα⊥，l =?βα,α?m ,l m ⊥,则β⊥m 例16：给定下列四个命题：
①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线 ②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线 ③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行 ④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直 其中，为真命题的是( )
A ．○1和○2
B ．○2和○3
C ．○3和○4
D ．○2和○4
例17：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若α⊥β，m ?α,则m ⊥β
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．ββααβα⊥?=?⊥?⊥l c c l l ,,,
例18：已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα?，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若,m m n α⊥⊥，则αn ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； 其中真命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例19：如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、AC ⊥S
B B 、AB ∥平面SCD
C 、SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
例20：已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，下列推理错误的是（ ） A.,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈?? B.,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈?=
C.,,A A A αβαβ∈∈?=
D.,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ?、重合
真题：
【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?（ ）
A ．若l β⊥，则αβ⊥
B ．若αβ⊥，则l m ⊥
C ．若//l β，则//αβ
D ．若//αβ，则//l m
【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 与1l ，2l 都不相交
【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
证明平行的方法：
线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。
线面平行：（1）根据定理证明（面线线线////?）；（2）通过面面平行的性质定理（面线面面////?） 面面平行：（1）平面α中分别有两条相交线与平面β的两条相交线平行 （2）平面α的法向量与平面β的法向量平行
例21：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，
侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2
PA PD AD ==，若E 、F 分别
为PC 、BD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥ 平面PAD .
例22：如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点，求证：MN 平面A 1BD.
1
A
例23：如图，直棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，1AA =AC=CB=2
AB 。